平面法向量的求法及其应用1
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1 A B C D x y A1 BC1 D1
z
图3 平面法向量与立体几何
引言：平面的法向量在课本上有定义，考试大纲中有“理解”要求，但在课本和多数的教辅材料中都没有提及它的应用，其实平面的法向量是中学数学中的一颗明珠，是解立体几何题的锐利武器。本文介绍平面法向量的二种求法,并对平面法向量在高中立体几何中的应用作归纳和总结。开发平面法向量的解题功能，可以解决不少立体几何中有关角和距离的难题，使高考立体几何中求空间角、求空间距离、证明垂直、证明平行等问题的解答变得快速而准确，那么每年高考中那道12分的立体几何题将会变得更加轻松。
一、平面法向量的概念和求法
1、定义：○1向量与平面垂直 如果表示向量a的有向线段所在的直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作a。
○2平面的法向量 如果a，那么向量a叫做平面的法向量。
2、平面法向量的求法
方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面的法向量(,,1)nxy[或(,1,)nxz，或(1,,)nyz]，在平面内任找两个不共线的向量,ab。由n，得0na且0nb，由此得到关于,xy的方程组，解此方程组即可得到n。
方法二(外积法): 设 , 为空间中两个不平行的非零向量，其外积ba为一长度等于sin||||ba，（θ为,两者交角，且0），而与 , 皆垂直的向量。通常我们采取「右手定则」，把这三个向量移到同一始点O，并将右手拇指指向食指指向，那么中指指向的方向就是c的方向，即cab的方向（如图1和图2所示）且有abba。111222(,,),(,,),axyzbxyz设则:
111111122112211221222222,,,,yzzxxyabyzyzzxzxxyxyyzzxxy
图1 abc图2
2 （注：1、二阶行列式:abMadcbcd；2、适合右手定则。）
例1、已知，)1,2,1(),0,1,2(ba，试求（1）：;ba（2）：.ab
答案: (1) )5,2,1(ba;)5,2,1()2(ab
例2、 如图3中在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，求平面1ACD的法向量n和单位法向量0n。
解：法一（内积法）建立空间直角坐标系，如图3，则(1,0,0)A，(0,1,0)C。设平面1ACD的法向量(,,1)nxy。得(1,1,0)AC，1(1,0,1)AD。
又n面1ACD，得nAC，1nAD。有(,,1)(1,1,0)0(,,1)(1,0,1)0xyxy，得11xy。
(1,1,1)n，0(1,1,1)333(,,)333111nnn。
法二：（外积法）我们由上可得(1,1,0)AC，1(1,0,1)AD。
则：11,1,01,0,11,1,1nACAD，0(1,1,1)333(,,)333111nnn
注：从上可以看出，求平面的法向量我们用外积法更简洁，我们以后可以尝试应用这种方法
二、平面法向量的应用
1、
求空间角
(1)、求线面角：如图4-1，设n是平面的法向量，AB是平面的一条斜线，A，则AB与平面所成的角为：
41,arccos.22||||sin|cos,|||||41,arccos22||||nABnABnABnABnABnABnABnABnAB如图中:如图中:
例3、 在例2中，求直线1AA与平面1ACD所成的角。
3 A B
O n
图 7 解析：由例2知，(1,1,1)n，1(0,0,1)AA，1113sin33AAnAAn，即3arcsin3
(2)、求面面角:设向量m，n分别是平面、的法向量，则二面角l的平面角为：
||||arccos,nmnmnm（图5-1）;
||||arccos,nmnmnm(图5-2)
两个平面的法向量方向选取合适,可使法向量夹角就等于二面角的平面角。约定，在图5-1中，m的方向对平面而言向外，n的方向对平面而言向内；在图5-2中，m的方向对平面而言向内，n的方向对平面而言向内。我们只要用两个向量的向量积（简称“外积”，满足“右手定则”）使得两个半平面的法向量一个向内一个向外，则这两个半平面的法向量的夹角即为二面角l的平面角。
例4、 在例2中，求二面角1DACD的大小。
解：由例2知，平面1ACD的法向量是1(1,1,1)n，平面DAC的法向量是2(0,0,1)n，
设二面角1DACD的大小为，则
1212(1,1,1)(0,0,1)3cos33nnnn，得3arccos3。
2、 求空间距离
（1）、异面直线之间距离:
方法指导：如图6,①作直线a、b的方向向量a、b，
求a、b的法向量n，即此异面直线a、b的公垂线的方向向量；
②在直线a、b上各取一点A、B，作向量AB； 图6 n a b
A B β
α m图5-1 nmα
图5-2 nβ
图4-1 α B nA C A B
α
图4-2 C n
4 ③求向量AB在n上的射影d，则异面直线a、b间的距离为
