数学建模在数学解题中的应用

数学建模的应用论文摘要：数学建模，是源于生活和生产中的问题，但是我们必须运用数学思想、方法和知识将它抽象成一个数学模型，然后用各种手段把模型求解并应用到实际中去检验，数学建模是沟通理论和实际运用的桥梁和途径。

本文结合自己的教学体会从理论上和实际上阐述数学建模的作用和基本方法。

关键词：数学建模、数学模型方法、数学建模意识一、数学学习现状如果我们在高中学生中做一个调查，问其学习数学的目的是什么？可能大部分同学的回答是：为了高考；如果我们在非数学系的在读大学生中做一个调查，问其学习数学的用处是什么？可能大部分同学的回答是：应付考试。

应该说，我们的中学数学教学是一种“目标教学”。

一方面，我们一直想教给学生有用的数学，但学生高中毕业后如不攻读数学专业，就觉得数学除了高考拿分外别无它用；另一方面，我们的“类型十方法”的教学方式的确是提高了学生的应试“能力”，但是学生一旦碰到陌生的题型或者联系实际的问题却又不会用数学的方法去解决它。

大部分同学学了十二年的数学，却没有起码的数学思维，更不用说用创造性的思维自己去发现问题，解决问题了。

由此看来，中学数学教与学的矛盾显得特别尖锐。

加强中学数学建模教学正是在这种教学现状下提出来的。

“无论从教育、科学的观点来看，还是从社会和文化的观点来看，这些方面（数学应用、模型和建模）都已被广泛地认为是决定性的、重要的。

”我国普通高中新的数学教学大纲中也明确提出要“切实培养学生解决实际问题的能力”要求“增强用数学的意识，能初步运用数学模型解决实际问题，逐步学会把实际问题归结为数学模型，然后运用数学方法进行探索、猜测、判断、证明、运算、检验使问题得到解决。

”这些要求不仅符合数学本身发展的需要，也是社会发展的需要。

因为我们的数学教学不仅要使学生获得新的知识而且要提高学生的思维能力，要培养学生自觉地运用数学知识去考虑和处理日常生活、生产中所遇到的问题，从而形成良好的思维品质，造就一代具有探索新知识，新方法的创造性思维能力的新人。

数学建模思想融入高中数学教学的探索与实践我国教育体制改革的逐步开展下，如何提高学生核心素养和综合创新能力已成为当前高中教育的主要任务。

为了更加有效地引导学生学习，教师要通过建模方法来指导学生把数学知识整理得有条理，从而帮助学生形成问题意识，勇于提出问题，从而帮助他们更加深刻地理解数学知识，并通过合理的方法将数学知识与实际问题联系起来，提高自身的数学学科素养。

一、数学建模的内涵数学建模是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程，是数学教育教学的基本内容。

