第 1 页 共 32 页 2020年高考数学一轮总复习：变量间的相关关系与统计案例
[基础梳理]
1．相关关系与回归方程
(1)相关关系的分类
①正相关：从散点图上看，点分布在从左下角到右上角的区域内；
②负相关：从散点图上看，点分布在从左上角到右下角的区域内．
(2)线性相关关系：从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫作回归直线．
(3)回归方程
①最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫作最小二乘法．
②回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归方程为y^＝b^x＋a^，则b^＝∑ni＝1 （xi－x）（yi－y）∑ni＝1 （xi－x）2＝∑ni＝1xiyi－nx y∑ni＝1x2i－nx2，a^＝y－b^x.其中，b^是回归方程的斜率，a^是在y轴上的截距．
(4)样本相关系数
r＝∑ni＝1
（xi－x）（yi－y）∑ni＝1 （xi－x）2∑ni＝1 （yi－y）2，用它来衡量两个变量间的线性相关关系．
①当r>0时，表明两个变量正相关；
②当r<0时，表明两个变量负相关；
③r的绝对值越接近1，表明两个变量的线性相关性越强；r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常当|r|>0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系．
2．独立性检验
(1)2×2列联表：假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称2×2列联表)为：
y1 y2 总计 第 2 页 共 32 页 x1 a b a＋b
x2 c d c＋d
总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d
(2)K2统计量
k＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）(其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量)．
第四节 变量间的相关关系、统计案例
变量间的相关关系、统计案例
1．变量间的相关关系
(1)会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用数点图认识变量间的相关关系．
(2)了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．
2．统计案例
了解下列一些常见的统计方法，并能应用这些方法解决一些实际问题．
(1)独立性检验
了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用．
(2)回归分析
了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用．
知识点一 回归分析
1．变量间的相关关系
(1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系．
(2)从散点图上看，点分布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点分布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关．
2．两个变量的线性相关
(1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线．
(2)回归方程为y^＝b^x＋a^，其中b^＝∑ni＝1xiyi－nx y∑ni＝1x2i－nx2，a^＝y－b^x.
(3)通过求Q＝∑ni＝1 (yi－bxi－a)2的最小值而得出回归直线的方法，即求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小，这一方法叫作最小二乘法．
(4)相关系数：
当r>0时，表明两个变量正相关；
当r<0时，表明两个变量负相关．
r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r的绝对值越接近于0时，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性． 易误提醒
1．易混淆相关关系与函数关系，两者的区别是函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．
2013版高考数学一轮复习精品学案：第十章 统计、统计案例
10.3统计案例
【高考新动向】
一、考纲点击
1.了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用;
2.了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用.
二、热点提示
1.本部分主要内容是变量的相关性及其几种常见的统计方法.在高考中主要是以考查独立性检验、回归分析为主,并借助解决一些简单的实际问题来了解一些基本的统计思想;
2.本部分在高考中多为选择、填空题,也有可能出现解答题,都为中低档题.
【考纲全景透析】
1.回归分析
(1)定义:对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法;
(2)随机误差:线性回归模型用ybxae表示，其中ab和为模型的未知数，e称为随机误差.
(3)样本点的中心
在具有线性相关关系的数据1122(,),(,),,(,)nnxyxyxy中,回归方程的截距和斜率的最小二乘估计公式分别为:
121()()ˆˆˆˆ,.()niiiniixxyybaybxxx
其中1111,,(,)nniiiixxyyxynn称为样本点的中心.
(4)相关系数
①12211()();()()niiinniiiixxyyrxxyy ②当0r时,表明两个变量正相关;
当0r时,表明两个变量负相关.
r的绝对值越接近于0时,表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.通常||r大于0.75时,认为两个变量有很强的线性相关性.
2.残差分析
(1)总偏差平方和
把每个效应(观测值减去总的平均值)的平方加起来即:21()niiyy
(2)残差
数据点和它回归直线上相应位置的差异()iiyy是随机误差的效应,称iiieyy为残差.
(3)残差平方和21()niiiyy.
(4)相关指数22121()()niiiniiyyRyy
2R的值越大,说明残差平方和越小,也就是说模型的拟合效果越好.在线性回归模型中,
第 1 页 共 24 页
10.3 变量间的相关关系、统计案例
基础篇 固本夯基
考点一 变量间的相关关系
1.(2022届陕西宝鸡期末,4)下列两个变量具有相关关系的是( )
A.正方体的体积与棱长
B.汽车匀速行驶时的路程与时间
C.人的体重与饭量
D.人的身高与视力
答案 C
2.(2021西南名校联盟联考,3)已知甲、乙、丙、丁四组数据变量间对应的线性相关系数分别为0.46,0.79,
-0.92,0.85,则( )
A.甲组数据变量间的线性相关程度最强
B.乙组数据变量间的线性相关程度最弱
C.丙组数据变量间的线性相关程度最强
D.丁组数据变量间的线性相关程度最强
答案 C
3.(2020陕西铜川二模,5)四名同学根据各自的样本数据研究变量x,y之间的相关关系,并求得回归直线方程,分别得到以下四个结论:
①y与x负相关且𝑦^=2.347x-6.423;
②y与x负相关且𝑦^=-3.476x+5.648;
③y与x正相关且𝑦^=5.437x+8.493;
④y与x正相关且𝑦^=-4.326x-4.578.
其中不正确的结论的序号是( )
A.①② B.②③
C.③④ D.①④
答案 D
4.(2020陕西榆林三模,3)如图所示,给出了样本容量均为7的A,B两组样本数据的散点图,已知A组样本数据的相关系数为r1,B组样本数据的相关系数为r2,则( )
A.r1=r2 B.r1
C.r1>r2 D.无法判定
答案 C 第 2 页 共 24 页
5.(2022届四川资阳一诊,4)我国在2020年如期完成了新时代脱贫攻坚目标任务,脱贫攻坚战取得全面胜利,历史性地解决了绝对贫困问题,并全面建成了小康社会.现就2013—2019 年年末全国农村贫困人口数进行了统计,制成如下散点图:
据此散点图,下面 4个回归方程类型中最适宜作为年末贫困人口数y和年份代码x的回归方程类型的是( )
