6.2.5含绝对值符号的一元一次方程
完成时间：40min
一．选择题（共30小题）
1．已知|2﹣x|=4，则x的值是（）
A．﹣3 B．9 C．﹣3或9 D．以上结论都不对
2．已知关于x的方程|5x﹣4|+a=0无解，|4x﹣3|+b=0有两个解，|3x﹣2|+c=0只有一个解，则化简|a﹣c|+|c﹣b|﹣|a ﹣b|的结果是（）
A．2a B．2b C．2c D．0
3．方程|3x|+|x﹣2|=4的解的个数是（）
A．0B．1C．2D．3
4．已知关于x的方程mx+2=2（m﹣x）的解满足方程|x﹣|=0，则m的值为（）
A．B．2C．D．3
5．方程|2x﹣6|=0的解是（）
A．3B．﹣3 C．±3 D．
6．若|x﹣1|=3，则x=（）
A．4B．﹣2 C．±4 D．4或﹣2
7．方程|2x﹣1|=4x+5的解是（）
A．
x=﹣3或x=﹣B．
x=3或x=
C．
x=﹣
D．x=﹣3
8．若关于x的方程|x|=2x+1的解为负数，则x的值为（）A．B．C．D．﹣1
9．方程|x﹣3|+|x+3|=6的解的个数是（）
A．2B．3C．4D．无数个
10．若|x﹣2|=3，则x的值是（）
A．1B．﹣1 C．﹣1或5 D．以上都不对
11．方程|3x|=18的解的情况是（）
A．有一个解是6 B．有两个解，是±6 C．无解D．有无数个解
12．如果|x﹣1|+x﹣1=0，那么x的取值范围是（）
A．x＞1 B．x＜1 C．x≥1 D．x≤1 13．若|2000x+2000|=20×2000，则x等于（）
14．已知关于x的方程|x|=ax﹣a有正根且没有负根，则a的取值范围是（）A．a＞1 B．a≤﹣1 C．a＞2或a≤﹣2 D．a＞1或a≤﹣1
15．适合|2a+7|+|2a﹣1|=8的整数a的值的个数有（）
A．2B．4C．8D．16
16．若|x|=3x+1，则（4x+2）2005=（）
A．﹣1 B．0C．0或1 D．1
17．方程|2x﹣1|﹣a=0恰有两个正数解，则a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜0 B．﹣1＜a＜1 C．0＜a＜1 D．
＜a＜1 18．已知x﹣y=4，|x|+|y|=7，那么x+y的值是（）
A．
±B．
±
C．±7 D．±1
19．适合关系式|3x﹣4|+|3x+2|=6的整数x的值有（）个．
A．0B．1C．2D．大于2的自然数
20．若单项式﹣2a|x|b|4x|和32ab3﹣x的相同字母的指数相同，则x的整数值等于（）A．1B．﹣1 C．±1 D．±1以外的数
21．方程|2007x﹣2007|=2007的解是（）
A．0B．2C．1或2 D．2或0
22．满足||x﹣1|﹣|x||﹣|x﹣1|+|x|=1的x的值是（）
A．0B．
±C．D．
±
23．如果方程|3x|﹣ax﹣1=0的根是负数，那么a的取值范围是（）A．a＞3 B．a≥3 C．a＜3 D．a≤3
24．关于x的含有绝对值的方程|2x﹣1|﹣|x|=2的不同实数解共有（）个．A．1B．2C．3D．4
25．方程|x﹣19|+|x﹣93|=74的有理数解（）
A．至少有3个B．恰好有2个C．恰有1个D．不存在
26．方程2|x|+3=5的解是（）
A．1B．﹣1 C．1和﹣1 D．无解
27．绝对值方程||x﹣2|﹣|x﹣6||=l的不同实数解共有多少个（）A．2B．4C．l D．0
28．||||x﹣1|﹣1|﹣1|﹣1|=0是一个含有4重绝对值符号的方程，则（）A．0，2，4全是根B．0，2，4全不是C．0，2，4不全是D．0，2，4之外没
29．使方程3|x+2|+2=0成立的未知数x的值是（）
A．﹣2 B．0C．D．不存在
30．方程|x+5|﹣|3x﹣7|=1的解有（）
A．1个B．2个C．3个D．无数个
6.2.5含绝对值符号的一元一次方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共30小题）
1．已知|2﹣x|=4，则x的值是（）
A．﹣3 B．9C．﹣3或9 D．以上结论都不
对
考点：含绝对值符号的一元一次方程．
专题：计算题．
分析：绝对值为4的数是±4，从而可去掉绝对值符号，计算即可．
解答：
解：∵|2﹣x|=4，
∴2﹣x=4或2﹣x=﹣4，
解得：x=﹣3或9；
故选C．
点评：本题考查解一元一次方程的解法；解一元一次方程常见的思路有通分，移项，左右同乘除等．
2．已知关于x的方程|5x﹣4|+a=0无解，|4x﹣3|+b=0有两个解，|3x﹣2|+c=0只有一个解，则化简|a﹣c|+|c﹣b|﹣|a
﹣b|的结果是（）
A．2a B．2b C．2c D．0
考点：含绝对值符号的一元一次方程．
专题：计算题．
分析：根据关于x的方程|5x﹣4|+a=0无解，|4x﹣3|+b=0有两个解，|3x﹣2|+c=0只有一个解，可判断出a，b，c的取值范围，进而求解．
解答：解：根据关于x的方程|5x﹣4|+a=0无解，可得出：a＞0，
由|4x﹣3|+b=0有两个解，可得出：b＜0，
由|3x﹣2|+c=0只有一个解，可得出；c=0，
故|a﹣c|+|c﹣b|﹣|a﹣b|可化简为：|a|+|b|﹣|a﹣b|=a﹣b﹣a+b=0．
故选D．
点评：本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，难度不大，关键是根据已知条件判断出a，b，c的取值范围．然后化简．
3．方程|3x|+|x﹣2|=4的解的个数是（）
A．0B．1C．2D．3
考点：含绝对值符号的一元一次方程．
专题：分类讨论．
分析：根据x的取值范围取绝对值，所以需要分类讨论：①当x≥2时；②当0＜x＜2时；③当x＜0时；根据x 的三种取值范围来解原方程．
解答：解：①当x≥2时，由原方程，得
3x+x﹣2=4，即4x﹣2=4，
②当0＜x＜2时，由原方程，得
3x﹣x+2=4，解得x=1；
③当x＜0时，由原方程，得
﹣3x﹣x+2=4，解得x=﹣．
综上所述，原方程有2个解．
故选C．
点评：本题考查了含绝对值符号的一元一次方程．解这类题目时，一定要分类讨论，以防漏解．
4．已知关于x的方程mx+2=2（m﹣x）的解满足方程|x﹣|=0，则m的值为（）
A．B．2C．D．3
考点：含绝对值符号的一元一次方程；一元一次方程的解．
专题：计算题．
分析：本题中有2个方程，且是同解方程，一般思路是：先求出不含字母系数的方程的解，再把解代入到含有字母系数的方程中，求字母系数的值．
解答：
解：∵|x﹣|=0，
∴x=，
把x代入方程mx+2=2（m﹣x）得：m+2=2（m﹣），
解之得：m=2；
故选B．
点评：此类题型的特点是，有2个方程，一个含有字母系数，一个是不含字母系数的方程，2方程同解，求字母系数的值．一般方法是：先求出不含字母系数的方程的解，再把解代入到含有字母系数的方程中，求字母系数的值．
5．方程|2x﹣6|=0的解是（）
A．3B．﹣3 C．±3 D．
考点：含绝对值符号的一元一次方程．
分析：根据非负数的性质去掉绝对值符号，求出未知数的值即可．
解答：解：∵|2x﹣6|=0，
∴2x﹣6=0，
∴x=3．
故选A．
点评：本题考查的是非负数的性质，是中学阶段的基础题．
6．若|x﹣1|=3，则x=（）
A．4B．﹣2 C．±4 D．4或﹣2
考点：含绝对值符号的一元一次方程．
专题：分类讨论；方程思想．
分析：根据绝对值的意义，得出x﹣1=±3，可解得x的值．注意结果有两个．
所以x﹣1=±3，
解得x=4或﹣2．
故选D．
点评：本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，注意绝对值都是非负数，互为相反数的两数绝对值相等．7．方程|2x﹣1|=4x+5的解是（）
A．
x=﹣3或x=﹣B．
x=3或x=
C．
x=﹣
D． x=﹣3
考点：含绝对值符号的一元一次方程．
专题：计算题．
分析：根据绝对值的性质去掉绝对值符号，再根据解一元一次方程的步骤求解即可．
解答：
解：①当2x﹣1≥0，即x≥时，原式可化为：2x﹣1=4x+5，解得，x=﹣3，舍去；
