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03-04学年第二学期《空间解析几何与线性代数》期终试题解答一 (24%) 填空题:1. 若向量k j a i -+=α, k j i b ++=β,k =γ共面, 则参数a , b 满足ab = 1.2. 过点P (1, 2, 1)且包含x 轴的平面方程为y - 2z = 0.3. 已知矩阵A 满足A 2 + 2A - 3I = O , 其中I 表示单位矩阵, 则A 的逆矩阵A -1 = )2(31I A +. 4. 设矩阵A =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡031130021, B =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡700650432, 则行列式|A 2B -1| = 1/70 . 5. 设向量组α1 = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡321, α2 = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡123, α3 = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-11k , 则当参数k =0时, α1, α2, α3线性相关. 6. 向量空间R 2中向量η = (2, 3)在R 2的基,与α = (1, 1) β = (0, 1)下的坐标为(2, 1).7. 满足下述三个条件的一个向量组为(-2, 1, 0), (1, 0, -1), 这三个条件是: ①它们是线性无关的; ②其中的每个向量均与α = (1, 2, 1)正交; ③凡与α正交的向量均可由它们线性表示.8. 已知2×2矩阵A = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a , 若对任意的2维列向量η有ηT A η = 0, 则abcd 满足条件 a = d = 0, b = -c .二 (12%) 假设矩阵A , B 满足A - B = AB , 其中A =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---021021020, 求B . 解: (法一) 由A - B = AB 得 (A +I )B = A , 其中I 表示单位矩阵. A +I = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---121011021. A +I 的行列式|A +I | = 1, 伴随矩阵(A +I )* = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--101011021. 因而(A +I )-1 = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--101011021. 于是B = (A +I ) -1A = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--101011021⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---021021020 = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--001001022. (注意B 未必等于A (A +I ) -1 !)(法二) 由A - B = AB 得 (A +I )B = A , 其中I 表示单位矩阵. A +I = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---121011021. [A +I , A ] =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡------021021020 121011021 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--001001022 100010001= [I , (A +I ) -1A ] 初等行变换于是B = (A +I ) -1A = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--001001022. 三 (15%) 设向量α1 = (a , 2, 10)T , α2 = (-2, 1, 5)T , α3 = (-1, 2, 4)T , β = (2, b , c )T , 问当参数a , b ,c 满足什么条件时1. β能用α1, α2, α3唯一线性表示?2. β不能用α1, α2, α3线性表示?3. β能用α1, α2, α3线性表示, 但表示方法不唯一? 求这时β用α1, α2, α3线性表示的一般表达式.