八年级上册数学第一章勾股定理知识点与练习知识讲解

CA BDBAC DB专题复习：勾股定理1、勾股定理考点一、勾股定理定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

解释：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2(古时候把直角三角形中较短边叫做“勾”，较长的直角边为“股”，斜边称为“弦”)典型例题例题1、（1）在直角三角形ABC中，AC=5，BC=12，求AB的长。

（2）在直角三角形ABC中，AB=25，AC=20，求BC的长。

常见的勾股数：3，4，5；5，12，13；6，8，10等技巧总结：利用勾股定理，在直角三角形中，已知两边可求第三边；一般情况下，用a，b 表示直角边，c表示斜边，则有a2+b2=c2，还可以有其他形式的变式。

例题2、一个零件的的形状如图所示，已知AC=3，AB=4，BD=12,求CD的长.例题3、如图所示，已知三角形ABC中，AB=10，BC=21，AC=17，求BC边上的高。

技巧总结：有时某些线段不可以直接写出来，可以用数学转化的思想，构造直角三角形，再求出答案，也可以用勾股定理建立方程去求。

例题4、如图，台风过后某小学的旗杆在B处断裂，旗杆顶部A落在离旗杆底部点C8米处，已知旗杆长16米，则旗杆是在距底部多少米处断裂？技巧总结：要用勾股定理的变形公式。

例题5、已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。

求证：a 2＋b 2=c 2。

技巧总结：分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。

左边S=4×21ab ＋c 2，右边S=（a+b ）2，左边和右边面积相等，即4×21ab ＋c 2=（a+b ）2 对应的课堂练习：1. 下列说法正确的是（ ）A .若 a 、b 、c 是△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2B .若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2C .若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边， 90=∠A ，则a 2＋b 2＝c 2D .若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边， 90=∠C ，则a 2＋b 2＝c 22. △ABC 的三条边长分别是a 、b 、c ，则下列各式成立的是（ ） A ．c b a =+ B.c b a >+ C.c b a <+ D.222c b a =+ 3．一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ） A ．斜边长为25 B ．三角形周长为25C ．斜边长为5D ．三角形面积为20 4．在R t A B C ∆中， 90=∠C ， （1）如果a =3，b =4，则c = ； （2）如果a =6，b =8，则c = ； （3）如果a =5，b =12，则c = ；(4) 如果a =15，b =20，则c = .5．如图,三个正方形中的两个的面积S 1＝25，S 2＝144，则另一个的面积S 3为_______1．如图，直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）⑴两锐角之间的关系： ；⑵若D 为斜边中点，则斜边中线 ；⑶若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： ；⑷三边之间的关系： 。

八年级上册数学第一章勾股定理知识点与练习-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN勾股定理知识点一：勾股定理勾股定理: . 勾股数： .常见勾股数：3、4、5； 6、8、10； 5、12、13； 8、15、17； 7、24、25。

要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用： （1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 例1、若Rt ABC 中，90C ︒∠=且a=5,b=12,则c= ,例2、Rt △ABC 中，若c=10,a ∶b=3∶4,则a= ,b= .例3、如图，由Rt△ABC 的三边向外作正方形，若最大正方形的边长为8cm ，则正方形M 与正方形N 的面积之和为2_____cm4、下列各组数：①0.3，0.4，0.5；②9，12，16；③4，5，6；④a 8，a 15，a 17（0≠a ）； ⑤9，40，41。

其中是勾股数的有（ ）组 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4练习1、在△ABC 中，∠C=90°,c=37,a=12，则b=（ ）A 、50B 、35C 、34D 、262、在Rt △ABC 中，∠C=90°，周长为60，斜边与一条直角边之比为13∶5，则这个三角形三边长分别是（ ）A.5、4、3B.13、12、5C.10、8、6D.26、24、103、若一个直角三角形的三边分别为a 、b 、c, 22144,25a b ==,则2c =（ ） A 、169 B 、119 C 、169或119 D 、13或25知识点二：勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：例1、三角形的三边长ａ,ｂ,ｃ满足2ａｂ=(ａ+ｂ)2－ｃ2,则此三角形是 ( ).S 3S 2S 1CBAA 、钝角三角形B 、锐角三角形C 、直角三角形D 、等边三角形例2、在△ABC 中，若AB=2,AC=2,BC=2,则∠B= 。

数学八年级上册知识点第一章数学八年级上册知识点第一章1.勾股定理的内容：如果直角三角形的两直角边分别是a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2.即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。

注：勾最短的边、股较长的直角边、弦斜边。

勾股定理又叫毕达哥拉斯定理2.勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

3.勾股数：满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数.勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数.常用勾股数：3、4、5; 5、12、13;7、24、25;8、15、17。

