含绝对值符号的一元一次方程习题附答案

2019备战中考数学专题练习（全国通用）-解含绝对值符号的一元一次方程（含答案）一、单选题1.已知关于x的方程mx+2=2（m﹣x）的解满足方程|x﹣|=0，则m的值为（）A. B. 2 C. D. 32.方程|2x-6|=2的解是（）A. 4B. 2C. -2D. 4或23.若|x|+2=8，则x的值是（）A. 6B. ﹣6C. 6或﹣6D. 不确定4.关于x的方程mx+1=2（m﹣x）的解满足|x+2|=0，则m的值为（）A. B. - C. D. -5.方程|2x﹣4|=0的解是（）A. 2B. ﹣2C. ±2D.6.已知|3x|﹣y=0，|x|=1，则y的值等于（）A. 3或﹣3B. 1或﹣1C. -3D. 37.方程|2x﹣1|=2的解是（）A. x=B. x=-C. x=-或x=﹣D. x=﹣8.适合|2a+7|+|2a﹣1|=8的整数a的值的个数有（）A.5B.4C.3D.29.在四个数1，2，3，4中，是方程|x﹣5|=2的解的是（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题10.方程|2x+3|=1的解是 ________11.方程|2x+1|=3的解为________．12.方程|2x﹣3|=4的解为 ________13.当x＞3时，|x﹣3|=8的解是x=________．14.如果|x﹣3|=2，那么x=________．15.已知方程=2-的解也是方程|3x﹣2|=b的解，则b= ________16.如果|a+3|=1，那么a= ________三、计算题17.解方程：|x﹣2|+|x﹣3|=2．18.解方程：|x+1|+|x﹣2|=5．四、解答题19.解方程|x|﹣2=0，可以按下面的步骤进行：解：当x≥0时，得x﹣2=0．解这个方程，得x=2．当x＜0时，得﹣x﹣2=0．解这个方程，得x=﹣2．所以原方程的解是x=2或x=﹣2．仿照上述的解题过程，解方程|x﹣2|﹣1=0．20.先看例子，再解类似的题目．解方程：|x|+1=3．解法一：当x≥0时，原方程化为x+1=3．解方程，得x=2；当x＜0时，原方程化为﹣x+1=3．解方程，得x=﹣2．所以方程|x|+1=3的解是x=2或x=﹣2．解法二：移项，得|x|=3﹣1．合并同类项，得|x|=2．由绝对值的意义知x=±2，所以原方程的解为x=2或x=﹣2．用你学到的方法解方程：2|x|﹣3=5．（用两种方法解）五、综合题21.阅读下面的解题过程：解方程：|x+3|=2．解：当x+3≥0时，原方程可化成为x+3=2解得x=-1，经检验x=-1是方程的解；当x+3＜0，原方程可化为，-（x+3）=2解得x=-5，经检验x=-5是方程的解．所以原方程的解是x=-1，x=-5．解答下面的两个问题：（1）解方程：|3x-2|-4=0；（2）探究：当值a为何值时，方程|x-2|=a，①无解；②只有一个解；③有两个解．22.阅读理解：在解形如3|x﹣2|=|x﹣2|+4这一类含有绝对值的方程时，我们可以根据绝对值的意义分x ＜2和x≥2两种情况讨论：①当x＜2时，原方程可化为﹣3（x﹣2）=﹣（x﹣2）+4，解得：x=0，符合x＜2②当x≥2时，原方程可化为3（x﹣2）=（x﹣2）+4，解得：x=4，符合x≥2∴原方程的解为：x=0，x=4．解题回顾：本题中2为x﹣2的零点，它把数轴上的点所对应的数分成了x＜2和x≥2两部分，所以分x＜2和x≥2两种情况讨论．知识迁移：（1）运用整体思想先求|x﹣3|的值，再去绝对值符号的方法解方程：|x﹣3|+8=3|x﹣3|；知识应用：（2）运用分类讨论先去绝对值符号的方法解类似的方程：|2﹣x|﹣3|x+1|=x﹣9．提示：本题中有两个零点，它们把数轴上的点所对应的数分成了几部分呢？答案解析部分一、单选题1.【答案】B【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】【解答】解：∵|x﹣|=0，∴x=，把x代入方程mx+2=2（m﹣x）得：m+2=2（m﹣），解之得：m=2；故选B．