直线与平面的垂直的判定性质单元测试题及答案

PACB《直线与平面的垂直的判定、性质》单元测试卷

一、 选择题

1.如果直线l和平面内的无数条直线都垂直,那么( )

A.l B.l与相交 C.l D.l与的关系不确定

2.如图，PA⊥平面ABC，△ABC中，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数是（ ）。

A.4 B.3 C.2 D.1

3.两条异面直线在同一平面内的射影是( ).

A.两条平行直线 B.两条相交直线

C.一个点和一条直线 D.以上都有可能

4.已知Rt△ABC中，∠C=90°,点P在平面ABC外，且PA=PB=PC,

PO⊥平面ABC于点O，则O是（ ）

A.AC边的中点 B.BC边的中点

C.AB边的中点 D.以上都有可能

5.a,b表示两条直线，表示平面，给出以下命题，其中正确的命题是（ ）

①a⊥,b∥a⊥b ②a⊥, a⊥b b∥

③a∥, a⊥b b⊥ ④a⊥,b∥ab⊥

A.①② B.②③ C.③④ D.①④

6.已知P是平面四边形ABCD所在平面外一点，且P到这个四边形各边的距离相等，那么这个四边形一定是（ ）。

A.圆内接四边形 B.矩形 C.圆外切四边形 D.平行四边形

7.正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为A1C1的中点，则直线CE垂直于（ ）。

A.AC B.BD C.A1D1 D.AA1

8.下列命题中真命题是（ ）。

A.和平面的斜线垂直的直线也和这条斜线的射影垂直

B.和斜线的射影垂直的直线也和斜线垂直

C.如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行

D.和斜线的射影不垂直的直线也和斜线不垂直

9.从平面外一点P作与相交的直线，使得P与交点的距离为1，则满足条件的直线条数一定不可能是（ ）.

A.0 B.1 C.2 D.无数个

10.已知PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，并且PA=6,AB=3,AD=4，则P到BD的距离是（ ）.

A.5296 B.296 C.53 D.132

11. Rt△ABC的斜边AB在平面内，直角顶点C在平面外，C在上的射影为D（不在AB上），则△ABD是（ ）。

A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.锐角或钝角三角形

12.如图1，在正方形SG1G2G3中，E,F分别是边G1G2,G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE,SF及EF把这个正方形折成一个几何体如图2，使G1,G2,G3三点重合于点G，这样，下面结论成立的是（ ）。

A.SG⊥平面EFG B. SD⊥平面EFG

C.FG⊥平面SEF D. DG⊥平面SEF SG1G2G3EFDSEDFG图1图2ABCDA1B1C1D1EF①②③④BACPO第18题图ABCDMNEA′第19题图DABCEF第20题图

二、 填空题

13.室内有一直尺,无论怎样放置,地面上总有这样的直线与该直尺的边所在的直线__________.

14.在空间四边形ABCD中，如果AB⊥CD，BC⊥DA，那么对角线AC与BD的位置关系是__________。

15.在长为6的线段AB的垂直平分面内有两点C,D,并且AC=5,AD=8,则C,D两点间的最大距离为__________;最小距离为______________.

16.如图，E，F分别为正方体的面ADD1A1，面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是__________（要求:把可能的图序号都填上）。

三、 解答题

17. 已知P是△ABC所在平面外一点，PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，H是△ABC的垂心，

求证：PH⊥平面ABC。

18.如图，∠BAC=90°，点P在平面ABC外，∠PAB=60°，∠PAC=60°，PO⊥平面ABC于O，

并且PO=a,求线段PA的长。

19.如图，AD是△ABC的边CB上的高，E为AD上的点，且EDAE21，过E作直线MN平PABCDMN行于BC交AB于点M，交AC于点N，将△AMN沿MN折过去，此时A点到了A′的位置，成了一个立体图形，若∠A′ED=60°，求证:EA′⊥平面A′BC。

20.如图，在空间四边形ABCD中，DA⊥平面ABC，∠ABC=90°，AE⊥CD，AF⊥DB，

求证：EF⊥DC。

21.已知等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，以AB边上的高CD为折痕，把Rt△ABC对折，对折后∠ADB=90°，求对折后D与D在平面ABC上的射影之间的距离。

22.如图,已知PA⊥矩形ABCD所在平面,M,N分别是AB,PC的中点.

(1)求证:MN⊥CD;

(2)若∠PDA=45°,求证:MN⊥平面PCD.