4.勾股定理常常用来算线段长度，对于初中阶段的线段的计算起到很大的作用例题精讲：练习：例1：若一个直角三角形三边的.长分别是三个连续的自然数，则这个三角形的周长为解析：可知三边长度为3，4，5，因此周长为12(变式)一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为解析：可知三边长度为6，8，10，则周长为24例2：已知直角三角形的两边长分别为3、4，求第三边长.解析：第一种情况：当直角边为3和4时，则斜边为5第二种情况：当斜边长度为4时，一条直角边为3，则另一边为根号7例3：一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，以下说法正确的是( )A.斜边长为25B.三角形周长为25C.斜边长为5D.三角形面积为20解析：根据勾股定理，可知斜边长度为5，选择C数学学习方法诀窍1细心地发掘概念和公式很多同学对概念和公式不够重视，这类问题反映在三个方面：一是，对概念的理解只是停留在文字表面，对概念的特殊情况重视不够。

例如，在代数式的概念(用字母或数字表示的式子是代数式)中，很多同学忽略了“单个字母或数字也是代数式〞。

二是，对概念和公式一味的死记硬背，缺乏与实际题目的联系。

这样就不能很好的将学到的知识点与解题联系起来。

三是，一部分同学不重视对数学公式的记忆。

记忆是理解的基础。

如果你不能将公式烂熟于心，又怎能够在题目中熟练应用呢?我们的建议是：更细心一点(观察特例)，更深入一点(了解它在题目中的常见考点)，更熟练一点(无论它以什么面目出现，我们都能够应用自如)。

cbaD CAB第一章 勾股定理知识点一：勾股定理定义画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC ，量AB 的长；一个直角边为5和12的直角△ABC ，量AB 的长 发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，对于任意的直角三角形也有这个性质吗？ 直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

（即：a 2+b 2＝c 2） 1．如图，直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）⑴两锐角之间的关系： ； ⑵若D 为斜边中点，则斜边中线 ；⑶若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： ；（给出证明） ⑷三边之间的关系： 。

知识点二：验证勾股定理知识点三：勾股定理证明（等面积法）例1。

已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。

求证：a 2＋b 2=c 2。

证明：例2。

已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。

求证：a 2＋b 2=c 2。

证明：知识点四：勾股定理简单应用 在Rt △ABC 中，∠C=90°(1) 已知：a=6, b=8，求c bbbbccccaaaabbb ba accaaACBDAB如果三角形的三边长为c b a ,,，满足222c b a =+，那么，这个三角形是直角三角形． 利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤： ①先找出最大边（如c ）②计算2c 与22a b +，并验证是否相等。

若2c =22a b +，则△ABC 是直角三角形。

若2c ≠22a b +，则△ABC 不是直角三角形。

1.下列各组数中，以a ，b ，c 为边的三角形不是Rt △的是（ ） A.a=7,b=24,c=25 B.a=7,b=24,c=24C.a=6,b=8,c=10D.a=3,b=4,c=52.三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是( )A. 等边三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 锐角三角形3.已知0)10(862=-+-+-z y x ,则由此z y x ,,为三边的三角形是 三角形. 知识点六：勾股数（1）满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数．（2）勾股数中各数的相同的整数倍，仍是勾股数，如3、4、5是勾股数，6、8、10也是勾股数． （3）常见的勾股数有：①3、4、5②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25； ⑤11、60、61；⑥9、40、41．1.设a 、b 、c 是直角三角形的三边,则a 、b 、c 不可能的是（ ）.A.3,5,4B. 5,12,13C.2,3,4D.8,17,15 1. 若线段a ，b ，c 组成Rt △，则它们的比可以是（ ）A.2∶3∶4B.3∶4∶6C.5∶12∶13D.4∶6∶7知识点七：确定最短路线1.一只长方体木箱如图所示，长、宽、高分别为5cm 、4cm 、3cm, 有一只甲虫从A 出发，沿表面爬到C '，最近距离是多少？2.如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食,要爬行的最短路程（π 取3）是 .知识点八：逆定理判断垂直1．在△ABC 中，已知AB 2－BC 2＝CA 2，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形；B ．直角三角形；C ．钝角三角形；D ．无法确定． 2．如图，正方形网格中的△ABC ，若小方格边长为1，则△ABC 是( )ABCD A 'B 'C 'D 'BC5米3米1.在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？2.如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要________米.3.一根直立的桅杆原长25m，折断后，桅杆的顶部落在离底部的5m处，则桅杆断后两部分各是多长？4.某中学八年级学生想知道学校操场上旗杆的高度，他们发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米，当他们把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好触地面，你能帮他们把旗杆的高度和绳子的长度计算出来吗？综合练习一一、选择题1、下面几组数:①7,8,9;②12,9,15;③m 2+ n 2, m 2– n 2, 2mn(m,n 均为正整数,m >n);④2a ,12+a ,22+a .其中能组成直角三角形的三边长的是( )A.①②;B.①③;C.②③;D.③④2已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）A.25B.14C.7D.7或253.三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是( )A. 等边三角形;B. 钝角三角形;C. 直角三角形;D. 锐角三角形. 4.△ABC 的三边为a 、b 、c 且(a+b)(a-b)=c 2，则( )A.a 边的对角是直角B.b 边的对角是直角C.c 边的对角是直角D.是斜三角形5.以下列各组中的三个数为边长的三角形是直角三角形的个数有（ ）①6、7、8，②8、15、17，③7、24、25，④12、35、37，⑤9、40、41 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个6.将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是 ( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不是直角三角形7.若△ABC 的三边a 、b 、c 满足(a-b)(a 2+b 2-c 2)=0，则△ABC 是 ( ) A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形8.如图，∠C =∠B =90°，AB =5，BC =8，CD =11，则AD 的长为 （ ）A 、10B 、11C 、12D 、139.如图、山坡AB 的高BC =5m ，水平距离AC =12m ，若在山坡上每隔0.65m 栽一棵茶树,则从上到下共 ( )A 、19棵B 、20棵C 、21棵D 、22棵10.Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别是a 、b 、c ，若c =2，则2a +2b +2c 的值是 （ ）A 、6B 、8C 、10D 、4 11.下列各组数据中，不能构成直角三角形的一组数是（ ）Ａ、9，12，15 B 、45，1，43C 、0.2，0.3，0.4D 、40，41，9 12.已知，一轮船以16海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ）A.25海里B.30海里C.35海里D.40海里二、填空题1.在Rt △ABC 中，∠C=90°，①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________；③若c=61，b=60，则a=__________；④若a ∶b=3∶4，c=10则S Rt △ABC =________2.现有长度分别为2cm 、3cm 、4cm 、5cm 的木棒，从中任取三根，能组成直角三角形，则其周长为 cm ．3.勾股定理的作用是在直角三角形中，已知两边求 ；勾股定理的逆定理的作用是用来证明 ．4.如图中字母所代表的正方形的面积：A = B = ． A815.在△ABC 中，∠C ＝90°，若 a ＝5，b ＝12，则 c ＝ ．6.△ABC 中，AB=AC=17cm ，BC=16cm ，则高AD= ，S △ABC = 。