数学建模是从实际问题中建立数学模型的过程，是指经过对数据专业知识及其他专业知识的实际运用，能将数据学科的外部功能与内部应用层次加以统一衍射。

在数学模型上将所有的数据编程语言及其他元素都加以外部运用，将数学本身的实用、功用加以深入体现和演绎。

从数学教学、核心素质训练等方面分析，数学模型属于把数据专业知识和语言运用到外部环境中的一个表现方式，使学生对具体数据及各种功能应用有更深层次的认识。

同样，数学教学中模型能够使单调沉闷的几何教材显得更为充实、活泼有趣，能对学生积极主动学习产生积极影响。

从各个方面来说，数学模型对于全方位提高学生素质能力都具有重要的促进意义。

二、将数学建模思想融入高中数学教学的意义（一）借助模型，有助于理解由于学生在学习的过程当中难免出现一些学生不理解的问题，所以通过建模有助于孩子理解是非常关键的。

就如简单的计算，很可能学生在实际应用问题当中根本就很难掌握，可是经过实际地训练学生很快就会找到许多一开始忽略的细节点。

比如，在游泳池进水与放水这种很单纯的问题当中，学生对这两种变量之间的关系根本就无法判断，经过实际建模地训练学生却很轻松地就能够掌握。

而实际上在日常生活当中，也有许多建模训练能够用于表现某些数学概念与内容，数学根本就来自日常生活当中，学生不管在任何时候都不能离开了和实际生活的联系。

模块的建立可以帮助学生认识某些抽象的概念，也有助于学生获得更多的提高。

浅谈如何运用数学建模思想解题周伟广东东莞市常平振兴中学523573数学新课标指出：初中阶段的数学教学应结合具体的数学内容，采用“问题情境—建立模型—解释、应用与拓展”的模式展开，让学生经历知识的形成与应用过程，从而更好地理解和掌握数学知识.“数学建模”，一是数学学习的要求，二是数学知识与技能的体现，是“应用—拓展”的前提，所以，初中数学教学应特别重视学生建模能力的培养.学生数学建模能力的培养，应注意把握逐级递进、螺旋上升的原则，并贯穿学生的整个学习过程.数学建模的过程数学建模是运用数学的原理、方法、语言解决实际问题的过程，数学建模的过程主要包括4个环节：（1）问题分析：了解问题的实际背景材料，分析并找出问题的本质.（2）假设化简：确定影响研究对象的主要因素，忽略次要因素，以便简化问题，并进行数学描述和抓住问题的本质.（3）建模求解：根据分析建立相应的数学模型，并用数学方法或计算机程序（软件包）对模型进行求解.（4）验证修改：检验模型是否符合实际，并对它做出解释，最后将它应用于实际生产、生活中，产生社会效益或经济效益.需要注意的是，数学建模的问题往往不是一个单纯的数学问题，它往往涉及其他学科知识以及生活知识.数学建模的过程是一个多学科的合作过程，它促使学生融会贯通各门课程中学到的知识；促使学生根据需要查阅资料、获取知识；促使学生围绕问题收集信息，深化对问题的了解，并在此基础上解决问题.数学建模还可以培养学生推演、探索、猜想、计算，以及使用计算器、计算机等的能力.建模解题的案例分析数学模型大致可分为三种类型，其中的一种是应用型数学模型，它涉及面广、数量众多，对科学的发展起着直接的作用，既是数学转化为生产力的关键，又是数学本身发展的源泉.构造这种模型需具有相当广度和深度的数学修养，以及对实际问题的透彻认识.应用型数学模型又可分为物理系统和非物理系统两类.属于物理系统的数学模型如天体运行模型等，经常见到，而属于非物理系统的模型则如社会、经济、心理等问题.数学建模的宣传语是：数学无所不在、无所不能.具备数学修养的学生会在现实生活中不断地发现数学问题，并利用掌握的数学知识解决问题.以下的实例就是一个典型的通过建立“数学模型”解决问题的典例.例题 一种电讯信号转发装置的发射直径为31km ，现要求：在一边长为30km 的正方形城区选择若干个安装点，每个点安装一个这样的转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市.（1）能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设要求？（2）至少需要选择多少个安装点，才能使这些安装点安装了这种转发装置后能达到预设要求？答题要求：请在解答时画出必要的示意图，并用必要的计算推理和文字来说明你的理由.分析 抓住覆盖建模.覆盖在这里指一个圆或多个圆对其他图形不遗漏但可以重复地遮盖住.就（1）而言，可以设想把正方形平均分成4个面积相等的小正方形，如图1所示，AE=152姨km <31km ，所以4个点选在4个小正方形的［摘要］建模思想在中考数学中发挥着重要作用，只有充分掌握第一手资料，了解问题的实际背景知识，用精确的数学语言提炼、描述表达，然后建立数学模型，求解、验证、分析，才能解决实际问题.