②当2x﹣1＜0，即x＜时，原式可化为：1﹣2x=4x+5，解得，x=﹣，符合题意．
故此方程的解为x=﹣．
故选C．
点评：此题比较简单，解答此题的关键是根据绝对值的性质去掉绝对值符号，不要漏解．
8．若关于x的方程|x|=2x+1的解为负数，则x的值为（）
A．B．C．D．﹣1
考点：含绝对值符号的一元一次方程．
专题：分类讨论．
分析：分两种情况去解方程即可①x≥0；②x＜0．
解答：解：①当x≥0时，去绝对值得，x=2x+1，得x=﹣1，不符合预设的x≥0，舍去．
②当x＜0时，去绝对值得，﹣x=2x+1，得x=﹣．
故选B．
点评：本题考查了一元一次方程的去绝对值的解法．要分类讨论．
9．方程|x﹣3|+|x+3|=6的解的个数是（）
A．2B．3C．4D．无数个
考点：含绝对值符号的一元一次方程．
分析：根据x的取值范围取绝对值，所以需要分类讨论：①当x≥3时；②当﹣3≤x＜3时；③当x＜﹣3时；根据x的三种取值范围来解原方程即可．
解答：解：当x≥3时，原方程可变形为：
x﹣3+x+3=6，
解得：x=3，
当﹣3≤x＜3时，原方程可变形为：
﹣x+3+x+3=6，得出原方程有无数个解；
当x＜﹣3时，原方程可变形为：
﹣x+3﹣x﹣3=6，
解得：x=﹣3，
故选D．
点评：本题考查了含绝对值符号的一元一次方程．解这类题目时，一定要分类讨论，以防漏解．
10．若|x﹣2|=3，则x的值是（）
A．1B．﹣1 C．﹣1或5 D．以上都不对
考点：含绝对值符号的一元一
次方程．
专题：计算题．
分析：|x﹣2|=3去绝对值，可
得x﹣2=±3，然后计算
求解．
解答：解：∵|x﹣2|=3，
∴x﹣2=±3，
∴x=﹣1或5．
故选C．
点评：此题考查了绝对值的性质，要求掌握绝对值的性质及其定义，并能熟练运用到实际运算当中．绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
11．方程|3x|=18的解的情况是（）
A．有一个解是6 B．有两个解，是±6 C．无解D．有无数个解
考点：含绝对值符号的一元一次方程．
专题：计算题；分类讨论．
分析：去绝对值符号时，要分两种情况进行讨论，即x≥0和x＜0两种情况．
解答：解：∵|3x|=18∴这个方程就变形为3x=±18两个方程．
当x≥0时，3x=18，∴x=6
当x＜0时，﹣3=18，∴x=﹣6
故选B．
点评：解方程的过程就是一个方程变形的过程，变形的依据是等式的基本性质，变形的目的是变化成x=a的形式．解决本题还要运用分类讨论思想．
12．如果|x﹣1|+x﹣1=0，那么x的取值范围是（）
A．x＞1 B．x＜1 C．x≥1 D．x≤1
考点：绝对值；含绝对值符号的一元一次方程．
专题：计算题．
分析：先根据绝对值的性质讨论x﹣1的符号，确定出x的取值范围，再解关于x的一元一次方程，求出x的值．解答：解：当x﹣1≥0，即x≥1时，原方程可化为x﹣1+x﹣1=0，解得，x=1；
当x﹣1＜0，即x＜1时，原方程可化为1﹣x+x﹣1=0，x无解．
综上所述原方程的解集是x≤1，
故选D．
点评：本题考查的是含绝对值符号的一元一次方程，解答此题的关键是熟知绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0；
13．若|2000x+2000|=20×2000，则x等于（）
A．20或﹣21 B．﹣20或21 C．﹣19或21 D．19或﹣21
专题：计算题．
分析：根据|2000x+2000|=2000|x+1|=20×2000，约分得：|x+1|=20，然后去掉绝对值即可．
解答：解：根据|2000x+2000|=2000|x+1|=20×2000，
约分得：|x+1|=20，∴x+1=20或﹣（x+1）=20，
移项解得：x=19或x=﹣21．
故选D．
点评：本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，难度不大，关键是正确去掉绝对值符号，不要漏解．
14．已知关于x的方程|x|=ax﹣a有正根且没有负根，则a的取值范围是（）
A．a＞1 B．a≤﹣1 C．a＞2或a≤﹣2 D．a＞1或a≤﹣1
考点：含绝对值符号的一元一次方程．
分析：根据绝对值的性质和方程|x|=ax﹣a有正根且没有负根，确定a的取值范围．
解答：解：①当ax﹣a≥0，
a（x﹣1）＞0，
解得：x≥1 且a≥0，或者x≤1且a≤0，
②正根条件：x＞0，
x=ax﹣a，即x=＞0，
解得：a＞1 或a＜0，
由①，即得正根条件：a＞1 且x≥1，或者a＜0，0＜x≤1，
③负根条件：x＜0，得：﹣x=ax﹣a，
解得：x=＜0，即﹣1＜a＜0，
由①，即得负根条件：﹣1＜a＜0，x＜0，
根据条件：只有正根，没有负根，因此只能取a＞1（此时x≥1，没负根），或者a≤﹣1（此时0＜x≤1，没负根）．
综合可得，a＞1或a≤﹣1．
故选：D．
点评：此题主要考查了含绝对值符号的一元一次方程，根据绝对值的性质，要分x≥0和x＜0，两种情况进行讨论，确定a的取值范围．
15．适合|2a+7|+|2a﹣1|=8的整数a的值的个数有（）
A．2B．4C．8D．16
考点：含绝对值符号的一元一次方程．
分析：先分别讨论绝对值符号里面代数式值，然后去绝对值，解一元一次方程即可求出a的值．
解答：解：（1）当2a+7≥0，2a﹣1≥0时，可得，
|2a+7|+|2a﹣1|=8
2a+7+2a﹣1=8，解得，
a=
解不等式2a+7≥0，2a﹣1≥0得，
a≥﹣，a≥，
所以a≥，而a又是整式，
（2）当2a+7≤0，2a﹣1≤0时，可得，
|2a+7|+|2a﹣1|=8
﹣2a﹣7﹣2a+1=8，解得，
a=﹣
解不等式2a+7≤0，2a﹣1≤0得，
a≤﹣，a≤，
所以a≤﹣，而a又是整数，
故a=﹣不是方程的一个解；
（3）当2a+7≥0，2a﹣1≤0时，可得，
|2a+7|+|2a﹣1|=8
2a+7﹣2a+1=8，解得，
a可为任何数．
解不等式2a+7≥0，2a﹣1≤0得，
a≥﹣，a≤，
所以﹣≤a≤，而a又是整数，
故a的值有：﹣3，﹣2，﹣1，0．
（4）当2a+7≤0，2a﹣1≥0时，可得，
|2a+7|+|2a﹣1|=8
﹣2a﹣7+2a﹣1=8，
可见此时方程不成立，a无解．
综合以上4点可知a的值有四个：﹣3，﹣2，﹣1，0．
故选B．
点评：本题主要考查去绝对值及解一元一次方程的方法：解含绝对值符号的一元一次方程要根据绝对值的性质和绝对值符号内代数式的值分情况讨论，即去掉绝对值符号得到一般形式的一元一次方程，再求解．
16．若|x|=3x+1，则（4x+2）2005=（）
A．﹣1 B．0C．0或1 D．1
考点：含绝对值符号的一元一次方程；绝对值；有理数的乘方；解一元一次方程．
专题：计算题．
分析：当x≥0时去绝对值符号，求出方程的解；当x＜0时，去绝对值符号，求出方程的解，代入求出即可．
解答：解：当x≥0时，原方程化为：x=3x+1，
∴x=﹣＜0（舍去），
当x＜0时，原方程化为：﹣x=3x+1，
∴x=﹣，
∴（4x+2）2005==1，
故选D．
点评：本题主要考查对绝对值，解一元一次方程，含绝对值符号的一元一次方程，有理数的乘方等知识点的理解和掌握，求出未知数x的值是解此题的关键．
17．方程|2x﹣1|﹣a=0恰有两个正数解，则a的取值范围是（）
A．﹣1＜a＜0 B．﹣1＜a＜1 C．0＜a＜1 D．
＜a＜1
考点：含绝对值符号的一元一次方程．
分析：
由方程|2x﹣1|﹣a=0恰有两个正数解，即可得不等式组，解此不等式组即可求得答案．解答：解：∵方程|2x﹣1|﹣a=0恰有两个正数解，
∴，
解得：0＜a＜1．
故选C．
点评：此题考查了含绝对值符号的一元一次方程的求解方法．此题难度较大，解题的关键是根据题意得到不等式组：．
18．已知x﹣y=4，|x|+|y|=7，那么x+y的值是（）
A．
±B．
±
C．±7 D．±1
考点：含绝对值符号的一元一次方程．
专题：计算题．
分析：根据x﹣y=4，得：x=y+4，代入|x|+|y|=7，然后分类讨论y的取值即可．
解答：解：由x﹣y=4，得：x=y+4，代入|x|+|y|=7，
