浅谈数学思想和数学方法

第24卷2010年9月甘肃联合大学学报(自然科学版)JournalofGansuLianheUniversity(NaturalSciences)Vol.24Sept.2010

收稿日期:2010󰀁07󰀁23.作者简介:姚军林(1974󰀁),男,甘肃天水人,石马坪中学一级教师,主要从事中学数学的教学与研究.󰀁󰀁文章编号:1672󰀁691X(2010)S5󰀁0033󰀁02新课标下浅谈初中数学思想和数学方法的教学姚军林(石马坪中学,甘肃天水741000)摘󰀁要:新的󰀂数学课程标准 突出强调!:在教学中,应当引导学生在学好概念的基础上掌握数学的规律(包括法则、性质、公式、公理、定理、数学思想和方法).∀开展数学思想方法教育应作为新课改中所必须把握的教学要求,它是数学教育教学本身的需要,是提高学生解题能力的需要.因此,在初中阶段,系统地引导学生认识数学的基本思想和方法,是中学数学教育的一项重要任务,它不但有利于学生深刻地理解数学的本质与精髓,而且有利于学生创新能力和思维习惯的形成.关键词:新课标;数学;教学中图分类号:G633.6󰀁󰀁󰀁文献标识码:B󰀁󰀁新的数学课程标准对数学教学提出了新的要求,本文结合自己的工作实践谈以下几点自己的看法.1󰀁运用问题教学法培养学生学习的独立性,自主性󰀁󰀁著名文学家郑板桥曾说过,!学问二字,需要拆开看,学是学,问是学,有学无问,虽读书万卷,只是一条钝汉耳∀.华东师范大学的叶澜教授在!面向21世纪新基础教育∀探索性研究结题总报告中就深刻地指出,!学校注意训练的是学生的解题能力,提问能力,因学生学的是代表性科学,有真理的教科书而常常被忽视,其消极后果是学生的创造好奇、探究的内在动力减退∀.建构主义更是强调,发现问题和系统阐述问题可能要比得到解答更为重要.在数学教学中,学生的问题意识就是学生在学习过程中经常会遇到一些难以解决或疑惑不解的问题,并产生焦急、怀疑、困惑、探索的心理.这些心理驱使学生去积极思考,不断提出问题,解决问题.学生的问题意识既体现了学生学习方式的变革,也是学生思维独特性和创新性的表现.近几年来,很多教师都在探讨问题教学,但在实践中的效果都不甚理想.特别是那些流于形式的!启发式∀和不分难易程度的!问答式∀,在一定程度上制约着学生数学思维能力的发展,也淡化了数学教学中的创新因素.采用问题讨论教学,必须解决三个问题:如何设计问题;如何引导学生解决问题;如何评价学生的思维成果.在数学课堂教学中,问题是无时不有、无时不在的,关键在于我们发现问题、设计解决问题的方法.在数学教学中对学生问题意识的培养,有助于激发学生的兴趣,还有助于培养学生的创新精神和实践能力.因此,问题意识的培养在数学教学中不仅十分必要,也是大有可为的.课堂教学最本质的参与是学生思维的参与.只有学生思维积极活动起来,学生对知识的理解、体验、感悟才会拓展到有新的生成,生成便是创新,生成便是应用,生成便是开发智力.这样才能展现!数学是思维的体操∀,才能展现数学课堂的魅力.问题教学法是非常重视!过程∀的教学方法,它展现了学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的整个探索过程.尤其是在信息技术的辅助下,问题教学法更有利于培养学生学习的自主性、独立性、独特性以及克服困难的意志和决心等多项优良品质,让学生从!我要学∀出发,建立!我能学∀的自信,使学生的学习赋予了新的生命价值.2󰀁在教学中要善于运用数形结合法,有利于培养学生学习的热情󰀁󰀁数形结合是数学中常用的一种方法.其实质是通过数形之间的相互转化,把抽象的数量关系,转化为适当的几何图形,从图形的结构直观地发现数量之间存在的内在联系,解决数量关系的数学问题,或者把关于几何图形的问题,用数量或方程等表示,从它们的结构研究几何图形的性质与特征.数形结合是激发学生求知欲,引起学生兴趣的有效手段.英国哲学家兼数理逻辑学家罗素说:!数学,如果正确地看它,不但拥有真理,而且拥有至高无上的美.∀数学有外在的形式美和内在的思维美,能够让学生从中体会到美的感受,得到数学美的熏陶,而要揭示这些美,数形结合则显示出强大的优势,特别是随着信息技术的发展,我们学习和使用了󰀂几何画板 ,才真正实现了有形有色、有声有变化过程的图形的数形结合的教学美梦,找到了实现数形结合的桥梁-󰀂几何画板 .它能够简单、快捷地画出各种几何图形,画板中的测量功能、能够迅速地测量出图形的长度、角度、面积等,并能进行各种计算.它为学生提供恰当的形象材料,可以将抽象的数量关系具体化,把无形的解题思路形象化,不仅有利于学生顺利的、高效率的学好数学知识,更有利于学生学习兴趣的培养、智力的开发、能力的增强,使教学收到事半功倍之效.利用图形的运动和显示出来的数据及计算,能充分有效地把图形与数值结合起来,体现了󰀂几何画板 在数形结合上的优势,因此数形结合,创设与知识组信息相关的各种情形,可激活学生的内驱力,产生学习热情.在数学教学活动中,通过数与形的结合,能够有的放矢地帮助学生多角度、多层次地思考问题,可以养成多向性思维的好习惯.数形并茂,以形助数,以数辅形,使抽象的数学问题融化消化在图形中.同时数形结合运用了左、右半脑的功能,在培养形象思维能力时,也促进了逻辑思维能力的发展.在数学教学中教师要有意识的沟通数形之间的联系,帮助学生逐步树立数形结合的观点,并使这一观点扎根到学生的认知结构中去,成为运用自如的思想观念和思维工具.3󰀁在初中数学教学中运用逆向思维有利于培养学生的创新能力󰀁󰀁逆向思维是反向思维,是创造思维的一个重要组成部分.在教学中培养学生的创新思维和创新能力是当今数学教育研究的热点,而逆向思维是创新思维的一种重要形式.初中数学教材书中处处充满逆向思维.因此,在数学教学中,应不时渗透!培养学生的逆向思维∀的意识,让学生学习数学更加轻松.3.1󰀁反证法的教学过程对于数学证明,学生习惯从正面出发,从已知条件到结论.但是,很多题目,从正面很难攻克时,就需要从其反面着手了.反证法一直是学生掌握的难点,按照常规教学,只会让学生对其更为畏惧,作者另辟蹊径,收到了良好的效果.用游戏引入,运用名言加深学生对反证法的理解.3.2证明分析法的教学对于一些数学命题,若从条件出发向结论推理,顺向推求比较繁难,思路不太畅通时,可以打破思维定势,考虑从问题的结论出发,逆向推理,分析解决,就要用到分析法.对比综合法,师生共同学习分析法的概念:分析法是一种执果索因的证明方法,它是从要求证明的结论,逐步寻求推出该结论的充分条件,直至所需的充分条件就是题设或其他真命题为止的一种思考方法.例󰀁已知函数:f(x)=2ax3+3bx2+2abx(a>0,b>0),且f#(x)∃14,ab=1,求f(x)的解析式.分析󰀁根据条件,引导学生想起均值定理及其逆用:a>0,b>0,有a+b%2ab,当且仅当a=b时等号成立.由此就有:若a+b=2,ab=1,a=b=1.解󰀁由f#(x)∃14,易得a+b∃2.所以2%a+b%2ab=2,所以只能取等号,即a+b=2.又a=b=1,所以f(x)=2x3+3x2+2x.这里,用综合法就不可能得到,但是利用了均值定理的逆向运用,就可以迎刃而解了.综上所述,逆向思维在解决一些实际问题与数学问题时,确是可以起到一种令人意想不到的效果,它可以改变人们在探索和认识事物的常规方法和思维的习惯,因而比较容易引发超常的效应,但是掌握它决非一日之功,这需要在平时的教学中逐步渗透和培养.34󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁甘肃联合大学学报(自然科学版)󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁第24卷