参考答案：

1. 当l与内的无数条平行直线垂直时，l和的关系不能确定，故选D。

2. △PAC, △PAB, △PCB, △ACB都是直角三角形，故选A。

3. 选D。

4. 由PA=PB=PC得OA=OB=OC，∴O是Rt△ABC的外心∴O是AB边的中点。故选C。

5. 对于②，b可能在内；对于③，b可能在内，也可能b∥。故选D。

6. 由题意可知P在平面ABCD内的射影到四边形的各边距离相等，故选C。

7. 连结B1D1，由正方体的性质知B1D1和BD平行。在正方形A1B1C1D1中，B1D1⊥A1C1,又∵CC1⊥平面A1C1，∴CE在平面A1C1上的射影为A1C1，∴B1D1⊥CE且B1D1∥BD∴BD⊥CE,故选B。

8. 利用三垂线定理及逆定理要注意条件：直线在平面内。故选C。

9. 设P到平面的距离为d，若d>1，则这样的直线不存在；若d=1，则有1条；若0

10. P到BD的距离是5296)512(622,故选A。

11. ∵AD

12. 在图1中,SG1⊥G1E,SG3⊥G3F∴在图2中SG⊥GE,SG⊥GF∴SG⊥平面EFG,故选A.

13. 由三垂线定理易得填垂直。

14. 过A作AH⊥平面BCD∵CD⊥AB，BC⊥AD∴CD⊥BH，BC⊥DH，故H为△BCD的垂心，连结CH，则BD⊥CH，故BD⊥AC。

15. C,D两点间的最大距离为55438352222,

最小距离为45535382222

16. 四边形BFD1E在平面ABCD与平面A1B1C1D1，面ABB1A1与面DCC1D1的射影都是②；四边形BFD1E在面ADD1A1与面BCC1B1的射影是③，故填②③。

17. ∵PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC=C∴PA⊥平面PBC∴PA⊥BC又∵H是△ABC的垂心∴AH⊥BC∴BC⊥平面PAH∴BC⊥PH，同理可证得AB⊥PH∴PH⊥平面ABC。

18. 如图，过O作OM⊥AB于点M，ON⊥AC于点N， BACPOMNABDCMH连结AO,PM,PN

∵PO⊥平面ABC∴AB⊥PM,AC⊥PN

∵∠PAB=∠PAC=60°,PA=PA∴Rt△PAM≌Rt△PAN∴PM=PN

∴Rt△POM≌Rt△PON∴OM=ON∴∠MAO=∠MBO

设PA=x,在Rt△PAM中，∠PAM=60°∴AM=x21

在Rt△AMO中，∠MAO=45°∴AO=x22

在Rt△PAO中，PA2=AO2+OP2∴222)22(axx∴ax2即aPA2

19.∵AD⊥BC,MN∥BC∴MN⊥AD,即MN⊥AE∴MN⊥A′E∴BC⊥A′E

连结A′D，在△A′ED中，设ED=a，则A′E=a21。又∠A′ED=60°∴∠EA′D=90°,

即A′E⊥A′D∵EA′⊥BC∴EA′⊥平面A′BC

20.∵DA⊥平面ABC∴DA⊥CB∵BC⊥AB∴BC⊥平面ABD∴BC⊥AF∵BD⊥AF∴AF⊥平面BCD∴AF⊥CD∵AE⊥CD∴CD⊥平面AEF∴CD⊥EF.

21. 取AB的中点M,连结CM,作DH⊥CM于H.

在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2∴AD=BD=CD=2

∴AB⊥DM∵CD⊥AD,CD⊥BD∴CD⊥平面ABD∴AB⊥CD

∴AB⊥平面MDC∵DH平面MDC∴DH⊥AB

∵DH⊥CM∴DH⊥平面ABC即H为D在平面ABC上的射影

在等腰Rt△ABD中, AD=BD= 2∴DM=1,

∵CD=2,∠CDM=90°DCDMDHMC2121

即2121)2(12122DH36DH

∴D与D在平面ABC上的射影之间的距离为36.

22.(1)取AC中点O,连结NO,MO,则NO∥PA.∵PA⊥平面ABCD∴NO⊥平面ABCD

∵MO⊥AB∴MN⊥AB∵CD∥AB∴MN⊥CD.

(2)∵∠PDA=45°∴PA=AD,由△PAM≌△CBM得PM=CM∴MN⊥PC∵MN⊥CD,PC∩CD=C

∴MN⊥平面PCD