八年级数学上册知识点总结数学》（八年级上册）知识点总结第一章勾股定理1、勾股定理：直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a²+b²=c²。

2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有关系a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股数：满足a²+b²=c²的三个正整数，称为勾股数。

第二章实数一、实数的概念及分类1、实数的分类：正有理数、有理数零有限小数和无限循环小数、实数负有理数、正无理数、无理数无限不循环小数、负无理数。

2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。

在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一特点，归纳起来有四类：1）开方开不尽的数，如7、32等；2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如222π+8等；3）有特定结构的数，如0.xxxxxxxx01…等；4）某些三角函数值，如sin60等。

二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数：实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=−b，反之亦成立。

2、绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值（|a|≥）。

零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥；若|a|=−a，则a≤。

3、倒数：如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。

倒数等于本身的数是1和−1.零没有倒数。

4、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。

解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。

5、估算。

三、平方根、算数平方根和立方根1、算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x²=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根。

北师大版八年级上册第一章知识点一、勾股定理。

1. 定理内容。

- 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

如果直角三角形的两条直角边长度分别为a和b，斜边长度为c，那么a^2+b^2=c^2。

- 例如，一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边的平方c^2=3^2+4^2=9 + 16=25，所以斜边c = 5。

2. 勾股定理的证明。

- 常见的证明方法有赵爽弦图证明法等。

- 赵爽弦图：以直角三角形的斜边c为边长的正方形的面积等于以直角边a、b 为边长的四个直角三角形与一个小正方形面积之和。

即c^2=4×(1)/(2)ab+(b - a)^2，化简后可得c^2=a^2+b^2。

3. 勾股定理的应用。

- 已知直角三角形的两边求第三边。

- 当已知两条直角边a、b时，斜边c=√(a^2)+b^{2}。

- 当已知一条直角边a和斜边c时，另一条直角边b=√(c^2)-a^{2}。

- 解决实际问题中的直角三角形问题。

- 例如，在一个长方形中求对角线长度（长方形的相邻两边与对角线构成直角三角形）；在一个梯形中，通过作高构造直角三角形来求相关线段长度等。

二、勾股定理的逆定理。

1. 定理内容。

- 如果三角形的三边长a、b、c满足a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形。

2. 判断直角三角形的方法。

- 首先计算三边的平方，看是否满足两短边的平方和等于长边的平方。

- 例如，三角形三边分别为3、4、5，因为3^2+4^2=9 + 16 = 25=5^2，所以这个三角形是直角三角形，其中边长为5的边所对的角为直角。

3. 勾股数。

- 满足a^2+b^2=c^2的三个正整数，称为勾股数。

常见的勾股数有(3,4,5)、(5,12,13)、(8,15,17)等。

- 如果(a,b,c)是一组勾股数，那么ka、kb、kc（k为正整数）也是一组勾股数。

例如，(3,4,5)是勾股数，那么(6,8,10)（k = 2时）也是勾股数。

专题1.6 勾股定理的应用（知识讲解）【学习目标】（1）利用勾股定理及逆定理解决生活中的实际问题。

（2）通过观察图形，探索图形间的关系，发展学生的空间观念．【要点梳理】勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，从而达到把三角形边的问题转化为角的问题，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论． 本专题分类进行巩固解决以下生活实际问题【典型例题】类型一、应用勾股定理解决梯子滑落高度问题1．一个25米长的梯子AB ，斜靠在一竖直的墙AO 上，这时的AO 距离为24米，如果梯子的顶端A 沿墙下滑4米，那么梯子底端B 外移多少米？【答案】8米．【分析】梯子下滑4米，梯子的长度不变始终为25米，利用勾股定理分别求出OB 、OB ＇的长度，进而求出BB ＇的长度即可．解：如图，依题意可知AB ＝25(米)，AO ＝24(米)，∠O ＝90°，∠ BO 2＝AB 2﹣AO 2＝252-242，∠ BO ＝7(米)，移动后，A O '＝20(米)，222222()()252015B O A B A O --''''＝＝＝∠ 15B O '= (米)，∠ =1578BB B O BO ''－＝－＝(米)．