［关键词］问题情境；建立模型；解释；应用；拓展58中心即可；又想，如图2所示，连结2条对角线，把正方形分成4个全等的等腰直角三角形，4个点选在直角三角形斜边的中点（即正方形各边中点）；由此想象生发开去，过正方形中心的2条相互垂直的直线可以把正方形的面积4等分，如图3所示，A ，B ，C ，D 四点共圆，且点B到点C 的距离不大于30km ，4个点选在每个任意小四边形非直角顶点连线段的中点处，这样就有无穷多个答案；还有一类，如图4所示，把正方形的面积分成4个全等的小矩形，4个点选在矩形中心，理由是直径为31km 的圆盖住的长为30km 的矩形的最大宽为61√km ，61 √×4>30.图3BCDA图4对于（2），1个点不行，如图5所示，理由是直径为31km 的圆盖住的长为30km 的矩形的最大宽为61 √km .那2个点呢？也不行，如图6所示，理由是直径为31km 的2个相交圆盖住的长为30km的矩形的最大面积为（30×61 √）×2.那3个点呢？可以.如图7所示，先用直径为31km 的1个圆盖住30×61 √的矩形，然后再把剩下的矩形分成2个近似正方形的矩形，3个点选在3个矩形的中心；由此想象生发开去，如图8所示，使BE=DG=CG ，3个点选在3个矩形的中心，设AE=x ，则ED=30-x ，DH=15.由BE=DG 得x 2+302=152+（30-x ）2，解得x=3.75，因为BE=914.0625 √<31，所以此方法可实现预设要求.由上可知，要实现预设要求，至少需要3个点.点评本题考查学生把实际问题转化为数学模型进而求解的能力，考查运用数形结合思想解决问题的意识和能力，侧重于对过程性阅读和探究能力的考查，让学生经历问题理解、探究、发展的一般过程，获得研究问题的方法，关注学生类比、猜想、拓广的思维方法的形成过程，注重对学习方式的引导.数学建模活动对于学习解题方法具有积极作用.在目前的数学教学中，由于应试的压力，解题教学往往侧重于“解”本身而不在于“学解”，也就是题海战术.对于大量的练习，学生学会了很多种类型题的解法，但一旦遇到新类型的题目，还是不会“解”，而这些会解的题目在今后的生活和工作中也基本无用.所以解题教学的关键是“学解”，重“质”而不是重“量”.在数学建模活动中，由于现实的问题千变万化，随着时间的变化，会有不停的新问题出现，没有人能够把所有问题都总结下来，让学生去练习，所以题海战术此时就失效了，学生只能从数学建模活动的第一步开始，仔细分析问题（弄清问题），独立思考并发挥创新思维建立模型（制订计划），使用合适的方法解答（执行计划），在验证环节中，还必须对建立的模型和解答做进一步验证和反思（回顾）.这样的过程会在无形中“逼迫”学生使用正确的解题方法.良好的解题能力对于数学建模具有事半功倍的作用.当你学会使用正确的解题方法，拥有组织良好、数量庞大的知识体系以及思维体系时，就能拥有良好的解题能力.遇到现实问题建立模型时，也不需要处处都创新，毕竟前人的经验对我们来说成本低廉，且使用这些成本低廉的经验能起到事半功倍的效果.数学建模解题的几点要求1.理解实质，注意变式.要抓住模型的组成结构、性质、特征，摒除本质以外的东西，特别要抓住几何中大量的基本定理、公式模型.2.加强比较，注重联系.模型之间有区别，条件图形的丝毫改变都可能涉及模型的改变，有时，一个题目往往是多个模型的综合运用，这就要求我们既狠抓基础，又多练综合题.3.归纳总结，提炼模型.模型不只在书本上，更多的是我们在练习中归纳总结的.对于平时练习中的重要结论、规律，要注意将其提炼成一个模型.对中学数学建模的看法和意见1.数学建模作业的评价以创新性、现实性、真实性、合理性、有效性等几个方面作为标准，对建模的要求不可太高.2.数学建模问题难易应适中，千万图1A DB CE图2图5图6图7图8A D B C H G E 59教学，尤其是重要知识点的讲授时，可采用片段式解析法，将主要知识点分块、分点，在最恰当的时间长度内进行讲授.片段解析要讲究层次，要善于利用比较、归纳等方法，帮助学生理解，通过将知识点片段分割，充分利用学生的黄金学习点，促进学生知识的吸收.例如，笔者在教学苏科版初中数学七年级下“用方程解决问题”时，为了帮助学生理解方程使用的原理，笔者采用了“打比方”的方法，设计了解析式片段，帮助学生理解方程的运用，具体方法如下.笔者问学生：“同学们，如果小明有1个苹果，小红有1个苹果，求他们合起来有几个苹果，式子要怎么列？”学生答：“1+1=2.”笔者说：“很好.