【分析】本题中有2个方程，且是同解方程，一般思路是：先求出不含字母系数的方程的解，再把解代入到含有字母系数的方程中，求字母系数的值．2.【答案】D【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】【解答】∵|2x-6|=2，∴2x-6=2,或2x-6=-2, 解得x=4或x=2. 故选D.【分析】由|2x-6|=2得出2x-6=2,或2x-6=-2,分别解方程即可得到答案.3.【答案】C【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】【解答】解：移项、合并同类项得：|x|=6，则x=6或﹣6．故选C．【分析】首先移项、合并同类项得|x|的值，然后根据绝对值的性质求解．4.【答案】D【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】【解答】解：由方程mx+1=2（m﹣x）的解满足|x+2|=0，∵|x+2|=0，根据绝对值的几何意义可得：x+2=0，∴x=﹣2，把x=﹣2代入mx+1=2（m﹣x）得：﹣2m+1=2（m+2），移项化系数为1得：m=﹣．故选D．【分析】根据x的方程mx+1=2（m﹣x）的解满足|x+2|=0，先解出x的值，再代入求m的值即可．5.【答案】A【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】【解答】解：由|2x﹣4|=0，得2x﹣4=0．解得x=2，故选：A．【分析】根据零的绝对值等于零，可化简绝对值，根据解方程，可得答案．6.【答案】D【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】【解答】解：∵|x|=1，∴x=±1，又|3x|﹣y=0，即3﹣y=0，∴y=3故选D【分析】由|x|=1可得x=±1，所以|3x|﹣y=0，就可以变成方程3﹣y=0，就可以求得y的值．7.【答案】C【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】【解答】解：根据题意，2x﹣1=2，或2x﹣1=﹣2，解这两个方程得：x=-或x=﹣故应选C．【分析】根据绝对值的性质，由方程|2x﹣1|=2可得2x﹣1=2，或2x﹣1=﹣2，解这两个方程即可求得原方程的解；8.【答案】B【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】【解答】解：由此可得2a为﹣6，﹣4，﹣2，0的时候a取得整数，共四个值．故选B．【分析】此方程可理解为2a到﹣7和1的距离的和，由此可得出2a的值，继而可得出答案．9.【答案】C【考点】解含绝对值符号的一元一次方程【解析】【解答】解：当x﹣5≥0，则原式方程可变为：x﹣5=2，解得：x=7，当x﹣5＜0，则原式方程可变为：x﹣5=﹣2，解得：x=3，故选：C．【分析】直接分类讨论：当x﹣5≥0，以及当x﹣5＜0，分析得出答案．二、填空题10.【答案】x=﹣1或x=﹣2【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】【解答】解：当x＜﹣时，原方程化简为﹣2x﹣3=1，解得x=﹣2，当x≥﹣时，原方程化简为2x+3=1，解得x=﹣1，综上所述：方程|2x+3|=1的解是x=﹣1或x=﹣2，故答案为：x=﹣1或x=﹣2．【分析】根据绝对值的性质，可化简方程，根据解方程，可得答案．11.【答案】x=﹣2或x=1【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】【解答】解：当x＜﹣时，原方程等价于﹣2x﹣1=3，解得x=﹣2；当x≥﹣时，原方程等价于2x+1=3，解得x=1；综上所述：x=﹣2或x=1，故答案为：x=﹣2或x=1．【分析】分类讨论；x＜﹣，x≥﹣，根据负数的绝对值是它的相反数，正数的绝对值是它本身，可化简方程，根据解方程，可得答案．12.