备战中考数学专题复习相似的综合题附答案
- 格式：doc
- 大小：1.68 MB
- 文档页数：23
一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB=∠AEC．
（1）求证：BD是⊙O的切线； （2）求证：CE2=EH•EA；
（3）若⊙O的半径为 ，sinA= ，求BH的长． 【答案】（1）证明：如图， ∵∠ODB=∠AEC，∠AEC=∠ABC， ∴∠ODB=∠ABC， ∵OF⊥BC， ∴∠BFD=90°， ∴∠ODB+∠DBF=90°， ∴∠ABC+∠DBF=90°， 即∠OBD=90°， ∴BD⊥OB， ∴BD是⊙O的切线
（2）证明：连接AC，如图2所示：
∵OF⊥BC， ∴ ， ∴∠CAE=∠ECB， ∵∠CEA=∠HEC， ∴△CEH∽△AEC， ∴ ， ∴CE2=EH•EA
（3）解：连接BE，如图3所示：
∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB=90°，
∵⊙O的半径为 ，sin∠BAE= ， ∴AB=5，BE=AB•sin∠BAE=5× =3， ∴EA= =4， ∵ ， ∴BE=CE=3， ∵CE2=EH•EA，
∴EH= ，
∴在Rt△BEH中，BH= . 【解析】【分析】（1）要证BD是⊙O的切线，只需证∠OBD=90°，因为∠OBC+∠BOD=90°，所以只须证∠ODB=∠OBC即可。由圆周角定理和已知条件易得∠ODB=∠ABC，则∠OBC+∠BOD=90°=∠ODB+∠BOD，由三角形内角和定理即可得∠OBD=90°； （2）连接AC，要证CE2=EH•EA；只需证△CEH∽△AEC，已有公共角∠AEC，再根据圆周角定理可得∠CAE=∠ECB，即可证△CEH∽△AEC，可得比例式求解； （3）连接BE，解直角三角形AEB和直角三角形BEH即可求解。
2．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCD是矩形，点A、C的坐标分别是A（0,2）和C（2,0），点D是对角线AC上一动点（不与A、C重合），连结BD，作，交x轴于点E，以线段DE、DB为邻边作矩形BDEF.
（1）填空：点B的坐标为________； （2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由；
（3）①求证： ； ②设AD=x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求出y的最小值 【答案】（1） （2）解：存在，理由如下： ∵OA=2,OC=2，
∵tan∠ACO==, ∴∠ACO=30°,∠ACB=60° ①如图（1）中，当E在线段CO上时，△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED=EC， ∴∠DCE=∠EDC=30°, ∴∠DBC=∠BCD=60°, ∴△DBC是等边三角形， ∴DC=BC=2， 在Rt△AOC中， ∵∠ACO=30°，OA=2， ∴AC=2AO=4， ∴AD=AC-CD=4-2=2， ∴当AD=2时，△DEC是等腰三角形， ②如图（2）中，当E在OC的延长线上时，△DCE是等腰三角形，只有CD=CE，∠DBC=∠DEC=∠CDE=15°, ∴∠ABD=∠ADB=75°, ∴AB=AD=2， 综上所述，满足条件的AD的值为2或2. （3）①如图，过点D作MN⊥AB于点M，交OC于点N。 ∵A(0.2)和C(23 ,0)， ∴直线AC的解析式为y=-33x+2， 设D（a，-33a+2）， ∴DN=-33a+2,BM=23-a ∵∠BDE=90°, ∴∠BDM+∠NDE=90°,∠BDM+∠DBM=90°, ∴∠DBM=∠EDN, ∵∠BMD=∠DNE=90°, ∴△BMD~△DNE, ∴DEBD=DNBM=-33a+223-a=33. ②如图（2）中，作DH⊥AB于H。
在Rt△ADH中， ∵AD=x，∠DAH=∠ACO=30°, ∴DH=12AD=12x，AH=AD2-DH2=32x， ∴BH=23-32x， 在Rt△BDH中，BD=BH2+DH2=12x2+23-32x2, ∴DE=33BD=33·12x2+23-32x2, ∴矩形BDEF的面积为y=3312x2+23-32x22=33x2-6x+12, 即y=33x2-23x+43, ∴y=33x-32+3 ∵33>0, ∴x=3时，y有最小值3. 【解析】【解答】（1）∵四边形AOCB是矩形， ∴BC=OA=2，OC=AB= ， ∠BCO=∠BAO=90°, ∴B（ ， 2） 【分析】（1）根据点A、C的坐标，分别求出BC、AB的长，即可求解。 （2）根据点A、C的坐标，求出∠ACO，∠ACB的度数，分两种情况讨论：①如图（1）中，当E在线段CO上时，△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED=EC；②如图（2）中，当E在OC的延长线上时，△DCE是等腰三角形，只有CD=CE，∠DBC=∠DEC=∠CDE=15°,分别求出AD的长，即可求解。