那如果问题是，小明有一些苹果，小红有1个苹果，他们合起来有2个苹果，求小明有几个苹果，还列成刚刚那个式子该怎么列呢？”学生答：“很简单啊，设小明有x个苹果，x+1=2，不过这样好麻烦，直接2-1=1不就可以了吗？”笔者笑着说：“对于简单的数量关系，我们当然可以直接通过逆推得出答案，但当数量关系比较复杂，我们无法一眼求出未知量的时候，就可以用方程，通过设x的方法列出式子，最终求出结果，这就是方程的意义所在.”学生点头称是，对于方程也有了更深的理解.导向性片段，重学法指导俗话说“师傅引进门，修行靠个人.”学生的自主学习能力是当前盛行的教育观念，但是如何引导学生进行自主学习却鲜有教师支招.笔者认为，学生的个人修行固然重要，但教师的“引进门”作用亦不可忽视，所以重视学生的学法指导，提高学生的学习能力，每位教师都责无旁贷.因此，在课堂教学中，笔者建议设计适当的导向性片段，侧重对学生的知识点推理和逆推理能力进行培养，提高学生的知识运用能力.在导向性片段设计过程中，还应注意避免知识点重复无新意和导向性不强、无效果等问题的出现.例如，在教学苏科版初中数学八年级上册“数据的集中程度”这一部分内容时，笔者设计了导向性片段教学，让学生掌握数据应用的方法，并学会自主归纳数据特性.笔者首先给学生一串数字，让学生求出平均数.学生利用公式进行求解后，笔者再让学生进行逆运算，思考为什么求解平均数的公式是这个样子的.学生通过倒推，理解了平均数其实就是把一堆数量合在一起，再平均分配，使得每一份数量的大小都一致.而平均数的公式就是让这样的分配更有效.学生理解之后，笔者再抛出第三个问题：请用一样的方法探究中位数的数学含义.通过这样的问题导向，引导学生自主深入探析，能增强学生的自学能力，提高学生的数学素质.实践性片段，重应用提升实践出真知，实践是检验学生知识学习情况的最有效途径.课堂上恰到好处的实践活动对于学生的知识学习具有升华作用，因此课堂实践活动必不可少；又因为课堂容量有限，教师没办法进行长时间的课堂实践活动，因此，利用片段式教学方法设计实践性片段，可以说是最适宜的教学手段.值得注意的是，在实践性片段的设计过程中，教师要充分考虑实践活动的易操作性和学生的可参与度，尽可能地扩大学生的参与面，让实践活动的效果真正显现出来.例如，在教学苏科版初中数学八年级上“勾股定理的运用”时，笔者设计了这样的实践片段：“假设△ABC是直角三角形，已知其中两边分别为6和8，求第三边的长.”这道题作为实践题，题量小，探究性强，很适合用于课堂探究.学生在实践中，受定式思维的影响，容易直接答出：“一边是6，一边是8，勾股定理的固定搭配有6，8，10，所以第三边是10.”但我们都知道这个结果是错的，这道题需考虑两种情况，即已知的两条边中是否有斜边，如果有，根据勾股定理可以求出第三边为27√；如果没有，则第三边为斜边10.像这样生动有趣的实践片段，能够检验学生的学习成果，帮助学生巩固知识，及时查漏补缺.初中数学片段式教学方法探究是基于初中数学教育教学大环境下提出的一次教学创新，它以正常学习逻辑作为策略设计依据，针对初中生的个性特征及心理特点，从课堂引入的片段设计，到帮助学生理解知识的解析式片段设置，紧接导向性片段作为学法指导，再到实践性片段提高学生的应用能力.这一系列由浅及深的片段教学设计，充分应用了学生的有效注意，符合学生的心理期待，大大提高了教学的有效性.当然，作为一次全新的教法尝试，片段式教学在运用过程中还存在诸多问题，这更需要广大教师在实践中总结，在总结中提升，通过不断的探究创新，将初中数学教学新课改提高到全新的高度.不要实施一些脱离中学生实际的建模教学，题目的难度以“跳一跳可以把果子摘下来”为度.3.建模教学应涉及高考应用题.鉴于当前中学数学教学的实际，保持一定比例的高考应用问题是必要的，这样有助于调动师生参与建模教学的积极性，促进中学数学建模教学的进一步发展.4.建议中学数学教师继续开设“数学模型”课程，师范类高等院校专业有必要把“数学模型”列为必修课程.中学教师只有通过对数学建模的系统学习和研究，才能准确地把握数学建模问题的深度和难度，以更好地推动中学数学建模的发展.建立数学模型是数学知识与应用的桥梁，学习和研究数学模型对培养学生分析和解决实际问题的能力非常重要，亦是数学教学的主要目的之一，为此，在数学教学中要重视从实际问题中引出新概念、新知识，并注意培养学生敏锐的观察力、丰富的想象力、创造性的思维能力，及抽象、分析、归纳、综合的能力，使学生多方面、全方位地感受数学建模思想，了解数学建模的思维过程，逐渐理解和掌握数学建模的方法，以培养学生的学习兴趣、创新意识和实践能力.（上接第49页）60。

