高中数学用平面法向量求空间距离省级优质课精品PPT课件

1 用向量法求空间距离

湖南省冷水江市七中(417500) 李继龙

在高中立体几何中引入空间向量，为解决立体几何问题提供了一种新的解题方法，有时也能降低解题难度.下面通过例题介绍用向量法求空间距离的方法.

一、 求两点之间的距离

用向量求两点间的距离，可以先求出以这两点为始点和终点的向量，然后求出该向量的模，则模就是两点之间的距离.

例1 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点P是AD1的中点，Q是BD上一点，DQ=41DB，求P、Q两点间的距离.

解 如图1，以1DDDCDA、、所在的直线分别为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系D-xyz，则0)4141(Q)21021(，，、，，P，

所以)21－4141(－PQ，，.

故46PQ,即P、Q两点的距离为46.

二、 求点到直线之间的距离

已知如图2，P为直线a外一点，Q为a上任意一点，PO⊥a于点O，所以点P到直线a的距离为|PO|=d.

则有QOQPcosQOQPQOQP，，

所以QOQPQOQPQOQPcos，，

故QOQPQPPQOPQPOd，sinsin

22222QOQO1cos1QOQPQPQPQOQPQPQOQPQP， A B C D

Q P A1 B1 C1 D1

y

x z

图1

P

Q O a

图2 2 例2 在长方体OABC-O1A1B1C1中，OA=2，AB=3，AA1=2.求点O1到直线AC的距离.

解 建立如图3所示的空间直角坐标系，连结AO1，则A(2，0，0)，C(0，3，0)，O1(0，0，2).

所以0)32－(AC2)02－(AO1，，，，，.

故22121ACACAOAOd

13286213168

所以点O1到直线AC的距离为132862.

高中数学空间向量之--平面法向量的求法及其应用

一、 平面的法向量

1、定义：如果a，那么向量a叫做平面的法向量。平面的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。

2、平面法向量的求法

方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面的法向量(,,1)nxy[或(,1,)nxz，或(1,,)nyz]，在平面内任找两个不共线的向量,ab。由n，得0na且0nb，由此得到关于,xy的方程组，解此方程组即可得到n。

方法二：任何一个zyx,,的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是zyx,,的一次方程。0DCzByAx )0,,(不同时为CBA，称为平面的一般方程。其法向量),,(CBAn;若平面与3个坐标轴的交点为),0,0(),0,,0(),0,0,(321cPbPaP,如图所示,则平面方程为:1czbyax,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。

方法三(外积法): 设 , 为空间中两个不平行的非零向量，其外积ba为一长度等于sin||||ba，（θ为,两者交角，且0），而与 , 皆垂直的向量。通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由

的方向转为 的方向时，大拇指所指的方向规定为ba的方向,abba。:),,,(),,,(222111则设zyxbzyxa21yyba ,21zz21xx ,21zz21xx 21yy

（注：1、二阶行列式:caM cbaddb；2、适合右手定则。）

例1、 已知，)1,2,1(),0,1,2(ba，

试求（1）：;ba（2）：.ab

Key: (1) )5,2,1(ba;)5,2,1()2(ab

例2、如图1-1,在棱长为2的正方体1111ABCDABCD中，

第4讲 空间向量与距离、探究性问题

[考情分析] 1.以空间几何体为载体，考查利用向量方法求空间中点到直线以及点到平面的距离，属于中等难度.2.以空间向量为工具，探究空间几何体中线、面的位置关系或空间角存在的条件，计算量较大，一般以解答题的形式考查，难度中等偏上．

考点一 空间距离 核心提炼

(1)点到直线的距离

直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的任一点，P为直线l外一点，设AP→＝a，则点P到直线l的距离d＝a2－a·u2.

(2)点到平面的距离

平面α的法向量为n，A是平面α内任一点，P为平面α外一点，则点P到平面α的距离为d＝|AP→·n||n|.

考向1 点到直线的距离

例1 (1)如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD.若已知AB＝3，AD＝4，PA＝1，则点P到直线BD的距离为________．

答案 135

解析 如图，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则P(0,0,1)，B(3,0,0)，D(0,4,0)，

则BP→＝(－3,0,1)，BD→＝(－3,4,0)，

故点P到直线BD的距离d＝|BP→|2－BP→·BD→|BD→|2＝10－952＝135，

所以点P到直线BD的距离为135. (2)(2022·枣庄检测)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点F，G分别是AB，CC1的中点，则1DGFS△的面积为________．

答案

142

解析

以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系(图略)，

则D1(0,0,2)，G(0,2,1)，F(1,1,0)，

FD1→＝(－1，－1,2)，FG→＝(－1,1,1)，

∴点D1到直线GF的距离d＝|FD1→|·1－FD1→·FG→

|FD1→|·|FG→|2

＝6×1－26×32＝423.

1 1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 (1)------距离问题

1.用向量语言表示点到直线、点到平面、互相平行的直线、互相平行的平面的距离问题.

2.能用向量方法解决点到直线、点到平面、互相平行的直线、互相平行的平面的距离问题.

3.素养养成：直观想象、数学抽象、数学运算.

重点：理解运用向量方法求空间距离的原理.

难点：掌握运用空间向量求空间距离的方法.

一、情境导学

位于马来西亚吉隆坡的石油双塔(Petronas Twin Towers)曾经是世界最高的摩天大楼，而且目前仍是世界最高的双塔楼，其空中天桥更是别具一格，贯通双塔。

天桥的长度代表了双塔之间的最短距离，思考一下，空间中还有哪些距离问题？

回答：_______________________________________________________________________.

二．复习巩固

投影向量

,abc1.设向量在方向上的投影向量为则

c——————————；

cos,,ababab借助数量积

cos,__________.bcaabb

2. 特别的，当b为单位向量u时，

a在单位方向向量u上的投影向量为cauu，其长度为c_______________.

2 三、自主探究（理解教材）

问题引入

思考：如图所示正方体，如何求点B到直线AC1的距离？如何求点B到平面AEC1的距离？_______________________________________________________________________________________________________________.

新知探究

1.点到直线的距离

已知直线l的单位方向向量为u,A是直线l上的定点,P是直线l外一点.设APa,则向量AP在直线l上的投影向量AQauu，点P到直线l的距离为PQ=________________.