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《线性代数》教学大纲32学时本课程是以矩阵为主要工具研究数量间的线性关系的基础理论课程，也是本科阶段关于离散量数学的最重要的课程。
本课程的目的是使学生熟悉线性代数的基本概念，掌握线性代数的基本理论和基本方法，提高其抽象思维、逻辑思维的能力，为用线性代数的理论解决实际问题打下基础。
教学内容和基本要求一．行列式1．理解二阶、三阶行列式的定义，熟练掌握它们的计算；12．知道全排列及全排列的逆序数的定义，会计算排列的逆序数，知道对换及对换对于排列的奇偶性的影响；3．了解n阶行列式的定义，会用行列式的定义计算简单的n阶行列式；4．掌握行列式的性质，熟练掌握行列式按行、列展开公式，了解行列式的乘法定理；5．掌握不很复杂的低阶行列式及简单的高阶行列式的计算；6．理解Cramer法则，掌握用Cramer法则求方程组的解的方法。
二．矩阵1．理解矩阵的概念；2．理解矩阵的加法、数乘、乘法运算及矩阵的转置及相关的运算性质，熟练掌握上述运算；3．理解零矩阵、单位矩阵、数量矩阵、对角阵、三角阵、对称矩阵、反对称矩阵的定义及其运算性质；4．理解矩阵的可逆性的概念，掌握矩阵可逆的判别方法，掌握逆矩阵的性质；5．了解伴随矩阵的概念，熟练掌握伴随矩阵的性质，掌握利用伴随矩阵计算矩阵的逆矩阵；26．了解分块矩阵的运算性质，掌握简单的分块矩阵的运算规则。
三．矩阵的初等变换与Gauss消元法1．理解矩阵的初等行变换与Gauss消元法的关系，理解矩阵的初等变换及矩阵的等价关系的概念；2．了解矩阵的等价标准形的概念，理解矩阵的初等变换与矩阵的乘法间的关系；3．了解可逆矩阵与初等矩阵间的关系，掌握用初等变换求逆矩阵的方法，会求简单的矩阵方程的解；4．理解矩阵的秩的概念，熟练掌握矩阵的秩的求法，理解矩阵运算前后的秩之间的关系；5．熟练掌握用矩阵的秩判断线性方程组的相容性及讨论解的情况的方法。
四．向量组的线性相关性1．理解向量的概念，理解线性组合和线性表示的概念；2．理解向量组的线性相关、线性无关的概念以及有关性质，掌握向量组的线性相关性的判别方法；3．理解向量组的秩的概念，理解向量组的秩与矩阵的秩间的关系，熟练掌握向量组的秩的性质；34．理解向量组的最大线性无关组的概念，理解向量组的最大线性无关组与向量组的秩间的关系，会求向量组的最大线性无关组；5．理解齐次线性方程组有非零解的充要条件，理解齐次线性方程组的基础解系的概念，熟练掌握基础解系的求法；6．理解非齐次线性方程组有解的充要条件，理解非齐次线性方程组与相应的齐次线性方程组的解之间的关系，熟练掌握非齐次线性方程组的通解的表达式的求法；7．知道向量空间、子空间、向量空间的基及维数的概念，会判断向两空间的子集是否构成子空间，会求由一向量组生成的子空间及一齐次线性方程组的解空间的基及它们的维数；8．知道坐标变换公式，会求两组基间的过渡矩阵。
东南大学05-06学年第二学期几何与代数期终考试试卷一. (24%)填空题1. 直角坐标系中向量(1,1,2)α=与(1,0,1)β=的向量积为 ；2. 过点(1,0,1)P 且与直线1211x y z -==垂直的平面的方程为 ； 3. 设0110P ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1011Q ⎛⎫= ⎪⎝⎭，a b A c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则1010P AQ =⎛⎫ ⎪⎝⎭；4. 若33⨯矩阵A 的秩为2, 123,,ααα是线性方程组Ax b =的解向量 ,并且()12,3,4T α=,()232,4,6T αα+= , 则线性方程组Ax b =的通解是 ；5. 设α是(1)n n >维列向量，则n 阶方阵T A αα=的行列式A 的值为 ；6. 设A 是33⨯矩阵，若矩阵,2,23I A I A I A +--均不可逆，则行列式A = ；7. 若3是n n ⨯矩阵A 的特征值,2A =,*A 是A 的伴随矩阵，则矩阵*A 的一特征值为 ；8. 若222221x y z kxz +++=表示一单叶双曲面，则k 满足条件 。
二（12%）设1234A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，101021001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，132011C ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭， 求11,A B --以及矩阵X ，使A O C X O B O ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
式中的O 均指相应的零矩阵。
三（10%）设向量组 123,,ααα线性无关 , 问: 参数,l m 满足什么条件时, 向量组 12l αα+，23m αα+ ，13αα+也线性无关？四（14%）已知空间直角坐标系中三平面的方程分别为：1:21x y z π++=,2:2x y z πλ++=,3:1x y z πλλ++=+1. 问：当λ取何值时这三个平面交于一点？交于一直线？没有公共交点？2. 当它们交于一直线时，求直线的方程。
五（12%）已知33⨯矩阵10023302A a a a a -⎛⎫ ⎪=-+ ⎪ ⎪--+⎝⎭有一个二重特征值。
03-04学年第二学期《空间解析几何与线性代数》期终试题解答一 (24%) 填空题:1. 若向量k j a i -+=α, k j i b ++=β,k =γ共面, 则参数a , b 满足ab = 1.2. 过点P (1, 2, 1)且包含x 轴的平面方程为y - 2z = 0.3. 已知矩阵A 满足A 2 + 2A - 3I = O , 其中I 表示单位矩阵, 则A 的逆矩阵A -1 = )2(31I A +. 4. 设矩阵A =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡031130021, B =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡700650432, 则行列式|A 2B -1| = 1/70 . 5. 设向量组α1 = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡321, α2 = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡123, α3 = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-11k , 则当参数k =0时, α1, α2, α3线性相关. 6. 