∴|y+4|+|y|=7，①当y≥0时，原式可化为：2y+4=7，解得：y=，
②当y≤﹣4时，原式可化为：﹣y﹣4﹣y=7，解得：y=，
③当﹣4＜y＜0时，原式可化为：y+4﹣y=7，故此时无解；
所以当y=时，x=，x+y=7，
当y=时，x=，x+y=﹣7，
综上：x+y=±7．
故选C．
点评：本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，难度适中，关键是把x用y表示出来后进行分类讨论y的取值范围．
19．适合关系式|3x﹣4|+|3x+2|=6的整数x的值有（）个．
A．0B．1C．2D．大于2的自然数
考点：含绝对值符号的一元一次方程．
专题：计算题；分类讨论．
分析：
分别讨论①x≥，②﹣＜x＜，③x≤﹣，根据x的范围去掉绝对值，解出x，综合三种情况可得出x 的最终范围．
解答：解：从三种情况考虑：
第一种：当x≥时，原方程就可化简为：3x﹣4+3x+2=6，解得：x=；
第二种：当﹣＜x＜时，原方程就可化简为：﹣3x+4+3x+2=6，恒成立；
第三种：当x≤﹣时，原方程就可化简为：﹣3x+4﹣3x﹣2=6，解得：x=﹣；
所以x的取值范围是：﹣≤x≤，故符合条件的整数位：0，1．
故选C．
点评：本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，难度不大，关键掌握正确分类讨论x的取值范围．
20．若单项式﹣2a|x|b|4x|和32ab3﹣x的相同字母的指数相同，则x的整数值等于（）
A．1B．﹣1 C．±1 D．±1以外的数
考点：同类项；含绝对值符号的一元一次方程．
专题：计算题．
分析：根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）列出方程|x|=1，|4x|=3﹣x，即可求出x的值．解答：解：由同类项的定义得：|x|=1，
解得x=±1，
又|4x|=3﹣x，
解得x=﹣1或x=，
∴x=﹣1．
故选B．
点评：本题考查了同类项的知识，属于基础题，注意判断两个项是不是同类项，只要两看，即一看所含有的字母是否相同，二看相同字母的指数是否相同．
21．方程|2007x﹣2007|=2007的解是（）
A．0B．2C．1或2 D．2或0
考点：含绝对值符号的一元一次方程．
专题：数形结合．
分析：分别讨论x≥1，x＜1，可求得方程的解．
解答：解：①当x≥1时，原方程可化为：2007x﹣2007=2007，
解得：x=2，
②当x＜1时，原方程可化为：2007﹣2007x=2007，
解得：x=0，
综上可得x=0或2．
故选D．
点评：本题考查含绝对值的一元一次方程，解决此题的关键是能够根据x的取值范围进行分情况化简绝对值．
22．满足||x﹣1|﹣|x||﹣|x﹣1|+|x|=1的x的值是（）
A．0B．
±C．D．
±
考点：含绝对值符号的一元一次方程．
专题：计算题．
分析：看到比较繁琐的有绝对值得计算题，首先要考虑怎样去掉绝对值．明确x的取值范围决定去掉绝对值之后的正负关系．
解答：解：（1）当x＞1时，原式=x﹣x+1﹣x+1+x=1，
2=1显然不成立，故舍去．
（2）当0＜x＜1时，
原式=|﹣（x﹣1）﹣x|﹣（1﹣x）+x，
=|﹣2x+1|﹣1+2x，
=2x﹣1﹣1+2x，
=4x﹣2，
又∵原式=1，
∴4x﹣2=1，
∴x=．
故选C．
点评：本题主要考查的是含有绝对值符号的一元一次方程的最基本的计算，难易适中．
23．如果方程|3x|﹣ax﹣1=0的根是负数，那么a的取值范围是（）
A．a＞3 B．a≥3 C．a＜3 D．a≤3
考点：含绝对值符号的一元一次方程．
专题：分类讨论．
分析：分三种情况讨论a的取值范围：①a=3，②a＞3，③a＜3，再去绝对值符号进行求解．
解答：解：原方程为|3x|=ax+1．
①若a=3，则|3x|=3x+1．
当x＜0时，﹣3x=3x+1，∴x=﹣；
当x≥0时，3x=3x+1，不成立；
∴当a=3时，原方程的根为：x=﹣；
②若a＞3，当x＜0时，﹣3x=ax+1，∴x=＜0；
当x≥0时，3x=ax+1，∴x=＜0，矛盾，
∴当a＞3时，原方程的解为：x=＜0．
③若a＜3时，当x≥0时，3x=ax+1，∴x=0，
∴原方程的根是正数，不符合题意．
综上所述：当a≥3时，原方程的根是负根．
故选B．
点评：本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，难度较大，关键是分类讨论a的取值范围后再进行求解．24．关于x的含有绝对值的方程|2x﹣1|﹣|x|=2的不同实数解共有（）个．
考点：含绝对值符号的一元一次方程．
专题：计算题．
分析：
分别讨论①x≥，②0＜x＜，③x≤0，根据x的范围去掉绝对值，解出x，综合三种情况可得出x的最终范围．
解答：解：从三种情况考虑：
第一种：当x≥时，原方程就可化简为：2x﹣1﹣x=2，解得：x=3；
第二种：当0＜x＜时，原方程就可化简为：﹣2x+1﹣x=2，解得：x=﹣，不符合题意；
第三种：当x≤0时，原方程就可化简为：﹣2x+1+x=2，解得：x=﹣1；
所以x的不同实数解为：x=3或x=﹣1，共有两个．
故选B．
点评：本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，难度适中，关键是掌握正确分类讨论x的取值范围．
25．方程|x﹣19|+|x﹣93|=74的有理数解（）
A．至少有3个B．恰好有2个C．恰有1个D．不存在
考点：含绝对值符号的一元一次方程．
分析：首先根据x的范围去掉绝对值符号，转换成一般的一元一次方程，从而求解．
解答：解：当x≤19时，方程即：19﹣x+93﹣x=74，解得：x=19；
当19＜x＜93时，方程变形为：x﹣19+93﹣x=74，恒成立；
当x≥93时，方程变形为：x﹣19+x﹣93=74，解得：x=93．
则x为范围[19，93]中的有理数，即至少有3个．
故选A．
点评：本题主要考查了绝对值方程的解法，关键是正确进行讨论．
26．方程2|x|+3=5的解是（）
A．1B．﹣1 C．1和﹣1 D．无解
考点：含绝对值符号的一元一次方程．
分析：首先利用一元一次方程的求解方法，求得|x|的值，继而求得答案．
解答：解：∵2|x|+3=5，
∴2|x|=2，
∴|x|=1，
∴x=±1．
故选C．
点评：此题考查了含绝对值符号的一元一次方程的求解方法．此题比较简单，注意换元思想的应用．
27．绝对值方程||x﹣2|﹣|x﹣6||=l的不同实数解共有多少个（）
A．2B．4C．l D．0
考点：含绝对值符号的一元一次方程．
专题：计算题．
分析：分别讨论x≥6、x＜2、2≤x＜6，根据x的范围去掉绝对值，解出x，综合六种情况可得出x的最终范围．解答：解：根据题意，知
（1）|x﹣2|﹣|x﹣6|=1，
x﹣2﹣2+6=1，解得x=﹣1，不合题意，舍去；
②当x﹣2＜0，x﹣6＜0，即x＜2时，
﹣x+2+x﹣6=1，即﹣4=1，显然不成立；
③当x﹣2≥0，x﹣6＜0，即2≤x＜6时，
x﹣2+x﹣6=1，解得x=4.5；
（2）|x﹣2|﹣|x﹣6|=﹣1，
④当x﹣2≥0，x﹣6≥0，即x≥6时，
x﹣2﹣2+6=﹣1，解得x=﹣3，不合题意，舍去；
⑤当x﹣2＜0，x﹣6＜0，即x＜2时，
﹣x+2+x﹣6=﹣1，即﹣4=﹣1，显然不成立；
⑥当x﹣2≥0，x﹣6＜0，即2≤x＜6时，
x﹣2+x﹣6=﹣1，解得x=3.5；
综上所述，原方程的解是：x=4.5，3.5，共有2个．
故选A．
点评：本题考查了含有绝对值符号的一元一次方程．其实，本题不难，只要在解题过程中多一份细心，就不会丢解的．
28．||||x﹣1|﹣1|﹣1|﹣1|=0是一个含有4重绝对值符号的方程，则（）
A．0，2，4全是根B．0，2，4全不是根C．0，2，4不全是根D．0，2，4之外没有根
考点：含绝对值符号的一元一次方程．
分析：解含有绝对值符号的方程的关键是去绝对值符号，这可用“零点分段法”．即令x+2=0，x+1=0，x=0，x﹣1=0，x﹣2=0，x﹣3=0，x﹣4=0，分别得到x=﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，这7个数将数轴分成8段，然后在每一段上去掉绝对值符号再求解．
