建立函数模型,解决实际问题

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本文题目：高一数学教案：自建函数模型解决实际问题第二课时自建函数模型解决实际问题课前预习学案一、预习目标：知道5种基本初等函数及其性质二、预习内容：函数图像定义域值域性质一次函数二次函数指数函数对数函数幂函数三.提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一、学习目标：能够通过题意，自建模型，解决实际的问题学习重点：收集图表数据信息、拟合数据，建立函数模解决实际问题。

学习难点：对数据信息进行拟合，建立起函数模型，并进行模型修正。

二、探究过程：例1、某桶装水经营部每天的房租、工作人员等固定成本为200元，每桶水的进价是5元。

销售单价与日销售量的关系如图所示:销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12日均销售量/桶 480[来 440 400 360 320 280 240请根据以上的数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润?探索以下问题：(1)随着销售价格的提升，销售量怎样变化?成一个什么样的函数关系?(2)最大利润怎么表示?润大利润=收入-支出本题的解答过程：解：本题总结例2.某地区不同身高的未成年男性的体重平均值发下表(身高：cm;体重：kg)身高 60 70 80 90 100 110体重 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50身高 120 130 140 150 160 170体重 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.051) 根据表中提供的数据，建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重与身高ykg与身高xcm的函数模型的解析式。

如何根据实际问题建立函数模型建立函数模型是解决实际问题中常用的一种数学工具，它能够将变量之间的关系进行抽象和表达，为问题的分析和求解提供有效的途径。

在本文中，将介绍如何根据实际问题建立函数模型，并通过具体案例加以说明。

一、实际问题的分析在建立函数模型之前，我们首先需要对实际问题进行全面的分析和理解。

这包括确定问题的背景、目标和限制条件，明确需要研究和求解的主要变量，以及它们之间的关系等。

二、确定函数的自变量和因变量在建立函数模型时，需要确定函数的自变量和因变量。

自变量是指在问题中可以独立变化的变量，而因变量是自变量变化所导致的结果。

通过明确自变量和因变量，可以为函数模型的建立提供基础。

三、收集数据和观察现象为了建立准确的函数模型，需要收集数据并观察现象。

通过实验、调查或者观察等手段获取数据，并对数据进行整理和分析，以揭示自变量和因变量之间的关系。

这有助于形成初步的函数模型。

四、选择函数类型和形式根据实际问题的特点和需求，选择合适的函数类型和形式。

常见的函数类型包括线性函数、指数函数、对数函数、多项式函数等。

根据数据和观察结果，选择适当的函数形式，并进行函数参数的估计。

五、建立函数模型在确定函数类型和形式之后，根据问题分析和数据观察结果，可以建立函数模型。

函数模型是问题分析和数据处理的产物，它能够简洁、准确地表达变量之间的关系。

六、模型的验证和修正建立函数模型之后，需要对模型进行验证和修正。

使用模型对新的数据进行拟合和预测，并与实际观测结果进行比较，以评估模型的准确性和适用性。

如果模型存在偏差或误差，可以考虑对模型进行调整和修正，以提高模型的精确度和适应性。

七、模型的应用和分析建立准确的函数模型之后，可以将其应用于实际问题的求解和分析中。

通过模型的分析和计算，可以获得对问题的深入理解和洞察，为问题的解决提供有力的支持和指导。

八、模型的优化和改进建立的函数模型可能存在不足之处，可以根据问题的需求和模型的应用，对模型进行优化和改进。

x 1
反式比吗例？函数还可以归写纳成等其价他形形式：
y k x
y kx1 xy k
三、感悟新知、体会运用
2、以同桌为单位，举出一些生活中反比例函数 的实例，与同伴交流，再写出函数关系式。
四、分析例题、培养能力
例 已知y是x的反比例函数,当x=2时,y=6. （1）写出y与x的函数关系式； （2）求当x=4时,求y的值.
请用函数表达式表示下列问题中两个变量之间关系
2、根据贵州省县县通高速的“文件精神”计划从 该县修建一条长为158km的高速公路，完成该项目 的天数a（天）与每天完成量b(km)之间关系。
3、贵州省某银行提供了80000万元的无息贷款 给修建公司，该修建公司的年平均还款额y（万元） 与还款年限x（年）之间的关系。
五、梳理回味
1、通过这节研究反比例函数，你有什么收获和困惑? 2、类比前面学习函数的研究思路，对于反比函数， 还需研究什么内容？
六、作业布置
1.（必做）教科书第3页练习1，习题26.1第1,2题
2、思考：根据我们之前学习的函数图像的画法， 任意写出一个反比例函数，画出它的图像，你有 什么发现？
我相信同学们有一个能够发现问题 的眼光，能够有一个分析问题的头脑， 拥有能够用数学语言来表达实际问题的 能力，那我们的数学必定会一帆风顺！
列出：
(1)s 60t (2)s 70 80t
(4)a 158 b
(5) y 80000 x
问题：
(3)t 180 v
（1）你能将它们进行分类吗？
（2）剩下的函数表达式具有什么共同特征？
（3）类比正比函数，你能设计出一个“一般形式”
来表示以上函数关系式吗？请试给上述函数下定义
反比例函数定义： 一般地、形如 y k (k为常数，k ≠ 0) 的函数，

强度有关系.声音的强度用I(W/m2)表示,但在实际测量时,常用声音

的强度水平L1表示,它们满足以下关系: L1=10·lg(单位为分
0
-12
2
贝,L1≥0,其中I0=1×10 W/m ).回答以下问题:
(1)树叶沙沙声的强度是1×10-12 W/m2,耳语的强度是1×10-10
W/m2,恬静的无线电广播的强度是1×10-8 W/m2,试分别求出它们的
示的曲线.当Leabharlann ∈(0,14]时,曲线是二次函数图像的一部分,当t∈[14,40]
时,曲线是函数f(t)=loga(t-5)+83(a>0且a≠1)图像的一部分.根据专家
研究,当注意力指数P大于等于80时听课效果最佳.
(1)试求P=f(t)的函数关系式.
(2)老师在什么时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳?
1
=1,所以1 =10·lg 1=0,则树叶沙沙声的强度水平为 0 分贝;耳语的
0

强度是 I2=1×10-10 W/m2,则 2 =102,所以2 =10·lg 102=20,即耳语声
0
的强度水平为 20 分贝;恬静的无线电广播强度是 I3=1×10-8 W/m2,
3
则 =104,所以3 =10·lg 104=40,即恬静的无线电广播的强度水平为
强度水平;
(2)在某一新建的安静小区规定:小区内公共场所的声音的强度水
平必须保持在50分贝以下,试求该小区内公共场所的声音强度I的
范围.
分析:(1)正确理解声音的强度I与强度水平L1的区别,将I代入公式,
求出L1;
(2)利用L1的范围确定I的范围.
题型一
题型二
题型三