解: 令A = [α3, α2, α1] = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--105421221a , (注: 这里把α3放在第一列纯粹是为了方便) [A , β] = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--c b a 2 105421221 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-+-++--442 2800223021b c b a a a = ]~ ,~[βA 1. 当参数a ≠ -4时, 秩(A ) = 3, 此时β能用α1, α2, α3唯一线性表示.2. 当参数a = -4, 而b - c ≠ 4时, 秩(A ) =2, 秩(A , β) = 3, 此时β不能用α1, α2, α3线性表示.3. 当参数a = -4, 且b - c = 4时, 秩(A ) = 秩(A , β) = 2, 此时β能用α1, α2, α3线性表示, 但表示方法不唯一.这时]~ ,~[βA = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+---042 000630421b ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-03/)1(22 000210001b 由此可得Ax = β的通解⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-=333213/)1(222x x b x x x , 其中x 3为自由未知量.因而β用α1, α2, α3线性表示的一般表达式为β = t α1 + [-2t + 2(b +1)/3]α2 -2α3其中t 为任意数.四 (8%) 设实二次型f (x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 + 2axy + 2ayz . 问: 实数a 满足什么条件时, 方程f (x , y , z ) = 1表示直角坐标系中的椭球面?解: 实二次型f (x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 + 2axy + 2ayz 的矩阵A = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡10101a a a a . A 的顺序主子式a 11 = 1 > 0; 22211211a a a a = 1 - a 2; |A | = 1 - 2a 2. f (x , y , z ) = 1表示直角坐标系中的椭球面当且仅当A 正定, 当且仅当A 的顺序主子式全为正数, 即a 2 < 1/2.五 (12%) 设3阶方阵A 的特征值为2, -2, 1, 矩阵B = aA 3 - 4aA + I .1. 求参数a 的值, 使得矩阵B 不可逆.2. 问矩阵B 是否相似于对角阵? 请说明你的理由.解: 1. 因为3阶方阵A 有3个不同的特征值2, -2, 1, 所以存在可逆矩阵P , 使得P -1AP = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-100020002. 初等行变换 初等行变换于是P -1BP = P -1(aA 3 - 4aA + I )P = a (P -1AP )3 - 4a (P -1AP ) + I = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-a 3100010001. 因而矩阵B 不可逆当且仅当|B | = 0, 而|B | = |P -1BP | = 1 -3a .所以当a = 1/3时, 矩阵B 不可逆.2. 由1可知矩阵B 相似于对角阵. 六 (12%) 已知二次曲面S 1的方程为z = 3x 2 + y 2, S 2的方程为z = 1 - x 2.1. 问: S 1与S 2分别属于哪一类二次曲面?2. 求S 1与S 2的交线在xOy 平面上的投影曲线方程;3. 画出由S 1与S 2所围成的立体的草图.解: 1. S 1与S 2分别属于椭圆抛物面和抛物柱面.2. 由z = 3x 2 + y 2和z = 1 - x 2消去z 得S 1与S 2的交线在xOy 平面上的投影曲线方程:⎩⎨⎧==+01422z y x 3. 由S 1与S 2所围成的立体的草图如右图所示: 七 (10%) 设3×3实对称矩阵A 的秩为2, 并且AB = C , 其中B = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-110011与C =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-110011. 求A 的所有特征值及相应的特征向量; 并求矩阵A 及A 9999.解: 因为A 是3阶矩阵, 且秩为2, 所以|A | = 0, 因而有一个特征值为0.又因为AB = C , 其中B = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-110011与C =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-110011, 令p 1 = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-101, p 2 = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡101, 则Ap 1 = -p 1, Ap 2 = p 2, 可见p 1, p 2分别是A 的对应于λ = -1和λ = 1的特征向量. 