向量空间R 2中向量η = (2, 3)在R 2的基,与α = (1, 1) β = (0, 1)下的坐标为(2, 1).7. 满足下述三个条件的一个向量组为(-2, 1, 0), (1, 0, -1), 这三个条件是: ①它们是线性无关的; ②其中的每个向量均与α = (1, 2, 1)正交; ③凡与α正交的向量均可由它们线性表示.8. 已知2×2矩阵A = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a , 若对任意的2维列向量η有ηT A η = 0, 则abcd 满足条件 a = d = 0, b = -c .二 (12%) 假设矩阵A , B 满足A - B = AB , 其中A =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---021021020, 求B . 解: (法一) 由A - B = AB 得 (A +I )B = A , 其中I 表示单位矩阵. A +I = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---121011021. A +I 的行列式|A +I | = 1, 伴随矩阵(A +I )* = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--101011021. 因而(A +I )-1 = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--101011021. 于是B = (A +I ) -1A = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--101011021⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---021021020 = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--001001022. (注意B 未必等于A (A +I ) -1 !)(法二) 由A - B = AB 得 (A +I )B = A , 其中I 表示单位矩阵. A +I = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---121011021. [A +I , A ] =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡------021021020 121011021 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--001001022 100010001= [I , (A +I ) -1A ] 初等行变换于是B = (A +I ) -1A = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--001001022. 三 (15%) 设向量α1 = (a , 2, 10)T , α2 = (-2, 1, 5)T , α3 = (-1, 2, 4)T , β = (2, b , c )T , 问当参数a , b ,c 满足什么条件时1. β能用α1, α2, α3唯一线性表示?2. β不能用α1, α2, α3线性表示?3. β能用α1, α2, α3线性表示, 但表示方法不唯一? 求这时β用α1, α2, α3线性表示的一般表达式.解: 令A = [α3, α2, α1] = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--105421221a , (注: 这里把α3放在第一列纯粹是为了方便) [A , β] = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--c b a 2 105421221 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-+-++--442 2800223021b c b a a a = ]~ ,~[βA 1. 当参数a ≠ -4时, 秩(A ) = 3, 此时β能用α1, α2, α3唯一线性表示.2. 当参数a = -4, 而b - c ≠ 4时, 秩(A ) =2, 秩(A , β) = 3, 此时β不能用α1, α2, α3线性表示.3. 当参数a = -4, 且b - c = 4时, 秩(A ) = 秩(A , β) = 2, 此时β能用α1, α2, α3线性表示, 但表示方法不唯一.这时]~ ,~[βA = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+---042 000630421b ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-03/)1(22 000210001b 由此可得Ax = β的通解⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-=333213/)1(222x x b x x x , 其中x 3为自由未知量.因而β用α1, α2, α3线性表示的一般表达式为β = t α1 + [-2t + 2(b +1)/3]α2 -2α3其中t 为任意数.四 (8%) 设实二次型f (x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 + 2axy + 2ayz . 问: 实数a 满足什么条件时, 方程f (x , y , z ) = 1表示直角坐标系中的椭球面?解: 实二次型f (x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 + 2axy + 2ayz 的矩阵A = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡10101a a a a . A 的顺序主子式a 11 = 1 > 0; 22211211a a a a = 1 - a 2; |A | = 1 - 2a 2. f (x , y , z ) = 1表示直角坐标系中的椭球面当且仅当A 正定, 当且仅当A 的顺序主子式全为正数, 即a 2 < 1/2.五 (12%) 设3阶方阵A 的特征值为2, -2, 1, 矩阵B = aA 3 - 4aA + I .1. 