下载文档原格式
精心整理《柱体、锥体、台体的表面积》教学设计一、教材的理解与处理空间几何体的表面积问题是生产、生活中的实际问题，研究这类问题有助于培养学生的数学应用意识；立体几何中的核心思想“立体问题平面化”的思想在本节也得到体现，把空间几何体展开成平面图形。
棱柱、棱锥可以看成棱台的两种特殊情况，我们还可以体会圆柱、圆锥、圆台与棱柱、棱锥、棱台侧面积公式之间的一致性，体现了数学的统一美。
二、教学目标确定说明学生在初中虽然已经接触过平面几何体的概念，但学生尚缺乏空间想象能力，还缺乏知识的迁移与类比能力，这些都需要教师在课堂教学过程中有意识地、创造性地培养学生逐步形成.数学教学的重要目标之一是提高学生的数学思维能力，通过不同形式的探究活动，让学生亲身经历知识的发生和发展过程，从中领悟解决问题的思想方法，不断提高分析和解决问题的能力，使数学学习变成一种愉快的探究活动，从中体验成功的喜悦，不断增强探究知识的欲望和热情，养成一种良好的思维品质和习惯。
根据本节课的教学内容和我所教学生的实际，本节课的教学目标确定为以下三个方面：1.知识与技能：使学生通过柱体、锥体、台体的表面积的探索，学会将空间问题转化为平面问题进行解决的数学思想方法.2.过程与方法：使学生在表面积公式的推导过程中充分感受数学的转化思想、类比思想，提高学生分析问题与解决问题的能力.3.情感态度与价值观：通过和谐对称规范的图形，给予学生以数学美的享受；同时发展学生求知、求实、勇于探索的情感与态度.三、教学重点、难点确定说明本节课如果只把几组公式告诉学生，并让他们进行一些训练就能达到要求。
这样做就失去渗透相关重要数学思想的机会，就失去让学生体会数学美的机会。
数学教学中应强调对基本概念和基本思想方法的理解和掌握，并能灵活应用所学知识解决实际问题，根据本节课的教学内容和学生认知结构特征，重点确定为：理解和掌握柱体、锥体、台体的表面积的构成形式，以便从度量的角度认识空间几何体.难点为：用联系、类比、运动变化的思想推导柱体、锥体、台体的表面积四、教学策略的选择说明丰富学生的学习方式，改进学生的学习方法是数学教学追求的。
1. 3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积【教学目标】1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法。
2.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的体积的求法。
3.能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。
【教学重难点】教学重点：运用公式解决问题教学难点：理解计算公式的由来.【教学过程】（一）情景导入讨论：正方体、长方体的侧面展开图？→正方体、长方体的表面积计算公式？讨论：圆柱、圆锥的侧面展开图？→圆柱的侧面积公式？圆锥的侧面积公式？那么如何计算柱体、锥体、台体的表面积,进而去研究他们的体积问题,这是我们这节主要学习的内容。
（二）展示目标这也是我们今天要学习的主要内容:1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法。
2.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的体积的求法。
3.能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。
（三）检查预习1．棱柱的侧面展开图是由，棱锥的侧面展开图是由，梭台的侧面展开图是由，圆柱的侧面展开图是，圆锥的侧面展开图是，圆台的侧面展开图是。
2．几何体的表面积是指，棱柱、棱锥、棱台的表面积问题就是求、，圆柱、圆锥、圆台的表面积问题就是求、、、。
3．几何体的体积是指，一个几何体的体积等于。
（四）合作探究面积探究:讨论：如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积？（展开成平面图形，各面面积和）讨论：如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积？（图→侧→表）体积探究:讨论：正方体、长方体、圆柱、圆锥的体积计算公式？五）交流展示略（六）精讲精练1. 教学表面积计算公式的推导：① 讨论：如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积？（展开成平面图形，各面面积和）② 练习：1.已知棱长为a ，各面均为等边三角形的正四面体S-ABC 的表面积.(教材P 24页例1)2. 一个三棱柱的底面是正三角形，边长为4，侧棱与底面垂直，侧棱长10,求其表面积. ③ 讨论：如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积？（图→侧→表） 圆柱：侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆周长，宽是圆柱的高（母l 为线）， S 圆柱侧=2rl π，S 圆柱表=2()r r l π+，其中为r 圆柱底面半径，母线长。
