数学建模与问题解决——函数模型的应用

数学建模建立函数模型解决实际问题知识讲解1.用函数构建数学模型解决实际问题的步骤(1)观察实际情景:对实际问题中的变化过程进行分析;(2)发现和提出问题:析出常量、变量及其相互关系;(3)收集数据、分析数据:明确其运动变化的基本特征,从而确定它的运动变化类型;(4)选择函数模型:根据分析结果,选择适当的函数类型构建数学模型,将实际问题化归为数学问题;(5)求解函数模型:通过运算推理,求解函数模型;(6)检验模型:利用函数模型的解说明实际问题的变化规律,达到解决问题的目的。

2面临实际问题,自己建立函数模型的步骤(1)收集数据;(2)画散点图(3)选择函数模型;(4)求函数模型;(5)检验;(6)用函数模型解释实际问题.3.数学建模活动的要求(l)组建合作团队;(2)开展研究活动;(3)撰写研究报告;(4)交流展示。

一、选择题 1.某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的函数解析式为y=5x+4000,而手套出厂价格为每副10元,则该厂为了不亏本,日产手套至少为( )A.200副B.400量C.600副D.800副 2.下面是一幅统计图,根据此图得到的以下说法中,正确的个数是( )(1)这几年生活水平逐年得到提高；(2)生活费收入指数增长最快的一年是2008年；(3)生活价格指数上涨速度最快的一年是2009年；(4)虽然2010年生活费收入增长缓慢,但生活价格指数也略有降低,因而生活水平有较大的改善。

A.1B.2C.3D.4 3.某商品价格前两年每年递增20%,后两年每年递减20%,则四年后的价格与原来价格相比,变化情况是()A.增加7.84%B.减少7.84%C.减少9.5%D.不增不减4.某公司招聘员工,面试人数按拟录用人数分段计算,计算公式为⎪⎩⎪⎨⎧∈≥∈<<+∈≤≤,,100,5.1,,10010,102,,101,4N x x x N x x x N x x x 其中,x 代表拟录用人数,y 代表面试人数,若面试人数为60,则该公司拟录用人数为( )A.15B.40C.25D.1305.某地固定电话市话收费规定:前三分钟0.20元(不满三分钟按三分钟计算),以后每加一分钟增加0.10元(不满一分钟按一分钟计算),那么某人打市话550秒,应支付电话费( )同步练习A.1.00元B.0.90元C.1.20元D.0.80元二、填空题 1.在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度v 米/秒和燃料的质量M 千克、火箭(除燃料外)的质量m 千克的函数关系式是)1ln(2000m M v +⋅=.当燃料质量是火箭质量的 倍时,火箭的最大速度可达12千米/秒.2.生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本.某企业一个月生产某种商品x 万件时生产成本为)(20212)(2万元++=x x x C ,一万件售价是20万元,为获得更大利润,该企业一个月应生产该商品数量为 万件。

建立函数模型解决实际问题1、数学模型就是把 实际问题 用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题，得出关于实际问题的数学描述．2、数学建模就是把实际问题加以 抽象概括 建立相应的 数学模型 的过程，是数学地解决问题的关键．3、实际应用问题建立函数关系式后一般都要考察 定义域 ． 建立函数模型解决实际问题的一般步骤：（1）审题：弄清题目意，分清条件和结论，理顺数量关系；（2）建模：将题目条件的文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型； （3）解模：求解数学模型，得到数学结论；（4）结论：将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义，并根据题意下结论． 典例解析：例1、有一块半径为R 的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD 的形状，它的下底AB 是⊙O 的直径，上底CD 的端点在圆周上，写出这个梯形周长y 和腰长x 间的函数关系式，并求出它的定义域．分析：关键是用半径R 与腰长x 表示上底，由对称性：2CD AB AE =-，故只要求出AE ．例2、某单位设计的两种密封玻璃窗如图所示：图1是单层玻璃，厚度为8 mm ；图2是双层中空玻璃，厚度均为4 mm ，中间留有厚度为x 的空气隔层．根据热传导知识，对于厚度为d 的均匀介质，两侧的温度差为T ∆，单位时间内，在单位面积上通过的热量T Q k d ∆=⋅，其中k 为热传导系数．假定单位时间内，在单位面积上通过每一层玻璃及空气隔层的热量相等．（注：玻璃的热传导系数为3410 J mm/C -⨯⋅，空气的热传导系数为42.510 J mm/C -⨯⋅．） （1）设室内，室外温度均分别为1T ，2T ，内层玻璃外侧温度为1T '，外层玻璃内侧温度为2T '，且1122T T T T ''>>>．试分别求出单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量（结果用1T ，2T 及x 表示）；（2）为使双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量只有单层玻璃的4%，应如何设计x 的大小？图1图2例3、将一张长8cm ，宽6cm 的长方形的纸片沿着一条直线折叠，折痕(线段)将纸片分成两部分，面积分别为S 1cm 2，S 2cm 2，其中S 1≤S 2．记折痕长为l cm ． （1）若l ＝4，求S 1的最大值；（2）若S 1∶S 2＝1∶2，求l 的取值范围．解析：如图所示，不妨设纸片为长方形ABCD ，AB ＝8cm ，AD ＝6cm ，其中点A 在面积为S 1的部分内．折痕有下列三种情形：①折痕的端点M ，N 分别在边AB ，AD 上； ②折痕的端点M ，N 分别在边AB ，CD 上； ③折痕的端点M ，N 分别在边AD ，BC 上．ABCD （情形③）MNABCD （情形②）MNABCD （情形①）MN例4、如图，游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径。