求参数a 的值, 使得矩阵B 不可逆.2. 问矩阵B 是否相似于对角阵? 请说明你的理由.解: 1. 因为3阶方阵A 有3个不同的特征值2, -2, 1, 所以存在可逆矩阵P , 使得P -1AP = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-100020002. 初等行变换 初等行变换于是P -1BP = P -1(aA 3 - 4aA + I )P = a (P -1AP )3 - 4a (P -1AP ) + I = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-a 3100010001. 因而矩阵B 不可逆当且仅当|B | = 0, 而|B | = |P -1BP | = 1 -3a .所以当a = 1/3时, 矩阵B 不可逆.2. 由1可知矩阵B 相似于对角阵. 六 (12%) 已知二次曲面S 1的方程为z = 3x 2 + y 2, S 2的方程为z = 1 - x 2.1. 问: S 1与S 2分别属于哪一类二次曲面?2. 求S 1与S 2的交线在xOy 平面上的投影曲线方程;3. 画出由S 1与S 2所围成的立体的草图.解: 1. S 1与S 2分别属于椭圆抛物面和抛物柱面.2. 由z = 3x 2 + y 2和z = 1 - x 2消去z 得S 1与S 2的交线在xOy 平面上的投影曲线方程:⎩⎨⎧==+01422z y x 3. 由S 1与S 2所围成的立体的草图如右图所示: 七 (10%) 设3×3实对称矩阵A 的秩为2, 并且AB = C , 其中B = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-110011与C =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-110011. 求A 的所有特征值及相应的特征向量; 并求矩阵A 及A 9999.解: 因为A 是3阶矩阵, 且秩为2, 所以|A | = 0, 因而有一个特征值为0.又因为AB = C , 其中B = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-110011与C =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-110011, 令p 1 = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-101, p 2 = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡101, 则Ap 1 = -p 1, Ap 2 = p 2, 可见p 1, p 2分别是A 的对应于λ = -1和λ = 1的特征向量. 由于A 是3×3的实对称矩阵, 所以对应于特征值0的特征向量与p 1, p 2正交,由此可得对应于特征值0的一个特征向量p 3 = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡010. 令P = [p 1, p 2, p 3], 则P -1AP = Λ = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-000010001. 故A = P ΛP -1 = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-011100011⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-000010001⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-0102/102/12/102/1= ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡001000100. A 9999 = (P ΛP -1)9999 = P Λ9999P -1 = P ΛP -1 = A = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡001000100. 八 (7%) 证明题:1. 设η1, η2, …, ηt 是齐次线性方程组Ax = θ的线性无关的解向量, β不是其解向量. 证明: β, β+η1, β+η2, …, β+ηt 也线性无关.证明: 因为η1, η2, …, ηt 是齐次线性方程组Ax = θ的线性无关的解向量, β不是其解向量.所以β, η1, η2, …, ηt 线性无关, 否则β能由η1, η2, …, ηt 线性表示, 从而是线性方程组Ax = θ的解, 矛盾!假若k 1β + k 2(β+η1) + k 3(β+η2) + … + k t +1(β+ηt )= θ,则(k 1 + k 2 + k 3 + … + k t +1)β + k 2η1 + k 3η2 + … + k t +1ηt = θ. 于是(k 1 + k 2 + k 3 + … + k t +1) = k 2 = k 3 = … = k t +1 = 0,即k 1 = k 2 = k 3 = … = k t +1 = 0.所以β, β+η1, β+η2, …, β+ηt 线性无关.2. 设A 是n 阶正定矩阵, 证明: |I +A | > 1, 其中I 是n 阶单位矩阵. 证明: 因为A 是n 阶正定矩阵, 所以A 的特征值λ1, λ2, …, λn 都是正数.于是存在可逆矩阵P , 使得P -1AP = Λ = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡n λλλ 00000021. 因而|I +A | = |P -1||I +A ||P | = |P -1(I +A )P | = |I + P -1AP | = nλλλ+++1000100121 = (1+λ1)(1+λ2)…(1+λn ) > 1.生活的辩证法就是这样：当苦难压来时，只有具备善良的愿望，坚定信念的人；只有不计回报，只求奉献的人；只有坚强不屈，不折不挠的人，才有希望趟过苦难，收获甘甜。