知识是人们在改造世界的实践中所获得的认识和经验的总和，它是人类文化的核心内容。在

数学学科中，概念、法则、性质、公式、公理、定理等显然属于知识的范围。这些知识要素

也都有其本身的内容。问题是，这丰富多彩的内容反映了哪些共同的、带有本质性的东西?

实践和研究都已说明：这就是数学思想和数学方法。它们是知识中奠基性的成分，是人们为

获得概念、法则、性质、公式、公理、定理等所必不可少的(请注意这里的“法则”中还含有“法”

字)。它们是人类文化的重要组成部分之一棗数学文化的核心内容即知识中的核心，也就是

数学文化的“重中之重”。因此，把思想、方法归属于知识的范围，比起把知识、技能和方法

三者并列起来更为科学。 能力是指主体能胜任某项任务的主观条件。在数学学习

中，学生的数学能力与他们的知识基础和心理特征有关。技能是指依据一定的规则和程序去

完成专门任务(解决特定的问题)的能力。显然，技能和能力都与知识密不可分；但学生在任

务(问题)面前如何对知识和运用这些知识的途径进行选择，使得完成任务(解决问题)达到多

快好省，则是一项超越知识本身的心理活动。因此，把知识、技能和能力三者并列起来是合

理的；但也应看清楚，这三者的顺序是由低到高，在教育、教学的意义下是后者更重于前者。

 一、历史的回顾 我国的中学数学教学大纲，对于数学思想和数学方法的重要

性的认识也有一个从低到高的过程。 由中华人民共和国教育部制订、1978年2月

第1版的《全日制十年制学校中学数学教学大纲(试行草案)》，在第2页“教学内容的确定”