解答：解：①当x≥4时，原方程化为x﹣4=0，解得x=4，在所给的范围x≥4之内，x=4是原方程的解；
②当3≤x＜4时，原方程化为4﹣x=0，解得x=4，不在所给的范围3≤x＜4之内，x=4不是原方程的解；
③当2≤x＜3时，原方程化为x﹣2=0，解得x=2，在所给的范围2≤x＜3之内，x=2是原方程的解；
④当1≤x＜2时，原方程化为2﹣x=0，解得x=2，不在所给的范围1≤x＜2之内，x=2不是原方程的解；
⑤当0≤x＜1时，原方程化为x=0，在所给的范围0≤x＜1之内，x=0是原方程的解；
⑥当﹣1≤x＜0时，原方程化为x=0，不在所给的范围﹣1≤x＜0之内，x=0不是原方程的解；
⑦当﹣2≤x＜﹣1时，原方程化为x+2=0，解得x=﹣2，在所给的范围﹣2≤x＜﹣1之内，x=﹣2是原方程的
解；
⑧当x＜﹣2时，原方程化为﹣2﹣x=0，解得x=﹣2，不在所给的范围x＜﹣2之内，x=﹣2不是原方程的解．
综上，可知原方程的解为x=4，2，0，﹣2．
故选A．
点评：本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，属于竞赛题型，难度较大．
29．使方程3|x+2|+2=0成立的未知数x的值是（）
A．﹣2 B．0C．D．不存在
考点：含绝对值符号的一元一次方程．
专题：计算题．
分析：
要使方程3|x+2|+2=0成立，则可得：|x+2|=，根据绝对值的性质即可得出答案．
解答：解：要使方程3|x+2|+2=0成立，
则可得：|x+2|=，根据绝对值的非负性，
故选D．
点评：本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，比较容易，关键是根据绝对值的非负性即可判断．
30．方程|x+5|﹣|3x﹣7|=1的解有（）
A．1个B．2个C．3个D．无数个
考点：含绝对值符号的一元一次方程．
专题：计算题．
分析：
分别讨论①x≥，②﹣5＜x＜，③x≤﹣5，根据x的范围去掉绝对值，解出x，综合三种情况可得出x的最终范围．
解答：解：从三种情况考虑：
第一种：当x≥时，原方程就可化简为：x+5﹣3x+7=1，
解得：x=符合题意；
第二种：当﹣5＜x＜时，原方程就可化简为：x+5+3x﹣7=1，
解得：x=符合题意；
第三种：当x≤﹣5时，原方程就可化简为：﹣x﹣5+3x﹣7=1，
解得：x=不符合题意；
所以x的值为：或．
故选B．
点评：本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，难度不大，关键是分类讨论x的取值范围．
去绝对值符号的几种常用方法 解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。 1．利用定义法去掉绝对值符号 根据实数含绝对值的意义，即|x |=(0)(0)x x x x ≥??-????≤?； |x |>c (0)0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>???≠=??∈c (c >0)来解，如|ax b +|>c (c >0)可为ax b +>c 或ax b +<－c ；|ax b +| 绝对值与一元一次方程 知识纵横 绝对值是初中数学最活跃的概念之一, 能与数学中许多知识关联而生成新的问题,我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程,简称绝对值方程. 解绝对值方程的基本方法有:一是设法去掉绝对值符号,将绝对值方程转化为常见的方程求解;一是数形结合,借助于图形的直观性求解.前者是通法,后者是技巧. 解绝对值方程时,常常要用到绝对值的几何意义,去绝对值的符号法则, 非负数的性质、绝对值常用的基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法. 例题求解 【例1】方程│5x+6│=6x-5 的解是. 思路点拨设法去掉绝对值符号,将原方程化为一般的一元一次方程来求解. 解:x=11 提示:原方程5x+6=±(6x-5)或从5x+6≥0、5x+6<0 讨论. 【例2】适合│2a+7│+│2a-1│=8的整数a 的值的个数有( ). A.5 B.4 C.3 D.2 思路点拨用分类讨论法解过程繁琐,仔细观察数据特征,借助数轴也许能找到简捷的解题途径. 解:选 B 提示:由已知即在数轴上表示 2a 的点到-7 与+1 的距离和等于 8, 所以 2a 表示-7 到1 之间的偶数. 【例 3】解方程: │x-│3x+1││=4; 思路点拨从内向外,根据绝对值定义性质简化方程. 5解:x=- 4 3 或 x= 2 提示:原方程化为 x-│3x+1=4 或x-│3x+1│=-4 【例 4】解下列方程: (1)│x+3│-│x -1│=x+1; (2)│x -1│+│x -5│=4. 思路点拨 解含多个绝对值符号的方程最常用也是最一般的方法是将数轴分段进行讨论,采用前面介绍的“零点分段法”分类讨论;有些特殊的绝对值方程可利用绝对值的几何意义迅速求解. 解:(1)提示:当 x<-3 时,原方程化为 x+3+(x-1)=x+1,得 x=-5; 当-3≤x<1 时,原方程化为 x+3+x-1=x+1,得 x=-1; 当 x≥1 时,原方程化为 x+3-(x-1)=x+1,得 x=3. 综上知原方程的解为 x=-5,-1,3. (2)提示:方程的几何意义是,数轴上表示数 x 的点到表示数 1 及 5 的距离和等于 4,画出数轴易得满足条件的数为 1≤x≤5,此即为原方程的解. 【例 5】已知关于 x 的方程│x-2│+│x -3│=a ,研究 a 存在的条件,对这个方程的解进行讨论. 思路点拨 方程解的情况取决于 a 的情况,a 与方程中常数 2、3 有依存关系,这种关系决定了方程解的情况,因此,探求这种关系是解本例的关键, 运用分类讨论法或借助数轴是探求这种关系的重要方法与工具,读者可从两个思路去解. 解:提示:数轴上表示数x 的点到数轴上表示数2,3 的点的距离和的最小值为1,由此可 得方程解的情况是: (1) 当 a>1 时,原方程解为 x= 5 a ; 2 (2) 当 a=1 时,原方程解为 2≤x≤3; (3) 当 a<1 时,原方程无解. 含参数的一元一次方程、含绝对值的一元一次方程 一． 含有参数的一元一次方程 1. 整数解问题 2. 两个一元一次方程同解问题 3. 已知方程解的情况求参数 4. 一元一次方程解的情况（分类讨论） 二： 解含有绝对值的一元一次方程 一. 含有参数的一元一次方程 1. 整数解问题（常数分离法） 例题1：⑴ 【中】 已知关于x 的方程9314x kx +=+有整数解，求整数_____k = 答案：(9)11k x -= 119x k =- ∵,x k 均为整数 ∴91,11k -=±± ∴2,8,10,20k =- ⑵ 【中】 关于x 的方程()2 (1)130n x m x -+--=是一元一次方程 (1)则,m n 应满足的条件为:___m ,____n ; (2)若此方程的根为整数,求整数=____m 答案：(1)1,1≠=; (2)由(1)可知方程为(1)3m x -=, 则31 x m = - ∵此方程的根为整数. ∴31 m -为整数 又∵m 为整数,则13,1,1,3m -=-- ∴2,0,2,4m =- 测一测1： 【中】 关于x 的方程143+=+x ax 的解为正整数，则整数a 的值为( ) A.2 B.3 C.1或2 D.2或3 答案：D 方程143+=+x ax 可化简为：()24-=-x a 解得4 2--=a x 解为正整数，()214--=-或a 32或=a 测一测2： 【中】 关于x 的方程917x kx -=的解为正整数,则k 的值为___________ 答案：917x kx -=可以转化为(9)17k x -= 即:179x k = -,x 为正整数,则88k =或- 测一测3: 【中】m 为整数，关于x 的方程 6x mx =- 的解为正整数，求_____m = 答案： 由原方程得：61 x m =+ ，x 是正整数，所以1m + 只能为6的正约数， 11,2,3,6m += 所以0,1,2,5m = 2. 