【答案】x=，或x=﹣【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】【解答】解：根据题意，2x﹣3=4，或2x﹣3=﹣4，解这两个方程得：x=，或x=﹣，【分析】根据绝对值的性质，由方程|2x﹣3|=4可得2x﹣3=4，或2x﹣3=﹣4，解这两个方程即可求得原方程的解．13.【答案】11【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】【解答】解：∵x＞3 ∴去绝对值得：x﹣3=8解得：x=11．故填11．【分析】先根据x的范围去绝对值，然后解方程．14.【答案】5或1【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】【解答】解：|x﹣3|=2，转化为x﹣3=2或x﹣3=﹣2，解得：x=5或1．故答案为：5或1．【分析】利用绝对值的意义将已知等式化为两个一元一次方程，求出方程的解即可得到x 的值．15.【答案】【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】【解答】解：2（x﹣2）=20﹣5（x+3），2x﹣4=20﹣5x﹣15，7x=9，解得：x=．把x=代入方程|3x﹣2|=b得：|3×﹣2|=b，解得：b=．故答案为：．【分析】先解方程=2-，得x=，因为这个解也是方程|3x﹣2|=b的解，根据方程的解的定义，把x代入方程|3x﹣2|=b中求出b的值．16.【答案】﹣2或﹣4【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】【解答】解：∵|a+3|=1，∴a+3=1或a+3=﹣1，∴a=﹣2或﹣4．故答案为：﹣2或﹣4．【分析】先根据绝对值的意义可知a+3=1或a+3=﹣1，然后解两个一次方程即可．三、计算题17.【答案】解：①当x＜2时，原方程等价于2﹣x+3﹣x=2，解得；②当2≤x≤3时，原方程等价于x﹣2+3﹣x=2无解；③当x≥3时，原方程等价于x﹣2+x﹣3=2，解得，综上所述：方程的解是x= ，x=【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】【分析】这是含有绝对值的一元一次方程，分三种情况讨论：（1）当x＜2时，原方程可化为;2﹣x+3﹣x=2,解这个一元一次方程即可。

6.2.2.2.1解含绝对值的一元一次方程一．选择题（共5小题）1．对于等式：|x﹣1|+2＝3,下列说法正确的是（）A．不是方程B．是方程,其解只有2C．是方程,其解只有0D．是方程,其解有0和22．x＝3是下列方程的解的有（）①﹣2x﹣6＝0；②|x+2|＝5；③x﹣3＝0；④x＝x﹣2．A．1个B．2个C．3个D．4个3．方程|2x﹣6|＝0的解是（）A．x＝3B．x＝﹣3C．x＝±3D．4．如果|2x+3|＝|1﹣x|,那么x的值为（）A．﹣B．﹣或1C．﹣或﹣2D．﹣或﹣4 5．若关于x的方程x+2＝2（m﹣x）的解满足方程|x﹣|＝1,则m的值是（）A．或B．C．D．﹣或二．填空题（共3小题）6．已知关于x的方程mx+3＝2的解满足|x﹣2|＝0,则m的值是．7．若关于x的方程|x+1|＝2,则此方程的解为．8．已知方程2x﹣3＝+x的解满足|x|﹣2＝0,则m＝．三．解答题（共8小题）9．阅读下列问题：例．解方程|2x|＝5．解：当2x≥0,即x≥0时,2x＝5,∴x＝；当2x＜0,即x＜0时,﹣2x＝5,∴x＝﹣．∴方程|2x|＝5的解为x＝或x＝﹣．请你参照例题的解法,求方程||＝1的解．10．|2x+1|＝5．11．|x﹣2|＝1．12．解方程：（1）3+|2x﹣1|＝x（2）3|x﹣1|﹣7＝2（3）|2x+1|＝|x﹣3|（4）10﹣5x＝7（1﹣x）（5）﹣（x﹣2）＝2+x（6）2（x﹣5）＝3x+1．13．解方程：2|x﹣1|＝4．14．解方程：|x﹣1|＝5．15．解方程：|x﹣|3x+1||＝4．16．