当前位置：文档之家 › 八年级上册 勾股定理

八年级上册 勾股定理

  • 格式：docx
  • 大小：904.05 KB
  • 文档页数：11

D'C'B'D CBA D'C'B'DC BA 第一章 勾股定理【一】勾股定理的验证与证明1.如图，是由四个全等的Rt △拼成的图形，你能用它证明勾股定理吗？2.如图，是由四个全等的Rt △拼成的图形，你能用它证明勾股定理吗？3.如图，已知∠A ＝∠B ＝90°且△AED ≌△BCE ，A 、E 、B 在同一直线上.根据此图证明勾股定理.4.一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启发人们发现了勾股定理的一种新的证法。

如图，火柴盒的一个侧面ABCD 倒下到AB ’C ’D ’的位置，连接CC ’，设AB=a ，BC=b ，AC=c ，请利用四边形BCC ’D ’的面积证明勾股定理。

5.如图，直角三角形斜边长c 的长度为7cm ，则图中所有正方形的面积之和为6.如图，直线l 上有三个正方形a,b,c ，若a,c 的面积分别为5和11，则b 的面积为为 。

8.如图所示，分别以直角三角形的三边为直径做半圆，其中两个半圆的面积===321S 2S 825S π，则π， 9.同学们已清楚美丽的勾股树的作法．现将勾股树一段中的正方形全部换成等边三角形，则得右图，若图中最大的直角三角形的斜边为2cm ，则如图中所有的等边三角形的面积之和为 cm 210.如图，以直角三角形a、b 、c 为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S 1+S 2=S 3图形个数有（ ）11.一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启发人们发现了勾股定理的一种新的证法。

如图，火柴盒的一个侧面ABCD 倒下到AB ’C ’D ’的位置，连接CC ’，设AB=a ，BC=b ，AC=c ，请利用四边形BCC ’D ’的面积证明勾股定理。

C cb a cba C Bcba12.如图1是2002年8月在北京召开的国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》由四个全等的直角三角形和一个小正方形的拼成的大正方形．（1）如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短边为a，较长边为b，那么（a+b）2的值是；（2）若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是．13.我国古代数学家得出的赵爽弦图是又是个全等的直角三角形和一个小正方形铺成的大正方形。