||||•nnABd,其中bBaAbnan,,,
（2）、点到平面的距离:
方法指导：如图7,若点B为平面α外一点，点A为平面α内任一点，平面的法向量为n，则点P到平面α的距离公式为：0cosABnABndABABABnABnn
例5、 在例2中，求点1A到平面1ACD的距离。
解析：由例2的解答知，平面1ACD的单位法向量0333(,,)333n，
又1(0,0,1)AA，设点1A到平面1ACD的距离为d，则
103333(0,0,1)(,,)3333dAAn。 所以，点1A到平面1ACD的距离为33。
（3）、直线与平面间的距离:
方法指导：如图8,直线a与平面之间的距离：
||ABndn，其中aBA,。n是平面的法向量
（4）、平面与平面间的距离:
方法指导：如图9,两平行平面,之间的距离：
||||•nnABd，其中,AB。n是平面、的法向量。
3、 证明
（1）、证明线面垂直：在图10中,m向是平面的法向量，a是直线a的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量共线（am）。
（2）、证明线面平行：在图11中,m向是平面的法向量，
a是直线a的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量垂直图11 α ma
a图10 α a ma图9 α β
A B n A a B
α n
图8
5 （0•am）。
（3）、证明面面垂直：在图12中，m是平面的法向量，
n是平面的法向量，证明两平面的法向量垂直（0•nm）
（4）、证明面面平行：在图13中, m向是平面的法向量，
n是平面的法向量，证明两平面的法向量共线（nm）。
三、利用法向量解2008年高考立体几何试题
例6、（湖南理第17题）如图14所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD
是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD， PA＝2. （Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB;
（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小.
解：如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系.则相关各点的坐标分别是A（0，0，0），B（1，0，0），33(,,0),22C13(,,0),22DP（0，0，2）,3(1,,0).2E
（Ⅰ）因为3(0,,0)2BE平面PAB的一个法向量是0(0,1,0)n，
所以0BEn和共线.从而BE⊥平面PAB.
又因为BE平面PBE，故平面PBE⊥平面PAB.
(Ⅱ)易知3(1,0,2),(0,02PBBE，），
13(0,0,2),(,,0)22PAAD
设1111(,,)nxyz是平面PBE的一个法向量，则由110,0nPBnBE 得：
111122020,3000.2xyzxyz所以11110,2.(2,0,1).yxzn故可取
设2222(,,)nxyz是平面PAD的一个法向量，则由220,0nPAnAD 得： 图13 α mβ n图12 β
α mn图14
6 2222220020,1300.22xyzxyz 所以2220,3.zxy故可取2(3,1,0).n
于是，1212122315cos,.552nnnnnn
故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是15arccos.5
点评：本题采用常规方法（即综合法）求这个二面角的平面角比较困难，而用向量法只要计算不出问题，一般都能解决问题
例7、（全国卷Ⅱ理科第19题)如图14，正四棱柱1111ABCDABCD中，124AAAB，点E在1CC上且ECEC31．（Ⅰ）证明：1AC平面BED；
（Ⅱ）求二面角1ADEB的大小．
解：以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，
建立如图所示直角坐标系Dxyz．
依题设，1(220)(020)(021)(204)BCEA，，，，，，，，，，，．
(021)(220)DEDB，，，，，，11(224)(204)ACDA，，，，，．
（Ⅰ）因为10ACDB，10ACDE，
故1ACBD，1ACDE．又DBDED，所以1AC平面DBE．
（Ⅱ）设向量()xyz，，n是平面1DAE的法向量，则
DEn，1DAn．故20yz，240xz．令1y，则2z，4x，(412)，，n．
1AC，n等于二面角1ADEB的平面角，11114cos42ACACAC，nnn．
所以二面角1ADEB的大小为14arccos42．
点评：本题主要考查位置关系的证明及二面角的找法和计算，同时也考查学生的空间想象能力和推理能力。
例8、（北京卷理第16题）如图15，在三棱锥PABC中，2ACBC，90ACB，A B C D E A1 B1 C1 D1
y
x z
图14