两个一元一次方程同解问题 例题2：⑴ 【易】若方程29ax x -=与方程215x -=的解相同，则a 的值为_________ 【答案】第二个方程的解为3x =，将3x =代入到第一个方程中，得到369a -= 解得 5a = 如何化简绝对值 绝对值的知识是初中代数的重要内容，在中考和各类竞赛中经常出现，含有绝对值符号的数学问题又是学生遇到的难点之一，解决这类问题的方法通常是利用绝对值的意义，将绝对值符号化去，将问题转化为不含绝对值符号的问题，确定绝对值符号内部分的正负，借以去掉绝对值符号的方法大致有三种类型。 一、根据题设条件 例1 设化简的结果是（）。 （A）（B）（C）（D） 思路分析由可知可化去第一层绝对值符号，第二次绝对值符号待合并整理后再用同样方法化去． 解 ∴应选（B）． 归纳点评只要知道绝对值将合内的代数式是正是负或是零，就能根据绝对值意义顺利去掉绝对值符号，这是解答这类问题的常规思路． 二、借助数轴 例2 实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则代数式的值等于（）． （A）（B）（C）（D） 思路分析由数轴上容易看出，这就为去掉绝对值符号扫清了障碍． 解原式 ∴应选（C）． 归纳点评这类题型是把已知条件标在数轴上，借助数轴提供的信息让人去观察，一定弄清： 1．零点的左边都是负数，右边都是正数． 2．右边点表示的数总大于左边点表示的数． 3．离原点远的点的绝对值较大，牢记这几个要点就能从容自如地解决问题了． 三、采用零点分段讨论法 例3 化简 思路分析本类型的题既没有条件限制，又没有数轴信息，要对各种情况分类讨论，可采用零点分段讨论法，本例的难点在于的正负不能确定，由于x是不断变化的，所以它们为正、为负、为零都有可能，应当对各种情况—一讨论． 解令得零点：；令得零点：，把数轴上的数分为三个部分（如图） ①当时, ∴原式 ②当时，， ∴原式 ③当时，， ∴原式 ∴ 归纳点评虽然的正负不能确定，但在某个具体的区段内都是确定的，这正是零点分段讨论法的优点，采用此法的一般步骤是： 1．求零点：分别令各绝对值符号内的代数式为零，求出零点（不一定是两个）． 2．分段：根据第一步求出的零点，将数轴上的点划分为若干个区段，使在各区段内每 带绝对值符号的运算 在初中数学教学中，如何去掉绝对值符号？因为这一问题看似简单，所以往往容易被人们忽视。其实它既是初中数学教学的一个重点，也是初中数学教学的一个难点，还是学生容易搞错的问题。那么，如何去掉绝对值符号呢？我认为应从以下几个方面着手： 一、要理解数a的绝对值的定义。在中学数学教科书中，数a的绝对值是这样定义的，“在数轴上，表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值。”学习这个定义应让学生理解，数a的绝对值所表示的是一段距离，那么，不论数a本身是正数还是负数，它的绝对值都应该是一个非负数。 二、要弄清楚怎样去求数a的绝对值。从数a的绝对值的定义可知，一个正数的绝对值肯定是它的本身，一个负数的绝对值必定是它的相反数，零的绝对值就是零。在这里要让学生重点理解的是，当a是一个负数时，怎样去表示a的相反数（可表示为“-a”），以及绝对值符号的双重作用（一是非负的作用，二是括号的作用）。 三、掌握初中数学常见去掉绝对值符号的几种题型。 1、对于形如︱a︱的一类问题 只要根据绝对值的3个性质，判断出a的3种情况，便能快速去掉绝对值符号。 当a>0时，︱a︱=a(性质1：正数的绝对值是它本身)； 当a=0 时︱a︱=0(性质2：0的绝对值是0) ； 当a<0 时；︱a︱=–a (性质3：负数的绝对值是它的相反数) 。 2、对于形如︱a+b︱的一类问题 首先要把a+b看作是一个整体，再判断a+b的3种情况，根据绝对值的3个性质，便能快速去掉绝对值符号进行化简。 当a+b>0时，︱a+b︱=(a+b) =a +b(性质1：正数的绝对值是它本身)； 当a+b=0 时，︱a+b︱=(a+b) =0(性质2：0的绝对值是0)； 当a+b<0 时，︱a+b︱=–(a+b)=–a-b (性质3：负数的绝对值是它的相反数)。 3、对于形如︱a-b︱的一类问题 同样，仍然要把a-b看作一个整体，判断出a-b 的3种情况，根据绝对值的3个性质，去掉绝对值符号进行化简。 但在去括号时最容易出现错误。如何快速去掉绝对值符号，条件非常简单，只要你能判断出a与b的大小即可（不论正负）。因为︱大-小︱=︱小-大︱=大-小，所以当a>b时，︱a-b︱=（a-b）= a-b，︱b-a︱=（a-b）= a-b 。 口诀：无论是大减小，还是小减大，去掉绝对值，都是大减小。 4、对于数轴型的一类问题， 根据3的口诀来化简，更快捷有效。如︱a-b︱的一类问题，只要判断出a在b的右边（不论正负），便可得到︱a-b︱=（a-b）=a-b，︱b-a︱=（a-b）=a-b 。（都是大的数a减去小的数b ） 5、对于绝对值符号前有正、负号的运算 非常简单，去掉绝对值符号的同时，不要忘记打括号。前面是正号的无所谓，如果是负号，忘记打括号就惨了，差之毫厘失之千里也！ 含绝对值的一元一次方程解法 一、绝对值的代数和几何意义。 值的代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。 用字母表示为 绝对值的几何意义：表示这个数的点离开原点的距离。因此任何数 的绝对值是非负 数。 1、求下列方程的解： （1）| x | = 7；（2）5 | x | = 10；（3）| x | = 0；（4）| x | = – 3； （5）| 3x | = 9. 解： 二、根据绝对值的意义，我们可以得到： 当 > 0时 x =± | x | =当 = 0时 x = 0 当 < 0时方程无解. （三） 例1：解方程： （1） 19 – | x | = 100 – 10 | x | （2） 解：（1） 例2、思考：如何解 | x – 1 | = 2 分析：用换元（整体思想）法去解决，把 x – 1 看成一个字母y，则原方 程变为： | y | = 2，这个方程的解为 y = ±2，即 x – 1 = ±2，解得 x = 3或x = – 1. 解： 例3：解方程：| 2x – 1 | – 3 = 0 解方程： 解： 三：形如的绝对值的一元一次方程可变形为：且才是原方程的根，否则必须舍去，故解绝对值方程时必须检验。 例1：解方程： 练习：（1）解方程： （2）解方程： 四：“零点分段法”解含多个绝对值的代数问题 “零点分段法”即令各绝对值代数式为零，得若干个绝对值为零的点，这些点把数轴分成几个区间，再在各区间内化简求值即可。 例1：化简下列各式 1、 2、 练习：化简： 例2：解下列方程 1、 2、 练习： 1、 2、 去掉绝对值符号的几种题型 1、对于形如︱a︱的一类问题 只要根据绝对值的3个性质，判断出a的3种情况，便能快速去掉绝对值符号。当a>0时，︱a︱=a (性质1：正数的绝对值是它本身) ； 当a=0 时︱a︱=0 (性质 2：0的绝对值是0) ； 当 a<0 时；︱a︱=–a (性质3：负数的绝对值是它的相反数) 。 2、对于形如︱a+b︱的一类问题 首先要把a+b看作是一个整体，再判断a+b的3种情况，根据绝对值的3个性质，便能快速去掉绝对值符号进行化简。 当a+b>0时，︱a+b︱=(a+b) =a +b (性质1：正数的绝对值是它本身) ；当a+b=0 时，︱a+b︱=(a+b) =0 (性质 2：0的绝对值是0)； 当 a+b<0 时，︱a+b︱=–(a+b)=–a-b (性质3：负数的绝对值是它的相反数)。 3、对于形如︱a-b︱的一类问题 同样，仍然要把a-b看作一个整体，判断出a-b 的3种情况，根据绝对值的3个性质，去掉绝对值符号进行化简。 但在去括号时最容易出现错误。如何快速去掉绝对值符号，条件非常简单，只要你能判断出a与b的大小即可（不论正负）。因为︱大-小︱=︱小-大︱=大-小，所以当a>b时，︱a-b︱=（a-b）= a-b，︱b-a︱=（a-b）= a-b 。 