若小正方形与大正方形的面积比为1:13，则直角三角形较短直角边a与较长直角边b的比值是14.如图，在水平面上依次放置着七个正方形已知斜放置的三个正方形的面积分别是a、b、c，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3 ，则 S1 ＋S2 ＋S3 ＋S4= .15.（16年七中第一次月考）如图，每个小正方形的边长为1，剪一剪，并拼成一个正方形，这个正方形的边长是多少？技巧：等积法【二】利用勾股定理求边长1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝12，b＝16，则c的长为（）A.26B.18C.20D.212.若等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则底边上的高为（）A.6B.7C.8D.93. 直角三角形三边的长分别为3、4、x，则x可能取的值有（）.A. 1个B. 2 个C. 3个D. 无数多个4.若一个三角形的三边长为3、4、x，则使此三角形是直角三角形的x的值是（）A.5B. 6C.7D.5或75．一个直角三角形，有两边长分别为6和8，下列说法正确的是（）A. 第三边一定为10B. 三角形的周长为25C. 三角形的面积为48D. 第三边可能为106.现有两根木棒,长度分别为44㎝和55㎝.若要钉成一个三角形木架，其中有一个角为直角，所需最短的木棒长度是（）.A.22㎝ B.33㎝ C.44㎝ D.55㎝7.有一个长为12cm，宽为4cm，高为3cm的长方形铁盒，在其内部要放一根笔直的铅笔，则铅笔最长是 cm8..在直角三角形ABC中，∠C=90°，周长为120，斜边与一条直角边之比为13:5，则这个三角形的三边长分别为（1）直角三角形两直角边长分别为3和4，则它的斜边长为，斜边上的高为__________.（2）已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为__________．（3）已知两条线段的长为9cm和12cm,当第三条线段的长为 cm时,这三条线段能组成一个直角三角形.（4）已知Rt△ABC中，∠C=90°，a+b=14，c=10，则Rt△ABC的面积是9.一个直角三角形，有两边长分别为6和8，下列说法正确的是（）A. 第三边一定为10B. 三角形的周长为25C. 三角形的面积为48D. 第三边可能为1010.直角三角形的斜边为20cm，两条直角边之比为3∶4，那么这个直角三角形的周长为（）A . 27cm B. 30cm C. 40cm D. 48cm11.下列各组数中以a，b，c为边的三角形不是Rt△的是（）A.a=2，b=3, c=4B.a=7, b=24, c=25C.a=6, b=8, c=10D.a=3, b=4, c=512.要从电线杆离地面5m 处向地面拉一条长为13m 的电缆，则地面电缆固定点与电线杆底部的距离应为（ ）. A.10m B.11m C.12m D.13m13．将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是（ ）A 直角三角形B 锐角三角形C 钝角三角形D 不能确定 14. 图中，每个小正方形的边长为1，ABC ∆的三边c b a ,,的大小关系式（ ） A.b c a << B.c b a << C.b a c << D.a b c << 【三】勾股定理在非直角三角形中的应用1.若△ABC 中，cm AC cm AB 15,13==，高AD=12,则BC 的长为（ ）A 、14B 、4C 、14或4D 、以上都不对2．一木工师傅测量了一个等腰三角形的腰、底边和底边上的高的长度，但他却把这三个数据弄混了，请你帮他找出来，应该是（ ）A. 13，12，12 B ．12，12，8 C ．13，10，12 D ．5，8，43.等腰三角形ABC 的面积为12㎝2，底上的高AD ＝3㎝，则它的周长为 ㎝. 4.已知等腰三角形腰长为10，底边长为16，它的面积为5.一个三角形的三边长分别是15cm,20cm,25cm,则这个三角形最长边上的高为 cm 。

6.等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为（ ） A.56 B.48 C.40 D.327.一个等腰三角形的面积为300，底边上的高为15，则它的腰长为 7.已知：如图，在△ABC 中，AB ＝15，BC ＝14，AC ＝13．求△ABC 的面积．8.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ， BC=6，AC=8， 求AB 、CD 的长【四】利用勾股定理求不规则图形的面积1.如图，每个小正方形的边长都是1，求图中格点四边形ABCD 的面积.2.如图，四边形ABCD 中，AB ＝3cm ，BC ＝4cm ，CD ＝12cm ，DA ＝13cm ，且∠ABC ＝90°，求四边形ABCD 的面积.3.四边形ABCD 中，AD ⊥DC ，AD=8，DC=6，CB=24，AB=26.求四边形ABCD 的面积.4.（16年七中第一次月考）如图，四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，已知AB=9cm ，BC=12cm,AD=36cm,DC=39cm,求四边形ABCD 的面积。

DCBA BA cb aC BAD CBA5.已知：在四边形ABCD中，∠D=90°，DC=3cm，AD=4cm，AB=12cm，BC=13cm．求四边形ABCD的面积．5，CD=5cm,DA=4cm，∠B=30°，求四边形6.如图，已知在四边形ABCD中，AB=2cm，BC=cmABCD的面积。