柱体、锥体、台体的表面积与体积教学目标：1、知识与技能：（1）通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法。
（2）了解柱、锥、台的表面积和体积计算公式；能运用柱锥台的表面积体积公式和体积进行计算和解决有关实际问题2、过程与方法：通过观察几何体并探求计算公式，培养观察能力及空间想象能力。
3、情感、态度与价值观：用数学的眼光去捕捉现实世界三维的美教学重点：柱、锥、台体的表面积和体积计算.教学难点：熟练利用柱、锥、台体的表面积和体积公式解题教学过程：一、自主学习二、知识探究知识探究一、柱体、锥体、台体的表面积1.多面体的表面积（1）创设情境：问题1：在初中已经学过了正方体和长方体的表面积。
你知道正方体和长方体的展开图有什么关系吗？用几何画板展示长方体展开的过程，观察展开图，可以得出几何体的表面积等于它的展开图的面积（2)探究新知问题2：棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的多面体,它们的展开图是什么?如何计算它们的表面积?学生活动：独立思考，分组讨论，推举代表解决问题，学生评价补充总结：棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积即各个面的面积和(3)典例分析分析：由于四面体S-ABC 的四个面是全等的等边三角形,所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍。
解：先求△SBC 的面积,过点S 作SD ⊥BC,交BC 于点D.因为BC=a,SD=22223.22a SB BD a a -=+= 所以 21133.2224SBC S BC SD a a a ∆=⋅=⨯= 因此,四面体的表面积22343.4S a a =⨯= SB CAD 例1：已知棱长为a ，各面均为等边三角形的四面体S-ABC ，求它的表面积.(教材P 24页例1) 2.圆柱、圆锥、圆台的表面积（1） 探究新知问题3：如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积？（图→侧→表）a.圆柱的侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆周长，宽是圆柱的高（母线），讨论总结公式设圆柱的底面半径为r,母线长为l ,则有：S 圆柱侧=2rl π，S 圆柱表=2()r r l π+，其中为r 圆柱底面半径，l 为母线长。
1. 3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积【教学目标】1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法。
2.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的体积的求法。
3.能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。
【教学重难点】教学重点：运用公式解决问题教学难点：理解计算公式的由来.【教学过程】（一）情景导入讨论：正方体、长方体的侧面展开图？→正方体、长方体的表面积计算公式？讨论：圆柱、圆锥的侧面展开图？→圆柱的侧面积公式？圆锥的侧面积公式？那么如何计算柱体、锥体、台体的表面积,进而去研究他们的体积问题,这是我们这节主要学习的内容。
（二）展示目标这也是我们今天要学习的主要内容:1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法。
2.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的体积的求法。
3.能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。
（三）检查预习1．棱柱的侧面展开图是由，棱锥的侧面展开图是由，梭台的侧面展开图是由，圆柱的侧面展开图是，圆锥的侧面展开图是，圆台的侧面展开图是。
2．几何体的表面积是指，棱柱、棱锥、棱台的表面积问题就是求、，圆柱、圆锥、圆台的表面积问题就是求、、、。
3．几何体的体积是指 ，一个几何体的体积等于。