试 卷 一一（33%）填空题（E 表示单位矩阵）：1． 设),(21=α，),(11-=β，则=T αβ ； =999)(βαT ；2． 设矩阵⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=031130021A ，⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=700650432B ，则行列式=-1AB ；3． 若向量组⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=11123321321k ααα,,，则当参数k 时，321ααα,,线性相关；4． 22⨯矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c b a A 的伴随矩阵*A = ；5． 设矩阵A 及E A +均可逆，1-+-=)(E A E G ，则=-1G ；6． 分块矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡O E E A 的逆矩阵为 ； 7． 设56⨯是A 矩阵。
若齐次线性方程组θ=Ax 的解空间是2维的，则齐次线性方程组θ=x A T的解空间是 维的；8． 与向量T ),,(101=α，T ),,(111=β均正交的一个单位向量为 ； 9． 已知矩阵⎪⎭⎫⎝⎛=k M 3412，T MM A =，则当数k 满足条件 时，A是正定的；10． 若实对称矩阵A 有两个不同的特征值, 且O E A A =+-232则当参数k 满足条件 时，矩阵kA E +是正定的。
二（12%）求矩阵方程B X XA +=2的解，其中，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=123101300010113B A , 三（12%）设3阶方阵A 有特征值11-和二重)(，⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=11011121αα,是其相应于特征值1 的特征向量，⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=1003α是其相应于特征值1-的特征向量。
1.求9999AA 及。
2. 若3阶实对称矩阵B 的特征值也是11-和二重)(，证明：A 与B 必定相似。
四（12%）设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=++++=-+-=+++=+++132324321432x p x x x q x px x 25x 5x 3x x 0x x x x 43214321)( 1． 问：当参数q p ,满足什么条件时，方程组无解、有唯一解、有无穷多解？ 2． 当方程组有无穷多解时，求出其通解（写成向量形式）。
02-03学年第二学期《空间解析几何与线性代数》期终试题解答一 填空题(每小题3分, 共36分):1. 2002]315[ 201⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡= ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-----6210000315; 2. 1200011032-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡ = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--2/100021031; 3. 若A 是正交矩阵, 则行列式 |A 3A T | = 1;4. 空间四点A (1, 1, 1), B (2, 3, 4), C (1, 2, k ), D (-1, 4, 9)共面的充分必要条件是k = 3;5. 点P (2, 1, 1)到直线l : 12121zy x =-+=-的距离为 1 ;6. 若4阶方阵A 的秩为2, 则伴随矩阵A *的秩为 0 ;7. 若可逆矩阵P 使AP = PB , B =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3021, 则方阵A 的特征多项式为(1)(3);8. 若3阶方阵A 使I A , 2I A , A +3I 都不可逆, 则A 与对角阵⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-300020001相似(其中I 是3阶单位矩阵);9. 若A = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-0211110y x 与对角阵相合, 则(x , y ) = (1, 2).10. 设A = [A 1, A 2, A 3, A 4], 其中列向量A 1, A 2, A 4线性无关, A 3 = 2A 1 A 2 + A 4, 则齐次线性方程组Ax = 的一个基础解系是 = [2, 1, 1, 1]T ;11. 设A , B 都是3阶方阵, AB = O , r(A ) r(B ) = 2, 则r(A ) + r(B ) = D ;(A) 5; (B) 4; (C) 3; (D) 2; 12. 设n 阶矩阵A 满足A 2 = 2A , 则以下结论中未必成立的是 B .(A) A I 可逆, 且(A I )1 = A I ; (B) A = O 或A = 2I ; (C) 若2不是A 的特征值, 则A = O ; (D) |A | = 0或A = 2I .二 计算题(每小题8分, 共24分)13. 2103132110115102- = 3001132110115102-- =300131010115102-- = = 30010310401011100-- = 0314011110)1(14--+ = 4304011110--- = 43111-- = 29. ⨯(-1) ⨯(-1) ⨯(-1) ⨯(-2)⨯(-1)14. 求直线l :211122+=-=-z y x 在平面π : x + y - 2z + 1 = 0上的垂直投影直线方程. 解: 过直线l 且垂直于平面π的平面π1的法向量必垂直于向量{2, 1, 2}和{1, 1, - 2}, 因而可取为⎭⎬⎫⎩⎨⎧--1112 ,1222 ,2121 = {-4, 6, 1}.又因为π1过直线l 上的点(2, 1, -1), 由此可得平面π1的点法式方程-4(x - 2) + 6( y - 1) + (z + 1) = 0整理得4x -6 y - z - 3 = 0于是可得直线l : 211122+=-=-z y x 在平面π : x + y - 2z + 1 = 0上的垂直投影直线的一般方程: ⎩⎨⎧=---=+-+0364012z y x z y x . 15. 