2024贵阳中考数学二轮中考题型研究题型十一建立函数模型解决实际问题典例精讲例甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA＝8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m.(1)按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；【思维教练】根据已知得到A、B两点的坐标，设出顶点式，代入即可求解．例题图(2)一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点0.4m时，桥下水位刚好在OA处．有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由(假设船底与水面齐平)；【思维教练】根据题干条件得到工人到点O的距离为1m，计算出当x＝1时y的值，将该数值与工人的身高进行比较，即可判断工人的头顶是否会触碰到桥拱．(3)如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，该抛物线在x轴下方部分与桥拱OBA在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移m(m>0)个单位长度，平移后的函数图象在8≤x≤9时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，求m的取值范围．【思维教练】先画出函数图象，结合二次函数的增减性，找到平移的最大距离及最小距离，即可确定m的取值范围．例题图③针对演练1.2022年体育中考，增设了考生进入考点需进行体温检测的要求．防疫部门为了解学生错峰进入考点进行体温检测的情况，调查了一所学校某天上午考生进入考点的累计人数y(人)与时间x(分钟)的变化情况，数据如下表：(表中9～15表示9＜x≤15)时间x(分钟)012345人数y(人)0170320450560650时间x(分钟)67899～15人数y(人)720770800810810(1)根据这15分钟内考生进入考点的累计人数与时间的变化规律，利用初中所学函数知识求出y与x之间的函数关系式；(2)如果考生一进考点就开始测量体温，体温检测点有2个，每个检测点每分钟检测20人，考生排队测量体温，求排队人数最多时有多少人？全部考生都完成体温检测需要多少时间？(3)在(2)的条件下，如果要在12分钟内让全部考生完成体温检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？2．为进一步缓解城市交通压力，贵阳推出公共自行车．公共自行车在任何一个网店都能实现通租通还，某校学生小明统计了周六校门口停车网点各时段的借、还自行车数，以及停车点整点时刻的自行车总数(称为存量)情况，表格中x＝1时的y值表示8：00点时的存量，x ＝2时的y值表示9：00点时的存量，…，以此类推，他发现存量y(辆)与x(x为整数)满足如图所示的一个二次函数关系.时段x还车数借车数存量y7：00～8：00175158：00～9：00287n……………根据所给图表信息，解决下列问题：(1)m＝________，解释m的实际意义：__________________________________________；第2题图(2)求整点时刻的自行车存量y与x之间满足的二次函数关系式；(3)已知10：00～11：00这个时段的还车数比借车数的2倍少4，求此时段的借车数．参考答案典例精讲例解：(1)由题意得，水面宽OA是8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m，结合函数图象可知，顶点B(4，4)，点O(0，0)，设二次函数的表达式为y＝a(x－4)2＋4，将O(0，0)代入函数表达式，解得a＝－1 4，∴二次函数的表达式为y＝－14(x－4)2＋4，即y＝－142＋2x(0≤x≤8)；(3分)(2)工人不会碰到头．理由如下：∵小船距O点0.4m，小船宽1.2m，工人直立在小船中间，由题意得，工人距点O的距离为0.4＋12×1.2＝1，∴将x＝1代入y＝－14x2＋2x，解得y＝74 1.75；∵1.75m＞1.68m，∴此时工人不会碰到头；(7分)(3)∵抛物线y＝－14x2＋2x在x轴上方的部分与桥拱在平静水面中的倒影关于x轴成轴对称，如解图①，新函数图象的对称轴也是直线x＝4，此时，当0≤x≤4或x≥8时，y的值随x值的增大而减小，将新函数图象向右平移m个单位长度，可得平移后的函数图象，如解图②，∵平移不改变图形形状和大小，∴平称后函数图象的对称轴是直线x＝4＋m，∴当m≤x≤4＋m或x≥8＋m时，y的值随x值的增大而减小，∴当8≤x≤9时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，得m的取值范围是：①m≤8且4＋m≥9，得5≤m≤8，②8＋m≤8，得m≤0，由题意得m＞0，∴m ≤0不符合题意，舍去．综上所述，m 的取值范围是5≤m ≤8.(12分)图①图②例题解图针对演练1.解：(1)由表格中数据的变化趋势可知，①当0≤x ≤9时，y 是x 的二次函数，∵当x ＝0时，y ＝0，∴二次函数的关系式可设为y ＝ax 2＋bx ，＝a ＋b ，＝9a ＋3b ，10，＝180.∴二次函数的关系式为y ＝－10x 2＋180x ；②当9<x ≤15时，y ＝810，∴y 与x 之间的函数关系式为y 10x 2＋180x （0≤x ≤9），（9<x ≤15）；(4分)(2)设第x 分钟时的排队人数是W 人，根据题意，得W ＝y －40x 10x 2＋140x （0≤x ≤9），－40x （9<x ≤15），①当0≤x ≤9时，W ＝－10x 2＋140x ＝－10(x －7)2＋490，∴当x ＝7时，W 最大＝490；②当9＜x ≤15时，W ＝810－40x ，W 随x 的增大而减小，∴210≤W ＜450，∴排队人数最多时是490人，要全部考生都完成体温检测，根据题意得810－40x ＝0，解得x ＝20.25，答：排队人数最多时有490人，全部考生都完成体温检测需要20.25分钟；(8分)(3)设从一开始就应该增加m 个检测点，由题意得12×20(m ＋2)≥810，解得m ≥118.∵m 是整数，∴m ≥118的最小整数是2，∴从一开始就应该至少增加2个检测点．(12分)2．解：(1)13，7：00时自行车的存量；【解法提示】m ＋7－5＝15，m ＝13，m 的实际意义是7：00时自行车的存量．(2)由题意得，n ＝15＋8－7＝16，设二次函数的关系式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，把(0，13)、(1，15)和(2，16)＝13，＋b ＋c ＝15，a ＋2b ＋c ＝16，＝－12，＝52，＝13，∴二次函数关系式为y ＝－122＋52x ＋13；(3)当x ＝3时，y ＝－12×32＋52×3＋13＝16，当x ＝4时，y ＝－12×42＋52×4＋13＝15，设10：00～11：00这个时段的借车数为t ，则还车数为2t －4，根据题意得，16＋2t －4－t ＝15，∴t ＝3，∴10：00～11：00这个时段的借车数为3辆．。

