D102二重积分的计算12853

二重积分的计算法

概率论二重积分的计算(二)

概率论 二重积分的计算(二)

极坐标计算二重积分32725

二重积分的极坐标计算方法

第二节利用极坐标计算二重积分

转换x , yD {(r, ) , g ( ) r g ( )}122 1-2-1-1-2 21D-2-1-1-24. 平面区域的极坐标表示法实例圆盘 D { (x, y) x2

x2 y2111 x2 = e 21 01 y2 1 + e 0 = e − 1. 2例 2. 求由柱面 x 2 + y 2 = R 2 及x 2 + z

D目录 上一页 下一页 退 出(3)若极点O在区域D′内，且D′的边界曲线为连续封 闭曲线r=r(θ) (０≤θ≤2π)，如下图所示，则D （{ r,︱) ０ 2 ,０ r r(

D D应用范围：积分区域为圆域(或一部分)，被积 2 2 ( x y )的用此简便. 函数含二、极坐标系下二重积分化累次积分方法： 极坐标系下区域如图所示：CH21-重积分三线

（A） （C） 【 Cdy ∫ dx ∫y− y2 0 1 0f ( x , y )dx ．∫1 0 1 0dy ∫1− y 2 0 x− x2 0f ( x , y )dx ．

任取 截面积为 故曲顶柱体体积为 平面 截柱体的yDOa x0 b x y 1 ( x)V f ( x, y ) d A( x)d xDab [b 2 ( x)a

dx a a2 x2xxdy (a>0).解 积分区域D见图, 采用极坐标计算,原式 = d 2 42 a sin 0r cos rdry 248 3 3 a sin

π2zV = 4 ∫∫D4 a − r r d r dθ2 2o2y∫02 acosθ4a − r r d r22ax32 3 π 2 = a ( − ) 3 2 3=π故①式成立

252-4解 由对称性 体积微元V4 4a2x2y2dxdyyD其 中D为 半 圆 周y 2ax x2 及x轴x所围成的闭区域CH21-重积分解 由对称性 V4 4a2x2y2dx

D式，其中积分区域D = {( x, y ) | 1 − x ≤ y ≤ 1 − x 2 , 0 ≤ x ≤ 1}. x = r cosθ 解 在极坐标系下 y = r sin

， ，于是有类似地，若 平面上的圆 常数与 的边界多交于两点，则 必可表示成， ，所以.（ii）若原点为 的内点， 的边界的极坐标方程为 ，则 可表示成 ， .所以.(iii)若原

DD问题1：怎样的二重积分需要在极坐标下计算？ 积分区域D为圆形、扇形、环形，环扇形等y 被积函数形式 f ( x y )或f ( ) x2 2问题2：如何在极坐标下计算二重积分

Ox故I 2 xydxdy ,D1其中 D1 为 D 的关于 x 轴上方的部分.I 2 d 0π 2π 22 sin 20 2 sin cos d sin3 ( 2 )d