设XA = AB + X , 其中A = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-101020201, B =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-100000001求X 99.解: 原方程可化为X (A I ) = AB , 其中I 表示单位矩阵.A I = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-001010200, AB = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-101000201.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-AB I A = ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--101000201001010200 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-102/1000101100010001 = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1)(I A AB I . 于是可得X = AB (A I ) 1 = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-102/1000101, X 2 = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡2/300000002/3 = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡10000000123,X 99 = (X 2)49X = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡100000001234949⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-102/1000101 = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-102/1000101234949. (注意X 未必等于(A I ) 1AB !)三 计算题, 解答题(3小题共32分).16. 设向量组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=01211α, ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=20112α, ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a 1123α, ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=b 352β. V = L (1,2,3)是由1,2,3生成的空间.已知维(V ) = 2,V .(1) 求a , b ; (2) 求V 的一个基, 并求在此基下的坐标; (3) 求V 的一个标准正交基. 解: (1) A = [1, 2, 3, ] = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--b a 20310151122211 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+---0000260013103101b a . 因为维(V ) = 2, V . 所以a6 = b + 2 = 0, 即a = 6, b = 2.(2) 由上述初等行变换的结果可知1, 2构成V 的一个基, 且 =312.初等列变换 初等行变换(3) 令1 = 1, 2 = 2 11112,,ββββα〉〈〉〈 = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡2011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--012163 = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡22/102/1, 再单位化得V 的一个标准正交基⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=0121661ε, ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=4101622ε. 17. 用正交变换化简二次曲面方程:x 12 + x 22 4x 1x 2 2x 1x 32x 2x 3 = 1求出正交变换和标准形, 并指出曲面类型. 解:二次型f (x 1, x 2, x 3) = x 12 + x 224x 1x 22x 1x 32x 2x 3的矩阵A = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡------011112121.A 的特征多项式|λI A | = λλλ11112121-- = (λ 3)( λ 1)( λ + 2).A 的特征值λ1 = 3, λ2 = 1, λ = 2. 由(λi I A )x = 求得A 的对应于λ1 = 3, λ2 = 1, λ = 2的特征值向量:⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=0111ξ, ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=2112ξ, ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=1113ξ.它们已经两两正交, 单位化得⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=011221p , ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=211662p , ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=111333p .令P = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--33360336622336622, 则P T P = I , 且P 1AP = P T AP = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-200010003. 