高中数学：构建函数模型解决实际问题角度1 构造一次函数、二次函数模型某创业团队拟生产A ，B 两种产品，根据市场预测，A 产品的利润与投资额成正比(如图①)，B 产品的利润与投资额的算术平方根成正比(如图②)．(注：利润与投资额的单位均为万元)(1)分别将A ，B 两种产品的利润f (x )，g (x )表示为关于投资额x 的函数．(2)该团队已筹集到10万元资金，并打算全部投入A ，B 两种产品的生产，问：当B 产品的投资额为多少万元时，生产A ，B 两种产品能获得最大利润？最大利润为多少？解：(1)由A 产品的利润与投资额成正比，可设f (x )＝kx ，将点(1,0.25)代入，得f (x )＝14x (x ≥0)．由B 产品的利润与投资额的算术平方根成正比，可设g (x )＝t x ，将点(4,2.5)代入，得g (x )＝54x (x ≥0)．(2)设B 产品的投资额为x 万元，则A 产品的投资额为(10－x )万元， 创业团队获得的利润为y 万元，则y ＝g (x )＋f (10－x )＝54x ＋14(10－x )(0≤x ≤10)．令x ＝t ，则y ＝－14t 2＋54t ＋52(0≤t ≤10)， 即y ＝－14⎝ ⎛⎭⎪⎫t －522＋6516(0≤t ≤10)， 当t ＝52，即x ＝6.25时，y 取得最大值4.062 5.答：当B 产品的投资额为6.25万元时，创业团队获得最大利润，获得的最大利润为4.062 5万元．角度2 构造指数函数、对数函数模型候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为：v ＝a ＋b log 3Q 10(其中a ，b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.(1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？解：(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0.当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ，故a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1. (2)由(1)知，v ＝a ＋b log 3Q 10＝－1＋log 3Q 10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则有v ≥2，所以－1＋log 3Q 10≥2，即log 3Q 10≥3，解得Q 10≥27，即Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位．解：(1)设DQ ＝x m(x ＞0)，则AQ ＝(x ＋20)m.∵QD DC ＝AQ AP ，∴x 30＝x ＋20AP ，∴AP ＝30(x ＋20)x. ∴S ＝12AP ·AQ ＝15(x ＋20)2x ＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋400x ＋40≥1 200， 当且仅当x ＝20时取等号，∴DQ 的长度为20 m 时，S 最小，S 的最小值为1 200 m 2.(2)∵S ≥1 600，∴由(1)整理得3x 2－200x ＋1 200≥0.解得0＜x ≤203或x ≥60，即要使S 不小于1 600 m 2，则DQ 的长度范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，203∪[60，＋∞)． 角度4 构造分段函数模型(2019·湖北孝感八校联考)共享单车是城市慢行系统的一种创新模式，对于解决民众出行“最后一公里”的问题特别见效，由于停取方便、租用价格低廉，各色共享单车受到人们的热捧．某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车，已知生产新样式单车的固定成本为20 000元，每生产一辆新样式单车需要增加投入100元．根据初步测算，自行车厂的总收益(单位：元)满足分段函数h (x )＝⎩⎨⎧ 400x －12x 2，0＜x ≤400，80 000，x ＞400，其中x 是新样式单车的月产量(单位：辆)，利润＝总收益－总成本． (1)试将自行车厂的利润y (单位：元)表示为关于月产量x 的函数．(2)当月产量为多少辆时自行车厂的利润最大？最大利润是多少？解：(1)依题设知，总成本为(20 000＋100x )元，则y ＝⎩⎨⎧ －12x 2＋300x －20 000，0＜x ≤400，60 000－100x ，x ＞400.(2)当0＜x ≤400时，y ＝－12(x －300)2＋25 000，故当x ＝300时，y max ＝25 000；当x ＞400时，y ＝60 000－100x 是减函数，故y ＜60 000－100×400＝20 000.所以当月产量为300辆时，自行车厂的利润最大，最大利润为25 000元．1.一、二次函数模型问题的2个注意点(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错．(2)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法．2．指数函数、对数函数两类函数模型的应用技巧(1)与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般需要先通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数．3．“y＝x＋ax(a＞0)”型函数模型的求解策略(1)“y＝x＋ax”型函数模型在实际问题中会经常出现．解决此类问题，关键是利用已知条件，建立函数模型，然后化简整理函数解析式，必要时通过配凑得到“y＝x＋ax”型函数模型．(2)求函数解析式要确定函数的定义域．对于y＝x＋ax(a＞0，x＞0)类型的函数最值问题，要特别注意定义域和基本不等式中等号成立的条件，如果在定义域内满足等号成立，可考虑用基本不等式求最值，否则要考虑函数的单调性，此时可借用导数来研究函数的单调性．4．分段函数模型的求解策略(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．(2)构造分段函数时，要力求准确、简捷，做到分段合理、不重不漏．(3)分段函数的最值是各段最大值(或最小值)中的最大者(或最小者)．(1)某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为(B) A．略有盈利B．略有亏损C．没有盈利也没有亏损D．无法判断盈亏情况解析：设该股民购进这支股票的价格为a元，则经历n次涨停后的价格为a(1＋10%)n＝a×1.1n元，经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.99n·a＜a，故该股民这支股票略有亏损．(2)(2019·福建三明第一中学月考)某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目．经测算，该项目月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可以近似地表示为：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 13x 3－80x 2＋5 040x ，x ∈[120，144)，12x 2－200x ＋80 000，x ∈[144，500)，且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将给予补贴．①当x ∈[200,300]时，判断该项目能否获利．如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？②该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？解：①当x ∈[200,300]时，该项目获利为S ，则S ＝200x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－200x ＋80 000＝－12(x －400)2， ∴当x ∈[200,300]时，S ＜0，因此，该项目不会获利．当x ＝300时，S 取得最大值－5 000，∴政府每月至少需要补贴5 000元才能使该项目不亏损．②由题意可知，生活垃圾每吨的平均处理成本为：y x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 13x 2－80x ＋5 040，x ∈[120，144)，12x －200＋80 000x ，x ∈[144，500).当x ∈[120,144)时，y x ＝13x 2－80x ＋5 040＝13(x －120)2＋240，∴当x ＝120时，y x 取得最小值240.当x ∈[144,500)时，y x ＝12x －200＋80 000x ≥2x 2·80 000x －200＝400－200＝200，当且仅当x 2＝80 000x ，即x ＝400时，y x 取得最小值200.∵240＞200，∴当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．。

解决实际问题的函数模型建立在解决实际问题时，建立函数模型是一种常见且有效的方法。

函数模型可以帮助我们从复杂的问题中抽象出数学模型，进而进行定量分析和预测。

本文将介绍解决实际问题时建立函数模型的几个常用方法，并通过具体案例进行说明。

一、线性回归模型线性回归是一种常见的函数模型，用于描述自变量与因变量之间的线性关系。

它的数学形式为：y = β0 + β1x1 + β2x2 + ... + βnxn + ε其中，y表示因变量，x1、x2、...、xn为自变量，β0、β1、β2、...、βn是待估参数，ε表示误差项。