的第(三)条中首次指出：“把集合、对应等思想适当渗透到教材中去，这样，有利于加深理

解有关教材，同时也为进一步学习作准备。”这一大纲在1980年5月第2版时维持了上述规

定。 由中华人民共和国国家教育委员会制订、1986年12月第1版的《全日制中

学数学教学大纲》，在第2页“教学内容的确定”的第(三)条中，把上述大纲的有关文字改成

一句话：“适当渗透集合、对应等数学思想”。1990年修订此大纲时，维持了这一规定。

未知驱动探索，专注成就专业

1

更高更妙的高中数学思想与方法

导言

高中数学作为学生学习的一门重要学科，在培养学生数学思维、逻辑推理能力、分析解决问题的能力等方面具有重要作用。学习数学并不仅仅关乎于应试，更关乎于培养学生的综合素质和创新精神。在传统教学模式的基础上，我们可以引入更高更妙的数学思想和方法，使数学学习更加生动有趣、高效有用。本文将结合具体案例，探讨一些更高更妙的高中数学思想和方法。

一、启发式问题解决

启发式问题解决是指通过一定的启发式方法和技巧，对具体问题进行分析和解决。高中数学中的一些问题可以通过启发式问题解决的方法得到更妙的解决办法。

例：已知a、b、c是三个互质的正整数，求满足$\\frac{1}{a}+\\frac{1}{b}=\\frac{1}{c}$的所有正整数解。

传统的解法是穷举法，尝试各种可能的a、b、c的取值，然后验证等式是否成立。但是这种方法相对低效。更高更妙的解法是运用启发式问题解决的方法。我们假设a=m+n，b=m-n，其中m和n是任意正整数，代入原等式进行计算，并整理得到$\\frac{1}{m}+\\frac{1}{n}=\\frac{1}{c}$。我们可以得到这样的结论：如果$\\frac{1}{m}+\\frac{1}{n}$是一个整数，那么$\\frac{1}{m}+\\frac{1}{n}$的倒数就是c的可能取值。通过这种思路，我们可以更高效地解决这个问题。 未知驱动探索，专注成就专业

2

二、分析解决复杂问题

高中数学中，有些复杂的问题可以通过分析解决的方法得到更妙的解决办法。分析解决问题的方法是通过对问题进行逐步分解、拆解，然后分别解决每个小问题，最后结合各个小问题的解，得到整个问题的解决办法。

例：某公司有100辆汽车，每辆车只能载5个人。某天，公司要搬运500个人，至少需要多少辆车？

常规的思路是直接除法计算，得到答案是100辆车。但是通过进一步分析，我们可以得到更妙的解决办法。首先，我们可以得到等式：100辆车 × 5个人/辆 =

高中数学思想和数学方法

数学思想方法是科学性非常强的思考方式，它对高中数学教学起到了不可替代的教育意义和推动作用，下面是小编为大家整理的关于高中数学思想和数学方法，希望对您有所帮助。欢迎大家阅读参考学习!

1高中数学思想和数学方法

高中数学思想与高中数学教学的关系

高中数学思想是高中数学教学的灵魂，是获取和吸收知识最有效的方法，具有极高的实用性和适用性，高中生在充分了解和掌握数学思想方法就能够提高处理数学问题的能力了，进而在面对数学考试的时候能够从容不迫，同时也有助于高中生综合素质的完善和提高。

因此，培养学生数学思想方法对学生数学学习具有非常重要的意义，但是将数学思想方法融入到整个高中阶段的教学中是非常不容易的，不同的数学概念不一定会蕴含着一样的数学思想方法，举例来说，牛顿从物理角度对微积分定义进行了解释，而莱布尼茨从几何角度对微积分的定义进行了另一种解释，所以为了更好的掌握微积分的内容，就一定要明确它的定义极限，而这里所蕴含的数学思想就是对数学对象进行分割定义等一系列处理。只有具备数学思想，并以此为基础，才能通过这种数学学习方法高效的解决各种类型的数学难题和数学概念和理论，进而更好的完成数学教学任务，帮助高中生尽快的提高数学成绩。

高中数学教学中强化数学思想方法渗透的实践途径

虽然数学思想方法在高中数学教学中会起到很重要的作用，但假如我们将这种思想直接的灌输和传授高中生，他们可能并不能很好的接受这种思想，脱离了实际的数学活动，数学思想方法的适用性就会大打折扣，在授课时刻意的对学生强制性的进行数学思想方法渗透，就会让学生逐渐沉溺在形式主义的环境里

所以数学思想方法的渗透一定要与具体的教学活动相结合，并通过学习和反思不断加强数学思想方法的掌握程度，进而习惯用数学思想方法解题。

数学思想方法的渗透应当与具体的数学知识和数学活动结合在一起。

高中数学教师要首先学习和掌握数学思想方法，在实践教学过程中要率先对数学思想方法进行实际应用，这也会帮助学生认识到数学思想的重要性;