令x = Py , 则原二次曲面的方程化为3y 12 + y 22 2y 32 = 1.可见该二次曲面为二次锥面.18. 设D 为由yOz 平面中的直线z = 0, 直线z = y ( y 0)及抛物线y + z 2 = 2, 围成的平面区域. 将D 绕y 轴旋转一周得旋转体. (1) 画出平面区域D 的图形;(2) 分别写出围成的两块曲面S 1, S 2的方程;(3) 求S 1, S 2的交线l 在zOx 平面上的投影曲线C 的方程; (4) 画出S 1, S 2和l , C 的图形.解: (1) 平面区域D 的图形如右图所示:(2)由锥面S 1: 22z x y +=和旋转抛物面S 2: y = 2x 2z 2围成. (3) 由22z x y +=和y = 2 x 2 z 2消去y 得x 2 + z 2 = 1. 由此可得S 1, S 2的交线l 在zOx 平面上的投影曲线C 的方程: ⎩⎨⎧==+0122y z x (4) S 1, S 2和l , C 的图形如右图所示:O y z 22 O yz22 l S 1 C S 2 x四 证明题, 解答题(每小题4分, 共8分).19. 设是线性方程组Ax = b 的一个解, b , 1, 2是导出组Ax = 的基础解系.证明: , 1+, 2+线性无关. 证明: 因为A = b , 所以不是线性方程组Ax = 的解.而1, 2是Ax = 的基础解系, 故, 1, 2线性无关, 否则能由1, 2线性表示, 从而是线性方程组Ax =的解, 矛盾! 假若k 1 + k 2(1+) + k 3(2+) = , 则(k 1 + k 2 + k 3) + k 21 + k 32 = . 于是(k 1 + k 2 + k 3) = k 2 = k 3 = 0, 即k 1 = k 2 = k 3 = 0. 所以, 1+, 2+线性无关. 20. 设是3维非零实列向量, |||| =2. 又A =T .(1) 求A 的秩; (2) 求A 的全部特征值;(3) 问A 是否与对角阵相似? (4) 求|I A 3|.解: (1) 设 = [a , b , c ]T , 则A = T = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡cc cb ca bc bb ba ac ab aa O , 且秩(A ) = 1.(2) 设 是A 的对应于特征值的特征向量. 即T = .若T = 0, 则 = T = , 而 , 故 = 0.此时, 是T x = 0的解向量. 而秩(T ) = 1,故T x = 0的每个基础解系均由两个线性无关的解向量构成. 即对应于 = 0, A 有两个线性无关的特征向量,若T 0, 则由T = 可得T T = T . 从而 =T .此时, 由于T = . 故可取 = 作为对应于 = T的特征向量.综上所述, A 的全部特征值有: = 0和 = T .(3) 由(2)可见A 有3个线性无关的特征向量, 所以A 与对角阵相似.(4) 由(2)可见存在3阶可逆矩阵P , 使P 1AP = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡ααT00000000.因此|I A 3| = |P 1||I A 3||P | = |(P 1IP P 1A 3P )| = |I (P 1AP )3|= 3T )(100010001αα- = 1 (T )3.If you want something badly enoughYou must let it go free If it comes back to you It’s yours If it doesn’tYou really never had it, anyway。
东 南 大 学 考 试 卷 （ A 卷 ） 课程名称 线性代数 考试学期 得分 使用专业 考试形式 闭 卷 考试时间长度 120分钟 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 得分 一、（10%）选择题 1. 设3×2矩阵A =(A 1,A 2),B =(B 1,B 2)其中A 1,A 2,B 1,B 2是3维列向量. 若A 1,A 2线性无关, 则B 1,B 2线性无关的充要条件是( ). A.矩阵A 与B 等价 B. A 1,A 2能由B 1,B 2线性表示 C.向量组A 1,A 2与B 1,B 2等价 D. B 1,B 2能由A 1,A 2线性表示 2. 设A 为n 阶矩阵, E 为n 阶单位矩阵, 则下列叙述中, ( )是错误的. A. A 与E 合同的充分必要条件是A 正定 B. A 与E 相似的充分必要条件是A =E C. A 与E 相似的充分必要条件是行列式|A |=1 D. A 与E 等价的充分必要条件是行列式|A |≠0 3. 设A 为2×3矩阵, 交换A 的第一行和第二行得到矩阵B ,则( ). A. A (010100001)=B B. (010100001)A =B C. (0110)A =B D. A (0110)=B 4. 下列关于n 阶方阵A 的叙述中, 除了( )之外, 其余三个是相互等价的. A.齐次线性方程组Ax =0有非零解 B. A 的秩小于n C. A 是可逆矩阵 D.行列式|A |=0 5. 设A,B 都是m ×n 矩阵, 则下列矩阵中, ( )一定是对称矩阵.A. AB T +BA TB. A +BC. AB TD. AB T A二、（30%）判断题[ ] 6. (1234)的伴随矩阵为(4−3−21).[ ] 7. 设A,B 都是m ×n 矩阵, 则A 与B 等价的充分必要条件是它们的秩相等.[ ] 8. 设α1,α2,…,αs 为n 维列向量组, 若其中有一个向量αi 为零向量, 则α1,α2,…,αs 一定线性相关.[ ] 9. 若α,β为向量组α,β,γ的一个极大线性无关组, 而且β,γ也线性无关, 则β,γ也是学号姓名密封线α,β,γ的一个极大线性无关组.[ ] 10. 设A 为n 阶矩阵, 若对于任意的n 维列向量x , 有‖Ax ‖=‖x ‖则A 必为正交矩阵.[ ] 11. 设A 与B 都是n 阶正交矩阵, 则A +B 也是正交矩阵.[ ] 12. 设α与β都是非齐次线性方程组Ax =b 的解, 则α+β也是非齐次线性方程组Ax =b 的解.[ ] 13. 设α是非齐次线性方程组Ax =b 的解, β是齐次线性方程组Ax =0的解, 则α,β线性无关.[ ] 14. 若矩阵A 与B 相似, 则A 2与B 2相似.[ ] 15．矩阵A 与B 相似的充分必要条件是A 2与B 2相似.[ ] 16. 