由于A 是3×3的实对称矩阵, 所以对应于特征值0的特征向量与p 1, p 2正交,由此可得对应于特征值0的一个特征向量p 3 = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡010. 令P = [p 1, p 2, p 3], 则P -1AP = Λ = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-000010001. 故A = P ΛP -1 = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-011100011⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-000010001⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-0102/102/12/102/1= ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡001000100. A 9999 = (P ΛP -1)9999 = P Λ9999P -1 = P ΛP -1 = A = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡001000100. 八 (7%) 证明题:1. 设η1, η2, …, ηt 是齐次线性方程组Ax = θ的线性无关的解向量, β不是其解向量. 证明: β, β+η1, β+η2, …, β+ηt 也线性无关.证明: 因为η1, η2, …, ηt 是齐次线性方程组Ax = θ的线性无关的解向量, β不是其解向量.所以β, η1, η2, …, ηt 线性无关, 否则β能由η1, η2, …, ηt 线性表示, 从而是线性方程组Ax = θ的解, 矛盾!假若k 1β + k 2(β+η1) + k 3(β+η2) + … + k t +1(β+ηt )= θ,则(k 1 + k 2 + k 3 + … + k t +1)β + k 2η1 + k 3η2 + … + k t +1ηt = θ. 于是(k 1 + k 2 + k 3 + … + k t +1) = k 2 = k 3 = … = k t +1 = 0,即k 1 = k 2 = k 3 = … = k t +1 = 0.所以β, β+η1, β+η2, …, β+ηt 线性无关.2. 设A 是n 阶正定矩阵, 证明: |I +A | > 1, 其中I 是n 阶单位矩阵. 证明: 因为A 是n 阶正定矩阵, 所以A 的特征值λ1, λ2, …, λn 都是正数.于是存在可逆矩阵P , 使得P -1AP = Λ = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡n λλλ 00000021. 因而|I +A | = |P -1||I +A ||P | = |P -1(I +A )P | = |I + P -1AP | = nλλλ+++1000100121 = (1+λ1)(1+λ2)…(1+λn ) > 1.生活的辩证法就是这样：当苦难压来时，只有具备善良的愿望，坚定信念的人；只有不计回报，只求奉献的人；只有坚强不屈，不折不挠的人，才有希望趟过苦难，收获甘甜。
《几何与代数》、《线性代数》教学大纲与历年题库南京东南大学数学系2007年９月目录1.几何与代数教学大纲 (1)2.线性代数教学大纲 (8)3.几何与代数教学大纲（64学时） (13)4.01-02学年第二学期几何与代数期终考试试卷 (21)5.02-03学年第二学期几何与代数期终考试试卷 (25)6.03-04学年第二学期几何与代数期终考试试卷 (30)7.04-05学年第二学期几何与代数期终考试试卷 (34)8.05-06学年第二学期几何与代数期终考试试卷 (39)9.06-07学年第二学期几何与代数期终考试试卷 (43)10.01-02学年第三学期线性代数期终考试试卷 (47)11.03-04学年第三学期线性代数期终考试试卷 (52)12.04-05学年第三学期线性代数期终考试试卷 (56)13.05-06学年第三学期线性代数期终考试试卷 (61)14.06-07学年第三学期线性代数期终考试试卷 (65)15.05-06学年第二学期几何与代数补考试卷 (69)16.05-06学年第二学期线性代数补考试卷 (73)17.07-08学年第一学期线性代数转系考试试卷 (77)《几何与代数》教学大纲48学时本课程是本科阶段几何及离散量数学最重要的课程。
本课程的目的是使学生熟悉线性代数与空间解析的基本概念，掌握用坐标及向量的方法讨论几何图形的方法，熟悉空间中简单的几何图形的方程及其特点，掌握线性代数的基本理论和基本方法，提高其空间想象能力、抽象思维和逻辑思维的能力，为用线性代数的理论解决实际问题打下基础，并为后继课程的学习做好准备。