7.如图是一个零件的示意图，按规定这个零件中的∠A和∠DBC都应该为直角，工人师傅已在图上标注了此零件个边的尺寸，判断这个零件符合要求吗？8.如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，则过3秒时，△BPQ的面积为多少cm2．【五】勾股定理的实际运用1.小明想测量教学楼的高度．他用一根绳子从楼顶垂下，发现绳子垂到地面后还多了2 ｍ，当他把绳子的下端拉开 6 m后，发现绳子下端刚好接触地面，则教学楼的高为（）.A. 8 mB. 10 mC. 12 mD. 14 m2.小刚准备测量河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边1.5m的水底，竹竿高出水面0.5米，把竹竿的顶端拉向岸边，竹竿和岸边的水平刚好相齐，河水的深度为3.如果梯子的底端离建筑物9 ｍ，那么15 ｍ长的梯子可以到达建筑物的高度是（）.A. 10 mB. 11 mC. 12 mD. 13 m4.一架长250m的梯子斜靠在墙上，这时梯子的底端与墙的底端距离为70cm,如果梯子顶端沿墙下滑40cm，那么梯子的底端将向外滑动________cm。

5.如图，钓鱼竿AC长4m，露在水面上的鱼线BC长2.4米，某钓者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC’的位置，此时露在水面上的鱼线B’C’长为3.2米，则此时鱼线移动的水平距离BB’的长为________m 6.在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深是________m.7.如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面2.8米处吹断裂，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部9.6米处，那么这根旗杆被吹断裂前米。

8.如图，从电线杆离地面6m处向地面拉一根长10m的缆绳，这根缆绳在地面上的固定点距离电线杆底部多远？9.如图，某宾馆在重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺上红色地毯，已知这种地毯每平方米售价50元，主楼梯宽3米。

则购地毯至少需要元。

10.要登上9m高的建筑物，为了安全需要，需要使梯子固定在一个高1m的固定架上，并且底端离建筑物6m，梯子需要 m。

11.如图，施工工地的水平地面上，有三根外径都是1米的水泥管摞在一起，则其最高点到地面的距离是12.如图：隔湖有两点A、B，为了测得A、B两点间的距离，从与AB方向成直角的BC方向上任取一点C，若测得CA=50m，CB=40m，那么A、B两点间的距离是。

13.如图，是一个高1.5米，宽3.6米的大门，需要在大门相对的顶点间用一条木板加固，则这条木板的长度是14.一木工师傅做了一个长方形桌面，量得桌面的长为60cm，宽为32cm，对角线长为68cm，则这个桌面（填“合格”或“不合格”）15.要制作底边BC的长为40cm，顶点A到BC的距离与BC的长的比为3:8的等腰三角形木衣架，则腰AB的长至少需要 cm16.轮船在大海中航行，它从A点出发，向正北方向航行20㎞，遇到冰山后，又折向东航行15㎞，则此时轮船与A点的距离为㎞.17.在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处.另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少米？18.如图,有一只小鸟在一棵高4m的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高20m的一棵大树的树梢上发出友好的叫声，它立刻以4m/s的速度飞向大树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达大树和伙伴在一起？19.我方侦察员小王在距离东西向公路400米处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶。

合集下载

探索勾股定理(19张PPT)数学八年级上册

探索勾股定理(19张PPT)数学八年级上册

在公元前300年左右，著名的数学家希腊的欧几里得提出了一套简洁而准确的几何方法，以求证在给定直角三角形中已知两直角边与斜边，斜边与另外两条边的平方和的关系。
1637年，路易十四命令巴黎学院组织了一场盛大的比赛，将法国的贵族们集结起来解决了这道难题，当时获胜的人可以得到很丰厚的奖品。
有关于勾股定理的趣味历史
勾股定理的介绍
目录
什么是勾股定理
有关于勾股定理的趣味历史
用勾股定理解决实际问题
勾股定理的跨学科
勾股定理的验证推导
什么是勾股定理
什么是勾股定理
有关于勾股定理的趣味历史
有关于勾股定理的趣味历史
据说在古埃及文明中，他们建造金字塔时使用了“几何法则”来确定石块之间的距离和角度。这个神秘的几何法则据说与古代建筑物的外形有关系，可能就是指勾股定理。
折叠毕达哥拉斯定律
勾股定理的验证推导
任何一个学过代数或几何的人，都会听到毕达哥拉斯定理．这一著名的定理，在许多数学分支、建筑以及测量等方面，有着广泛的应用．古埃及人用他们对这个定理的知识来构造直角．他们把绳子按3，4和5单位间隔打结，然后把三段绳子拉直形成一个三角形．他们知道所得三角形最大边所对的角总是一个直角。毕达哥拉斯定理；给定一个直角三角形，则该直角三角形斜边的平方，等于同一直角三角形两直角边平方的和。反过来也是对的；如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形为直角三角形。
在语文课堂上的应用
在科学实验中的应用
用勾股定理解决实际问题
物理学中的应用
勾股定理在物理学中被广泛运用，可以用于建筑结构分析、机械设计以及其他类似问题的解决，同时也是桥梁设计的重要理论基础之一。
有不少现代的编程语言内置了计算器功能，提供了简便易用的库支持。而且在算法领域也能看到它的踪影，如分治算法、动态规划算法等
八年级数学上册《探索勾股定理》教案、教学设计