若矩阵A 与B 具有相同的特征多项式, 则A 与B 相似.[ ] 17. 设A 与B 都是n 阶实对称矩阵, 若A 与B 具有相同的特征多项式, 则A 与B 相似.[ ] 18. 二次型f (x 1,x 2)=(x 1,x 2)(1203)(x 1x 2)的矩阵为(1203). [ ] 19. 二次型f (x 1,x 2)=(x 1,x 2)(1203)(x 1x 2)是正定的. [ ] 20. 设多项式f (x )=2x 3−5x +7, A 为三阶方阵, 则f (A )=2A 3−5A +7.三、填空题（10%）21. 设A 为3×2矩阵, B =AA T 则B 的行列式|B |= _______.22. 设向量α=(123)与β=(1−2a)正交, 则 a = _______.23. 设α为非零的3维列向量, A =ααT , 则A 的正惯性指数= ________.24. 设A 为3阶矩阵,E 为3阶单位矩阵. 若A 2=E ,则r (A −E )+r (A +E )= ________.(注: 这里r (A −E )表示A −E 的秩,r (A +E )表示A +E 的秩.)25. 若向量组α,β,γ线性无关, α+β,β−γ,α+kγ线性相关, 则k = ________.四、（10%）设A =(a 11a 11111111a 11a ). 计算行列式|A |, 并针对a 的不同取值, 求A 的秩.五、（10%）设A =(0210),B =(12103410). 求矩阵X , 使得AX =B +X.六、（10%）设A =(20011000a )与B =(100010002) 相似. 求a 以及可逆矩阵P 使得 P −1AP =B .七、（10%）已知4阶方阵A=(α1,α2,α3,α4),其中α1,α2,α3,α4均为 4 维列向量, α2,α3,α4线性无关, 且α1=α2+α3−2α4.如果b=α1−α2+α3−α4, 求线性方程组Ax=b的通解.八、（10%）设二次型f(x1,x2,x3)=(x1+x2+x3)2.请写出该二次形的矩阵A,并写出该二次型在正交变换下的标准形.(不必写出所用的正交变换)。
- 8 -04-05学年第二学期几何与代数期终考试试卷一、 (24%)填空题1． 以(1,1,2)A ，(2,1,1)B --，(1,1,1)C --为顶点的三角形的面积为 ；2． 设3阶矩阵12(,,)A ααα=，23131(,2,)B ααααα=+-。
若A 的行列式3A =，则B 的行列式B = ；3． 若向量(1,0,1)α=，(2,1,1)β=-，(1,1,)k γ=-共面，则参数k = ；4． 若A 为n 阶方阵，则方阵2I O B A I ⎛⎫= ⎪⎝⎭的逆矩阵1B -= ；- 9 -5． 已知向量111η⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是矩阵11201122a A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭的特征向量，则参数a = ，相应的特征值等于 ；6． 假设矩阵1000A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则在实矩阵11001110,,,,11021101B C D E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1300F ⎛⎫= ⎪⎝⎭中，与A 相抵的有 ；与A 相似的有 ；与A 相合的有 ．二、 （8%）计算行列式121111x x x x x x xx x x ． 三、 （10%）假设200110102A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，121210B -⎛⎫= ⎪-⎝⎭， 求矩阵方程3XB XA =+的解．- 10 -四、 （14%）假设矩阵1101011A λλλ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，000θ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，11a b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭． 1． 已知齐次线性方程组Ax θ=的基础解系中有两个线性无关的解向量．试确定这时参数λ的值，并求这时Ax θ=的一个基础解系．2． 若在非齐次线性方程组Ax b =的解集中，存在两个线性无关的解向量，但不存在更多的线性无关的解向量，试确定这时参数λ及a 的值，并求Ax b =的通解．五、 （10%）已知直线l 过点(1,1,1)P ，与平面:1x y z π+-=平行，且与直线1121xy z λ- ==： 相交。
求直线l 的方向向量，并写出直线l 的方程．六、 （10%）假设二次曲面1π的方程为：2242x y z +=；平面2π的方程为：1x z =-．- 11 -1. 1π与2π的交线向xy 平面作投影所得的投影曲线l 的方程为 ；2. 该投影曲线绕x 轴旋转所得的旋转曲面π的方程为 ；3. 在坐标系中画出投影曲线l 的草图（请给坐标轴标上名称）；4. 在坐标系中画出1π与2π所围成的立体的草图（请给坐标轴标上名称）．七、 （14%）设二次型22212312313(,,)22f x x x x x x kx x =-+-+1． 试就参数k 不同的取值范围，讨论二次曲面123(,,)1f x x x =的类型； 2． 假设0k >．若经正交变换X QY =，123(,,)f x x x 可以化成标准形222123224y y y +-，求参数k 及一个合适的正交矩阵Q ．八、 （10%）证明题- 12 -1． 假设n 维向量112a b βαα=+，212c d βαα=+。
若12,ββ线性无关，证明：12,αα线性无关，并且，行列式0a b c d≠。
2． 假设,A B 都是n 阶实对称矩阵，并且，A 的特征值均大于a ，B 的特征值均大于b ，证明：A B +的特征值均大于a b +。