口诀：无论是大减小，还是小减大，去掉绝对值，都是大减小。 4、对于数轴型的一类问题， 根据3的口诀来化简，更快捷有效。如︱a-b︱的一类问题，只要判断出a在b的右边（不论正负），便可得到︱a-b︱=（a-b）=a-b，︱b-a︱=（a-b）=a-b 。 5、对于绝对值符号前有正、负号的运算 非常简单，去掉绝对值符号的同时，不要忘记打括号。前面是正号的无所谓，如果是负号，忘记打括号就惨了，差之毫厘失之千里也！ 1、设化简的结果是（）。 （A）（B）（C）（D） 2、实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则代数式的值等于（）。 （A）（B）（C）（D） 3、（1）已知，化简的结果是。 （2）已知，化简的结果是。 （3）已知，化简的结果是。 4、已知a、b、c、d满足且，那么 greatout 绝对值邂逅一次方程 模型①c?axb x-3?3?3 1、解方程：4x=2- 2、1=+12732x-4x=24-2 +12=2-2x-2-1+1=7-3x 32x-3+4=a有两个解，求a的取值范围。 3、已知关于x的方程 ax?b?cx?d模型②x?1?2x2x-1?x?1 1、 x-53?2x?x?6x?63x3x4-??x5??71 2、 - 1 - greatout 多重绝对值方程怕不怕 1.解方程：3=x-2-4 解方程：2.32=2-x- 已知满足的x有2个，求a3.的取值范围。a?-1x-2 多个绝对值方程怕不怕 已知x-2+x+4=6,则x的取值范围是____ 1. 已知x-2+x+4=8,则x=____ 2. 已知x?3-x-4?5,则x?____ 3. 已知x?3-x-4??7,则x的取值范围为____ 4. - 2 - greatout 。5.____则x的取值范围是+3+2x-4=7,已知2x 6.个。的整数解共有_____+-52x+7=122x 个。_____的整数-1=8x的值的个数有7符合2x+-2x 7. 含绝对值的方程组6x+y=,x+y=12y=_____ ，则1.已知x=___， ____x+=y,-10,xx++y=x+yy=12则 2. 已知|x|+|y|=7,2|x|-3|y|=-1,则。x+y=______3. - 3 - greatout 4.已知|x-1|+|y-2|=6,|x-1|=2y-4,则x+y=________. 5.已知x-y=4,|x|+|y|=7,求x,y的值。 22=______ a+b6.已知3a-2|b|=5,4|a|-6a=3b,则 数形结合突破绝对值 y=x-1+x-2，求y的取值范围。1.已知 x-1+x-2=a分别有2.满足什么条件时，方程2a个解？无解？无数解？当 - 4 - greatout 的取值范围。3.已知，求y2x-1-x-y= 绝对值与一元一次方程每日一练 1．方程8﹣|x+3|＝﹣2的解是（） A．x＝10B．x＝7C．x＝﹣13D．x＝7或x＝﹣13 2．方程|2x+1|＝7的解是（） A．x＝3B．x＝3或x＝﹣3C．x＝3或x＝﹣4D．x＝﹣4 3．解方程： （1）|3x﹣2|＝x （2）||x|﹣4|＝5 4．解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．例如：解关于x的方程2（x2﹣1）﹣5（x2﹣1）+9＝0，设x2﹣1＝m，原方程可转化为2m﹣5m+9＝0，解得m ＝3，所以x2﹣1＝3，方程的解为x＝2或﹣2． 请选择适当方法解决下列问题： （1）解方程：|3x|﹣1＝﹣|3x|+2； （2）定义一种新运算：a*b＝3a﹣b，解方程：2*（﹣1*y）＝﹣1*y． 5．方程||+||＝0的解是（） A．1B．无数个C．0D．无解 6．满足|x+3|+|x﹣1|＝4的整数x的个数为（） A．4个B．3个C．2个D．5个 7．适合关系式|x+|+|x﹣|＝2的整数解x的个数是（） A．0个B．1个C．2个D．3个 8．方程|x﹣3|+|x+3|＝6的解的个数是（） A．2B．3C．4D．无数个 9．若关于x的方程|x|＝2x+1的解为负数，则x的值为（） A．B．C．D．﹣1 10．先阅读下列解题过程，然后解答后面两个问题． 解方程：|x﹣3|＝2． 解：当x﹣3≥0时，原方程可化为x﹣3＝2，解得x＝5； 当x﹣3＜0时，原方程可化为x﹣3＝﹣2，解得x＝1． 所以原方程的解是x＝5或x＝1． （1）解方程：|3x﹣2|﹣4＝0． （2）解关于x的方程：|x﹣2|＝b+1 11．关于x的方程2|x|＝ax+5有整数解，则整数a的所有可能取值的乘积为（）A．9B．﹣3C．1D．3 12．我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即|x|＝|x﹣0|，也就是说|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离；这个结论可以推广为：|x﹣y|表示在数轴上数x、y对应点之间的距离； 在解题中，我们常常运用绝对值的几何意义． ①解方程|x|＝2，容易看出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为±2，即该方程的解为x＝±2． ②在方程|x﹣1|＝2中，x的值就是数轴上到1的距离为2的点对应的数，显然x＝3或x＝﹣1． ③在方程|x﹣1|+|x+2|＝5中，显然该方程表示数轴上与1和﹣2的距离之和为5 的点对应的x值，在数 轴上1和﹣2的距离为3，满足方程的x的对应点在1的右边或﹣2的左边．若x的对应点在1的右边，由图示可知，x＝2；同理，若x的对应点在﹣2的左边，可得x＝﹣3，所以原方程的解是x＝2或x＝﹣ 5.如何解含有多个绝对值符号的方程 题目 解方程 |1|||3|1|2|2|2x x x x x +-+---=+ （*） 这是《你能解吗？——献给数学爱好者》一书p3的第14题. 对于含有多个绝对值符号的方程问题，常规解法都是利用分段讨论的方法脱掉绝对值符号的. 本文介绍一种简便的新方法. 设121()||(1,,)n i i n i f x a x b cx d n b b b == -++><，则在 1i i b x b +≤≤中()f x = 0无根；若1()()0i i f b f b +?<，则在1i i b x b +≤≤中()f x = 0只有一个根，此根可由公式1111()()() i i i i i i b b x b f b f b f b ++++-=--表之；对于1x b <和n x b >时根的情况再分别讨论. 对这一方法笔者称之为 “讨论两端,中间挑选.” 例1 见题（*） 解 设()|1|||3|1|2|2|2f x x x x x x =+-+-----，则(1)2,(0)2,f f -=-=- (1)4,(2)0.f f =-= 可见当12x -≤<时, ()f x = 0无根.x = 2是()f x = 0的一个根. 当1x <-时, ()242f x x =-->-, 令240x --=, 2x =-. 当2x >时，()0f x ≡. 故原方程的解是2x =-和2x ≥的所有实数. 例2 方程|21||2||1|x x x -+-=+的实数解的个数是: (A)1; (B)2; (C)3; (D)无穷多. (上海市1984年初中数学竞赛题) 解 设1()|21||2||1||1|2|||2|2 f x x x x x x x =-+--+=-++-+-, 则1 (1)6,()0,(2)0.2 f f f -=== 那么不论1x <-和2x >时有没有根,我们至少知道122 x ≤≤都是()f x = 0的根, 答案应选择(D). 例3 解方程|1|2|2|3|3|4x x x ---++=. (《初等代数难点释疑》一书p4的例4). 解 设()|1|2|2|3|3|4f x x x x =---++-，则(1)0,(2)0,(3) 4.f f f ===- 当1x <时，()220f x x =-+>；当3x >时，()2104f x x =->-，令2100x -=， 得5x =. 