（四）合作探究面积探究:讨论：如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积？（展开成平面图形，各面面积和） 讨论：如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积？（图→侧→表）体积探究:讨论：正方体、长方体、圆柱、圆锥的体积计算公式？五）交流展示略（六）精讲精练1. 教学表面积计算公式的推导：① 讨论：如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积？（展开成平面图形，各面面积和）② 练习：1.已知棱长为a ，各面均为等边三角形的正四面体S-ABC 的表面积.(教材P 24页例1)2. 一个三棱柱的底面是正三角形，边长为4，侧棱与底面垂直，侧棱长10,求其表面积.③ 讨论：如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积？（图→侧→表）圆柱：侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆周长，宽是圆柱的高（母线）， S 圆柱侧=2rl π，S 圆柱表=2()r r l π+，其中为r 圆柱底面半径，l 为母线长。
柱体台体锥体的面积与体积公式柱体、台体和锥体是几何学中的常见立体图形，它们具有不同的形状和特点。
在几何学中，我们经常需要计算柱体、台体和锥体的面积和体积，以便解决各种实际问题。
下面将分别介绍柱体、台体和锥体的面积和体积公式。
一、柱体的面积和体积公式柱体是一种由两个平行且相等的圆面和一个侧面组成的立体图形。
柱体的底面是一个圆，侧面是一个矩形，顶面也是一个圆。
柱体的面积包括底面积、侧面积和全面积，而体积则是底面积乘以柱体的高。
1. 柱体的底面积公式柱体的底面积公式很简单，即底面的面积公式，也就是圆的面积公式。
设柱体的底面半径为r，则柱体的底面积为πr²，其中π是一个常数，约等于3.14。
2. 柱体的侧面积公式柱体的侧面积是一个矩形的面积，可以通过计算矩形的周长乘以柱体的高得到。
设柱体的底面半径为r，柱体的高为h，则柱体的侧面积为2πrh。
柱体的全面积包括底面积和侧面积，可以通过将底面积和侧面积相加得到。
柱体的全面积公式为2πr² + 2πrh。
4. 柱体的体积公式柱体的体积是底面积乘以柱体的高，可以通过将底面积乘以柱体的高得到。
柱体的体积公式为πr²h。
二、台体的面积和体积公式台体是一种由两个平行且相等的椭圆面、一个矩形面和两个梯形面组成的立体图形。
台体的底面和顶面都是椭圆，侧面是一个矩形，而底面和顶面之间的面是两个梯形。
台体的面积包括底面积、顶面积、侧面积和全面积，而体积则是底面积乘以台体的高。
1. 台体的底面积公式台体的底面积是一个椭圆的面积，可以通过计算椭圆的面积公式得到。
设台体的底面长轴为a，短轴为b，则台体的底面积为πab。
2. 台体的顶面积公式台体的顶面积也是一个椭圆的面积，可以通过计算椭圆的面积公式得到。
设台体的顶面长轴为A，短轴为B，则台体的顶面积为πAB。
台体的侧面积是一个矩形和两个梯形的面积之和，可以通过计算矩形和梯形的面积公式得到。
设台体的底面长轴为a，顶面长轴为A，底面短轴为b，顶面短轴为B，台体的高为h，则台体的侧面积为2(a+b)h。
1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积教案一、教学目标1.知识与技能（1）通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法。
（2）能运用公式求解，柱体、锥体和台体的全积，并且熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系。
（3）培养学生空间想象能力和思维能力。
2.过程与方法（1）让学生经历几何体的侧面展开过程，感知几何体的形状。
（2）让学生通对照比较，理顺柱体、锥体、台体三间的面积和体积的关系。
3.情感与价值通过学习，使学生感受到几何体面积和体积的求解过程，对自己空间思维能力影响。
从而增强学习的积极性。
二、教学重点、难点重点：柱体、锥体、台体的表面积和体积计算。
难点：台体体积公式的推导。
三、教学过程1.创设情境，引出课题（1）教师提出问题：在过去的学习中，我们已经接触过一些几何体的面积和体积的求法及公式，哪些几何体可以求出表面积和体积？引导学生回忆，互相交流，教师归类。
（2）教师设疑：几何体的表面积等于它的展开图的面积，那么，柱体，锥体，台体的侧面展开图是怎样的？你能否计算？引入本节内容。
2.自主学习，合作探究（1）利用多媒体设备向学生投放正棱柱、正三棱锥和正三棱台的侧面展开图。
（2）组织学生分组讨论：这三个图形的表面由哪些平面图形构成？表面积如何求？（3）教师对学生讨论归纳的结果进行点评。
3.质疑答辩、排难解惑、发展思维（1）教师引导学生探究圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的结构，并归纳出其表面积的计算公式:rl r S ππ222+=圆柱表面积（r 为底面半径 ， l 为母线长）rl r S ππ+=2圆锥表面积（r 为底面半径 ， l 为母线长）)''22rl l r r r S +++=（圆台表面积π（r 1为上底半径 ，r 为下底半径，l 为母线长） （2）组织学生思考圆台的表面积公式与圆柱及圆锥表面积公式之间的变化关系。
（3）教师引导学生探究：如何把一个三棱柱分割成三个等体积的棱锥？由此加深学生对等底、等高的锥体与柱体体积之间的关系的了解。