|x﹣1|+|x﹣3|＝36.2.2.2.1解含绝对值的一元一次方程参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．对于等式：|x﹣1|+2＝3,下列说法正确的是（）A．不是方程B．是方程,其解只有2C．是方程,其解只有0D．是方程,其解有0和2【解答】解：|x﹣1|+2＝3,∴|x﹣1|＝1,∴x＝0或x＝2,故选：D．2．x＝3是下列方程的解的有（）①﹣2x﹣6＝0；②|x+2|＝5；③x﹣3＝0；④x＝x﹣2．A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①∵﹣2x﹣6＝0,∴﹣2x＝6,∴x＝﹣3；②∵|x+2|＝5,∴x+2＝±5,∴x＝3或﹣7；③∵x﹣3＝0,∴x＝3；④∵,∴,∴x＝3,∴x＝3是所给方程的解的有3个：②、③、④,故选：C．3．方程|2x﹣6|＝0的解是（）A．x＝3B．x＝﹣3C．x＝±3D．【解答】解：∵|2x﹣6|＝0,∴2x﹣6＝0,解得：x＝3．故选：A．4．如果|2x+3|＝|1﹣x|,那么x的值为（）A．﹣B．﹣或1C．﹣或﹣2D．﹣或﹣4【解答】解：∵|2x+3|＝|1﹣x|,∴2x+3＝1﹣x或2x+3＝﹣（1﹣x）,∴x＝﹣或x＝﹣4．故选：D．5．若关于x的方程x+2＝2（m﹣x）的解满足方程|x﹣|＝1,则m的值是（）A．或B．C．D．﹣或【解答】解：因为方程|x﹣|＝1,所以x﹣＝±1,解得x＝或x＝﹣,因为关于x的方程x+2＝2（m﹣x）的解满足方程|x﹣|＝1,所以解方程x+2＝2（m﹣x）得,m＝,当x＝时,m＝,当x＝﹣时,m＝．所以m的值为：或．故选：A．二．填空题（共3小题）6．已知关于x的方程mx+3＝2的解满足|x﹣2|＝0,则m的值是．【解答】解：∵|x﹣2|＝0,∴x﹣2＝0,∴x＝2,把x＝2代入mx+3＝2得2m+3＝2,∴m＝﹣．故答案为：﹣．7．若关于x的方程|x+1|＝2,则此方程的解为1或﹣3．【解答】解：由题意可知：|x+1|＝2,∴x+1＝±2,∴x＝1或﹣3,故答案为：1或﹣3．8．已知方程2x﹣3＝+x的解满足|x|﹣2＝0,则m＝﹣3或﹣15．【解答】解：∵|x|﹣2＝0,∴x＝±2,当x＝2时,方程为4﹣3＝+2,解得m＝﹣3；当x＝﹣2时,方程为﹣4﹣3＝﹣2,解得m＝﹣15；故答案为：﹣3或﹣15．三．解答题（共8小题）9．阅读下列问题：例．解方程|2x|＝5．解：当2x≥0,即x≥0时,2x＝5,∴x＝；当2x＜0,即x＜0时,﹣2x＝5,∴x＝﹣．∴方程|2x|＝5的解为x＝或x＝﹣．请你参照例题的解法,求方程||＝1的解．【解答】解：当2x﹣1≥0时,即x≥,＝1,∴x＝2；当2x﹣1＜0时,即x＜,＝﹣1,∴x＝﹣1；∴方程||＝1的解为x＝﹣1或x＝2．10．|2x+1|＝5．【解答】解：根据题意,原方程可化为：①2x+1＝5；②2x+1＝﹣5,解得x＝2；x＝﹣3．11．|x﹣2|＝1．【解答】解：当x﹣2≥0,即x≥2时,方程可化为：x﹣2＝1,解得x＝3；当x﹣2＜0,即x＜2时,方程可化为：x﹣2＝﹣1,解得x＝1,∴|x﹣2|＝1的解是x＝3或x＝1．12．解方程：（1）3+|2x﹣1|＝x（2）3|x﹣1|﹣7＝2（3）|2x+1|＝|x﹣3|（4）10﹣5x＝7（1﹣x）（5）﹣（x﹣2）＝2+x（6）2（x﹣5）＝3x+1．【解答】解：（1）当x＜时,原方程等价于3+1﹣2x＝x,解得x＝（不符合题意要舍去）,当x≥时,原方程等价于3+2x﹣1＝x,解得x＝﹣2（不符合题意要舍去）综上所述,原方程无解．（2）当x＜1时,原方程等价于﹣3x+3﹣7＝2,解得x＝﹣2,当x＞1时,原方程等价于,3x﹣3﹣7＝2,解得x＝4,综上所述：x＝﹣2或x＝4．