答：梯子底端B 外移8米．【点拨】本题考查的是勾股定理的应用及勾股定理在直角三角形中的正确运用，本题中求B O 的长度是解题的关键．举一反三：【变式】一架梯子长13米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙5米．（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了7米到C，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？【答案】（1）12米；（2）7米【分析】（1）由题意易得AB=CD=13米，OB=5米，然后根据勾股定理可求解；（2）由题意得CO= 5米，然后根据勾股定理可得求解．解：（1）由题意得，AB=CD=13米，OB=5米，在Rt AOB，由勾股定理得：AO2=AB2-OB2=132-52=169-25=144，解得AO=12米，答：这个梯子的顶端距地面有12米高；（2）由题意得，AC=7米，由（1）得AO=12米，∠CO=AO-AC=12-7=5米，△，由勾股定理得：在Rt CODOD2=CD2-CO2=132-52=169-25=144，解得OD=12米∠BD=OD-OB=12-5=7米，答：梯子的底端在水平方向滑动了7米．【点拨】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．类型二、应用勾股定理解决旗杆高度2．数学综合实验课上，同学们在测量学校的高度时发现：将旗杆顶端升旗用的绳子垂到地面还多2米；当把绳子的下端拉开拉直后，下端刚好接触地面，测得绳子的下端离开旗杆底端8米，如图，根据以上数据，同学们就可以准确求出了旗杆的高度，你知道他们是如何计算出来的吗?【答案】旗杆的高度为15m【分析】由题可知，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据题中的数据，用勾股定理解答即可．解：设旗杆高x 米，则绳子长为()2x +米，∠旗杆垂直于地面，∠旗杆，绳子与地面构成直角三角形，在Rt ABC 中，222AB BC AC +=，∠()22282x x +=+，解方程得：15x =，答：旗杆高度为15米．【点拨】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意得出∠ABC 是直角三角形式解答此题的关键．举一反三：【变式】滑撑杆在悬窗中应用广泛．如图，某款滑撑杆由滑道OC ，撑杆AB 、BC 组成，滑道OC 固定在窗台上．悬窗关闭或打开过程中，撑杆AB 、BC 的长度始终保持不变．当悬窗关闭时，如图∠，此时点A 与点O 重合，撑杆AB 、BC 恰与滑道OC 完全重合；当悬窗完全打开时，如图∠，此时撑杆AB 与撑杆BC 恰成直角，即90B ∠=︒，测量得12cm OA =，撑杆15cm AB =，求滑道OC 的长度．【答案】滑道OC 的长度为51cm ．【分析】设OC m =cm ，可得出(15)BC m =-cm ，(12)AC m =-cm ，在在Rt ∠ABC 中，根据勾股定理可得m 的值，由此可得结论．解：设OC m =cm ，则由图∠可知(15)BC OC AB m =-=- cm ，由图∠可知(12)AC OC OA m =-=-cm ，∠90B ∠=︒，∠在Rt∠ABC 中，根据勾股定理可得，222AB BC AC +=，∠22215(15)(12)m m +-=-，解得51m =，∠滑道OC 的长度为51cm ．【点拨】本题考查勾股定理的应用，能结合撑杆AB 、BC 的长度始终保持不变正确表示出BC 和AC 是解题关键．类型三、应用勾股定理解决小鸟飞行的距离3．有一只喜鹊在一棵3m 高的小树上觅食，它的巢筑在距离该树24m 的一棵大树上，大树高14m ，且巢离树顶部1m ．当它听到巢中幼鸟的叫声，立即赶过去，如果它飞行的速度为5m /s ，那它至少需要多少时间才能赶回巢中？【答案】它至少需要5.2s 才能赶回巢中．【分析】根据题意，构建直角三角形，利用勾股定理解答．解：如图，由题意知AB =3，CD =14-1=13，BD =24．过A 作AE ∠CD 于E ．则CE =13-3=10，AE =24，∠在Rt ∠AEC 中，AC 2=CE 2+AE 2=102+242．∠AC =26，26÷5=5.2（s ）．答：它至少需要5.2s 才能赶回巢中．【点拨】本题考查了勾股定理的应用．关键是构造直角三角形，同时注意：时间=路程÷速度．举一反三：【变式】有一只喜鹊在一棵高3米的小树的树梢上觅食，它的巢筑在距离该树24米，高为14米的一棵大树上，且巢离大树顶部为1米，这时，它听到巢中幼鸟求助的叫声，立刻赶过去，如果它的飞行速度为每秒5米，那么它至少几秒能赶回巢中？【答案】它至少5.2秒能赶回巢中.【分析】过点A 作AF CD ⊥于点F .求出AF,EF,再根据勾股定理求出AE ，从而求出时间.解：如图所示，3AB =米，14CD =米，1DE =米，24BC =米.过点A 作AF CD ⊥于点F .在Rt AEF ∆中，24AF BC ==米，10EF CD CF DE =--=米，所以222222410676AE AF EF =+=+=.所以喜鹊离巢的距离26AE =米.喜鹊赶回巢所需的时间为265 5.2÷=（秒）.即它至少5.2秒能赶回巢中.【点拨】考核知识点：勾股定理和逆定理运用.构造直角三角形是解题关键.类型四、应用勾股定理解决大树折断前的高度4．如图，在一次地震中，一棵垂直于地面且高度为16米的大树被折断，树的顶部落在离树根8米处，即8BC =，求这棵树在离地面多高处被折断（即求AC 的长度）？【答案】这棵树在离地面6米处被折断【分析】设AC x =，利用勾股定理列方程求解即可.解：设AC x =，∠在Rt ABC △中，222AC BC AB +=，∠()222816x x +=-，∠6x =．答：这棵树在离地面6米处被折断【点拨】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方． 