教学内容和基本要求一．向量代数平面与直线1．理解几何向量的概念及其加法、数乘运算，熟悉运算规律，了解两个向量共线和三个向量共面的充分必要条件；2．理解空间直角坐标系的概念，了解仿射坐标系的概念，掌握向量的坐标表示；3．理解向量的数量积、向量积和混合积的概念，理解它们的几何意义，了解相关的运算性质，掌握利用坐标进行计算的方法；4．理解平面的法向量的概念，熟练掌握平面的方程的确定方法，熟悉特殊位置的平面方程的形式；5．理解直线的方向向量的概念，熟练掌握直线的对称方程、一般方程及参数方程的确定方法；6．了解直线、平面间的夹角的定义，了解点与直线、平面间的距离的定义，并掌握相关的计算；7．了解平面束的概念，并会用平面束处理相关几何问题。
东南大学05-06学年第二学期几何与代数补考试卷一(30%)填空题1. 设3阶矩阵123(,,)A ααα=，231312(2,,)B αααααα=--+。
若A 的行列式2A =，则B 的行列式B = ；2. 直角坐标系中经过点(1,2,1)P ，并且与直线1121x y z l - ==： 垂直的平面的方程为 ；3. 坐标系中点(1,1,2)A ，(2,1,1)B --，(3,,)C a b 共线的充分必要条件是参数,a b 满足条件 ；4. 假设(1,1),(2,3)αβ=-=，则T αβ= ；T αβ= ；5. 若A 为n 阶方阵，则方阵2I A B O I -⎛⎫= ⎪⎝⎭的逆矩阵1B -= ； 6. 已知矩阵1120122a A a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，若A 不可逆，则参数a 满足条件 ，这时，A 的秩为 ；7. 假设n 阶方阵A 满足232A A I O -+=，但A I ≠，则可以肯定，A 的一个特征值等于 ；8. 假设矩阵1114335A x y -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭相似于对角阵，并且2是A 的一个二重特征值，则参数,x y 的值分别等于 。
二（12%）假设100100101A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，211310B -⎛⎫= ⎪⎝⎭。
求矩阵方程2X B XA =+的解。
三（14%）假设矩阵1121111A λλ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，121b λ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭。
1. 问：当参数λ取什么值时，线性方程组Ax b =有唯一解、有无穷多组解、无解？2. 当线性方程组Ax b =有无穷多组解时，求出其通解。
四（14%）已知三阶方阵00022313A x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭与矩阵14B y ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭相似，求参数,x y 的值，并求一可逆矩阵P ，使得1P AP B -=。
五（12%）设二次型22212312313(,,)22f x x x x x x kx x =+++ 1. 求一可逆线性变换将f 变成其标准形；2. 问：当参数k 取什么值时，f 是正定二次型？3. 试就参数k 不同的取值，讨论二次曲面123(,,)1f x x x =的类型；六 （12%）假设空间直角坐标系中，二次曲面1π的方程为：2242x y z +=； 2π为曲线2230z y x ⎧=-⎨=⎩绕z 轴旋转所得旋转曲面。
代数几何复习题代数几何复习题代数几何是数学中的一个重要分支，它研究的是代数和几何之间的关系。
在代数几何中，我们通过代数的方法来研究几何对象的性质和结构。
在这篇文章中，我将给大家提供一些代数几何的复习题，希望能够帮助大家巩固和加深对这一学科的理解。
1. 证明一个仿射簇的闭包是一个封闭集。
解答：设X是一个仿射簇，即由一组多项式方程f_1(x_1,...,x_n)=0,...,f_m(x_1,...,x_n)=0定义。
我们要证明闭包Cl(X)是一个封闭集。
假设点P不在Cl(X)中，即存在一个开集U包含P，且U与Cl(X)没有交点。
由于X是仿射簇，那么对于每个点Q∈X，存在一个多项式方程g_Q(x_1,...,x_n)=0，使得g_Q(Q)=0。
由于U与Cl(X)没有交点，所以对于每个点Q∈X，都存在一个开集V_Q包含Q，且V_Q∩U=∅。
由于X是有限集，那么存在一个开集V包含X，且V∩U=∅。
现在考虑多项式方程g(x_1,...,x_n)=∏_(Q∈X)g_Q(x_1,...,x_n)，由于V∩U=∅，所以g(x_1,...,x_n)在整个V上不为0。
根据零点定理，g(x_1,...,x_n)=0的解集不包含X，这与X的定义矛盾。
因此，我们证明了闭包Cl(X)是一个封闭集。
2. 证明一个仿射簇的维数等于其坐标环的Krull维数。
解答：设X是一个仿射簇，其坐标环为A。
我们要证明维数dim(X)等于A的Krull维数。
首先，我们知道A的Krull维数等于A的素理想链的最大长度。
设p_0⊂p_1⊂...⊂p_r是A的一个素理想链，我们要证明r≥dim(X)。
假设r<dim(X)，那么存在一个极大理想m，使得m∉{p_0,...,p_r}。
由于m是极大理想，所以A/m是一个域。
考虑A/m上的仿射簇Y，由于m∉{p_0,...,p_r}，所以Y∩X=∅。
根据Hilbert's Nullstellensatz定理，我们知道Y的坐标环A(Y)是一个有限生成的A/m代数。