（3）当x＜﹣时,原方程等价于﹣1﹣2x＝3﹣x,解得x＝﹣4；当﹣≤x＜3时,原方程等价于1+2x＝3﹣x,解得x＝；当x≥3时,原方程等价于1+2x＝x﹣3,解得x＝﹣4（不符合题意要舍去）,综上所述：x＝﹣4或x＝；（4）去括号,得10﹣5x＝7﹣7x,移项,得﹣5x+7x＝7﹣10,合并同类项,得2x＝﹣3系数化为1,得x＝﹣；（5）去括号,得﹣x+2＝2+x,移项,得﹣x﹣x＝2﹣2,合并同类项,得﹣2x＝0系数化为1,得x＝0；（6）去括号,得2x﹣10＝3x+1,移项,得2x﹣3x＝1+10合并同类项,得﹣x＝11系数化为1,得x＝﹣11．13．解方程：2|x﹣1|＝4．【解答】解：由原方程,得|x﹣1|＝2；①当x≥1时,x﹣1＝2,解得,x＝3；②当x＜1时,1﹣x＝2,解得,x＝﹣1．14．解方程：|x﹣1|＝5．【解答】解：∵分为两种情况：①x﹣1＝5,解得：x＝6；②x﹣1＝﹣5,解得：x＝﹣4,∴原方程的解为x＝6或x＝﹣4．15．解方程：|x﹣|3x+1||＝4．【解答】解：原方程式化为x﹣|3x+1|＝4或x﹣|3x+1|＝﹣4（1）当3x+1＞0时,即x＞﹣,由x﹣|3x+1|＝4得x﹣3x﹣1＝4∴x＝﹣与x＞﹣不相符,故舍去由x﹣|3x+1|＝﹣4得x﹣3x﹣1＝﹣4∴x＝（2）当3x+1＜0时,即x＜﹣,由x﹣|3x+1|＝4得x+3x+1＝4∴x＝与x＜﹣不相符,故舍去由x﹣|3x+1|＝﹣4得x+3x+1＝﹣4∴x＝﹣故原方程的解是x＝﹣或x＝16．|x﹣1|+|x﹣3|＝3【解答】解：当x＜1时,原方程就可化简为：1﹣x+3﹣x＝3,解得：x＝0.5；第二种：当1＜x＜3时,原方程就可化简为：x﹣1﹣x+3＝3,不成立；第三种：当x＞3时,原方程就可化简为：x﹣1+x﹣3＝3,解得：x＝3.5；故x的解为0.5或3.5．。

七年级上册数学《第三章一元一次方程》专题一元一次方程的同解、错解、参数等问题【例题1】（2022•江阴市模拟）已知x＝1是方程x+2a＝﹣1的解，那么a的值是（）A．﹣1B．0C．1D．2【分析】根据方程解的定义，将方程的解代入方程可得关于字母系数a的一元一次方程，从而可求出a 的值．【解答】解：把x＝1代入方程，得：1+2a＝﹣1，解得：a＝﹣1．故选：A．【点评】已知条件中涉及到方程的解，把方程的解代入原方程，转化为关于字母系数的方程进行求解．可把它叫做“有解就代入”．【变式1-1】（2022秋•秀山县期末）已知x＝1是关于x的方程6﹣（m﹣x）＝5x的解，则代数式m2﹣6m+2＝．【分析】根据一元一次方程的解的定义可知m的值，然后代入求值即可．【解答】解：把x＝1代入6﹣（m﹣x）＝5x，得6﹣（m﹣1）＝5×1．解得m＝2．所以m2﹣6m+2＝22﹣6×2+2＝﹣6．故答案为：﹣6．【点评】本题主要考查了一元一次方程的定义．理解方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．【变式1-2】（2022秋•张家港市期中）已知x＝1是关于x的方程3x3﹣2x2+x﹣4+a＝0的解，则3a3﹣2a2+a ﹣4的值是（）A．1B．﹣1C．16D．14【分析】把x＝1代入关于x的方程3x3﹣2x2+x﹣4+a＝0可以求得a的值，然后把x＝2代入所求的代数式进行求值．【解答】解：∵x＝1是关于x的方程3x3﹣2x2+x﹣4+a＝0的解，∴3﹣2+1﹣4+a＝0，解得，a＝2，∴3a3﹣2a2+a﹣4＝3×23﹣2×22+2﹣4＝14．故选：D．【点评】本题主要考查了方程解的定义，解决本题的关键在于根据方程的解的定义将x＝1代入，从而转化为关于a的一元一次方程．【变式1-3】若关于x的方程x+2＝2（m﹣x）的解满足方程|x−12|＝1，则m的值是（）A．14或134B．14C．54D．−12或54【分析】解含绝对值符号的一元一次方程要根据绝对值的性质和绝对值符号内代数式的值分情况讨论，即去掉绝对值符号得到一般形式的一元一次方程，再求解．【解答】解：因为方程|x−12|＝1，所以x−12=±1，解得x=32或x=−12，因为关于x的方程x+2＝2（m﹣x）的解满足方程|x−12|＝1，所以解方程x+2＝2（m﹣x）得，m=3r22，当x=32时，m=134，当x=−12时，m=14．所以m的值为：134或14．故选：A．