柱、锥、台的表面积与体积【学习目标】1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法。
2.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的体积的求法。
【学习重点】学习重点：柱体、锥体、台体的表面积和体积计算。
学习难点：台体体积公式的推导。
【自主学习】 正方体、长方体的表面积可以理解成各个面的面积之和，圆柱、圆锥的表面积可以理解成底面面积与侧面展开图的面积之和。
那么如何计算柱体、锥体、台体的表面积,进而去研究他们的体积问题呢？阅读课本23-27页回答下列问题：棱体、棱锥、棱台的表面积是如何求的呢？圆柱、圆锥、圆台的表面积公式是什么？你是如何得到的呢？柱体、锥体、台体的体积公式是什么？你是如何得到的呢？【典型例题】已知棱长为a ，各面均为等边三角形的正四面体S-ABC 的表面积.如图是一种机器零件，零件下面是六棱柱（底面是正六边形，侧面是全等的矩形）形，上面是圆柱（尺寸如图，单位：mm ）形. 电镀这种零件需要用锌，已知每平方米用锌0.11kg ，问电镀10 000个零件需锌多少千克（结果精确到0.01kg ）【基础题组】1．用长为4、宽为2的矩形做侧面围成一个高为2的圆柱，此圆柱的轴截面面积为( )A ．8 B.8π C.4π D.2π2．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比为 ( )A.1＋2π2πB.1＋4π4πC.1＋2ππD.1＋4π2π3．若一个圆台的正视图如图所示，则其侧面积等于 ( )A ．6B ．6πC ．35πD ．65π4．三视图如图所示的几何体的全面积是 ( )A ．7＋ 2 B.112＋ 2 C ．7＋ 3 D.325.如果一个空间几何体的正视图与侧视图均为全等的等边三角形， 俯视图为一个半径为1的圆及其圆心，那么这个几何体的体积为（ ）A ．33πB ．332πC ．π3D ．3π6.三棱锥ABC V -的中截面是111C B A ∆，则三棱锥111C B A V -与三棱锥BC A A 1-的体积之比是（ ）A ．1:2B ．1:4C ．1:6D ．1:87．如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是________．8．一简单组合体的三视图及尺寸如下图所示(单位：cm )，则该组合体的表面积为________cm2.9．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________．10．长方体ABCD —A1B1C1D1中，宽、长、高分别为3、4、5，现有一个小虫从A 出发沿长方体表面爬行到C1来获取食物，求其路程的最小值．【拓展题组】1．已知由半圆的四分之三截成的扇形的面积为B ，由这个扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为A ，则A ∶B 等于( )A ．11∶8B ．3∶8C ．8∶3D ．13∶82．一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为( )A ．372B ．360C ．292D ．2803．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．4．有一根长为3π cm ，底面半径为1 cm 的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，求铁丝的最短长度．【探究题组】1．有一塔形几何体由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为2，求该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)．2.右图是一个正方体，H 、G 、F 分别是棱AB 、AD 、1AA 的中点。
柱体、锥体、台体的表面积与体积教学目标 1.了解柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式（不要求记忆），提高学生的空间想象能力和几何直观能力，培养学生的应用意识，增加学生学习数学的兴趣.2.掌握简单几何体的体积与表面积的求法，提高学生的运算能力，培养学生转化、化归以及类比的能力.重点难点教学重点：了解柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式及其应用.教学难点：表面积和体积计算公式的应用.教学过程导入新课思路1.在过去的学习中，我们已经接触过一些几何体的面积和体积的求法及公式，哪些几何体可以求出表面积和体积？（引导学生回忆，互相交流，教师归类）几何体的表面积等于它的展开图的面积，那么，柱体、锥体、台体的侧面展开图是怎样的？你能否计算？思路2.被誉为世界七大奇迹之首的胡夫大金字塔，在1889年巴黎埃菲尔铁塔落成前的四千多年的漫长岁月中，胡夫大金字塔一直是世界上最高的建筑物.