（3）①如图，过点D作MN⊥AB于点M，交OC于点N。利用待定系数法求出直线AC的
解析式，设D（a，-a+2），分别用含a的代数式表示出DN、BM的长，再证明△BMD~△DNE，然后根据相似三角形的性质，得出对应边成比例，即可求解；②如图（2）中，作DH⊥AB于H。设AD=x，用含x的代数式分别表示出DH、BH的长，利用勾股定理求出BD、DE的长再根据矩形的面积公式，列出y与x的函数关系式，求出顶点坐标，即可求解。
3．已知直线m∥n，点C是直线m上一点，点D是直线n上一点，CD与直线m、n不垂直，点P为线段CD的中点．
（1）操作发现：直线l⊥m，l⊥n，垂足分别为A、B，当点A与点C重合时（如图①所示），连接PB，请直接写出线段PA与PB的数量关系：________． （2）猜想证明：在图①的情况下，把直线l向上平移到如图②的位置，试问（1）中的PA与PB的关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． （3）延伸探究：在图②的情况下，把直线l绕点A旋转，使得∠APB=90°（如图③所示），若两平行线m、n之间的距离为2k．求证：PA•PB=k•AB． 【答案】（1）PA=PB （2）解：把直线l向上平移到如图②的位置，PA=PB仍然成立，理由如下： 如图②，过C作CE⊥n于点E，连接PE，
， ∵三角形CED是直角三角形，点P为线段CD的中点， ∴PD=PE， ∴PC=PE； ∵PD=PE， ∴∠CDE=∠PEB， ∵直线m∥n， ∴∠CDE=∠PCA， ∴∠PCA=∠PEB， 又∵直线l⊥m，l⊥n，CE⊥m，CE⊥n， ∴l∥CE， ∴AC=BE，
在△PAC和△PBE中， ∴△PAC∽△PBE， ∴PA=PB （3）解：如图③，延长AP交直线n于点F，作AE⊥BD于点E，
， ∵直线m∥n， ∴ ， ∴AP=PF， ∵∠APB=90°， ∴BP⊥AF， 又∵AP=PF， ∴BF=AB；
在△AEF和△BPF中， ∴△AEF∽△BPF， ∴ ， ∴AF•BP=AE•BF， ∵AF=2PA，AE=2k，BF=AB， ∴2PA•PB=2k．AB， ∴PA•PB=k•AB． 【解析】【解答】解：（1）∵l⊥n， ∴BC⊥BD， ∴三角形CBD是直角三角形， 又∵点P为线段CD的中点， ∴PA=PB．
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半； （2）把直线l向上平移到如图②的位置，PA=PB仍然成立，理由如下：如图②，过C作CE⊥n于点E，连接PE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半得出PD=PE=PC，根据等边对等角得出∠CDE=∠PEB，根据二直线平行，内错角相等得出∠CDE=∠PCA，故∠PCA=∠PEB，根据夹在两平行线间的平行线相等得出AC=BE，然后利用SAS判断出
△PAC∽△PBE，根据全等三角形的对应边相等得出PA=PB； （3）如图③，延长AP交直线n于点F，作AE⊥BD于点E，根据平行线分线段成比例定理得出AP=PF，根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出BF=AB；然后判断出△AEF∽△BPF，根据相似三角形的对应边成比例即可得出AF•BP=AE•BF，根据等量代换得出2PA•PB=2k．AB， 即PA•PB=k•AB．
4．如果三角形的两个内角 与 满足 ＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． （1）若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，则∠B＝________°； （2）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝5，若AD是∠BAC的平分线，不难证明△ABD是“准互余三角形”．试问在边BC上是否存在点E（异于点D），使得△ABE也是“准互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由． （3）如图②，在四边形ABCD中，AB＝7，CD＝12，BD⊥CD，∠ABD＝2∠BCD，且△ABC是“准互余三角形”．求对角线AC的长． 【答案】（1）15° （2）解：存在， 如图①，连结AE，
在Rt△ABC中， ∴∠B+∠BAC=90°， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAC=2∠BAD， ∴∠B+2∠BAD=90°， ∴△ABD是“准互余三角形”， 又∵△ABE也是“准互余三角形”， ∴∠B+2∠BAE=90°， ∵∠B+∠BAE+∠EAC=90°， ∴∠EAC=∠B, 又∵∠C=∠C, ∴△CAE∽△CBA，
∴ , 即CA2=CB·CE， ∵AC＝4，BC＝5，
