柱、锥、台、球的表面积和体积的练习

1.多面体的表(侧)面积

因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和.

2.柱、锥、台和球的表面积和体积

名称

几何体 表面积 体积

柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh

锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝13Sh

台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝13(S上＋S下＋S上S下)h

球 S＝4πR2 V＝43πR3

3.常用结论

(1)与体积有关的几个结论

①一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差.

②底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等.

(2)几个与球有关的切、接常用结论

a.正方体的棱长为a，球的半径为R，

①若球为正方体的外接球，则2R＝3a；

②若球为正方体的内切球，则2R＝a；

③若球与正方体的各棱相切，则2R＝2a.

b.若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a2＋b2＋c2.

c.正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.

【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和.( √ )

(2)锥体的体积等于底面积与高之积.( × )

(3)球的体积之比等于半径比的平方.( × )

(4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差.( √ )

(5)长方体既有外接球又有内切球.( × )

(6)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差来计算.( √ )

1.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( )

A.4π B.3π C.2π D.π

答案 C

解析 底面圆半径为1，高为1，侧面积S＝2πrh＝2π×1×1＝2π.故选C.

2.(2014·重庆)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )

A.12 B.18

先相信你自己，然后别人才会相信你

1 立体几何的柱，锥，台，球的公式

1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式❶

圆柱 圆锥 圆台

侧面展开图

侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l

2.柱、锥、台、球的表面积和体积❷

名称

几何体 表面积 体积

柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh

锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝13Sh

台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝13(S上＋S下＋S上S下)h

球 S＝4πR2 V＝43πR3

3．直观图 𝑺原＝22𝑺直

题型一：直观图

1.如图，已知等腰三角形OAB△，OAAB是一个平面图形的直观图，斜边2OB，则这个平面图形的面积是（ ）

A．22 B．1 C．2 D．22 先相信你自己，然后别人才会相信你

2 2.一个梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且1AB，3OC，2OA，则原梯形的面积为( )

A．22 B．42 C．8 D．4

3．如图所示为水平放置的正方形𝐴𝐵𝐶𝑂，在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中点B的坐标为(2,2)，用斜二测画法画出它的直观图𝐴′𝐵′𝐶′𝑂′，则四边形𝐴′𝐵′𝐶′𝑂′的面积为___________.

4．如图所示，是三角形𝐴𝐵𝐶的直观图，则三角形𝐴𝐵𝐶的面积𝑆△𝐴𝐵𝐶=_______；（请用数字填写）

5．如图，正方形𝑂′𝐴′𝐵′𝐶′的边长为1，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则原图形的周长为（ ）

A．4 B．6 C．8 D．222

6.正三角形ABC的边长为2 cm，如图，△A’B’C’为其水平放置的直观图，则△A’B’C’的周长为（ ）

A.8 cm B.6 cm

C.（2 +√6）cm D.（2 + 2√3）cm

空间几何体的表面积和体积

一．课标要求：

了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。

二．命题走向

近些年来在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题。即使考查空间线面的位置关系问题，也常以几何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题，会等体积转化求解问题，会把立体问题转化为平面问题求解，会运用“割补法”等求解。

由于本讲公式多反映在考题上，预测2016年高考有以下特色：

（1）用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式；

（2）考题可能为：与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题；与多面体和旋转体中某些元素有关的计算问题；

三．要点精讲

1．多面体的面积和体积公式

名称 侧面积(S侧) 全面积(S全) 体 积(V)

棱

柱 棱柱 直截面周长×l

S侧+2S底 S底·h=S直截面·h

直棱柱 ch S底·h

棱

锥 棱锥 各侧面积之和

S侧+S底 31S底·h 正棱锥 21ch′

棱

台 棱台 各侧面面积之和

S侧+S上底+S下底 31h(S上底+S下底+下底下底SS) 正棱台 21 (c+c′)h′

表中S表示面积，c′、c分别表示上、下底面周长，h表斜高，h′表示斜高，l表示侧棱长。

2．旋转体的面积和体积公式

名称 圆柱 圆锥 圆台 球

S侧 2πrl πrl π(r1+r2)l

S全 2πr(l+r) πr(l+r) π(r1+r2)l+π(r21+r22) 4πR2

V πr2h(即πr2l) 31πr2h 31πh(r21+r1r2+r22) 34πR3

表中l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r1、r2分别表示圆台 上、下底面半径，R表示半径。

四．典例解析

题型1：柱体的体积和表面积 例1．一个长方体全面积是20cm2，所有棱长的和是24cm，求长方体的对角线长.

1．空间几何体的结构特征

(1)多面体

①棱柱的侧棱都平行且相等，上、下底面是全等的多边形．

②棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形．

③棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是相似多边形．

(2)旋转体

①圆柱可以由矩形绕其一边所在直线旋转得到．

②圆锥可以由直角三角形绕其直角边所在直线旋转得到．

③圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上、下底中点连线所在直线旋转得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到．

④球可以由半圆或圆绕直径所在直线旋转得到．

2．空间几何体的直观图

画空间几何体的直观图常用斜二测画法，其规则是：

(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直．

(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．

3．柱、锥、台和球的表面积和体积

名称

几何体 表面积 体积

柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh

锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝13Sh 台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝13(S上＋S下＋S上S下)h

球 S＝4πR2 V＝43πR3

4.常用结论

(1)与体积有关的几个结论

①一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．

②底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等．

(2)几个与球有关的切、接常用结论

a．正方体的棱长为a，球的半径为R，

①若球为正方体的外接球，则2R＝3a；

②若球为正方体的内切球，则2R＝a；

③若球与正方体的各棱相切，则2R＝2a.

b．若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a2＋b2＋c2.

c．正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.