八年级数学上册《探索勾股定理》教案、教学设计

-设计具有挑战性的延伸性问题，激发学生的探究欲望，为下一节课的学习打下基础。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教师通过多媒体展示勾股定理的历史背景，如古希腊数学家毕达哥拉斯发现勾股定理的故事，以及我国古代对勾股定理的研究成果，引发学生对勾股定理的好奇心。
2.提问学生：“同学们，你们知道直角三角形有什么特征吗？”让学生回忆直角三角形的定义和性质，为新课的学习做好铺垫。
3.教师提出问题：“在直角三角形中，斜边与直角边之间是否存在某种特殊的数量关系？今天我们就一起来探讨这个问题。”
（二）讲授新知
1.教师通过动画演示，引导学生观察直角三角形中斜边与直角边的关系，并提出勾股定理的猜想。
2.教师逐步引导学生，利用数学归纳法证明勾股定理，强调数学逻辑性和严谨性。
-首先，验证直角边长度为1的直角三角形，斜边长度是否满足勾股定理；
4.多元评价：采用口头提问、课堂练习、课后作业等多种形式，全面评价学生的学习效果。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣，激发他们探索数学知识的热情；
2.培养学生严谨、细心的学习态度，提高他们的数学素养；
3.培养学生的团队协作意识，让他们在合作探究中学会倾听、交流、分享；
4.使学生认识到勾股定理在数学发展中的重要地位，以及数学在人类文明进步中的价值。
此外，学生在解决问题的过程中，可能存在以下问题：对勾股定理的理解不够深入，难以灵活运用；在解决实际问题时，容易忽略细节，导致计算错误。因此，在教学过程中，教师应关注学生的这些薄弱环节，有针对性地进行教学设计和指导。
在此基础上，教师要关注学生的兴趣和动机，通过生动有趣的教学手段，激发学生的学习兴趣，使他们愿意主动参与到勾股定理的探究过程中。同时，注重培养学生的团队合作精神，让他们在互动交流中共同提高，为学生的全面发展奠定基础。
第十四章勾股定理之勾股定理的逆定理华东师大大版2024—2025学年八年级上册

第十四章勾股定理之勾股定理的逆定理华东师大大版2024—2025学年八年级上册

第十四章勾股定理之勾股定理的逆定理华东师大版2024—2025学年八年级上册【考点·方法·破译】1．会用勾股定理的逆定理判定直角三角形.首先确定最长的边，再比较较短两边的平方和是否等于最长边的平方。

2. 勾股定理的逆定理的题设和结论恰好与勾股定理的题设和结论相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