在四千多年前生产工具很落后的中古时代，埃及人是怎样采集、搬运数量如此之多，每块又如此之重的巨石垒成如此宏伟的大金字塔，真是一个十分难解的谜.胡夫大金字塔是一个正四棱锥外形的建筑，塔底边长230米，塔高146.5米，你能计算建此金字塔用了多少石块吗？提出问题①在初中，我们已经学习了正方体和长方体的表面积，以及它们的展开图（图1），你知道上述几何体的展开图与其表面积的关系吗？正方体及其展开图(1) 长方体及其展开图(2)图1②棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？③如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征，求它们的表面积？④联系圆柱、圆锥的侧面展开图，你能想象圆台侧面展开图的形状，并且画出它吗？如果圆台的上、下底面半径分别是r′,r，母线长为l，你能计算出它的表面积吗？⑤圆柱、圆锥和圆台的表面积之间有什么关系？活动：①学生讨论和回顾长方体和正方体的表面积公式.②学生思考几何体的表面积的含义，教师提示就是求各个面的面积的和.③让学生思考圆柱和圆锥的侧面展开图的形状.④学生思考圆台的侧面展开图的形状.⑤提示学生用动态的观点看待这个问题.讨论结果：①正方体、长方体是由多个平面图形围成的几何体，它们的表面积就是各个面的面积的和.因此，我们可以把它们展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积.②棱柱的侧面展开图是平行四边形，其表面积等于围成棱柱的各个面的面积的和；棱锥的侧面展开图是由多个三角形拼接成的，其表面积等于围成棱锥的各个面的面积的和；棱台的侧面展开图是由多个梯形拼接成的，其表面积等于围成棱台的各个面的面积的和.③它们的表面积等于侧面积与底面积的和，利用它们的侧面展开图来求得它们的侧面积，由于底面是圆面，其底面积直接应用圆的面积公式即得.其中，圆柱的侧面展开图是矩形，圆锥的侧面展开图是扇形.我们知道，圆柱的侧面展开图是一个矩形（图2）.如果圆柱的底面半径为r,母线长为l，那么圆柱的底面面积为πr2,侧面面积为2πrl.因此，圆柱的表面积S=2πr2+2πrl=2πr(r+l).图2 图3圆锥的侧面展开图是一个扇形（图3）.如果圆锥的底面半径为r,母线长为l ，那么它的表面积S=πr 2+πrl=πr(r+l).点评：将空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题基本的、常用的方法.④圆台的侧面展开图是一个扇环（图4），它的表面积等于上、下两个底面的面积和加上侧面的面积，即S=π(r 2+r′2+rl +r′l).图4⑤圆柱、圆锥、圆台侧面积的关系：圆柱和圆锥都可以看作是圆台退化而成的几何体.圆柱可以看作是上下底面全等的圆台，圆锥可看作是上底面退化成一点的圆台，观察它们的侧面积，不难发现：S 圆柱表=2πr(r+l)−−−←==r r r 21S 圆台表=π(r 1l+r 2l+r 12+r 22)−−−→−==rr r 21,0S 圆锥表=πr(r+l). 从上面可以很清楚地看出圆柱和圆锥的侧面积公式都可以看作由圆台侧面积公式演变而来.提出问题①回顾长方体、正方体和圆柱的体积公式，你能将它们统一成一种形式吗？并依次类比出柱体的体积公式？ ②比较柱体、锥体、台体的体积公式：V 柱体=Sh(S 为底面积，h 为柱体的高)； V 锥体=Sh 31(S 为底面积，h 为锥体的高)；V 台体=)''(31S SS S ++h(S′,S 分别为上、下底面积，h 为台体的高).你能发现三者之间的关系吗？柱体、锥体是否可以看作“特殊”的台体？其体积公式是否可以看作台体体积公式的“特殊”形式？活动：①让学生思考和讨论交流长方体、正方体和圆柱的体积公式.②让学生类比圆柱、圆锥和圆台的表面积的关系？讨论结果：①棱长为a 的正方体的体积V=a 3=a 2a=Sh ；长方体的长、宽和高分别为a,b,c ，其体积为V=abc=(ab)c=Sh ；底面半径为r 高为h 的圆柱的体积是V=πr 2h=Sh ，可以类比，一般的柱体的体积也是V=Sh ，其中S 是底面面积，h 为柱体的高.圆锥的体积公式是V=Sh 31(S 为底面面积，h 为高)，它是同底等高的圆柱的体积的31. 棱锥的体积也是同底等高的棱柱体积的31,即棱锥的体积V=Sh 31 (S 为底面面积，h 为高). 由此可见，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是底面面积乘高的31.由于圆台（棱台）是由圆锥（棱锥）截成的，因此可以利用两个锥体的体积差，得到圆台（棱台）的体积公式V=31(S′+S S '+S)h, 其中S′，S 分别为上、下底面面积，h 为圆台（棱台）高. 注意：不要求推导公式，也不要求记忆.②柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体.因此柱体、锥体可以看作“特殊”的台体.当S′=0时，台体的体积公式变为锥体的体积公式;当S′=S 时，台体的体积公式变为柱体的体积公式，因此，柱体、锥体的体积公式可以看作台体体积公式的“特殊”形式.