故原方程的解是5x =和12x ≤≤的所有实数. 例4 解方程|2||3||28|9x x x -+-+-=. （华东师大《数学教学》1984年第5期p9） 绝对值与一元一次方程 一、形如| x +a | = b 方法：去绝对值符号 例1：| 2x – 1 | = 3 例2：4+2|x| = 3 |x|+2 二、绝对值的嵌套方法：由外向内逐层去绝对值符号 例1：| 3x – 4|+1| = 2 例2：x– 2|-1| =3 三、形如：| ax + b | = cx+d绝对值方程 方法：变形为ax + b =±（cx+d）且 cx+d≧0才是原方程的根，否则必须舍去，故解绝对值方程时必须检验。 例1: | 5x + 6 | = 6x+5 例2: | x - 5 |+2x =-5 利用“零点分段“法化简 方法：求零点，分区间，定正负，去符号 例1：化简：| x + 5 |+| 2x - 3 | 例2：|| x -1 |-2|+ |x +1| 练习化简：1、| x + 5 |+| x - 7 | +| x+ 10 | 2、 四、“零点分段法”解方程 “零点分段法”即令各绝对值代数式为零，得若干个绝对值为零的点，这些点把数轴分成几个区间，再在各区间内化简求值即可。 例1：| x + 1 |+| x - 5 | =4 例2：| 2x - 1 |+| x - 2 | =2| x +1 | 练习：解方程 1、3| 2x – 1 | = |-6| 2、││3x-5│+4│=8 3、│4x-3│-2=3x+4 4、│2x-1│+│x-2│=│x+1│ 提高题： 1、若关于X的方程││x-2│-1│=a有三个解，求a的值和方程的解 2、设a、b为有理数,且│a│>0,方程││x-a│-b│=3有三个不相等的解,?求b 的值. (“华杯赛”邀请赛试题) 3、讨论方程││x+3│-2│=k的解的情况. 6.2.5含绝对值符号的一元一次方程 完成时间：40min 一．选择题（共30小题） 1．已知|2﹣x|=4，则x的值是（） A．﹣3 B．9 C．﹣3或9 D．以上结论都不对 2．已知关于x的方程|5x﹣4|+a=0无解，|4x﹣3|+b=0有两个解，|3x﹣2|+c=0只有一个解，则化简|a﹣c|+|c﹣b|﹣|a﹣b|的结果是（） A．2a B．2b C．2c D．0 3．方程|3x|+|x﹣2|=4的解的个数是（） A．0B．1C．2D．3 4．已知关于x的方程mx+2=2（m﹣x）的解满足方程|x﹣|=0，则m的值为（） A．B．2C．D．3 5．方程|2x﹣6|=0的解是（） A．3B．﹣3 C．±3 D． 6．若|x﹣1|=3，则x=（） A．4B．﹣2 C．±4 D．4或﹣2 7．方程|2x﹣1|=4x+5的解是（） A． x=﹣3或x=﹣B． x=3或x= C． x=﹣ D．x=﹣3 8．若关于x的方程|x|=2x+1的解为负数，则x的值为（）A．B．C．D．﹣1 9．方程|x﹣3|+|x+3|=6的解的个数是（） A．2B．3C．4D．无数个 10．若|x﹣2|=3，则x的值是（） A．1B．﹣1 C．﹣1或5 D．以上都不对 11．方程|3x|=18的解的情况是（） A．有一个解是6 B．有两个解，是±6 C．无解D．有无数个解 12．如果|x﹣1|+x﹣1=0，那么x的取值范围是（） A．x＞1 B．x＜1 C．x≥1 D．x≤1 13．若|2000x+2000|=20×2000，则x等于（） 14．已知关于x的方程|x|=ax﹣a有正根且没有负根，则a的取值范围是（）A．a＞1 B．a≤﹣1 C．a＞2或a≤﹣2 D．a＞1或a≤﹣1 15．适合|2a+7|+|2a﹣1|=8的整数a的值的个数有（） A．2B．4C．8D．16 16．若|x|=3x+1，则（4x+2）2005=（） A．﹣1 B．0C．0或1 D．1 17．方程|2x﹣1|﹣a=0恰有两个正数解，则a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜0 B．﹣1＜a＜1 C．0＜a＜1 D． ＜a＜1 18．已知x﹣y=4，|x|+|y|=7，那么x+y的值是（） A． ±B． ± C．±7 D．±1 19．适合关系式|3x﹣4|+|3x+2|=6的整数x的值有（）个． A．0B．1C．2D．大于2的自然数 20．若单项式﹣2a|x|b|4x|和32ab3﹣x的相同字母的指数相同，则x的整数值等于（）A．1B．﹣1 C．±1 D．±1以外的数 21．方程|2007x﹣2007|=2007的解是（） A．0B．2C．1或2 D．2或0 22．满足||x﹣1|﹣|x||﹣|x﹣1|+|x|=1的x的值是（） A．0B． ±C．D． ± 23．如果方程|3x|﹣ax﹣1=0的根是负数，那么a的取值范围是（）A．a＞3 B．a≥3 C．a＜3 D．a≤3 24．关于x的含有绝对值的方程|2x﹣1|﹣|x|=2的不同实数解共有（）个．A．1B．2C．3D．4 25．方程|x﹣19|+|x﹣93|=74的有理数解（） A．至少有3个B．恰好有2个C．恰有1个D．不存在 26．方程2|x|+3=5的解是（） A．1B．﹣1 C．1和﹣1 D．无解 27．绝对值方程||x﹣2|﹣|x﹣6||=l的不同实数解共有多少个（）A．2B．4C．l D．0 28．||||x﹣1|﹣1|﹣1|﹣1|=0是一个含有4重绝对值符号的方程，则（）A．0，2，4全是根B．0，2，4全不是C．0，2，4不全是D．0，2，4之外没 去绝对值符号的几种常用方法 解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。 1．利用定义法去掉绝对值符号 根据实数含绝对值的意义，即|x |=(0)(0)x x x x ≥??-????≤? ；|x |>c (0)0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>???≠=??∈c (c >0)来解，如|ax b +|>c (c >0)可为ax b +>c 或ax b +<－c ；|ax b +| 绝对值与一元一次方程 绝对值是初中数学最活跃的概念之一，能与数学中许多知识关联而生成新的问题，我们把绝对值符合中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程，简称绝对值方程。 解绝对值方程的基本方法有：一是设法去掉绝对值符号，将绝对值方程转化为常见的方程求解；一是数形结合，借助于图形的直观性求解，前者是通法，后者是技巧。 解绝对值方程时，常常要用绝对值的几何意义，去绝对值的符号法则，非负数性质，绝对值常用的基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法。 【例1】方程5665-=+x x 的解是 。 【例2】适合81272=-++a a 的整数a 的值的个数有（ ）。 A 、5 B 、4 C 、3 D 、2 【例3】解下列方程：413=+-x x ； 【例4】解下列方程：（1）113+=--+x x x ； （2）451=-+-x x . 【例5】已知关于x 的方程a x x =-+-32，研究a 存在的条件，对这个方程的解进行讨论。 练习 1、方程3（1-x ）=15+x 的解是 ；方程1213+=-x x 的解是 。 2、已知19953990+x =1995，那么x = 。 3、已知x =x+2，那么19x 99 +3x+27的值为 。 4、关于x 的方程x a x a -+=1的解是x=0，则a 的值是 ；关于x 的方程x a x a -+=1的解是x=1，则有理数a 的取值范围是 。 6、方程055=-+-x x 的解的个数为（ ）A 不确定 B 无数个C 2个D 3个 7、已知关于x 的方程mx+2=2（m – x ）的解满足0221=-- x ，则m 的值是（ ） A 、10或52 B 、10或52- C 、-10或52 D 、-10或5 2- 8、若20002020002000?=+x ，则x 等于（ ） A 、20或-21 B 、-20或21 C 、-19或21 D 、19或-21 9、解下列方程： （1）8453=+-x ； （2）43234+=--x x ； （ 3）312=+-x x ； 10、讨论方程23-+x =k 的解的情况。 