当题目中出现直角三角形，且该直角三角形的一边为待求量时，常使用勾股定理进行求解．有时也可以利用勾股定理列方程求解．举一反三：【变式】我国古代的数学名著《九章算术》中记载“今有竹高一丈八，末折抵地，去本6尺.问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈八，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部6尺远．问：折处离地还有多高的竹子？（1丈=10尺）【答案】8尺【分析】设原处还有x 尺高的竹子，由题意得到折后竹子竖直高度+斜倒部分的长度=18尺，再运用勾股定理列方程即可求解．解：设折处离地还有x 尺高的竹子,如图，在Rt ABC 中，AC =x 尺，则AB =一丈八- AC =(18-x )尺由勾股定理得222AC BC AB +=，所以2226(18)x x +=-，解得：8x =．答：折处离地还有8尺高的竹子．【点拨】此题考查勾股定理解决实际问题．此题中的直角三角形只知道一直角边，另两边未知往往要列方程求解．类型五、应用勾股定理解决水杯中的筷子问题5．如图，一个直径为20cm 的杯子，在它的正中间竖直放一根小木棍，木棍露出杯子外2cm ，当木棍倒向杯壁时（木棍底端不动），木棍顶端正好触到杯口，求木棍长度．【答案】26cm【分析】设杯子的高度是x cm ，那么小木棍的高度是（x +2）cm ，因为直径为20cm 的杯子，可根据勾股定理列方程求解．解：设杯子的高度是x cm ，那么小木棍的高度是（x +2）cm ，∠杯子的直径为20cm ，∠杯子半径为10cm ，∠x 2+102＝（x +2）2，即x 2+100＝x 2+4x +4，解得：x ＝24，24+2＝26（cm ）．答：小木棍长26cm ．【点拨】本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是看到构成的直角三角形以及各边的长．举一反三：【变式】如图，有一个水池，水面是一个边长为16尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，则水池里水的深度是多少尺？请你用所学知识解答这个问题．【答案】水池里水的深度是15尺【分析】根据勾股定理列出方程，解方程即可．解：设水池里水的深度是x 尺，由题意得，()22282x x +=+，解得：x ＝l5，答：水池里水的深度是15尺．【点拨】本题考查的是勾股定理的应用，掌握勾股定理、根据勾股定理正确列出方程是解题的关键． 类型六、应用勾股定理解决航海问题6．如图，某港口P 位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后分别位于点Q ，R 处，且相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？【答案】北偏东45°（或西北）【分析】直接得出RP=18海里，PQ=24海里，QR=30海里，利用勾股定理逆定理以及方向角即可得到“海天”号航行方向．解：由题意可得：RP=18海里，PQ=24海里，QR=30海里，∠182+242=302，∠∠RPQ是直角三角形，∠∠RPQ=90°，∠“远航”号沿东北方向航行，即沿北偏东45°方向航行，∠∠RPS=45°，∠“海天”号沿北偏西45°（或西北）方向航行．【点拨】本题考查了勾股定理的应用，解题的重点主要是能够根据勾股定理的逆定理发现直角三角形，关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大．举一反三：【变式】在寻找某坠毁飞机的过程中，两艘搜救艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目标A、B．于是，一艘搜救艇以16海里/时的速度离开港口O（如图）沿北偏东40°的方向向目标A前进，同时，另一艘搜救艇也从港口O出发，以12海里/时的速度向着目标B出发，1.5小时后，他们同时分别到达目标A、B．此时，他们相距30海里，请问第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度？【答案】第二艘搜救艇的航行方向是北偏西50度．【分析】根据题意求出OA、OB，根据勾股定理的逆定理求出∠AOB＝90°，即可得出答案．解：根据题意得：OA ＝16海里/时×1.5小时＝24海里；OB ＝12海里/时×1.5小时＝18海里，∠OB 2＋OA 2＝242＋182＝900，AB 2＝302＝900，∠OB 2＋OA 2＝AB 2，∠∠AOB ＝90°，∠艘搜救艇以16海里/时的速度离开港口O （如图）沿北偏东40°的方向向目标A 的前进，∠∠BOD ＝50°，即第二艘搜救艇的航行方向是北偏西50度．【点拨】本题考查了方向角，勾股定理的逆定理的应用，能熟记定理的内容是解此题的关键，注意：如果三角形两边a 、b 的平方和等于第三边c 的平方，那么这个三角形是直角三角形．类型七、应用勾股定理解决河的宽度7．湖的两岸有A ，B 两棵景观树，数学兴趣小组设计实验测量两棵景观树之间的距离，他们在与AB 垂直的BC 方向上取点C ，测得30BC =米，50AC =米．求：（1）两棵景观树之间的距离；（2）点B 到直线AC 的距离．【答案】（1）A ，B 两点间的 距离是40米；（2）点B 到直线AC 的距离是24米．【分析】（1）根据勾股定理解答即可；（2）根据三角形面积公式解答即可．解：（1）因为ABC 是直角三角形，所以由勾股定理，得222AC BC AB =+．因为50AC =米，30BC =，所以22250301600AB =-=．因为0AB >，所以40AB =米．即A ，B 两点间的 距离是40米．（2）过点B 作BD AC ⊥于点D ． 因为1122ABC S AB BC AC BD =⋅=⋅△， 所以AB BC AC BD ⋅=⋅． 所以30402450AB BC BD AC ⋅⨯===（米）， 即点B 到直线AC 的距离是24米．【点拨】本题考查了勾股定理的应用，属于基础题，关键是掌握勾股定理在直角三角形中的表达式．