几何与代数试题解答

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01-02学年第二学期

《几何与代数》期终试题解答

一 (30%) 填空题:

1. 设 = (1, 2),  = (1, 1), 则T = 1; T = 2211; (T)100 = 2211.

2. 设矩阵A = 031130021, B = 700650432, 则行列式|AB1| = 1/70.

3. 若向量组1, 2, 3线性无关, 则当参数k 1时, 12, k23, 31也线性无关.

4. 矩阵A =1000110011101111的伴随矩阵A*=

1000110001100011.

5. 设矩阵A及A+E均可逆, 且G = E(A+E)1 (其中E表示单位矩阵), 则G1 = E+A1.

6. 与向量 = (1, 0, 1),  = (1, 1, 1)均正交的单位向量为)22 ,0 ,22(.

7. 四点A(1, 1, 1), B(1, 1, x), C(2, 1, 1), D(2, y, 3)共面的充分必要条件是x = 1 或y = 1.

8. 设实二次型f(x1, x2, x3) = x12 + kx22 + 2x2x3 + x32, 则当k满足条件k > 1时, 为f(x1, x2, x3)

=1是椭球面; 则当k满足条件k = 1时, 为f(x1, x2, x3) =1是柱面.

二 (8%) 记1为由曲线032xyz绕z-轴旋转所产生的旋转曲面, 2为以1与平面3:

x + y + z = 1的交线为准线, 母线平行于z-轴的柱面. 试给出曲面1及2的方程, 并画出1被3所截有界部分在xOy平面上的投影区域的草图(应标明区域边界与坐标轴的交点).

解: 1的方程为z = x2 + y2  3. 联立1322zyxyxz, 消去z得2的方程: x2 + y2 + x + y  4 = 0.

2在xOy平面上的投影曲线的方程为29)21()21(22yx.

1被3所截有界部分在xOy平面上的投影区域的草图如下面的右图所示:

-202-5051015-202 -202-5051015-202 1与3 1, 2, 3 所求的投影区域 O x y

212321232123友情提醒: 1. 本试题解答仅供参考; 2. 为了节约资源, 敬请双面打印或复印该文档. 祝您学习进步!

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三 (8%) 求经过直线1222zyxzyx且与xOy平面垂直的平面方程.

解: (法一) 设所求的平面方程为(x+2yz2)+(x+y2z1) = 0, 即

(1)x+(2+)y(1+2)z(2+) = 0

因为它与xOy平面垂直, 所以其法向量{(1), (2+), (1+2)}与向量{0, 0, 1}垂直.

因而1+2 = 0, 即 = 1/2. 于是得所求平面的方程: 0232323yx, 化简得:

x + y= 1.

(法二) 直线1222zyxzyx的方向向量可取为1121 ,1211 ,2112 = {3, 3, 3}.

所求平面的法向量应垂直于{3, 3, 3}和{0, 0, 1}, 因而可取为

0033 ,0133 ,1033 = {3, 3, 0}.

在直线1222zyxzyx上取一点(0, 1, 0), 由此可得所求平面的方程: 3x + 3(y1) = 0. 化简得:

x + y= 1.

(法三) 所求平面为直线1222zyxzyx到xOy平面上的投影平面. 因而从1222zyxzyx中消去z, 得x + y= 1. 这就是所求平面的方程.

四 (12%) 求矩阵方程XA = 2X + B的解, 其中A =

300010113, B = 123101.

解: (法一) 原方程可化为X(A2E) = B, 其中E表示单位矩阵. A2E =

100010111.

A2E的行列式|A2E| = 1, 伴随矩阵(A2E)* = 100010111.

因而(A2E)1 = 100010111.

于是X = B(A2E) 1 = 123101100010111 = 413211.

(注意X未必等于(A2E) 1B !)

(法二) 原方程可化为X(A2E) = B, 其中E表示单位矩阵. A2E = 100010111.

BEA2 =

123101100010111

413211100010001 = 1)2(EABE.

于是X = B(A2E) 1 = 413211. 初等列变换 友情提醒: 1. 本试题解答仅供参考; 2. 为了节约资源, 敬请双面打印或复印该文档. 祝您学习进步!

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五 (12%) 设线性方程组1)3( 232 25 53 0

432143243214321xpxxxqxpxxxxxxxxxx.

1. 问: 当参数p, q满足什么条件时, 方程组无解; 有唯一解; 有无穷多解?

2. 当方程组有无穷多解时, 求出其通解.

解: [A, b] =

131232102553101111pqp

02000102001221001111pqp = ]~ ,~[bA.

由此可见, 当参数p = 2 且q  1时, 秩(A) = 2, 而秩[A, b] = 3, 此时方程组无解;

当参数p  2时, 秩(A) = 4, 此时方程组有唯一解;

当参数p = 2 且q = 1时, 秩(A) = 秩[A, b] = 2, 此时方程组无穷多解,

02000102001221001111pqp =

00000000001221001111

00000000001221011101

由此可得方程组的通解)()(1 221

4433432431自由未知量自由未知量xxxxxxxxxx,

即4321xxxx=c10121+c21021+0011(c1, c2为任意数).

六 (12%) 设矩阵A =

23102131111k. 已知秩(A) = 2.

1. 求参数k的值;

2. 求一个42矩阵B, 使得AB = O, 且秩(B) = 2;

3. 问是否存在秩大于2的矩阵M使得AM = O? 为什么?

解:

23102131111k 0004/34/1104/14/301k.

因为秩(A) = 2, 所以参数k = 0. 此时可得齐次线性方程组Ax = 的一个基础解系:

1 =

014/14/3, 2 =

104/34/1.

于是可取矩阵B =4031

0413使得AB = O, 且秩(B) = 2.

由于任何一个满足AM = O的矩阵M的列向量组都可以由1, 2线性表示, 所以这样的矩阵M的秩一定 2. 因而不存在秩大于2的矩阵M使得AM = O. 初等行变换

(1)

初等行变换 友情提醒: 1. 本试题解答仅供参考; 2. 为了节约资源, 敬请双面打印或复印该文档. 祝您学习进步!

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七 (12%) 设实对称矩阵A =

00100100k与B = 10000001l相似.

1. 求参数k, l的值;

2. 求一正交阵Q, 使得QTAQ = B.

解: 1. 因为实对称矩阵A与B相似, 所以 k = |A| = |B| = l且k = 迹(A) = 迹(B) = 2+l.

由此可得k = 1, l = 1.

2. |E A | =0101010= (1)2(+1),

由(E A)x = 可得A的对应于 = 1的两个特征向量1 = [1, 0, 1]T, 2 = [0, 1, 0]T,

由(E A)x = 可得A的对应于 = 1的一个特征向量3 = [1, 0, 1]T,

令Q =0212110002121, 则Q为正交阵且QTAQ = B.

八 (6%) 已知n阶方阵A相似于对角阵, 并且A的特征向量均是矩阵B的特征向量.

证明: AB = BA.

证明: 因为n阶方阵A相似于对角阵, 所以A有n个线性无关的特征向量, 设为p1, p2, …, pn,

对应的特征值设为1, 2, …, n.

又因为A的特征向量均是矩阵B的特征向量, 所以B也有n个线性无关的特征向量

p1, p2, …, pn, 对应的特征值设为t1, t2, …, tn. (注意A与B的特征值未必相等!)

令P = [p1, p2, …, pn],  =

n00000021, T =

nttt00000021.

则AP = P, BP = PT, T = T.

于是AB = (PP1)(PTP1) = PTP1 = PTP1 = (PTP1)(PP1) = BA.