【点评】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，解决本题的关键是解含绝对值符号的一元一次方程要根据绝对值的性质和绝对值符号内代数式的值分情况讨论．【变式1-4】（2022秋•奎屯市校级月考）已知x＝4是关于x的一元一次方程﹣3m﹣x=2+3m的解，则m2020+1的值是．【分析】根据一元一元一次方程的解的定义求得m，再解决此题．【解答】解：由题意得，﹣3m﹣4=42+3．∴﹣3m﹣4＝2+3m．∴﹣6m＝6．∴m＝﹣1．∴m2020+1＝（﹣1）2020+1＝1+1＝2．故答案为：2．【点评】本题主要考查一元一次方程的解、有理数的乘方，熟练掌握一元一次方程的解的定义、有理数的乘方是解决本题的关键．【变式1-5】（2022秋•烟台期末）已知x＝﹣1是关于x的方程2a+2＝﹣1﹣bx的解．求代数式5（2a﹣b）﹣2a+b+2的值．【分析】根据方程解的定义，把x＝﹣1代入关于x的方程2a+2＝﹣1﹣bx，即可得出代数式5（2a﹣b）﹣2a+b+2的值．【解答】解：当x＝﹣1时，2a+2＝﹣1+b，即2a﹣b＝﹣3，∴5（2a﹣b）﹣2a+b+2＝5（2a﹣b）﹣（2a﹣b）+2＝﹣15+3+2＝﹣10．【点评】本题考查了一元一次方程的解，以及整式的加减，把2a﹣b作为整体，是数学中常用的整体思想．（2023春•长春期中）已知关于x的方程4x+2m＝3x+1的解是x＝0，试求(−2p2021−(−32)2020【变式1-6】的值．【分析】将x＝0代入原方程，可求出m的值，再将m的值代入原式，即可求出结论．【解答】解：将x＝0代入原方程得：2m＝1，解得：m=12，∴原式＝（﹣2×12）2021﹣（12−32）2020，＝（﹣1）2021﹣（﹣1）2020＝﹣1﹣1＝﹣2．【点评】本题考查了一元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．【例题2】（2023秋•东台市期中）如果关于x的方程K43=8−r22的解与方程4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1的解相同，求a的值．【分析】先求出第一个方程的解，然后代入第二个方程得到关于a的一元一次方程，再根据一元一次方程的解法进行求解即可．【解答】解：解方程K43=8−r22得：x＝10，由题意：4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1的解为x＝10，代入得：4×10﹣（3a+1）＝6×10+2a﹣1，解得：a＝﹣4．【点评】本题考查了同解方程，同解方程就是解相同的方程，本题先求出第一个方程的解是解题的关键．【变式2-1】（2022秋•长沙期末）若关于x的方程r32−=2的解与方程x+1＝m的解相同，求m的值．【分析】先解方程r32−=2可得x＝4﹣m，再根据方程同解的含义可得4﹣m+1＝m，再解关于m 的方程即可．【解答】解：r32−=2，去分母可得：m+3x﹣2x＝4，即x＝4﹣m，∵关于x的方程r32−=2的解与方程x+1＝m的解相同，∴4﹣m+1＝m，解得：=52．【点评】本题考查的是同解方程的含义，选择合适的方程进行变形是解本题的关键．【变式2-2】（2022秋•仙游县校级期末）如果方程2K35=23x﹣2与3a−14=3（x+a）﹣2a的解相同，求（a ﹣3）2的值．【分析】通过解关于x的方程2K35=23x﹣2求得x的值，然后将x的值代入3a−14=3（x+a）﹣2a列出关于a的新方程，通过解该新方程即可求得a的值，再代入计算即可求解．【解答】解：由关于x的方程2K35=23x﹣2，解得x＝5.25∵关于x的方程2K35=23x﹣2与3a−14=3（x+a）﹣2a的解相同，∴3a−14=3（5.25+a）﹣2a，解得a＝8．∴（a﹣3）2＝（8﹣3）2＝25．【点评】本题考查了同解方程的定义．理解方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．【变式2-3】（2023春•安岳县校级期中）已知关于x的一元一次方程2r13−5K16=1．