- 13 -05-06学年第二学期几何与代数期终考试试卷一. (24%)填空题1. 直角坐标系中向量(1,1,2)α=与(1,0,1)β=的向量积为 ；2. 过点(1,0,1)P 且与直线1211x y z -==垂直的平面的方程为 ；3. 设0110P ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1011Q ⎛⎫= ⎪⎝⎭，a b A c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则1010P A Q =⎛⎫ ⎪⎝⎭；4. 若33⨯矩阵A 的秩为2, 123,,ααα是线性方程组Ax b =的解向量 ,并且 ()12,3,4T α=,()232,4,6T αα+= , 则线性方程组Ax b =的通解是 ；5. 设α是(1)n n >维列向量，则n 阶方阵T A αα=的- 14 - 行列式A 的值为 ；6. 设A 是33⨯矩阵，若矩阵,2,23I A I A I A+--均不可逆，则行列式A = ；7. 若3是n n ⨯矩阵A 的特征值,2A =,*A 是A 的伴随矩阵，则矩阵*A 的一特征值为 ；8. 若222221x y z kxz +++=表示一单叶双曲面，则k 满足条件 。
二（12%）设1234A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，101021001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，132011C ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭，求11,A B --以及矩阵X ，使A O C X O B O ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
式中的O 均指相应的零矩阵。
三（10%）设向量组 123,,ααα线性无关 , 问: 参数,l m 满足什么条件时, 向量组 12l αα+，23m αα+ ，13αα+也线性无关？四（14%）已知空间直角坐标系中三平面的方程分别为：- 15 -1:21x y z π++=,2:2x y z πλ++=,3:1x y z πλλ++=+1. 问：当λ取何值时这三个平面交于一点？交于一直线？没有公共交点？2. 当它们交于一直线时，求直线的方程。
五（12%）已知33⨯矩阵10023302A aa a a -⎛⎫ ⎪=-+ ⎪ ⎪--+⎝⎭有一个二重特征值。
1. 试求参数a 的值，并讨论矩阵A 是否相似于对角阵。
2. 如果A 相似于对角阵，求可逆矩阵P ，使得1P AP -=Λ是对角阵。
六（10%）假设,A B 是实对称矩阵。
证明：分块矩阵A O M O B ⎛⎫= ⎪⎝⎭是正定矩阵的充分必要条件是,A B 都是正定矩阵。
- 16 -七（8%）由与平面1z =-及点(0,0,1)M 等距离运动的动点(,,)P x y z 所生成的曲面记为1π，将y O z 平面上曲线250y z x ⎧+=⎨=⎩以z 轴为旋转轴所生成的旋转曲面记为2π。
则：1.1π的方程是： ；2π的方程是：； 2. 1π与2π的交线在xOy 平面上的投影曲线方程是： ；3. 在坐标系中画出由这两个曲面所围成的有限立体的简图．八（10%）证明题：1. 若22⨯实矩阵A 的行列式0A <，证明：A 必定相似于对角阵．2. 假设n n ⨯实对称矩阵A 的特征值为12,,,n λλλ ，α是A 的属于特征值1λ单位特征向量，矩阵1TB A λαα=-．证明：B 的特征值为20,,,n λλ ．- 17 - 06-07第二学期几何代数期终考试试卷一． (30%)填空题（I 表示单位矩阵）1. 向量(1,0,1),(1,1,0),(1,1k αβγ=-=-=共面时参数k 的值为 ，此时，与这三个向量都正交的一个单位向量是 ；2. 向量组123410110111,,,21131102αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的秩等于 ，这个向量组的一极大线性无关组是 ；3. 假设矩阵1(2,)2A t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，若1是A 的特征值，则参数t 的值为 ；4. 二次型22(,,)22f x y z x z xy =++的正、负惯性指数分别为 ，下列图形中，能表示二次曲面(,,)1f x y z =的图形的标号为 ：- 18 -（A ），（B ） ，（C ） ， （D ） ；5. 由曲线20z x y ⎧=⎨=⎩绕z -轴旋转所产生的旋转曲面方程为 ；6. 若向量组1211,1a αα⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与向量组1211,2b ββ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭等价，则参数,a b 必定满足条件 ；7. 若2130100A b a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭与00010001c B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭相似，则(),,a b c = 。
二． （10%）已知向量组1234,,,αααα线性无关，问：- 19 -当参数p 取何值时，向量组1232122,2,βααβαα=+=+3344142,p βααβαα=+=+也线性无关？三． （15%）假设,p q 是参数，空间直角坐标系中平面123,,πππ的方程分别如下：1:21x y z π-+=，2:22x py z π++=，3:352x y z q π++=（1） 问：当,p q 取何值时, 这三个平面的公共点构成一直线？（2） 当它们的公共点构成一直线时，求直线的方向向量，并给出该直线的对称方程。
四． （15%）设212010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，100010001⎛⎫ ⎪Λ=- ⎪ ⎪⎝⎭，并且AP P =Λ，求A 及99A 。
- 20 - 五． （15%）已知二次型22212312312(,,)4f x x x x x x x x =+--。
（1） 写出二次型f 的矩阵；（2） 求一个正交变换x Qy =，把f 化为标准形,并给出该标准形；（3） 假设0a >，求222123123max (,,)x x x a tf x x x ++==的值．六． （15%）证明题： 1. 已知矩阵a b A I c d ⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭，其中，2,1a d a d b c +=-=。
证明：A 不与任何对角阵相似．2. 假设s n ⨯矩阵A 的秩等于r ，并且非齐次线性方程组Ax b =（b θ≠）有解。
证明： Ax b =有并且只有1n r -+个线性无关的解向量．3. 若A B 、都是可逆的实对称矩阵，且A B A B -、、都是正定矩阵，证明：11B A---也是正定矩阵．。