举一反三：【变式】著名的赵爽弦图（如图∠，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a ，较小的直角边长都为b ，斜边长都为c ），大正方形的面积可以表示为2c ，也可以表示为214()2ab a b ，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a ，b ，斜边长为c ，则222+=a b c ．（1）图∠为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图∠推导勾股定理．（2）如图∠，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C ，河边原有两个取水点A ，B ，其中AB AC =，由于某种原因，由C 到A 的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H （A 、H 、B 在同一条直线上），并新修一条路CH ，且CH AB ⊥，测得 1.2CH =千米，0.9HB =千米，求新路CH 比原路CA 少多少千米？（3）在第（2）问中若AB AC ≠时，CH AB ⊥，4AC =，5BC =，6AB =，设AH x =，求x 的值．【答案】（1）见分析；（2）新路CH 比原路CA 少0.05千米；（3） 2.25x =．【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证；（2）设CA x =，则AH 0.9x =-，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果；（3）在Rt∠ACH 和Rt∠BCH 中，由勾股定理得求出CH 2=CA 2-AH 2=CB 2-BH 2，列出方程求解即可得到结果．解：（1）梯形ABCD 的面积为()()()21122b a b a a b ++=+， 也可以表示为2111222ab ab c ++， ∠()2211112222a b ab ab c +=++， 整理得：222a b c +=；（2）∠CA x =，∠AH 0.9x =-，在Rt∠ACH 中，222CA CH AH =+，即()2221.20.9x x =+-，解得x=1.25，即CA=1.25，CA -CH=1.25-1.2=0.05（千米），答：新路CH 比原路CA 少0.05千米；（3）设AH x =，则BH 6x =-，在Rt∠ACH 中，222CH CA AH =-，在Rt∠BCH 中，222CH CB BH =-，∠2222CA AH CB BH -=-，即()2222456x x -=--，解得： 2.25x =．【点拨】本题主要考查了勾股定理的证明与应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法， 类型八、应用勾股定理解决台阶上地毯问题8．如图所示，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为55cm ，10cm ，6cm ，点A 和点B 是这个台阶的两个相对的端点，A 点处有一只蚂蚁，那么这只蚂蚁从点A 爬到点B 的最短路程是多少？【答案】73cm【分析】首先把楼梯展开得到平面几何图，根据“两点之间，线段最短”得到蚂蚁所走的最短路线为AB ，则问题是求AB 的长，根据已知数据得出AC 、BC 的长，再利用勾股定理求出AB 的长，即可完成解答.解：如图所示，将这个台阶展开成一个平面图形，则蚂蚁爬行的最短路程就是线段AB 的长.在Rt ABC ∆中，55cm BC =，10+6+10+6+10+6=48cm AC =.由勾股定理，得222=5329AB AC BC +=.所以73cm AB =.因此，蚂蚁从点A 爬到点B 的最短路程是73cm.【点拨】此题考查勾股定理的应用，把立体几何图中的问题转化为平面几何图中的问题是解题的关键.举一反三：【变式】如图，小明准备把一支笔放入铅笔盒ABCD ，竖放时笔的顶端E 比铅笔盒的宽AB 还要长2cm ，斜着放入时笔的顶端F 与铅笔盒的边缘AB 距离为6cm ，求铅笔盒的宽AB 的长度．【答案】铅笔盒的宽AB 的长度为8cm ．【分析】设铅笔盒的宽AB 的长度为cm x ，则笔长(2)cm x +，然后根据勾股定理列方程解答即可．解：设铅笔盒的宽AB 的长度为cm x ，则笔长(2)cm x +，由题意得2226(2)x x +=+，解得8x =．答：铅笔盒的宽AB 的长度为8cm ．【点拨】本题考查了勾股定理的应用，弄清题意、根据勾股定理列出方程是解答本题的关键．类型九、应用勾股定理解决汽车是否超速问题9．我市《道路交通管理条例》规定：小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过60km /h ．如图，一辆小汽车在一条城市街道上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测点A 正前方30m 的C 处，2秒后又行驶到与车速检测点A 相距50m 的B 处．请问这辆小汽车超速了吗？若超速，请求出超速了多少？【答案】超速了，超速了12km /h【分析】由勾股定理可求得小汽车行驶的距离，再除以小汽车行驶的时间即为小汽车行驶的车速，再与限速比较即可．解：.由已知得50m,30m AB AC ==∠在直角三角形ABC 中AB 2＝AC 2＋BC 2∠BC 2＝AB 2－AC 2＝222503040-=，40m BC ∴= 又4020m /s 22BC == 20m /s 72km/h 60km/h =>∠72－60＝12km /h∠这辆小汽车超速了，超速了12km /h ．【点拨】本题考查了勾股定理，其中1 米/秒=3.6 千米/时的速度换算是易错点． 举一反三：【变式】“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A 的正前方50米处的C 点，过了6秒后，测得小汽车所在的B 点与车速检测仪A 之间的距离为130米．