（1）求这个方程的解；（2）若这个方程的解与关于x的方程3（x+m）＝﹣（x﹣1）的解相同，求m的值．【分析】（1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可；（2）根据题意可知x＝﹣3是方程3（x+m）＝﹣（x﹣1）的解，把x＝﹣3代入方程3（x+m）＝﹣（x ﹣1）中得到关于m的方程，解方程即可．【解答】解：（1）2r13−5K16=1去分母得：2（2x+1）﹣（5x﹣1）＝6，去括号得：4x+2﹣5x+1＝6，移项得：4x﹣5x＝6﹣1﹣2，合并同类项得：﹣x＝3，系数化为1得：x＝﹣3；（2）由题意得x＝﹣3是方程3（x+m）＝﹣（x﹣1）的解，∴3（﹣3+m）＝﹣（﹣3﹣1），∴3m﹣9＝4，解得=133．【点评】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解，熟知解一元一次方程的步骤是解题的关键．【变式2-4】如果方程K43−8=−r22的解与方程4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1的解相同，求式子a﹣a2的值．【分析】先求得方程方程K43−8=−r22的解，然后将所求的x的值代入方程4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1求得a的值，最后在求代数式的值即可．【解答】解：K43−8=−r22去分母得：2（x﹣4）﹣48＝﹣3（x+2）去括号得：2x﹣8﹣48＝﹣3x﹣6，移项得：2x+3x＝﹣6+8+48，合并同类项得：5x＝50，系数化为1得：x＝10．将x＝10代入方程4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1得：40﹣（3a+1）＝60+2a﹣1，去括号得：40﹣3a﹣1＝60+2a﹣1，移项得：﹣3a﹣2a＝60﹣1﹣40+1，合并同类项得：﹣5a＝20，系数化为1得：a＝﹣4．a﹣a2＝﹣4﹣（﹣4）2＝﹣4﹣16＝﹣20．【点评】本题主要考查的是同解方程的定义、解一元一次方程、求代数式的值，求得a的值是解题的关键．【变式2-5】（2022秋•巴南区期末）已知方程3K52=5K83的解满足等式10−3(Kp2=3K4−25（3x+m），求m的值．【分析】根据方程的解相同，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．【解答】解：解方程3K52=5K83，3（3x﹣5）＝2（5x﹣8），9x﹣15＝10x﹣16，9x﹣10x＝﹣16+15，x＝1，∵方程3K52=5K83的解满足等式10−3(Kp2=3K4−25（3x+m），∴10−3(1−p2=3−4−25×(3+p，2m﹣30（1﹣m）﹣5（3﹣m）﹣8（3+m），2m﹣30+30m＝15﹣5m﹣24﹣8m，2m+30m+8m+5m＝30+15﹣24，45m＝21，解得m=715．【点评】本题考查了同解方程，利用同解方程得出关于m的方程是解题关键．【变式2-6】（2022秋•利州区校级期末）已知方程4x+2m＝3x+1和方程3x+2m＝6x+1的解相同．（1）求m的值；（2）求代数式（﹣2m）2022−(−32)2021的值．【分析】（1）分别解出两个方程的解，根据解相同列出方程，解方程即可；（2）代入求值即可．【解答】解：（1）由4x+2m＝3x+1解得：x＝1﹣2m，由3x+2m＝6x+1解得：x=2K13，由题知：1﹣2m=2K13，解得：m=12；（2）当m=12时，（﹣2m）2022﹣（m−32）2021＝（﹣2×12）2022﹣（12−32）2021＝1+1＝2．【点评】本题考查了同解方程，解一元一次方程，列出关于m的方程是解题的关键．【例题3】（202秋•沂源县期末）方程2﹣3（x+1）＝0的解与关于x的方程r2−3k﹣2＝2x的解互为相反数，求k的值【分析】直接解方程得出x=−13，进而得出关于x的方程r2−3k﹣2＝2x的解，求出答案即可．