使用函数建模和解决问题在现代科学和工程领域中，函数建模是一种重要的数学工具，它可以帮助我们理解和解决各种实际问题。

通过将现实世界的问题转化为数学函数的形式，我们可以更好地分析和预测事物的行为。

本文将介绍函数建模的基本概念，并通过一些实例来说明其在问题解决中的应用。

函数建模是将一个问题转化为数学函数的过程。

它的核心思想是通过数学模型来描述事物的变化规律。

在实际应用中，我们通常会遇到各种各样的问题，例如物理学中的运动问题、经济学中的供求关系、生物学中的生长模式等等。

这些问题都可以通过函数建模来解决。

首先，让我们以物理学中的运动问题为例来说明函数建模的过程。

假设有一个物体在直线上运动，我们想要知道它在某个时刻的位置。

首先，我们需要定义一个函数来描述物体的位置与时间的关系。

假设物体的初始位置为x0，初始速度为v0，加速度为a，时间为t。

我们可以得到如下的函数：x(t) = x0 + v0t + 0.5at^2通过这个函数，我们可以根据物体的初始条件和时间来计算物体在任意时刻的位置。

这个函数就是通过函数建模得到的数学模型，它可以帮助我们预测物体的位置。

除了物理学中的运动问题，函数建模在经济学中也有广泛的应用。

例如，我们可以使用函数建模来描述供求关系。

假设某个商品的需求量D和价格P之间存在着某种关系。

我们可以将这个关系表示为一个函数：D(P) = a - bP其中，a和b是常数。

通过这个函数，我们可以根据商品的价格来预测需求量。

当价格上升时，需求量会下降；当价格下降时，需求量会上升。

这个函数可以帮助企业决策者制定合理的价格策略，以最大化利润。

除了物理学和经济学，函数建模在生物学中也有重要的应用。

例如，我们可以使用函数建模来描述生物的生长模式。

假设一个细胞的数量N随时间t的变化满足以下的函数关系：N(t) = N0 * e^(kt)其中，N0是初始细胞数量，k是一个常数，e是自然对数的底。

通过这个函数，我们可以预测细胞数量随时间的变化。

《函数模型的应用实例》教案一、教学目标1. 理解函数模型在实际问题中的应用。

2. 学会构建函数模型解决实际问题。

3. 培养学生的数学建模能力和创新思维。

二、教学内容1. 函数模型概述2. 常见函数模型及其应用3. 函数模型的构建方法4. 函数模型在实际问题中的应用案例分析5. 函数模型的评估与优化三、教学重点与难点1. 教学重点：函数模型在实际问题中的应用，函数模型的构建方法。

2. 教学难点：函数模型的评估与优化。

四、教学方法1. 案例分析法：通过实际问题案例，引导学生学会构建函数模型解决问题。

2. 讨论法：分组讨论，分享不同函数模型在实际问题中的应用。

3. 实践操作法：让学生动手实践，优化函数模型。

五、教学准备1. 教学PPT2. 实际问题案例及解决方案3. 计算机软件（如MATLAB、Excel等）4. 练习题教案内容示例：第一课时：函数模型概述1. 导入：介绍函数模型在实际生活中的应用，如线性规划、最优化问题等。

