(北师大版)必修四：1.6《余弦函数的图像与性质》ppt课件

§6 余弦函数的图像与性质

6．1 余弦函数的图像 6．2 余弦函数的性质

填一填

1.余弦函数图像的画法

(1)变换法：y＝sin x图像向左平移________个单位即得y＝cos x的图像．

(2)五点法：利用五个关键点________，________，________，________，________画出[0,2π]上的图像，再左右扩展即可．

2．余弦函数的性质

函数

性质 余弦函数y＝cos x

图像

定义域 R

值域 [－1,1]

最值 当x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1

当x＝(2k＋1)π(k∈Z)时，ymin＝－1

周期性 是周期函数，最小正周期为________

奇偶性 是偶函数，图像关于y轴对称

单调性 在[(2k－1)π，2kπ](k∈Z)上是________的

在[2kπ，(2k＋1)π](k∈Z)上是________的

判一判

1.当余弦函数y＝cos x取最大值时，x＝π＋2kπ，k∈Z.( )

2．函数y＝cos 2x在π2，π上是减函数．( ) 3．余弦函数的图像分别向左、右无限延伸．( )

4．y＝cos x的定义域为[0,2π]．( )

5．余弦函数y＝cos x是偶函数，图像关于y轴对称，对称轴有无数多条．( )

6．余弦函数y＝cos x的图像既是轴对称图形，也是中心对称图形．( )

7．函数y＝acos x(a≠0)的最大值为a，最小值为－a.( )

8．函数y＝cos x(x∈R)的图像向左平移π2个单位长度后，得到函数y＝g(x)的图像，则g(x)＝－sin x．( )

想一想

1.余弦函数图像的两种画法是怎样的？

提示：(1)平移法：这种方法借助诱导公式，先将y＝cos x写成y＝sinx＋π2，然后利用图像平移得到y＝cos x的图像．

(2)“五点法”：在已知函数图像特征的情况下，描出函数图像的关键点，画出草图．这种方法对图像的要求精度不高，是比较常用的一种画图方法．

§5 余弦函数

知识梳理

1.任意角的余弦函数

（1）定义

如图1-5-1所示，单位圆与角α的终边交于P点.设P（a，b）,则P点横坐标a是角α的函数，称为余弦函数，记为a=cosα(α∈R).通常用x、y表示自变量和因变量，将余弦函数表示为y=cosx(x∈R).

图1-5-1

（2）余弦线

如图1-5-1所示，过点P作x轴的垂线PM，垂足为M.单位圆中的有向线段OM叫做角α的余弦线（是三角函数线之一）.当角α的终边在y轴上时，M与O重合，此时余弦线变成一个点.

（3）余弦线所表示的余弦值可如下确定：

余弦线的方向是表示余弦值的符号，同x轴一致，向上为正，向下为负；正弦线的长度是正弦值的绝对值.

（4）任意角的余弦函数定义的推广

如图1-5-2所示，设P(x,y)是α的终边上任意一点，它到原点的距离|OP|=r，有r=22yx,则cosα=rx.

图1-5-2

对于每一个确定的角α，总有唯一确定的余弦值与之对应，所以这个对应法则是以角α为自变量的函数，叫做余弦函数.余弦函数值与点P在角α终边上的位置无关，只依赖于角α的大小.

2.余弦函数值的符号

（1）图形表示：余弦值在各象限的符号如图1-5-3所示.

图1-5-3

（2）用表格表示

α的终边 cosα

x非负半轴 +

第一象限 +

y非负半轴 0

第二象限 -

x非正半轴 -

第三象限 -

y非正半轴 0

第四象限 +

3.余弦函数的图像和性质

(1)图像：如图1-5-4所示.

图1-5-4

(2)性质

函数

性质 y=cosx

定义域 R

值域 ［-1，1］ 当x=2kπ(k∈Z)时，y取最大值1

当x=(2k+1)π(k∈Z)时，y取最小值-1

周期 2π

奇偶性 偶函数

单调性 增区间 ［-π+2kπ,2kπ］(k∈Z)

减区间 ［2kπ,π+2kπ］(k∈Z)

对称性 对称中心 （kπ+2,0)(k∈Z)

对称轴 x=kπ(k∈Z)

- 1 - 三角函数的图像和性质

1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：

正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (2,1) (,0) (23,-1) (2,0)

余弦函数y=cosx x[0,2]的图像中，五个关键点是：(0,1) (2,0) (,-1) (23,0) (2,1)

2、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：

sinyx cosyx tanyx

图象

定义域 R R ,2xxkk

值域 1,1 1,1 R

最值 当22xk时，max1y；当22xk

时，min1y． 当2xk时，

max1y；当2xk

时，min1y． 既无最大值也无最小值

周期性 2 2 

奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数

单调性 在2,222kk

上是增函数；

在32,222kk

上是减函数． 在2,2kk上是增函数；

在2,2kk上是减函数． 在,22kk

上是增函数．

对称性 对称中心,0k

对称轴2xk 对称中心,02k

对称轴xk 对称中心,02k

无对称轴

函 数 性 质 - 2 - 例作下列函数的简图

(1)y=|sinx|，x∈[0，2π]， (2)y=-cosx，x∈[0，2π]

例利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x的集合：

21sin)1(x 21cos)2(x

3、周期函数定义：对于函数()yfx，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有：()()fxTfx，那么函数()yfx就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。

- 1 - 安边中学 高一 年级 下 学期 数学 学科导学稿 执笔人： 王广青 总第 课时

备课组长签字： 王广青

包级领导签字：

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一、课题： 6.1-6.2余弦函数图象的性质

二、学习目标

1.会用“五点法”画余弦函数的图像；

2.了解正弦函数、余弦函数图像之间的关系；

3.掌握余弦函数的性质及其应用。

三、教学过程

【自主预习】

阅读课本P30内容，完成下列任务。

1. 在下列坐标系中画出y=cosx的图像；

2. 总结y=cosx图像的画法：

（1）变换法，将正弦曲线y=sinx的图像向 平移 个单位长度得到。

（2）五点法，在平面直角坐标系中描出五个关键点：

， ， ， ， 。

然后用光滑曲线将五个点连接起来，得y=cosx,x∈[0,2π]的图像，再向左、右平移得到y=cosx的图像。

3. 思考：如何刻画余弦线，运用余弦线作出函数图像。

x y

o

- 2 - 【合作探究】

阅读课本P31内容，思考下列问题。

1. 余弦函数y=cosx,x∈R的性质：

2. 定义域： ; 值域： ;

3. 最值：当x= 时，y取最大值1；当x= 时，y取最小值-1;

4. 周期性：最小正周期是 ；

5. 单调性：增区间 ； 减区间 ；

6.奇偶性： 函数。

【检测训练】

0cos)2(21cos1.1xxx）（的集合求满足下面条件的

1cos3y1.2x）（最小值：求下列函数的最大值及