（1）求BC 间的距离；（2）这辆小汽车超速了吗？请说明理由．【答案】（1）120米；（2）超速，理由见分析【分析】（1）根据勾股定理求出BC 的长；（2）直接求出小汽车的时速，进而比较得出答案．解：（1）在Rt∠ABC 中，∠AC=50m ，AB=130m ，且AB 为斜边，根据勾股定理得：BC=120（m ）；（2）这辆小汽车超速了．理由：∠120÷6=20（m/s ），平均速度为：20m/s ，20m/s=72km/h ，72＞70，∠这辆小汽车超速了．【点拨】此题主要考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出BC 的长是解题关键． 类型十、应用勾股定理解决是否受台风影响问题10．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向AB 由A 行驶向B ，已知点C 为海港，并且点C 与直线B 上的两点A ，B 的距离分别为300km AC =，400km BC =，又500km AB =，以台风中心为圆心周围250km 以内为受影响区域．（1）求ACB ∠的度数；（2）海港C 受台风影响吗？为什么？【答案】（1）90°；（2）受台风影响，理由见分析（1）利用勾股定理的逆定理得出∠ABC 是直角三角形，进而得出∠ACB 的度数； （2）利用三角形面积得出CD 的长，进而得出海港C 是否受台风影响．解：（1）∠AC =300km ，BC =400km ，AB =500km ，∠AC 2+BC 2=AB 2，∠∠ABC 是直角三角形，∠ACB =90°；（2）海港C 受台风影响，理由：过点C 作CD ∠AB ，∠∠ABC 是直角三角形，∠AC ×BC =CD ×AB ，∠300×400=500×CD ，∠CD =240（km ），∠以台风中心为圆心周围250km 以内为受影响区域，∠海港C 受台风影响．【点拨】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．举一反三：【变式】如图，在甲村到乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有C 处需要爆破．已知点C 与公路上的停靠站AB 、的距离分别为300m 和400m ，且AC BC ，为了安全起见，如果爆破点C 周围半径250m 的区域内不能有车辆和行人，问在进行爆破时，公路AB 段是否需要暂时封闭，为什么？【答案】爆破公路AB 段有危险，需要暂时封锁．过点C 作CD∠AB 于点D ，根据勾股定理求出AB 的长，再由面积公式求得CD 的长，并比较，即可得出公路AB 上是否有危险．解：如图，过点C 作CD AB ⊥于点D ．在Rt ABC 中，由勾股定理，得：22222300400250000AB AC BC ，所以500AB m = 由1122ABC S AB CD AC BC =⋅=⋅，得500300400CD ，解得240CD m ， 因为240250<，所以爆破公路AB 段有危险，需要暂时封锁．【点拨】本题考查了勾股定理的应用和三角形的面积，解题的关键是利用直角三角形的面积列出方程求出CD 的长．类型十一、应用勾股定理解决选扯距离相离问题11．如图，烟台市正政府决定在相距50km 的A 、B 两村之间的公路旁E 点，修建一个大樱桃批发市场，且使C 、D 两村到E 点的距离相等，已知DA ∠AB 于A ，CB ∠AB 于B ，DA ＝30km ，CB ＝20km ，那么大樱桃批发市场E 应建什么位置才能符合要求？【答案】大樱桃批发市场E 应建在离A 站20千米的地方【分析】由勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方分别求出2DE 和2CE ，列等式求解即可．解：设大樱桃批发市场E 应建在离A 站x 千米的地方，则()50BE x =-千米．在直角ADE 中，根据勾股定理得：222AD AE DE +=，∠22230x DE +=，在直角CBE △中，根据勾股定理得：222CB BE CE +=，∠()222205x CE +-=．又∠C 、D 两村到E 点的距离相等，∠DE CE =，∠22DE CE =，所以()2222302050x x +=+-，解得20x ．∠大樱桃批发市场E 应建在离A 站20千米的地方．【点拨】本题考查勾股定理的实际应用，掌握两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．举一反三：【变式】如图，小明家在一条东西走向的公路MN 北侧200米的点A 处，小红家位于小明家北500米（500AC =米）、东1200米（1200BC =米）点B 处．（1）求小明家离小红家的距离AB ；（2）现要在公路MN 上的点P 处建一个快递驿站，使PA PB +最小，请确定点P 的位置，并求PA PB +的最小值．【答案】（1）1300AB =米；（2）见分析，1500米【分析】（1）如图，连接AB ，根据勾股定理即可得到结论；（2）如图，作点A 关于直线MN 的对称点A '，连接A 'B 交MN 于点P ．驿站到小明家和到小红家距离和的最小值即为A 'B ，根据勾股定理即可得到结论．解：（1）如图，连接AB ，由题意知AC =500，BC =1200，∠ACB =90°，在Rt∠ABC中，∠∠ACB=90°，∠AB2=AC2+BC2=5002+12002=1690000，∠AB＞0∠AB=1300米；（2）如图，作点A关于直线MN的对称点A'，连接A'B交MN于点P．驿站到小明家和到小红家距离和的最小值即为A'B，由题意知AD=200米，A'C∠MN，∠A'C=AC+AD+A'D=500+200+200=900米，在Rt∠A'BC中，∠∠ACB=90°，∠A'B2=A'C2+BC2=9002+12002=2250000，∠A'B＞0，∠A'B=1500米，即从驿站到小明家和到小红家距离和的最小值为1500米．【点拨】本题考查轴对称-最短问题，勾股定理，题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．。