举个例子，假设我们想建立一个预测房屋价格的模型，我们可以将房屋的面积、卧室数量、地理位置等作为自变量，房屋价格作为因变量。

通过收集一定数量的房屋数据，并进行线性回归分析，我们可以得到一个线性回归模型来预测房屋价格。

二、非线性回归模型有些实际问题的数据关系并不完全符合线性假设，此时我们可以使用非线性回归模型来更准确地描述数据间的关系。

非线性回归模型可以采用多项式、指数、对数、幂函数等形式。

以生长速度为例，我们可以使用非线性回归模型来建立植物生长的函数模型。

通过观察和实验，我们可以得到不同时间点下植物的生长速度数据，然后采用非线性回归的方法拟合出一个较为准确的生长函数，从而对未来的生长速度进行预测。

三、时间序列模型时间序列模型用于分析和预测时间上连续观测值之间的关系。

它常用于金融、经济、气象等领域的数据分析。

以股票价格预测为例，我们可以使用时间序列模型来建立股票价格的函数模型。

通过收集历史股票价格的数据，我们可以分析价格序列的趋势、周期和季节性变动，并建立相应的时间序列模型，从而对未来的股票价格进行预测。

四、概率模型概率模型是一种基于概率论和统计学原理的模型，用于描述随机事件之间的关系。

它用于分析风险、预测概率等实际问题。

以保险业为例，我们可以使用概率模型来建立保险赔付的函数模型。

通过研究历史赔付数据和相关的风险因素，我们可以基于概率模型计算保险赔付的期望值和方差，从而评估保险产品的风险和合理的保费水平。

18
课前预习
课堂互动
建模选题
@《创新设计》
一、固体废物数据的搜集与处理 我们通过技术手段(代码见附件)，在知名外卖网站“饿了么”上面定点抓取了一个地 区方圆7 500 m左右所有已在该网站上注册的店铺的数据约32 109条，合计月销量267 305份，并写了一个简单的基于字典的分类算法，分类了135 655份月销量，并按照一 个理想数值为每一种商品产生的垃圾进行估算.分类结果如下：
1
课前预习
课堂互动
建模选题
教材知识探究
@《创新设计》
数学建模是在20世纪60和70年代进入一些西方国家大学的，我国的 几所大学也在80年代初将数学建模引入课堂.经过30多年的发展现 在绝大多数本科院校和许多专科学校都开设了各种形式的数学建模 课程和讲座，为培养学生利用数学方法分析、解决实际问题的能力 开辟了一条有效的途径.大学生数学建模竞赛最早是1985年在美国出现的，1989年 在几位从事数学建模教育的教师的组织和推动下，我国几所大学的学生开始参加美 国的竞赛，而且积极性越来越高，近几年参赛校数、队数占到相当大的比例.可以 说数学建模竞赛是在美国诞生，在中国开花、结果的.
数学建模 建立函数模型解决实际问题
@《创新设计》
课标要求
素养要求
收集、阅读一些现实生活、生产实际或者 通过生活中具体的数学模型，进行提出问
经济领域中的数学模型，体会人们是如何 题、分析数据、建立模型、检验模型来发
借助函数刻画实际问题，感悟数学模型中 展数据分析、数学抽象及数学建模素养.
参数的现实意义.
15
课前预习
课堂互动
建模选题
@《创新设计》
[求解模型] 所谓“错位推进法”，对于本题来说，关键点为“乙在30千米和10千米 处给甲留下食物和水”，根据分析与假设推知结论：其中的一位沙漠探险家最多可深 入沙漠65千米. [检验结果] 从“第6天走到10千米处吃1份，然后回出发点”，感觉似乎还有10千米 可以走，但已经回出发点了，考虑一下甲还可以再往前推进5千米吗？

0
10 20 40 60
V(cm3) 998.3 999.2 999.6 1000 1000.3 1000.7 1001.6 1002.3
能否据此求出V和t的函数关系？
你能不能根据表中数据猜想 V和t之间是什么函数关系？
分析：在平面直角坐标系中描出这些数值所对应的点.
V(cm3)
1002.0 1001.5 1001.0 1000.5 1000.0 999.5 999.0 998.5
3.由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随时间的变化而减少.蓄水 量 V (万m3) 与干旱持续时间 t (天) 的关系如图所示，根据图象回答下列 问题： (4) 按照这个规律，预计干旱持续多少 天水库将干涸？
解：(4) 预计干旱持续 60 天水库将 干涸.
4.刘老师开车上班，最初以某一速度匀速行进，中途由于汽车发生故障，停下修车 耽误了一会儿.为了按时到校，老师加快了速度，仍保持匀速行进，结果准时到校. 在课堂上，刘老师请学生画出汽车行进路程s(千米)与行进时间t(小时)的凳高x(cm) 37.0
桌高y(cm) 70.0
第二档 40.0 74.8
第三档 42.0 78.0
第四档 45.0 82.8
档次 高度
凳高x(cm)
桌高y(cm)
第一档
37.0 70.0
第二档
40.0 74.8
第三档
42.0 78.0
第四档
45.0 82.8
(1)小明经过对数据探究，发现：桌高y是凳高x的一次函数，请你求出这 个一次函数的关系式（不要求写出x的取值范围）； (2)小明回家后，测量了家里的写字台和凳子，写字台的高度为77cm， 凳子的高度为43.5cm，请你判断它们是否配套？说明理由．

《用函数模型解决实际问题的方法与步骤》知识解读
第一步:阅读理解、认真审题.
就是读懂题中的文字叙述,理解叙述所反映的实际背景,领悟从背景中概括出来的数学实质.尤其是理解叙述中的新名词、新概念,进而把握住新信息.
在此基础上,分析已知什么,求什么,涉及哪些知识,确定自变量与函数值的意义,尝试将问题函数化.审题时要抓住题目中关键的量,要勇于尝试、探索,敏于发现、归纳,善于联想、化归,实现实际问题向数学问题的转化.
第二步:引进数学符号建立数学模型.
一般地,设自变量为x,函数为y,并用x表示各相关量,然后根据问题的已知条件,运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式,将实际问题转化为数学问题,实现问题的数学化,即建立数学模型.
第三步:用数学方法将得到的常规数学问题(即数学模型)予以解答,求得结果.
第四步:转译成具体问题作出解答.
解题时要善于对信息进行加工、转化、抽象、概括,建立数学模型,要准确使用符号和数学语言,要注意解题格式和步骤的规范.
应用函数模型解决实际问题的一般流程如图:
1/ 1。

数学 必修 第一册 A
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Q(t)＝(12－gt)(60＋rt)－6t－720；① 其中r＝2.5，g＝0.1. 求t(t≥0)使Q(t)最大．
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第四章 指数函数与对数函数
模型求解 这是求二次函数最大值问题，用代数的方法容易求得 t＝6r－3g0rg－3. ②
当 r＝2.5，g＝0.1 时，t＝36，Q(36)＝324，即 36 天后出售，可得最大纯利润 324 元．
第四章 指数函数与对数函数
2．模型假设 (1)条件假设：将题目所处环境进行简化，提出简化条件(作出简化假设：船速、 水速为常数)． (2)符号假设：建立模型需要的字母、字符进行假设(用符号表示有关量：x, y 表 示船速和水速) 说明：假设是在建模最后阶段才能整理出来的． 3．模型建立：根据问题背景，选取适当的数学方法进行建模xx－＋yy××5300＝＝775500.， 4．模型求解：纯数学求解、计算机求解yx＝＝52.0，
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第四章 指数函数与对数函数
7．模型应用：进行模型应用方面的推广(作出简化假设：船速、水速为常 数)(用符号表示有关量：x, y表示船速和水速)．
解 用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：
(用物理定律“距离＝速度×时间”列出数学式子)
x＋y×30＝750， x－y×50＝750.
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第四章 指数函数与对数函数
5．模型分析解释：分析模型本身的稳定性、收敛性等性质． 对于本问题，由于解是精确解，所以不存在误差，不存在收敛性问题；由于模 型是静态的，所以不存在时间稳定性问题；由于模型是连续的，所以解对系数及右 端项都是适定的． 答：船速每小时20千米 6．模型检验：与实际数据、客观事实进行对比检验．

