等比数列的前n项和(第二课时)

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第 1 页共6 页 新人教A版高二第 2 课时 等比数列的前n项和的性质与应用(1212)

1.设等比数列｛𝑎𝑛｝的前𝑛项和为𝑆𝑛，已知𝑆3=8，𝑆6=7，则𝑎7＋𝑎8＋𝑎9=（）

A.18 B.−18 C.578 D.558

2.在等比数列｛𝑎𝑛｝的前10项中，所有奇数项之和为8514，所有偶数项之和为17012，则𝑆=𝑎3＋𝑎6＋𝑎9＋𝑎12的值为（）

A.580 B.585 C.590 D.595

3.某厂计划今年(第1年)的产值是𝑎亿元，若从明年开始到第10年，每年年产值的增长率都是10%，则从今年起到第10年该厂的总产值是（ ）

A.11×(1.110−1)𝑎亿元 B.10×(1.110−1)𝑎亿元

C.11×(1.19−1)𝑎亿元 D.10×(1.19−1)𝑎亿元

4.已知等比数列｛𝑎𝑛｝的前𝑛项和为𝑆𝑛，且𝑆5=4，𝑆10=10，则𝑆15=（ ）

A.16 B.19 C.20 D.25

5.中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样的一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关”，其大意为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起，因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天才走完.则此人前三天共走了（ ）

A.48里 B.189里 C.288里 D.336里

6.已知等比数列｛𝑎𝑛｝的公比𝑞=12，且𝑎1+𝑎3+𝑎5+⋯+𝑎99=60，则𝑎1+𝑎2+𝑎3+𝑎4+⋯+𝑎100等于（）

A.100 B.90 C.60 D.40

7.已知𝑆𝑛是等比数列｛𝑎𝑛｝的前𝑛项和，若𝑆2𝑚𝑆𝑚=28，𝑎2𝑚𝑎𝑚=18𝑚𝑚−1，则数列｛𝑎𝑛｝的公比𝑞=（ ）

A.3 B.2 C.−3 D.−2

8.设等比数列｛𝑎𝑛｝的各项均为正数，公比为𝑞，前𝑛项和为𝑆𝑛.若对任意的𝑛∈𝐍∗，有𝑆2𝑛<3𝑆𝑛，则𝑞的取值范围是（）

1 第2课时 等比数列前n项和的性质及应用

学习目标

1.理解等比数列前n项和公式的函数特征.2.熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题．

知识点一 等比数列前n项和公式的函数特征

当公比q≠1时，设A＝a1q－1，等比数列的前n项和公式是Sn＝A(qn－1)．即Sn是n的指数型函数．

当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函数．

知识点二 等比数列前n项和的性质

1．数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列．

2．若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)． 2 3．若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：①在其前2n项中，S偶S奇＝q；

②在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1

＝a1＋a2n＋1q1－－q＝a1＋a2n＋21＋q(q≠－1)．

1．等比数列{an}的前n项和Sn不可能等于2n.( )

2．若{an}的公比为q，则{a2n}的公比为q2.( )

3．若{an}的公比为q，则a1＋a2＋a3，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5的公比也为q.( )

4．等比数列{an}是递增数列，前n项和为Sn.则{Sn}也是递增数列．( )

5．对于公比q≠1的等比数列{an}的前n项和公式，其qn的系数与常数项互为相反数．( )

题型一 等比数列前n项和公式的函数特征应用

例1 数列{an}的前n项和Sn＝3n－2.求{an}的通项公式． 3

反思感悟 已知Sn，通过an＝ S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2求通项an,应特别注意n≥2时,an＝Sn－Sn－1.

(2)若数列{an}的前n项和Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1，则{an}是等比数列．

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等比数列的前n项和(二)

教学目标：

综合运用等比数列的定义式、通项公式、性质及前n项求和公式解决相关问题，提高学生分析、解决问题的能力.

教学重点：

进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式.

教学难点：

灵活使用有关知识解决问题。

教学过程：

Ⅰ.复习回顾（提问）

前面我们学习了哪些有关等比数列的知识?

（1）定义式：anan－1 ＝q(q≠0，n≥2)

（2）通项公式：an＝a1qn－1(a1,q≠0)

（3）性质；若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq,

（4）前n项和公式：

Sn＝a1（1－qn）1－q ＝a1－anq1－q (q≠1)

Sn＝na1，(q＝1)

（5）an与Sn 的关系

an＝Sn－Sn－1(n≥2)，a1＝S1(n＝1)

Ⅱ.讲授新课

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我们结合例题来看一下如何灵活应用它们.

例1．有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项的和为21，中间两项的和为18，求这四个数.

分析一：从后三个数入手.

解法一：设所求的四个数为 （x－d）2x ，x－d，x，x＋d，根据题意有

（x－d）2x ＋（x＋d）＝21（x－d）＋x＝18 ，解得x＝12d＝6 或x＝274

d＝92

274

∴所求四个数为3，6，12，18或754 ，454 ，274 ，94 .

分析二：从前三数入手.

解法二：设前三个数为 xq ，x，xq，则第四个数为2xq－x.

依题设有xq ＋2xq－x＝21x＋xq＝18 ，解得x＝6q＝2 或x＝454

q＝35 3

故所求的四个数为3，6，12，18或754 ，454 ，274 ，94 .

分析三：从首末两项的和与中间两项的和入手.

解法三：设欲求的四数为x，y，18－y，2－x，由已知得：

y2＝x（18－y）2（18－y）＝y＋（21－x） ，解得x＝3y＝6 或x＝754

4.3.2 等比数列的前n项和公式(第2课时)

素养目标 学科素养

1.掌握等比数列前n项和的性质．(重点)

2．能够运用所学知识解决等差数列与等比数列的综合应用问题. 1.逻辑推理；

2．数学运算

情境导学

远望巍巍塔七层，红光点点倍加增．

其灯三百八十一，请问尖头几盏灯？

这首古诗给大家呈现一幅美丽夜景的同时，也留给了大家一个数学问题，你能用今天所学的知识求出这首古诗的答案吗？

1．等比数列前n项和的性质

(1)若数列{an}为非常数列的等比数列，且其前n项和Sn＝A·qn＋B(A≠0，B≠0，q≠0，q≠1)，则必有A＋B＝0；反之，若某一非常数列的前n项和Sn＝A·qn－A(A≠0，q≠0，q≠1)，则该数列必为等比数列．

(2)如果公比q≠－1或虽q＝－1但n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成等比数列．

(3)当等比数列{an}的项数为偶数时，偶数项的和与奇数项的和之比S偶S奇＝q.

2．分组求和

某些数列通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和． 2 / 20

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．

(1)若等比数列{an}的前n项和Sn＝2×13n＋m，则m＝－2.(√)

(2)若数列{an}是公比q≠1的等比数列，则其前n项和公式可表示为－Aqn＋A(A≠0，q≠0且q≠1，n∈N*)．(√)

2．若an＝2n－n，则{an}的前n项和为2n＋1－2－错误!.

3．数列112，314，518，…，(2n－1)＋12n，…的前n项和为n2＋1－12n.

1．在等比数列{an}中，若a1＋a2＝20，a3＋a4＝40，则S6等于( )

A．140 B．120

C．210 D．520

A 解析：∵S2＝20，S4－S2＝40，且(S4－S2)2＝S2×(S6－S4)，∴S6－S4＝80.