3. 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。

熟悉常见的勾股数如①3、4、5；②5,12,13；③7,24,25；④8,15,17。

【典型例题解析】类型一.证明三角形是直角三角形例1已知：如图，在△ABC 中，CD 是AB 边上的高，且CD 2=AD·BD.求证：△ABC 是直角三角形.【变式练习】1.已知：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是c b a ,,，满足c b a c b a 262410338222++=++.试判断△ABC 的形状.2.如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知AD ＝4米，CD ＝3米，∠ADC ＝90°，AB ＝13米，BC ＝12米，求这块空地的面积？3.如图，已知：在ΔABC 中，∠C=90︒，M 是BC 的中点，MD ⊥AB 于D ，求证：AD 2=AC 2+BD 2.A B C MD类型二 运用勾股定理的逆定理进行计算 例2如图，等腰△ABC 中，底边BC ＝20，D 为AB 上一点，CD ＝16，BD ＝12，求△ABC 的周长。

【变式练习】4.已知：如图，四边形ABCD ，AD ∥BC ，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3.求：四边形ABCD 的面积.5.已知：如图，DE=m,BC=n,∠EBC 与∠DCB 互余，求BD 2+CD 2.类型三、与勾股定理逆定理有关的探究和应用例3阅读下列解题过程：已知a 、b 、c 为△ABC 的三边，且满足a 2c 2－b 2c 2=a 4－b 4，试判断△ABC的形状.解：∵a 2c 2－b 2c 2=a 4－b 4，(A)∴c 2(a 2－b 2)=(a 2+b 2)(a 2－b 2)，(B)∴c 2=a 2+b 2，（C)∴△ABC 是直角三角形.问：①上述解题过程是从哪一步开始出现错误的？请写出该步的代号_______； ②错误的原因是______________；③本题的正确结论是__________.例4学习了勾股定理以后,有同学提出“在直角三角形中,三边满足,或许其他的三角形三边也有这样的关系”.让我们来做一个实验！(1)画出任意的一个锐角三角形,量出各边的长度(精确到1毫米),较短的两条边长分别是______mm ；______mm ；较长的一条边长_______mm 。

八年级上-勾股定理

八年级上-勾股定理

一、理论知识1．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

2．勾股定理逆定理：如果三角形的三条边a,b,c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形。

3．勾股数：满足222a b c += 的三个正整数，称为勾股数。

勾股定理的证明：拼图法证明1：我国数学家赵爽的证法：将四个直角三角形按图2那样摆放，构成了一个以直角三角形的斜边c （弦）为边长的正方形（弦图），其面积为2c 。

四个直角三角形的面积和为2ab ，弦图中间是以勾、股之差为边的正方形，面积为2()b a - 。

于是，有222()ab b a c +-=。

整理得222a b c +=。

证明2：如图△ABC 和△CDE 是两个全等的直角三角形，这两个直角三角形拼成了一个梯形。

则ABC CDE ACE ABDE S S S S ++△△△梯形＝ 即21111()()2222a b a b ab ab c ++=++ 化简得222a b c +=二、典型题型1．求线段长度方程思想的运用，利用面积计算例题1-1：如图，折叠矩形的一边AD ，使点D 落在BC 边上的点F 处，且AB=8cm ，BC=10cm ，求EC 的长。

思路：①折叠全等 ②方程思想－归入到一个三角形，利用勾股定理，待求所在的三角形。

解：由折叠全等知道AF=AD=BC=10cm ，在Rt △ABF 中，226BF AF AB =-=,FC=4cm ，设EC=x ，EF=8-x ，则利用勾股定理可求出EC例题1-2：如图，直角三角形ABC 中，AD ，CE 是三角形的两条中线，其长分别为5和210，那么这个直角三角形的斜边长为（ ）A.10B. 410C. 13D. 213解：设AB=x ，BC ＝y ，则在两个Rt △ABD ，Rt △CBE 中，利用中线长度已知和勾股定理，可求出x 和y ，则可求出AC例题1-3：如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m 和8m ．按照输油中心O 到三条支路的距离相等来连接管道，则O 到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O 为点）是（ ）A.2mB. 3mC. 6mD.9m解：△ABC 的面积=△AOB 的面积+△BOC 的面积+△AOC 的面积即可求解点O 到三条边的距离相等，所以可设为h 。