人，活着其实很累，在公司，上有可能需要讨好领导，下还需要和同事打好关系，回家需要处理好家庭的关系，交际需要维护好朋友自己的友谊，一不小心就有可能会各种质疑的话语，让我们心里、身体上背负着更重的压力。
也许经常有这样的场景，喧嚣的闹市，聚会上，热闹非凡，尽情的喝着酒，各种嘈杂，殊不知在心里巴不得这聚会早点结束就好，想着明天还要早起上班，想着家里的妻儿还在幽幽的盼着，而你自己也根本就不喜欢这样的场合，偶尔还可以，时间长了，你已经不知该怎样去选择。年纪越大，时间越来越少，身体越来越没以前那么能抗，而自己明白的事情却越来越迷茫，入夜时分，站在这个城市的中央，越来越觉得生活的选择已经不由的我们自己来做主，只剩下了莫名的伤感。
是的，折枝的命运阻挡不了。人世一生，不堪论，年华将晚易失去，听几首歌，描几次眉，便老去。无论天空怎样阴霾，总会有几缕阳光，总会有几丝暗香，温暖着身心，滋养着心灵。就让旧年花落深掩岁月，把心事写就在素笺，红尘一梦云烟过，把眉间清愁交付给流年散去的烟山寒色，当冰雪消融，自然春暖花开，拈一朵花浅笑嫣然。
听这位老友，絮絮叨叨地讲述老旧的故事，试图找回曾经的踪迹，却渐渐明白了流年，懂得了时光。过去的沟沟坎坎，风风雨雨，也装饰了我的梦，也算是一段好词，一幅美卷，我愿意去追忆一些旧的时光，有清风，有流云，有朝露晚霞，我确定明亮的东西始终在。静静感念，不着一言，百转千回后心灵又被唤醒，于一寸笑意中悄然绽放。
千米)的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米 时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不 超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究
表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的
一次函数。
(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式； (2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通 过桥上某测观点的车辆数，单位：辆/小时) f (x) ＝xv(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1

象直观地分析这组数据的变化规律,从而帮助我们选择函数
模型.
由图可以看出,5个点显示出随着旋钮角度逐渐增大,燃气量
有一个从大到小又从小到大的过程.在我们学习过的函数图
象中,二次函数的图象与之最接近,所以可以用二次函数
y=ax2+bx+c(a≠0)近似地表示这种变化(其中x表示旋钮角
度,y表示燃气量).
所获纯利润与投资金额有关,随投资金额的变化而变化,二者
之间存在某种函数关系,但这种函数关系没有明确给出,我们
可以根据给出的数据画出散点图,借助散点图直观地分析这
组数据的变化规律,从而帮助我们选择函数模型.
以投资额x为横坐标,纯利润y为纵坐标,在平面直角坐标系中
画出散点图如下图.
由散点图可知,可以用二次函数模型近似表示投资A种商品所
= . × - ,
解得 = -. × - ,
= . × - .
故函数解析式为 y=1.903 3×10-5x2-1.472 2×10-3x+1.503 3×10-1.
检验模型 将已知的表中数据代入上述得到的函数解析式,或
者画出函数的图象,可以发现,这个函数模型与实际数据基本
建立函数模型的过程:首先要对实际问题中的变化过程进行
分析,析出其中的常量、变量及其相互关系;明确其运动变化
的基本特征,从而确定它的运动变化类型;然后根据分析结果,
选择适当的函数类型构建数学模型,将实际问题化归为数学
问题;通过运算、推理,求解函数模型;最后利用函数模型的解
说明实际问题的变化规律,达到解决问题的目的.在构建函数
算得y≈63.98,因为78÷63.98≈1.22>1.2,所以这个男性体型偏胖.

ｉ ＂ 表示易拉罐 的容积 ； ｔ ：
ｓ表示易拉罐的表面积 ； ｈ 表示易拉罐的总高度 ； ： ：
ｒ表示易拉罐的底面半径 ； ｌ表示易拉罐的总造价 ； ｋ 表示侧面积的单位面积造价 ； ： ： ：
一
ｌ０ — ４
：
表示上 、 下底面 的单位 面积 的造价 ； ｅ表示侧 面积的厚度 ； Ｂ ： ： ｅ表示上 、 下底面的厚度
Ｊｎ． ２ ０ ａ ，０ ８
建 立 函数 模 型 解 决 实 际 问题
陈 业 勤 张 学 兵
（ 江苏淮安信息职业技术 学院 ，江苏淮安 ２３ ０ ） ２ ０３
摘 要 以２０ ０６高教社杯全国大学生数 学建模 ｃ题为 例， 探讨如何建立函数 模型 ， 解决实际问题
关 键 词 数学模型 ； ； 函数 易拉罐 ； 设计
数学概念和方法去表现模型．
３ 函数 模 型 的建 立
研究数学模型 ， 建立数学模型 ， 进而借鉴数学模型 ， 对提高解决 实际问题 的能力 ， 以及提高 素养都是 十分重要 的， 建立 函数
模型的步骤可分为 ： １ （ ）分析问题中哪些是变量 ， 哪些是常量， 分别用字母表 示 ；２ （ ）根据所给条件 ， 运用数学 、 物理或其他知识 ， 确定等量关系 ；３ 具体写出解析式 Ｙ＝． ） 并求解． （） 厂 ， （ 例如 ：０ ６年全国高教社杯大学生数学建模 Ｃ题如下 ： ２０
１ 数学模型的含义
数学模型是对于现实世界的一个特定对象 ， 一个特定 目的 ， 根据特有 的内在规律 ， 出一些必要 的假设 ， 做 运用适 当的数学工
具， 得到一个数学结构． 简单地说 ： 就是系统的某种特征的本质的数 学表达式 （ 或是用数 学术语对部分 现实世界 的描述 ） 即用数 ， 学式子（ 如函数 、 图形 、 代数方程 、 微分方程 、 积分方程、 差分方程 等）来描述 （ 表述 、 模拟）所 研究 的客观对 象或系统在某一方面 的存在规律．

二次函数的模型建立与解决实际问题二次函数是数学中重要的一个概念，也被广泛应用于实际问题的建模和解决。

本文将介绍二次函数的基本形式、模型的建立方法，以及如何利用二次函数解决实际问题。

一、二次函数的基本形式二次函数一般可以写成以下形式：y = ax^2 + bx + c其中，a、b、c为常数，x为自变量，y为因变量。

其中，a不等于0，否则称为一次函数。

二次函数的图像一般是一个抛物线。

二、二次函数的模型建立方法建立二次函数模型的关键在于确定函数中的系数a、b、c。

常用的方法包括根据已知点建立方程、根据已知的函数值建立方程，以及根据图像特征建立方程等。

下面以几个具体的例子来说明。

例1：已知抛物线上的两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，求二次函数的模型。

由于已知两个点的坐标，可以建立两个方程：y1 = ax1^2 + bx1 + cy2 = ax2^2 + bx2 + c可以解这个方程组得到a、b、c的值，从而得到二次函数的模型。

例2：已知二次函数过定点(0, c)和与正轴交于点C(x, 0)，求二次函数的模型。

由于已知两个点的坐标，可以建立两个方程：c = a * 0^2 + b * 0 + c0 = a * x^2 + b * x + c可以解这个方程组得到a、b、c的值，从而得到二次函数的模型。