2. 讲解：讲解函数模型的概念、特点和分类。

3. 案例分析：分析实际问题案例，引导学生理解函数模型。

4. 练习：让学生练习构建简单的函数模型。

第二课时：常见函数模型及其应用1. 导入：介绍常见函数模型，如线性函数、二次函数等。

2. 讲解：讲解常见函数模型的性质及其在实际问题中的应用。

3. 案例分析：分析实际问题案例，引导学生运用常见函数模型解决问题。

4. 练习：让学生运用常见函数模型解决实际问题。

后续课时依次讲解函数模型的构建方法、函数模型在实际问题中的应用案例分析、函数模型的评估与优化等内容。

教学反思：在教学过程中，关注学生的学习反馈，及时调整教学方法和节奏，确保学生能够掌握函数模型在实际问题中的应用。

注重培养学生的创新思维和动手实践能力，提高他们的数学建模能力。

六、教学活动设计1. 课堂讲解：介绍函数模型的基本概念和重要性。

2. 案例分析：分析实际问题，引导学生识别和构建函数模型。

高中数学：函数模型及其应用在数学的世界里，函数是一个重要的概念，它描述了一个变量与另一个变量之间的关系。

而在高中数学中，函数模型及其应用成为了学生们必须掌握的重要内容。

一、函数模型的理解函数，对于很多人来说，可能是一个复杂的概念。

但实际上，函数却是极其普遍的存在。

在我们的日常生活中，函数无处不在。

比如，身高随着年龄的增长而增长，这就是一个函数关系。

在这个例子中，年龄是自变量，身高是因变量。

再比如，购买商品时，价格随着数量的增加而增加，这里数量是自变量，价格是因变量。

函数模型，就是用来描述这种变量之间关系的数学工具。

它将生活中的各种关系，转化为数学公式，使我们能更好地理解和分析这些关系。

二、函数模型的应用函数模型的应用广泛存在于我们的生活中。

比如，在商业领域，公司需要根据市场需求和价格来决定生产量。

这就需要使用函数模型来预测市场的趋势，从而做出最佳的决策。

在物理学中，牛顿的第二定律就是一个函数模型，它描述了力、质量和加速度之间的关系。

而在生物学中，细胞分裂的模型也是一个函数，它描述了细胞数量随时间的变化情况。

三、高中数学中的函数模型在高中数学中，我们主要学习了一些基本的函数模型，如线性函数、二次函数、指数函数和对数函数等。

这些函数模型可以帮助我们解决生活中的很多问题。

比如，线性函数可以帮助我们解决速度和时间的问题，二次函数可以帮助我们解决几何图形的问题，而指数函数和对数函数则可以帮助我们解决增长和衰减的问题。

四、总结函数模型是高中数学中的一个重要内容。

它不仅可以帮助我们解决生活中的问题，还可以帮助我们更好地理解这个世界。

因此，学生们应该积极学习函数模型及其应用，努力提高自己的数学素养。

高中数学函数的概念课件课件标题：高中数学函数的概念课件一、引言函数是高中数学的核心概念，是数学学习中不可或缺的一部分。

函数的概念是理解函数的基础，也是进一步学习函数性质和应用的前提。

本课件旨在帮助学生理解函数的基本概念，掌握函数的定义和性质，为后续的学习奠定坚实的基础。

数学函数模型及应用怎么做数学函数模型是数学领域中的一个重要概念，它描述了变量之间的关系，并且可以应用于多个实际问题中。

下面将详细介绍数学函数模型及其应用。

一、数学函数模型的定义与性质数学函数模型是一种将输入映射到输出的关系，它由以下几个要素组成：1. 自变量：自变量是函数的输入，通常用x表示。

它可以是数字、变量、向量或者其他一切能够被映射到输出的东西。

2. 因变量：因变量是函数的输出，通常用y表示。

它的取值取决于自变量的值和函数的性质。

3. 函数关系：函数关系描述了因变量和自变量之间的映射关系，通常用f(x)表示。

4. 定义域和值域：定义域是自变量可能取值的集合，值域是函数可能取值的集合。

数学函数模型具有以下几个性质：1. 单值性：对于定义域中的每一个自变量值，函数关系只有一个对应的因变量值。

2. 唯一性：不同的自变量值不会对应相同的因变量值。

3. 映射性：定义域中的每一个自变量都在值域中有对应的因变量。

4. 可逆性：如果在定义域中存在一个自变量值x1，使得f(x1) = y，则在值域中存在一个自变量值x2，使得f(x2) = x1。

二、数学函数模型的应用1. 自然科学领域：数学函数模型在自然科学领域中有广泛的应用。

例如，物理学中的牛顿第二定律F = ma可以用函数模型来表示，其中F是力，m是物体的质量，a是加速度；化学中的反应速率也可以用函数模型来表示，其中反应速率与反应物的浓度之间存在一定的关系。