第九讲绝对值与一元一次方程 绝对值是初中数学最活跃的概念之一，能与数学中许多知识关联而生成新的问题，我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程，简称绝对值方程． 解绝对值方程的基本方法有：一是设法去掉绝对值符号．将绝对值方程转化为常见的方程求解；一是数形结合，借助于图形的直观性求解．前者是通法，后者是技巧． 解绝对值方程时，常常要用到绝对值的几何意义，去绝对值的符号法则，非负数的性质、绝对值常用的基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法． 例题 【例 1】方程5x 6 6x 5 的解是． (重庆市竞赛题) 思路点拨没法去掉绝对值符号，将原方程化为一般的一元一次方程来求解． 【例 2】适合2a7 2a 1 8 的整数a的值的个数有()． A．5B．4C． 3D． 2 ( “希望杯；邀请赛试题) 思路点拨用分类讨论法解过程繁琐，仔细观察数据特征，借助数轴也许能找到简捷的解题途径． 注：形如 ax b cx d 的绝对值方程可变形为ax b(cx d ) 且cx d0 ， 才是原方程的根，否则必须舍去，故解绝对值时应检验． 【例 3】解方程：x 3x 1 4 ； 思路点拨从内向外，根据绝对值定义性质简化方程． (天津市竞赛题 ) 【例 4】解下列方程： (1) x 3 x 1 x 1 (北京市“迎春杯”竞赛题) (2) x 1 x 5 4 ．(“祖冲之杯”邀请赛试题) 思路点拨解含多个绝对值符号的方程最常用也是最一般的方法是将数轴分段进行讨论，采用前面介绍的“零点分段法”分类讨论；有些特殊的绝对值方程可利用绝对值的几何 意义迅速求解． 【例 5】已知关于 x 的方程x 2 x 3 a ，研究a存在的条件，对这个方程的解进行讨论． 思路点拨方程解的情况取决于 a 的情况， a 与方程中常数2、 3 有依存关系，这种关系决定了方程解的情况，因此，探求这种关系是解本例的关键．运用分类讨它法或借助数轴 是探求这种关系的重要方法与工具，读者可从两个思路去解． 注本例给出了条件，但没有明确的结论，这是一种探索性数学问题，它给我们留有自由思考的余地和充分展示思维的广阔空间，我们应从问题的要求出发，进行分析、收集和挖掘题目提供的各种信息，进行全面研究． 带绝对值符号的运算 在初中数学中，如何去掉绝对值符号？因为这一问题看似简单，所以往往容易被人们忽视。其实它既是初中数学的一个重点，也是初中数学的一个难点，还是容易搞错的问题。那么，如何去掉绝对值符号呢？我认为应从以下几个方面着手： 一、要理解数a的绝对值的定义。在中学数学教科书中，数a的绝对值是这样 定义的，“在数轴上，表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值。”学习这个定义应让理解，数a的绝对值所表示的是一段距离，那么，不论数a本身是正数还是负数，它的绝对值都应该是一个非负数。 二、要弄清楚怎样去求数a的绝对值。从数a的绝对值的定义可知，一个正 数的绝对值肯定是它的本身，一个负数的绝对值必定是它的相反数，零的绝对值就是零。在这里要让学生重点理解的是，当a是一个负数时，怎样去表示a的相反数（可表示为“-a”），以及绝对值符号的双重作用（一是非负的作用，二是括号的作用）。 三、掌握初中数学常见去掉绝对值符号的几种题型。 1、对于形如︱a︱的一类问题 只要根据绝对值的3个性质，判断出a的3种情况，便能快速去掉绝对值符号。 当a>0时，︱a︱=a (性质1：正数的绝对值是它本身)； 当a=0 时︱a︱=0 (性质 2：0的绝对值是0) ； 当 a<0 时；︱a︱=–a (性质3：负数的绝对值是它的相反数) 。 2、对于形如︱a+b︱的一类问题 首先要把a+b看作是一个整体，再判断a+b的3种情况，根据绝对值的3个性质，便能快速去掉绝对值符号进行化简。 当a+b>0时，︱a+b︱=(a+b) =a +b (性质1：正数的绝对值是它本身)； 当a+b=0 时，︱a+b︱=(a+b) =0 (性质 2：0的绝对值是0)； 当 a+b<0 时，︱a+b︱=–(a+b)=–a-b (性质3：负数的绝对值是它的相反数)。 3、对于形如︱a-b︱的一类问题 同样，仍然要把a-b看作一个整体，判断出a-b 的3种情况，根据绝对值的3个性质，去掉绝对值符号进行化简。 但在去括号时最容易出现错误。如何快速去掉绝对值符号，条件非常简单，只要你能判断出a与b的大小即可（不论正负）。因为︱大-小︱=︱小-大︱=大-小，所以当a>b时，︱a-b︱=（a-b）= a-b，︱b-a︱=（a-b）= a-b 。 口诀：无论是大减小，还是小减大，去掉绝对值，都是大减小。 一元一次方程的解法（基础）知识讲解 撰稿：孙景艳审稿：赵炜 【学习目标】 1.熟悉解一元一次方程的一般步骤，理解每步变形的依据； 2.掌握一元一次方程的解法，体会解法中蕴涵的化归思想； 3.进一步熟练掌握在列方程时确定等量关系的方法. 【要点梳理】 要点一、解一元一次方程的一般步骤 变形名称具体做法注意事项 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍 数(1)不要漏乘不含分母的项 (2)分子是一个整体的，去分母后应加上括号 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大 括号(1)不要漏乘括号里的项 (2)不要弄错符号 移项把含有未知数的项都移到方程的一 边，其他项都移到方程的另一边(记住 移项要变号) (1)移项要变号 (2)不要丢项 合并同类 项 把方程化成ax＝b(a≠0)的形式字母及其指数不变 系数化成 1在方程两边都除以未知数的系数a，得 到方程的解 b x a ． 不要把分子、分母写颠倒 要点诠释： （1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化． (2) 去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行. （3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆． 要点二、解特殊的一元一次方程 1.含绝对值的一元一次方程 解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是绝对值的意义． 要点诠释：此类问题一般先把方程化为ax b c +=的形式，再分类讨论： (1)当0 c<时，无解；（2）当0 c=时，原方程化为：0 ax b +=；（3）当0 c>时，原方程可化为：ax b c +=或ax b c +=-. 2.含字母的一元一次方程 此类方程一般先化为一元一次方程的最简形式ax＝b，再分三种情况分类讨论： （1）当a≠0时， b x a =；（2）当a＝0，b＝0时，x为任意有理数；（3）当a＝0，b≠0 时，方程无解． 【典型例题】 类型一、解较简单的一元一次方程1．解下列方程 (1) 3 4 5 m m -=- (2)-5x+6+7x＝1+2x-3+8x 【答案与解析】 解：(1)移项，得 3 4 5 m m -+=-．合并，得 2 4 5 m=-．系数化为1，得m＝-10． (2)移项，得-5x+7x-2x-8x＝1-3-6．合并，得-8x＝-8．系数化为1，得x＝1．【总结升华】方法规律：解较简单的一元一次方程的一般步骤：初一数学 绝对值与一元一次方程培优专项训练(含答案)
含参数的一元一次方程.含绝对值的一元一次方程
如何化简绝对值
初中数学难点去绝对值符号
含绝对值的一元一次方程解 法
七上 去掉绝对值符号的几种题型
完整版七年级培优专题解含绝对值的一元一次方程
1.7绝对值与一元一次方程 (含解析,机构)-2021届九年级数学(苏科版)知识点一轮复习每日一练
如何解含有多个绝对值符号的方程
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