“数学建模”在高中数学解题的应用高中数学具有极强的针对性，除了要对数学定理和公式进行理解掌握，还要对学生的数学思维进行培养，以形成严密的思维模式，以便学生在今后的学习过程中能独立地解决数学问题.随着新课改的推进，在设置高中数学教学时，越发重视学生的自主学习能力和创新能力.而要满足这样的培养目标，就需要转变学生的数学学习观念.教师为了实现这样的目标，也在不断地探索新的教学模式———“数学建模”.利用这种教学模式对学生的数学思维进行训练，可以刺激他们自主探索解题方法，引导他们将知识与生活进行联系，从而不断发展他们的创新思维能力.［1］一、“数学建模”在解题中的重要性对于“数学建模”学生虽有所了解，但缺乏更深层次的理解.而事实上，数学建模对高中数学的学习来说有着不可忽视的重要意义.1.借助建模思维准确审题.高中和初中相比，在数学学习上更需要借用建模思维来求解实际问题，这也凸显出从初中到高中的跨越，这种跨越在数学上所表现出的是在广度和深度上的质的飞跃.在高中阶段，很多数学问题都含有诸多的已知条件、干扰条件和隐藏条件，这就需要学生通过分析进行辨别，从而完成解答.例如，已知f（x）是一个偶函数，其定义域为［-1，1］，现有一函数g（x），其图像与f（x）的图像关于x=1对称，且当x∈［2，3］时，g（x）的表达式为g（x）=2a（x-2）-4（x-2）3（a为实数），请写出f（x）的函数表达式.分析题意可知，这道题包含了多个数学模型，要想求解这道题，首先要抓住各模型之间的联系，而已知条件中的偶函数可以作为问题的切入点.首先观察g（x）的表达式，在坐标系中绘制出函数在x∈［2，3］时的大致图像，然后根据g（x）的式子假设两个公式，通过消元的方式对f（x）的表达式进行求解.2.借助建模思维化繁为简.对于一些复杂的题目，可通过建模进行简化.高中数学难度相比于初中数学具有较大幅度的提升，因此也呈现出难度系数大、准确度低、耗费时间长的特点.通过建模，能将繁杂的题目内容转化为简单的参数变量关系，更方便学生进行运用.［2］例如，证明cos2x+cos2（x+y）-2cosxcosycos（x+y）=sin2y这个等式.分析题目可知，这个等式包含了多种三角函数，而且还有平方关系.对于这类题目，一般的思路是利用转换公式对二次项进行降幂，这也是进行后续运算的关键.所以在求解时，可利用转化公式，用1+cos2x2代替cos2x等，这就从降幂的角度对问题进行了转化，也凸显出了数学模型的建立对求解问题的帮助.3.借助建模思维快速求解由于数学问题的复杂性，很多高中生绞尽脑汁地运算，却得到错误的结果，可见其在方法的选择上出现了问题.而利用数学建模，不仅能找到各对象之间的关联，还能对答案进行检验，在求解出结果后进行快速验算来判断结果的正确性，这也凸显了数学建模的优势和意义.例如，在对函数y=sinx-1cosx+2进行最值求解时，可以用sin（90°+x）替换cosx，然后代入函数进行建模，对其函数值的区间进行大致估算，最终进行精确求解.这种利用数学建模的方式，降低了求解的复杂性，而且保证了运算的准确率.二、培养高中生数学建模意识的方法不管用哪种方法教学，始终离不开教材这一参考依据，并且很多数学模型也都来源于此.因此教师要做的就是巧妙利用课本资源进行建模思维的教学.为此在实际教学过程中应该贯穿建模思想，通过引导学生关注知识和模型的联系来对他们的发散思维进行训练.1.在新授课中融入实际问题.例如，对于数列的学习，可以利用彩票和贷款这类生活中的事物，帮助学生建立知识与生活的联系，从而领会数列在实际问题中的模型应用.又如，对于立体几何知识的学习，可通过将立体图形模型化来进行教学，让学生理解正方体实际上是特殊的长方体.有了这层认识，学生自会明白与正方体相关的问题，首先需要满足长方体的基本条件.这样一来，就可以让学生明白解题模型对问题求解的重要意义.［3］2.