2. 经济学领域：经济学中的供求关系、消费曲线、生产函数等都可以用数学函数模型来描述。

例如，供求函数模型可以用来分析市场上的价格和数量之间的关系；消费函数可以用来预测个人或家庭的消费行为。

3. 数据分析领域：数学函数模型在数据分析领域有重要的应用。

例如，线性回归模型可以用来拟合数据点，从而建立变量之间的关系；指数函数可以用来拟合指数增长的数据。

4. 金融领域：金融领域中的利率计算、财务分析等问题也可以用数学函数模型来解决。

基于数学建模核心素养下《函数模型的应用》的课堂诊断和教学反思一、引言数学建模是一种运用数学方法和工具解决实际问题的过程。

在数学教育中，培养学生的数学建模核心素养是非常重要的。

本文主要通过对《函数模型的应用》教学过程的观察和反思，进行课堂诊断和教学反思，以提升学生的数学建模能力。

二、教学背景和课堂观察本次教学针对高中数学选修课《函数模型的应用》的第一节课。

课堂观察发现学生对函数模型的概念和应用了解较为薄弱，同时学生对数学建模的意识欠缺，对数学在实际问题中的应用能力也较弱。

因此，本次教学的目标是提高学生对函数模型的理解和应用能力，培养学生的数学建模能力。

三、课堂诊断和教学方法在教学过程中，我采用了以下几种教学方法来达到课堂诊断和教学反思的目的：1. 激发学生的兴趣：通过引入生动的实例和实际问题，激发学生对函数模型的兴趣，并使他们能够真实地感受到数学建模在解决实际问题中的重要性。

2. 探究式学习：鼓励学生主动思考和探索，在教学中通过提问、讨论等方式引导学生寻找问题的解决方法，培养他们的问题解决能力和创新思维。

3. 实践操作：引入实际的数据和情境，让学生通过实践操作来建立函数模型，提升学生的应用能力和动手实践能力。

4. 反思总结：在教学结束后，通过课堂讨论和个别交流的方式，让学生对本堂课的内容进行总结和反思，加深对函数模型的理解。

四、课堂实施根据以上的教学方法，我设计了一堂《函数模型的应用》的课堂实施方案：1. 导入阶段：通过教师简短的引导，通过一个实际问题引起学生对函数模型的思考，并提出问题：“我们如何用数学模型来解决这个问题？”2. 发现问题：将学生分组，每个小组讨论并总结出问题中的变量，并确定自变量和因变量。

通过小组交流，让学生找到问题中隐藏的规律和联系。

3. 建立函数模型：教师引入函数的概念，并通过实例引导学生建立函数模型。

同时，教师辅助学生进行数据的收集和整理，并通过实验验证提出的模型的准确性。

函数模型在实际问题中的应用在我们的日常生活和工作中，数学的身影无处不在，而函数作为数学中的重要概念，更是有着广泛且实用的应用。

函数模型能够帮助我们理解和解决各种各样的实际问题，从经济领域的成本与收益分析，到物理世界中的运动规律描述，从环境科学中的资源分配，到工程技术中的优化设计，都离不开函数模型的助力。

先来说说经济领域中的成本与收益问题。

假设一家工厂生产某种产品，其生产成本 C 与产量 x 之间的关系可以用函数 C(x) ＝ ax ＋ b 来表示，其中 a 表示单位产品的变动成本，b 是固定成本。

