浅议以函数为模型的数学建模问题的类型和解法
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意“ 全正 ” 取等号 ” 个条件 ， 和“ 两 缺一不 可 ，否则就只能用 函数 的单调性求解 ； 用 导数法求解时 ， 应用求导公式正确求导是
前提， 然后依据导数的性质求 出函数 的单 调区间和极值 ， 进而得到函数 的最值 。
例 １ ：某汽车销售公司 以每 台 ｌ 万 ０
元 的价 格 销 售 某 种 品 牌 的 汽 车 ，可 售 出
即 一 ＋ ０ １ ｍ）＋ ０ ０ ＞ ０ ０ 。＜ １０（－ ｘ １０ ０ １０ ０ ０ ｘ
≤ ８０。
ｈｘ ＝ （ １ １０ ＋ ０（
（≤ １ ≤２ ，ＥＮ） ５ｘ ＋４ ） １９
（５ｘ ０ ∈Ｎ） ２ ＜ ￣３ ，
（ ） 当 １ ≤２ ２ ≤ ５时 ， （ ） １０ ｘ ｈ ＝ ０ （＋
—
载体 的数学建模 问题可 以较好地考查 学 生 的数学应用 能力 ， 以我们 应该重视 。 所
下 面就 以函数 为模 型的数学建模 问题的 类型进行分析 ， 并介绍一下相关解法 。 以函数为模 型的数学建模 问题 的建 模类 型通 常会设 置两小问 ，第一 问是列 出函数关 系， 建立 函数模 型 ； 第二 问一般
（ ） 即 一，
：
１ １０ 当 ： ２０ ，
， 即 ： ０ 等号成立 ； １，
ｌ０ １ｍ） ８ 解 得 ０ ｍ 。 Ｏ （－ ＞ ０ ＜＜
，
当 ２ ＜ ≤３ ５ ｘ ０时 ， － 一 １０ ｈ（ ） ０ （ ＋ ）Ｏ恒成立 ， １＜ 故 （） 区间（ ５ ３１ 在 ２ ，ｏ上
％时， 销售 总金额为 Ｙ 万元 。
由题 意 得 ｙ １ ＝ ０×１０ ０ ０×（帆 ％ ）× １
（ － Ｘ￣ ， ＿ ｍ ２１０ １ｍ）＋ Ｏ ０ １ｍ， ）即 ｙ Ｏ ｆ — ｘ＋ Ｏ （ － ｘ ｌ ０ ０
ｇ ｘ ＝ Ｏ ＋ ， （ ） ｘｇ ｘ ＝ Ｏ （＋ （ ） ｌＯ ｘｈ ｘ ）（ ） ｌ０ １ ）１Ｈ ） １０ ｏ＋ ０ ） （ ０ 乜 ： ０ （＋ ＿ １ １ ； Ｄ
＋ ０ ） ≥ １０ （ 、而 ＋ ０ ） １１ ０ ２ ／ １ １
主干知识 ， 是高考 的重点 和热点 ， 数学 在 的各分支 中都 有广泛的应用 。以函数为
所 以 一／２１０（－ ＞ ．＜ ≤８ ／ ＋ ０ １ｍ）０ ０ ｘ Ｔ ． ￣ ０
恒成立。 注 意 到 ｍ＞０ ，
ｍ
实际问题。” 以湖南省 ２ １ 年 高考样卷 ００
为例 ， 我们可 以看到 ， 数学建模 问题 已作 为必 考的解答题形式 出现 ，可见未来高 考的趋 势是 ：数学建模 问题将 会是 高考
的 主要 题 型 之 一 。而 函数 是 高 中数 学 的
如果涨价能使销售总金额 比原销售总 金额多 ，则 当 ０ ｘ≤８％时 ，＝ ０ ０ ０ ＜ Ｏ ｙ １ ×１０ ，
（） ２如果涨价能使 销售总金额 比原销 售总金额多 ， ｍ的取值范 围。 求 解析 ：１ 设该 品牌每 台的价格上涨 （）
是求解 的关键。只有将两者结合 ， 才能解
好此类 问题 。
解析 ： １ 当 １ ≤２ （） ≤ ５时 ，
二 二
生向中学生转移是近年 国际数 学教育发
展的一种 趋势。我 国普通 高中新的数学
教 学 大 纲 中也 明 确 提 出 ：要 切 实 培 养 学 “