例3：已知抛物线的顶点为V(h, k)，求二次函数的模型。

由于已知顶点的坐标，可以将二次函数写成顶点形式：y = a(x - h)^2 + k其中，h为顶点的横坐标，k为顶点的纵坐标。

三、利用二次函数解决实际问题二次函数的模型可以应用于多个实际问题的解决中，例如抛物线的轨迹问题、最值问题、运动问题等。

在抛物线的轨迹问题中，可以根据已知的条件建立二次函数模型，通过求解二次函数的顶点、判别式、根等，得到抛物线的特征，进而解决具体的问题。

在最值问题中，可以根据已知的限制条件建立二次函数模型，通过求解二次函数的最值，得到问题的最优解。

专题31 建立函数模型解决实际问题考点1 建立函数模型解决实际问题1.在今年的全国政协、人大两会上，代表们呼吁政府切实关心老百姓看病贵的问题，国家决定对某药品分两次降价，假设平均每次降价的百分率为x.已知该药品的原价是m元，降价后的价格是y元，则y与x的函数关系是()A．y＝m(1－x)2B．y＝m(1＋x)2C．y＝2m(1－x)D．y＝2m(1＋x)【答案】A【解析】由题意，药品的原价是m元，分两次降价，每次降价的百分率为x，则降价后的价格为y＝m(1－x)(1－x)＝m(1－x)2.故选A.2.已知等腰三角形的周长为20cm，底边长y cm是腰长x cm的函数，则此函数的定义域为()A．(0,10)B．(0,5)C．(5,10)D．[5,10)【答案】C【解析】由题意知y＝20－2x，因为三角形两边之和大于第三边，所以2x>y，即2x>20－2x，x>5.又因为y>0，即20－2x>0，所以x<10.故5<x<10.3.某个体户在进一批服装时，进价是原标价的75%.现打算对该服装定一个新标价在价目表上，并注明按新价降低20%销售，这样，仍可获得25%的纯利，求该个体户给这批服装定的新标价与原标价之间的函数关系式．【答案】设原标价为x元/件，新标价为y元/件，＝25%，则有(1−20%)y−75%x75%xx(x>0)．化简得y＝7564考点2 函数拟合问题4.如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图．那么“红豆生南国，春来发几枝．”的红豆生长时间与枝数的关系用下列哪个函数模型拟合最好？()A．指数函数：y＝2tB ．对数函数：y ＝log 2tC ．幂函数：y ＝t 3D ．二次函数：y ＝2t 2【答案】A【解析】由题意知函数的图象在第一象限是增函数，并且增长较快，且图象过(2,4)点， ∴图象由指数函数y ＝2t 来模拟比较好，故选A.5.今有一组实验数据如表所示：则体现这些数据关系的最佳函数模型是( )A ．u ＝log 2tB ．u ＝2t －2C ．u ＝t 2−12D ．u ＝2t －2【答案】C【解析】由散点图可知，图象不是直线，排除D ；图象不符合对数函数的图象特征，排除A ；当t ＝3时，2t －2＝23－2＝6，t 2−12＝32−12＝4，由表格知当t＝3时，u＝4.04，模型u＝t2−1能较好地体现这些数据关系．故选C.26.以下是三个变量y1、y2、y3随变量x变化的函数值表：其中关于x呈指数函数变化的函数是________．【答案】y1【解析】从题表格可以看出，三个变量y1、y2、y3都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y1的增长速度最快，画出它们的图象，可知变量y1呈指数函数变化，故填y1.7.辽宁号航母纪念章从2012年10月5日起开始上市．通过市场调查，得到该纪念章每1枚的市场价y(单位：元)与上市时间x(单位：天)的数据如下：(1)根据上表数据结合散点图，从下列函数中选取一个恰当的函数描述辽宁号航母纪念章的市场价y 与上市时间x 的变化关系并说明理由：①y ＝ax ＋b ；②y ＝ax 2＋bx ＋c ；③y ＝a log b x ；(2)利用你选取的函数，求辽宁号航母纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格．【答案】(1)∵随着时间x 的增加，y 的值先减后增，而所给的三个函数中y ＝ax ＋b 和y ＝a log b x 显然都是单调函数，不满足题意，∴y ＝ax 2＋bx ＋c .(2)把点(4,90)，(10,51)，(36,90)代入y ＝ax 2＋bx ＋c 中，得{16a +4b +c =90，100a +10b +c =51，1296a +36b +c =90，解得a ＝14，b ＝－10，c ＝126.∴y ＝14x 2－10x ＋126＝14(x －20)2＋26，∴当x ＝20时，y min ＝26.即上市20天时，市场价最低，为26元．8.某服装厂某年1月份、2月份、3月份分别生产某名牌衣服1万件、1.2万件、1.3万件，为了估测当年每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模型模拟该产品的月产量y 与月份x 的关系，模拟函数可选用函数y ＝p ·qx ＋r (其中p ，q ，r 为常数)或二次函数．又已知当年4月份该产品的产量为1.36万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由．【答案】设y 1＝f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，依题意得{f (1)＝a ＋b ＋c =1，f (2)＝4a ＋2b ＋c =1.2，f (3)＝9a ＋3b ＋c =1.3，解得{a=−0.05，b=0.35，c=0.7.y1＝f(x)＝－0.05x2＋0.35x＋0.7，故f(4)＝1.3.设y2＝g(x)＝p·q x＋r，依题意得{g(1)＝p·q＋r=1，g(2)＝p·q2＋r=1.2，g(3)＝p·q3＋r=1.3，解得{p=−0.8，q=0.5，r=1.4.y2＝g(x)＝－0.8×0.5x＋1.4，故g(4)＝1.35.由以上可知，函数y2＝g(x)＝－0.8×0.5x＋1.4作为模拟函数较好．9.某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈持续上涨趋势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌．现有三种价格模拟函数：①f(x)＝p·q x；②f(x)＝px2＋qx＋1；③f(x)＝x(x－q)2＋p(以上三式中p，q均为常数，且q>1)．(1)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数(不必说明理由)；(2)若f(0)＝4，f(2)＝6，求出所选函数f(x)的解析式．(注：函数定义域是[0,5]．其中x ＝0表示8月1日，x＝1表示9月1日，…，以此类推)【答案】(1)根据题意，应选模拟函数f(x)＝x(x－q)2＋p.(2)由f (0)＝4，f (2)＝6，得{p =4，(2−p )2=1⇒{p =4，q =3. ∴f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋4(0≤x ≤5)．10.20世纪90年代，气候变化专业委员会向政府提供的一项报告指出：全球气候逐年变暖的一个重要因素是人类在能源利用与森林砍伐中使CO 2体积分数增加．据测，1990年、1991年、1992年大气中的CO 2体积分数分别比1989年增加了1个可比单位、3个可比单位、6个可比单位．若用一个函数模拟20世纪90年代中每年CO 2体积分数增加的可比单位数y 与年份增加数x (即当年数与1989的差)的关系，模拟函数可选用二次函数f (x )＝px 2＋qx ＋r (其中p ，q ，r 为常数)或函数g (x )＝abx ＋c (其中a ，b ，c 为常数，且b ＞0，b ≠1)．(1)根据题中的数据，求f (x )和g (x )的解析式；(2)如果1994年大气中的CO 2体积分数比1989年增加了16个可比单位，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由．【答案】(1)根据题中的数据，得{p +q +r =1，4p +2q +r =3，9p +3q +r =6和{ab +c =1，ab 2+c =3，ab 3+c =6，解得{p =12，q =12，r =0和{a =83，b =32，c =−3，∴f (x )＝12x 2＋12x ，g (x )＝83·(32)x －3.(2)∵f (5)＝15，g (5)＝17.25,f (5)更接近于16，∴选用f (x )＝12x 2＋12x 作为模拟函数较好．11.某跨国饮料公司对所有人均GDP(即人均纯收入)在0.5—8千美元的地区销售该公司M 饮料的调查中发现：人均GDP 处在中等的地区对该饮料的销售量最多，然后向两边递减．(1)下列几个模拟函数中(x 表示人均GDP ，单位：千美元；y 表示年人均M 饮料的销量，单位：升)，用哪个来描述人均饮料销量与地区的人均GDP 的关系更合适？说明理由； A ．f (x )＝ax 2＋bx ；B.f (x )＝log a x ＋b ；C.f (x )＝a x ＋b ；D.f (x )＝x α＋b .(2)当人均GDP 为1千美元时，年人均M 饮料的销量为2升；人均GDP 为4千美元时，年人均M 饮料的销量为5升；把你所选的模拟函数求出来；(3)因为M 饮料在N 国被检测出杀虫剂的含量超标，受此事件影响，M 饮料在人均GDP 不高于3千美元的地区销量下降5%，不低于6千美元的地区销量下降5%，其他地区的销量下降10%，根据(2)所求出的模拟函数，求在各个地区中，年人均M 饮料的销量最多为多少？【答案】(1)因为B ，C ，D 表示的函数在区间[0.5,8]上是单调的，所以用A 来模拟比较合适．