柱体和锥体可以看作由台体变化得到，柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体，因此很容易得出它们之间的体积关系,如图5：图5思路1例1 已知棱长为a ，各面均为等边三角形的四面体S —ABC （图6），求它的表面积.图6活动：回顾几何体的表面积含义和求法.分析：由于四面体S —ABC 的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍. 解：先求△SBC 的面积，过点S 作SD⊥BC，交BC 于点D.因为BC=a,SD=a a a BD SB 23)2(2222=-=-, 所以S △SBC =21BC·SD=2432321a a a =⨯. 因此，四面体S —ABC 的表面积S=4×22343a a =. 点评：本题主要考查多面体的表面积的求法.例2 如图7，一个圆台形花盆盆口直径为20 cm ，盆底直径为15 cm ，底部渗水圆孔直径为1.5 cm ，盆壁长为15 cm.为了美化花盆的外观，需要涂油漆.已知每平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆需要多少毫升油漆？（π取3.14，结果精确到1毫升，可用计算器）图7活动：学生思考和讨论如何转化为数学问题.只要求出每个花盆外壁的表面积，就可以求出油漆的用量.而花盆外壁的表面积等于花盆的侧面积加上底面积，再减去底面圆孔的面积.解：如图7，由圆台的表面积公式得一个花盆外壁的表面积S=π［1522015215)215(2⨯+⨯+］-π(25.1)2≈1 000(cm 2)=0.1(m 2).涂100个这样的花盆需油漆：0.1×100×100=1 000（毫升）.答：涂100个这样的花盆需要1 000毫升油漆.点评：本题主要考查几何体的表面积公式及其应用.例3 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是7.8 g/cm 3）六角螺帽（图8）共重5.8 kg,已知底面是正六边形，边长为12 mm,内孔直径为10 mm,高为10 mm ，问这堆螺帽大约有多少个?（π取3.14）图8活动：让学生讨论和交流如何转化为数学问题.六角帽表示的几何体是一个组合体，在一个六棱柱中间挖去一个圆柱，因此它的体积等于六棱柱的体积减去圆柱的体积.解：六角螺帽的体积是六棱柱体积与圆柱体积的差，即V=43×122×6×10-3.14×(210)2×10≈2 956(mm 3)=2.956(cm 3).所以螺帽的个数为5.8×1 000÷(7.8×2.956)≈252(个).答：这堆螺帽大约有252个.点评：本题主要考查几何体的体积公式及其应用.思路2例1 （2007山东烟台高三期末统考，理8）如图11所示，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为（ ）图11A.1B.21C.31D.61 活动：让学生将三视图还原为实物图，讨论和交流该几何体的结构特征.分析：根据三视图，可知该几何体是三棱锥，图12所示为该三棱锥的直观图，并且侧棱PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC.则该三棱锥的高是PA ，底面三角形是直角三角形，所以这个几何体的体积为V=611213131=⨯⨯=∆PA S ABC .图12答案：D点评：本题主要考查几何体的三视图和体积.给出几何体的三视图，求该几何体的体积或面积时，首先根据三视图确定该几何体的结构特征，再利用公式求得.此类题目成为新课标高考的热点，应引起重视.例2 图17所示的几何体是一棱长为4 cm的正方体，若在它的各个面的中心位置上，各打一个直径为2 cm、深为1 cm的圆柱形的孔，求打孔后几何体的表面积是多少?（π取3.14）图17活动：因为正方体的棱长为4 cm，而孔深只有1 cm，所以正方体没有被打透.这样一来打孔后所得几何体的表面积，等于原来正方体的表面积，再加上六个完全一样的圆柱的侧面积，这六个圆柱的高为 1 cm，底面圆的半径为1 cm.解：正方体的表面积为16×6=96（cm2），一个圆柱的侧面积为2π×1×1=6.28（cm2），则打孔后几何体的表面积为96＋6.28×6=133.68（cm2）.答：几何体的表面积为133.68 cm2.点评：本题主要考查正方体、圆柱的表面积.求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本的柱、锥、台，再通过这些基本柱、锥、台的表面积，进行求和或作差，从而获得几何体的表面积.本题中将几何体的表面积表达为正方体的表面积与六个圆柱侧面积的和是非常有创意的想法，如果忽略正方体没有被打透这一点，思考就会变得复杂，当然结果也会是错误的.课堂小结本节课学习了：1.柱体、锥体、台体的表面积和体积公式.2.应用体积公式解决有关问题.（注：文件素材和资料部分来自网络，供参考。