ｘ５ ＝ ０时 ， ＝ ５ ｙ １２ ０万 元 。 １
即该 品牌 汽车每台的价格上涨 ５ ％ ０
时 ， 售 总 金 额最 大 。 销
Ｉ２１ ｘ ５， １ ３ ｌ ∈Ｎ。 － ∈『，Ｏ，
价格上涨百分之几 ，可使销售 的总金额
最大？
（ ）试 写出该商 品的 １销售额 ｈ ｘ １ ３ （） （ ） 元 关于时间 （ ） 天 的函数近似表达式 ； （） ２ 试求 出该商品的 日销售额 ＾ ） （
的最 小 值 。
（＜ ≤８ ） ０ ０ 。
当 ２ ＜ ￣３ ５ ｘ ０时 。
ｇｘ ＝ ５－ ，（ ）ｌ０ １ ）１０ （ ） １０ ｘｈ ｘ ＝ Ｏ （ ＋ （５ 一 ） １０ ＋ ０＋ ４ ） ： ０ （ ＿ １９
当 ｍ＝１ ，＝１ （一 ０ １２ ０ 当 ｙ ５ ） １５ ， ＋
浅议以函数为模型的数学建模 问题 的类型和解法
尹 小 红
（ 南省 株 洲市 南 方 中学 ， 南 株 洲 ４ ２ ０ ） 湖 湖 １０ ２
目前国际数学界普遍 赞同通过开展 数学建模活动和在数 学教学 中推广使用 现代化技术来推动数学教育改革 。 国、 美 德国 、日本等发达 国家普遍都 十分重视 数学建模 教学 ，把数学建模 活动从大学
二、 基本不等式型或导数 型
例 ２ 经市 场调研 ， 商场 的某一种 ： 某
该品牌汽车 １０ ０ ０台 ， 将该品牌汽 车每 若 台的价格上涨 ％， 则销售量将减少ｍｃ ａ ％， 且该品牌汽车每 台的价 格上涨幅度不超
商品在过去 ３ 天 内， ０ 销售价格 ， ）元 ） （ （ 与 时间 （ 的函数关系近似满足 ｘ＝ ０ 天） ）１０
（＋ ） Ｅ［，Ｏ， ＥＮ， １ ， １３ｌ ｘ ｘ 销售量 ） 时 与
从例 １ 例 ２的解题过程我们可 以看 、
出 ，解 以函数为模型 的数学建模问题 的
一
过 ８ｏ ｏ， ／ Ｋ其中 ｍ ０ 为常数 ） ＞， 。
（ ） ｍ 时 ， 品牌 汽车 每 台的 １当 ＝ 该
Ｚ
般步骤是 ： 审题一建模一求解一反馈 。
ｍ
所以 ｍ的取值范 围是 ０ ｍ＜ 。 ＜ 小结 ： 对于二次 函数型求最 值问题 ， 通常 的求解方法有 配方法 、二次 函数 的 单调性法 、 别式法 、 判 图象法等 。要注 意 的是 ， 二次函数的定义域 ， 以及如果二 次
单调递减 ， 所以当 ｘ ３ ＝ ０时 ，（ ） ｈ ３ ） ｈ ｘｍ＝ （０
综合可得：
ｌＯ ０ ＋ ０ ） Ｏ （＋ ０ １ １
．
生解 决实际问题 的能力 ，要求 增强应用 数学 的意识 ，能初步运用数学模 型解决
（ ）由 （ ） ｙ 一 ｘ＋ Ｏ １ｍ）＋ ２ １ 得 ＝ ｍ ２ｌ０（－
１０ ０ １０ ０ ０ ｘ≤８ ） ０ ０ ＞ ００ （ ＜ ０。
间 （ ） 天 的函数 关系近似 满足 ）１ ５ ＝ ２
一
其 中建模是前提 ，首先要 准确把握题 中
各个变量问 的关 系，然后 要恰 当地选取 自变量 ， 同时要 注意 自变量 的实 际意义 ， 进 而提炼出 目标 函数式 ，将 实际问题转 化 为数 学问题。掌握好 函数 的相关 性质
＝
１ ４００。 ２
比较可得 （） 的最小值为 １ １０元。 ２０ 小结 ：此种题型的函数通 常为分式 函数形式。用基本不等式法求解时 ， 要注
转化为求最值 问题 。依据其最值解法 ， 我 们又将题型主要分 为以下两种 ：
一
、
二 次 函数 型
项系数含有参数 ， 考虑参数是否为 ０ 应 。