(2)因为当人均GDP 为1千美元时，年人均M 饮料的销售量为2升；当人均GDP 为4千美元时，年人均M 饮料的销售量为5升，把x ＝1，y ＝2；x ＝4，y ＝5代入函数f (x )＝ax 2＋bx ，得{2=a +b ，5=16a +4b ，解得{a =−14，b =94，所以所求函数的解析式为f (x )＝－14x 2＋94x (x ∈[0.5，8])． (3)根据题意可得y ＝－1980[(x －92)2－814]在[0.5,3]上是增函数，则当x ＝3时，y max ＝17140；当x ∈(3,6)时，y ＝－940[(x －92)2－814]，92∈(3,6)，则当x ＝92时，y max ＝729160；y ＝－1980[(x －92)2－814]在[6,8]上是减函数，则当x ＝6时，y max ＝17140； 显然729160>17140，所以在人均GDP 为4.5千美元的地区，年人均M 饮料的销量最多，为729160升．考点3 函数模型的综合应用12.某汽车销售公司在A 、B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润(单位：万元)为y 1＝4.1x －0.1x 2，在B 地的销售利润(单位：万元)为y 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在两地共销售16辆这种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( ) A ．10.5万元B ．11万元C ．43万元D ．43.025万元【答案】C【解析】设利润为y ，则y ＝4.1x －0.1x 2＋2(16－x )＝－0.1x 2＋2.1x ＋32＝－0.1(x －212)2＋32＋44.14，当x ＝10或x ＝11时，有最大利润y ＝43.13.某种新药服用x 小时后血液中的残留量为y 毫克，如图所示为函数y ＝f (x )的图象，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效．设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为( )A ．上午10∶00B ．中午12∶00C ．下午4∶00D ．下午6∶00【答案】C【解析】当x ∈[0,4]时，设y ＝k 1x ，把(4,320)代入，得k 1＝80，∴y ＝80x .当x ∈[4,20]时，设y ＝k 2x ＋b .把(4,320)，(20,0)代入，得{4k 2+b =320，20k 2+b =0， 解得{k 2=−20，b =400，∴y ＝400－20x .∴y ＝f (x )＝{80x ，0≤x ≤4，400−20x ，4<x ≤20， 由y ≥240，得{0≤x ≤4，80x ≥240或{4<x ≤20，400−20x ≥240，解得3≤x ≤4或4<x ≤8，∴3≤x ≤8.故第二次服药最迟应在当日下午4∶00.故选C.14.如图，某单位准备修建一个面积为600平方米的矩形场地(图中ABCD )的围墙，且要求中间用围墙EF 隔开，使得ABEF 为矩形，EFDC 为正方形，设AB ＝x 米，已知围墙(包括EF )的修建费用均为每米800元，设围墙(包括EF )的修建总费用为y 元．(1)求出y 关于x 的函数解析式；(2)当x 为何值时，围墙(包括EF )的修建总费用y 最小？并求出y 的最小值．【答案】(1)设AD ＝t 米，则由题意得xt ＝600，且t >x ，故t ＝600x >x ，可得0<x <10√6.则y ＝800(3x ＋2t )＝800(3x ＋2×600x )＝2400(x ＋400x )， 所以y 关于x 的函数解析式为y ＝2400(x ＋400x )(0<x <10√6)． (2)y ＝2400(x ＋400x )，由对勾函数的性质知，当x ＝400x ，即x ＝20时，y 有最小值，最小值为96000元．15.某地需要修建一条大型输油管道通过240公里宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)．经预算，修建一个增压站的工程费用为400万元，铺设距离为x 公里的相邻两增压站之间的输油管道费用为(x 2＋x )万元．设余下工程的总费用为y 万元．(1)试将y 表示成x 的函数；(2)需要修建多少个增压站才能使y 最小，其最小值为多少？【答案】(1)设需要修建k 个增压站，则(k ＋1)x ＝240，即k ＝240x －1. 所以y ＝400k ＋(k ＋1)(x 2＋x )＝400(240x －1)＋240x (x 2＋x )＝96000x ＋240x －160.因为x 表示相邻两增压站之间的距离，则0＜x ≤240.故y 与x 的函数关系是y ＝96000x ＋240x －160(0＜x ≤240)． (2)y ＝96000x ＋240x －160，由对勾函数的性质知，当96000x ＝240x ，即x ＝20时y 有最小值． 此时，k ＝240x －1＝24020－1＝11.故需要修建11个增压站才能使y 最小，其最小值为9440万元．16.为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层．体育馆要建造可使用20年的隔热层，1cm 厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系C (x )＝k 3x+5(0≤x ≤10，k 为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小？并求出最小值．【答案】(1)当x ＝0时，C ＝8，∴k ＝40，∴C (x )＝403x+5.∴f (x )＝6x ＋20×403x+5＝6x ＋8003x+5(0≤x ≤10)．(2)f (x )＝2(3x ＋5)＋8003x+5－10，设3x ＋5＝t ，t ∈[5,35]，∴y ＝2t ＋800t －10， 由对勾函数的性质知，当2t ＝800t ，即t ＝20时，y 有最小值．此时x ＝5，因此f (x )的最小值为70.即隔热层修建5cm 厚时，总费用f (x )达到最小，最小值为70万元．17.某公司对营销人员有如下规定：①年销售额x在9万元以下，没有奖金；②年销售额x(万元)，当x∈[9,81]时，奖金为y(万元)，y＝log ax，y∈[2,4]，且年销售额x越大，奖金越多；③年销售额超过81万元，按5%(x－1)发奖金(年销售额x万元)．(1)求奖金y关于x的函数解析式；(2)某营销人员争取年奖金3≤y≤10(万元)，则年销售额x在什么范围内？【答案】(1)∵y＝log a x在[9,81]上是增函数，∴log a9＝2，∴a＝3.经验证log381＝4符合题意，∴y＝{0(0≤x<9)，log3x(9≤x≤81)，5%(x－1)(x>81).(2)∵3≤y≤10，∴3≤log3x≤4，∴27≤x≤81.∵4<120(x－1)≤10，∴81＜x≤201，∴27≤x≤201.所以年销售额x的取值范围为[27,201]万元．18.南博汽车城销售某种型号的汽车，进货单价为25万元，市场调研表明，当销售单价为29万元时，每周平均售出8辆汽车；当每辆汽车每降价0.5万元时，平均每周能多售出4辆汽车，如果设每辆汽车降价x万元，每辆汽车的销售利润为y万元(每辆车的销售利润＝销售单价－进货单价)．(1)求y与x之间的函数关系式，并在保证商家不亏本的前提下，写出x的取值范围；(2)假设这种汽车平均每周的销售利润为z万元，试写出z与x之间的函数关系式；(3)当每辆汽车的销售单价为多少万元时，平均每周的销售利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)∵y＝29－25－x，∴y＝－x＋4(0≤x≤4，x＝0.5n，n∈N)．×4)y(2)z＝(8＋x0.5＝(8x＋8)(－x＋4)＝－8x2＋24x＋32(0≤x≤4，x＝0.5n，n∈N)．(3)由(2)知，z＝－8x2＋24x＋32＝－8(x－1.5)2＋50(0≤x≤4，x＝0.5n，n∈N)．故当x＝1.5时，z max＝50.所以当销售单价为29－1.5＝27.5(万元)时，有最大利润，最大利润为50万元．19.“学习曲线”可以用来描述学习达到某一水平所需的学习时间，假设“学习曲线”符合)(B为常数)，N(单位：字)表示某一英文词汇量水平，t(单位：天)表示函数t＝5log2(NB达到这一英文词汇量所需要的学习时间．(1)已知某人学习达到40个词汇量，需要10天，求他的学习曲线解析式；(2)他学习几天能掌握160个词汇量；(3)如果他学习时间大于30天，他的词汇量情况如何．)，【答案】(1)把t＝10，N＝40代入t＝5log2(NB)，解得B＝10，得10＝5log2(40B所以t＝5log2(N10)(N>0)．(2)当N＝160时，t＝5log2(16010)＝5log216＝20.(3)当t>30时，5log2(N10)>30，解得N>640，所以当学习时间大于30天时，他的词汇量大于640个．20.手机上网每月使用量在500分钟以下(包括500分钟)60分钟以上(不包括60分钟)按30元计费，超过500分钟的部分按0.15元/分钟计费，假如上网时间过短，使用量在1分钟以下不计费，在1分钟以上(包括1分钟)按0.5元/分钟计费，计费时间均取整数，不足1分钟的按1分钟计费，手机上网不收通话费和漫游费．(1)12月份小王手机上网使用量为20小时，要付多少钱？(2)小周10月份付了90元的手机上网费，那么他上网的计费时间是多少？(3)电脑上网费包月60元/月，根据时间长短，你会选择哪种方式上网呢？【答案】设上网时间为x分钟，用[x]表示不小于x的最小整数，由已知条件知，所付费用y关于x的函数解析式为y＝{0，0≤x<1，0.5[x]，1≤x≤60，30，60<x≤500，30+0.15([x]−500)，x>500.(1)当x＝20×60＝1200(分钟)，即当x>500时，应付费y＝30＋0.15×(1200－500)＝135(元)．(2)90元已超过30元，所以上网时间超过500分钟，∴30＋0.15×([x]－500)＝90，解得[x]＝900，所以他上网的计费时间为900分钟．(3)令60＝30＋0.15([x]－500)，解得[x]＝700.故当一个月经常上网(一个月上网计费时间超过700分钟)时，选择电脑上网，而当一个月短时间上网(一个月上网计费时间不超过700分钟)时，选择手机上网．。