而产品的销售收益 R 与产量 x 的关系可以用函数 R(x) ＝ px 来表示，其中 p 是单位产品的销售价格。

那么，工厂要想获得利润，就需要考虑收益大于成本，即R(x) ＞C(x)，通过这样的函数关系，我们可以确定最佳的产量，使得利润最大化。

再看物理中的运动问题。

比如一个物体做自由落体运动，其下落的距离 h 与时间 t 的关系可以用函数 h ＝ 1/2gt²来表示，其中 g 是重力加速度。

通过这个函数，我们可以计算出物体在不同时刻所处的位置，从而预测其运动轨迹。

在环境科学中，函数模型也发挥着重要作用。

例如，研究某个区域的水资源分配问题。

假设该区域的水资源总量是固定的，而不同部门的用水需求可以用函数表示。

通过建立这些函数关系，我们可以合理地规划水资源的分配，以满足各个部门的需求，同时保证水资源的可持续利用。

工程技术方面，以桥梁的设计为例。

桥梁的承重能力与桥梁的结构参数之间存在着函数关系。

工程师们需要通过建立准确的函数模型，来确定桥梁的最佳设计方案，既要保证桥梁的安全性，又要控制建设成本。

让我们通过一个具体的例子来更深入地理解函数模型的应用。

假设我们要设计一个矩形的花坛，花坛的周长为一定值 L。

我们知道矩形的周长 L ＝ 2(x ＋ y)，其中 x 和 y 分别是矩形的长和宽。

而花坛的面积 S ＝ xy。

毕业论文函数模型及其在解决实际问题中的应用Function Model and Its Application in Solving the Practical Problems姓名：学号：系别：专业：年级：指导教师：2012年1月4日摘要本文论述了数学模型的概念、函数模型及其解题步骤，并对中学常见的函数建模类型归类分析，包括一次函数模型、二次函数模型、三角函数模型、指数函数模型以及对数函数模型，同时针对建立函数模型提出几点注意事项。

关键词：函数模型；实际问题；应用AbstractThis article discussed the concept of mathematical models and function model, as well as steps of solving problem in function model. Some common types in middle school were analyzed in this paper, including linear function model, quadratic objective function mode, trigonometric function model, exponential function model and logarithm functions model. At the same time, aiming at the construction of function model, some points for attention were put forward.Keywords: function model; practical problems; application目录中英文摘要 (I)引言 (1)1函数模型 (1)2应用函数模型解题的步骤 (1)2.1读懂题意，加深理解 (1)2.2引进数学符号，建立函数模型 (2)2.3求解函数模型 (2)2.4还原模型 (2)3函数模型在中学数学中的应用 (2)3.1幂函数模型 (2)3.1.1一次函数模型 (3)3.1.2二次函数模型 (4)3.2三角函数模型 (5)3.3指数函数、对数函数模型 (7)4注意事项 (9)结束语 (10)参考文献 (11)致谢 (12)引言2001年，2003年相继颁布了《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》和《普通高中数学课程标准（实验）》，新课程标准下强调数学与人的发展和现实生活之间的联系，因此重视开展数学应用教学活动是十分有必要的。

利用建模方法解决函数应用问题应用题是指利用数学知识解决一些非数学领域中的问题，在近几年全国各地高考中经常出现。

数学的高度抽象性决定了数学应用的广泛性，因而应用题的非数学背景是多种多样的，解应用题往往需要在陌生的情景中去理解、分析给出的有关问题，并舍弃与数学无关的非本质因素，通过抽象转化成相应的数学问题，或许正是这个原因让学生比较惧怕数学应用题。

在高考中要处理好函数应用题，学会数学建模分析的步骤和掌握数学建模的具体方法是关键.解题思维导图：第一步审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；第三步解模——求解数学模型，得到数学结论；第四步还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步反思——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.如图，甲、乙两观察哨所位于海岸线l（一条南北方向的直线）上的点A、B 处，两观察哨所相距32 n mile，在海岸线东侧有一半径为6 n mile圆形暗礁区，该暗礁区中心点C位于乙观察哨所北偏东的方向上，与甲观察哨所相距n mile，暗礁中心与乙观察哨所的距离大于n mile；（1）求暗礁中心点C到海岸线l的距离；（参考数据：）（2）某时刻，甲观察哨所发现在其正南方向且位于暗礁中心正西方向的点D处有一走私船正欲逃窜，甲观察哨所立即派缉私艇进行追击．已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．问：无论走私船沿何方向逃窜，要保证缉私艇总能在暗礁区（不包含暗礁区边界）以外的海域内拦截成功，求的取值范围．解：在三角形ABC中，由余弦定理可得：，即：，整理得：解得：，或者（舍去）过点C作CD垂直于l，垂足为D，在直角三角形CDB中，CD=BC故暗礁中心点C到海岸线l的距离为nmile,，以点C为坐标原点，建立如图所示由（1）可知平面直角坐标系，则A（，），D（，0），暗礁区域边界所在的圆的方程为假设缉私艇在点T（x,y）处拦截成功，则，则点T满足方程：，化简得：要保证缉私艇总能在暗礁区（不包含暗礁区边界）以外的海域内拦截成功，只需要圆与圆外离，故整理得：135，解得或（舍去）．答：（1）暗礁中心点C到海岸线l的距离是n mile；1.当时，就能保证无论走私船沿何方向逃窜，缉私艇总能在暗礁区（不包含暗礁区边界）以外的海域内拦截成功．。