在数学解题中融入模型思想.将模型思想融入到问题求解中，有利于学生通过实践对其内涵进行感悟，从而培养学生建模求解的良好习惯.除了新课教学时的建模思想的贯穿，还可以借助复习来进行建模能力的训练.在学完一个专题的内容后，可专门设置复习课，围绕相关的关键问题进行交流讨论，并让学生对这部分内容所用到的数学模型进行总结.例如，可结合实际问题的求解过程帮助学生总结并提炼出“图像解题”的方法，然后由此引申出去，对能用这类方法进行求解的问题进行归纳.如对二元不等式相关问题的求解，就可以结合函数图像来帮助理解，进而在此基础上进行求解.而对于几何问题来说，不管是平面几何还是立体几何，由于其本身就是图形，所以自然是一个会大量使用图像解题的类型.不仅如此，由于函数也有各自对应的图像，因此在求解函数问题时，也少不了要运用图像思维来求解，所以就需要学生重点掌握函数的基本图像性质.三、数学建模在数学解题中的应用策略建模方法除了对高中数学学习有帮助，还能应用于实际问题的求解中，方便他们提高解答速度和准确性，进而在考试中提高做题效率，实现成绩的稳步增长.1.借助数学建模进行参数转换.运用建模思想解题时，常用的一种方法是转换参数.以函数知识为例，其公式和图像可以相互转化，可见数学知识具有相通性.为此，在解决复杂的函数问题时，可将其进行转化，然后以图形的思路进行求解，将自变量和因变量对应关系展现在图形中.而对于几何问题的求解，亦可借助直角坐标系对其长度、角度等进行量化，以便完成求解.2.借助数学建模进行参数定义.求解概率和数列方面的问题时，一般会用整体减部分来代替部分的思路进行建模，这就是数学中的整体思想，通过转化概念实现简化题目，从而在思维的转换中进行求解.［4］对此也可由实例进行说明：同学们在玩抛硬币的游戏，而在概率学中我们已知，得到正反面的概率均为50%，请问如果抛十次硬币的话，十次的结果中至少有一次为正面的概念有多大？分析题目后可知，可将问题进行转化———在抛十次的结果中，先计算十次均抛出反面的概率，然后用1减去它就能得到结果.因此，先求出二分之一的十次方，再用1去减它，就计算出了至少有一次为正面的概率.3.借助数学建模找出隐藏条件.单从题目来分析，高中与初中的不同之处在于高中数学题目中有很多的隐藏条件，而对隐藏条件的处理，可能会直接提出用x，m等未知数来表示，也可以不指明.而往往在遇到有隐藏条件的问题时，学生会无从下手.利用建模思想，有助于正确使用公式，在抓住不同对象的联系的基础上，实现对隐藏条件的求解，进而提升求解速度.不管隐藏条件是怎样的，始终都不会改变数学公式的真理.因此只要模型正确，就能保证选用的公式和定理是正确的，进而找到正确的隐藏条件.例如，有这样一个题目：奇函数f（x）的定义域为［-2，2］，已知g（x）的函数图像过点（6，5），且和f（x）关于x=1对称，则g（x）的值域为多少？从题目中的奇函数可知，f（0）=0，找出了这一隐藏条件，再求得g（x）的对称点，就有了求g（x）的两个条件，从而实现对问题的求解.总之，对于高中数学知识的学习和数学问题的求解，建模方法的作用效果是非常明显的.通过在教学、求解等环节融入数学建模思想，不仅有助于学生更快地完成求解，而且能有效提高解题的正确率，而这类应用在高中阶段的数学学习中是非常广泛的.由此也可得出，只要正确地将建模方法用到教学实践中，就可让学生在不断的思维训练和能力发展的基础上取得良好的数学成绩.参考文献：［1］余建国.应用课应体现完整的数学建模过程［J］.中国数学教育，2013（18）.［2］张爱平.在建模的过程中获得数学活动经验———对“建立模型解决问题”一课的设计与思考［J］.中国数学教育，2011（23）.［3］郑大鹏.数学建模在高中数学课堂的教学策略研究［J］.数学教学通讯，2017（12）.［4］肖慧.高中数学教学中数学建模的渗透［J］.数学教学通讯，2018（27）.F。