⾃建函数模型解决实际问题教案3.2.2函数模型的应⽤举例第⼆课时⾃建函数模型解决实际问题【教学⽬标】能够收集图表数据信息，建⽴拟合函数解决实际问题。

【教学重难点】重点：收集图表数据信息、拟合数据，建⽴函数模解决实际问题。

难点：对数据信息进⾏拟合，建⽴起函数模型，并进⾏模型修正。

【教学过程】（⼀）创设情景，揭⽰课题2010年4⽉8⽇，西安交通⼤学医学院紧急启动“建⽴甲型HⅠN Ⅰ趋势预测与控制策略数学模型”研究项⽬，马知恩教授率领⼀批专家昼夜攻关，于4⽉19⽇初步完成了第⼀批成果，并制成了要供决策部门参考的应⽤软件。

这⼀数学模型利⽤实际数据拟合参数，并对全国和北京、⼭西等地的疫情进⾏了计算仿真，结果指出，将患者及时隔离对于抗击甲型HⅠNⅠ⾄关重要、分析报告说，就全国⽽论，甲型HⅠNⅠ病⼈延迟隔离1天，就医⼈数将增加1000⼈左右，推迟两天约增加⼯能⼒100⼈左右；若外界输⼊1000⼈中包含⼀个病⼈和⼀个潜伏病⼈，将增加患病⼈数100⼈左右；若4⽉21⽇以后，政府⽰采取隔离措施，则⾼峰期病⼈⼈数将达60万⼈。

这项研究在充分考虑传染病控制中⼼每⽇⼯资发布的数据，建⽴了甲型HⅠNⅠ趋势预测动⼒学模型和优化控制模型，并对甲型HⅠNⅠ未来的流⾏趋势做了分析预测。

本例建⽴教学模型的过程，实际上就是对收集来的数据信息进⾏拟合，从⽽找到近似度⽐较⾼的拟合函数。

（⼆）探究过程：例1、某桶装⽔经营部每天的房租、⼯作⼈员等固定成本为200元，每桶⽔的进价是5元。

销售单价与⽇销售量的关系如图所⽰:请根据以上的数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最⼤利润？探索以下问题：（1）随着销售价格的提升，销售量怎样变化？成⼀个什么样的函数关系？（2）最⼤利润怎么表⽰？润⼤利润=收⼊-⽀出具体的解答过程详见课本中的例5，在此略。

例2．某地区不同⾝⾼的未成年男性的体重平均值发下表（⾝⾼：cm；体重：kg）1）根据表中提供的数据，建⽴恰当的函数模型，使它能⽐较近似地反映这个地区未成年男性体重与⾝⾼ykg与⾝⾼xcm的函数模型的解析式。