勾股定理第一节 探索勾股定理●应知 基础知识1、勾股定理（1）勾股定理的内容：在直角三角形中，两直角边的 等于 的平方．（2）勾股定理的表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为,a b ，斜边为c ，那么有 。

2、理解（1）勾股定理存在和运用的前提条件是在直角三角形中，如果不是直角三角形，那么三边之间不存在这种关系。

（2）勾股定理把“图形”与“数量”有机地结合起来，即把直角三角形的“形”与三边关系的“数”结合起来，是数形结合思想的典型代表之一。

（3）利用勾股定理，可以在直角三角形中已知两边长的情况下，求出未知的第三边长。

一般情况下，用,a b 表示直角边，c 表示斜边，则有：222222222a b c b c a a c b +==-=- 在运用勾股定理求第三边时，首先应确定是求直角边还是求斜边，在选择利用勾股定理的原形公式还是变形公式。

【例1】在ABC ∆中，90C ︒∠=， （1）若3,4,a b ==则c = ； （2）若6,10a c ==，则b = ；（3）若:3:4,15a b c ==，则a = ，b = 。

【例2】已知直角三角形的两边长分别是3和4，如果这个三角形是直角三角形，求以第三边为边长的正方形的面积。

3、勾股定理的验证至少掌握勾股定理的三种验证方法，并从中体会到这种验证方法所体现的数学思想。

【例3】2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾 股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所 示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形较短直角边为a ，较长 直角边为b ，那么2()a b 的值为（ ）．A ．13B ．19C ．25D ．169 ●应会 基本方法1、如何利用勾股定理求长度利用勾股定理求长度，关键是找出直角三角形或构造直角三角形，把实际问题转化为直 角三角形问题。

在已知两边求第三边时，关键是弄清已知什么边，要求什么边，用平方和还 是平方差。