【解答】解：∵2﹣3（x+1）＝0，∴解得：x=−13，∵方程2﹣3（x+1）＝0的解与关于x的方程r2−3k﹣2＝2x的解互为相反数，∴关于x的方程r2−3k﹣2＝2x的解x=13，∴r132−3k﹣2=23，解得：k＝﹣1．【点评】此题主要考查了一元一次方程的解，正确得出x的值是解题关键．【变式3-1】（2022秋•高港区校级月考）已知关于x的方程①：x+1﹣2m＝﹣m的解比方程②：32(−p−2=54的解大2．求m的值以及方程②的解．【分析】用含m的式子分别表示出方程①和方程②的解，根据方程①的解比方程②的解大2列出关于m的方程，求解可得m的值，将m的值代入方程②中即可解得x的值．【解答】解：解x+1﹣2m＝﹣m得：x＝m﹣1，解32(−p−2=54得：=611−811，∵方程①的解比方程②的解大2，∴−1−(611−811)=2，解得：m＝5，将m＝5代入方程②中得：32(5−p−2=54，解得：x＝2．【点评】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键．【变式3-2】（2022秋•石景山区校级期末）已知关于x的方程中，12x﹣a＝0的解比a+8x＝2+4x的解大1，求a的值．【分析】分别解出关于x的方程12x﹣a＝0的解和方程a+8x＝2+4x的解，然后根据已知条件“关于x的方程中，12x﹣a＝0的解比a+8x＝2+4x的解大1”列出关于a的一元一次方程，解方程即可．【解答】解：由方程12x﹣a＝0，得x=12，由方程a+8x＝2+4x，得x=2−4，又∵关于x的方程中，12x﹣a＝0的解比a+8x＝2+4x的解大1，∴12−2−4=1，去分母，得a﹣3（2﹣a）＝12，去括号，得a﹣6+3a＝12，移项，得a+3a＝6+12，合并同类项，得4a＝18，化系数为1，得a＝4.5．【点评】本题考查解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1．注意移项要变号．【变式3-3】（2022秋•太仓市期末）已知关于x的一元一次方程2x+10﹣3m＝0的解与关于x的一元一次方程r12+2(r1)3=1的解互为相反数，求代数式92m﹣4n﹣1的值．【分析】分别解方程，进而用m，n分别表示出x，再结合相反数的定义得出等式，将原式变形求出答案．【解答】解：2x+10﹣3m＝0，则2x＝3m﹣10，解得：x=3K102，r12+2(r1)3=1，则3（x+1）+4（n+1）＝6，故3x+3+4n+4＝6，3x＝﹣1﹣4n，解得：x=−1+43，∵关于x的一元一次方程2x+10﹣3m＝0的解与关于x的一元一次方程r12+2(r1)3=1的解互为相反数，∴3K102−1+43=0，去分母得：3（3m﹣10）﹣2（1+4n）＝0，则9m﹣30﹣2﹣8n＝0，故9m﹣8n＝32，则92m﹣4n﹣1=12（9m﹣8n）﹣1=12×32﹣1＝16﹣1＝15．【点评】此题主要考查了一元一次方程的解，正确解方程是解题关键．【变式3-4】（2022秋•亭湖区校级月考）已知关于x的方程3（x﹣2）＝x﹣a的解比r2=2K3的解小52，求2a﹣3的值．【分析】先分别求出两个方程的解，根据题意得出关于a的一元一次方程，再求出方程的解，最后求出答案即可．【解答】解：解方程3（x﹣2）＝x﹣a得：x=6−2，解方程r2=2K3得：x＝5a，∵关于x的方程3（x﹣2）＝x﹣a的解比r2=2K3的解小52，∴6−2=5a−52，解得：a＝1，∴2a﹣3＝2×1﹣3＝﹣1．【点评】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出关于a的一元一次方程是解此题的关键．【变式3-5】（2022秋•常州期中）已知关于x的方程r12=3x﹣2与K2=x+3的解互为倒数，求m的值．【分析】先求出两方程的解，再由倒数的定义即可得出结论．【解答】解：解方程r12=3x﹣2得，x＝1，解方程K2=x+3得，x=−53，∵关于x的方程r12=3x﹣2与K2=x+3的解互为倒数，−53×1＝1，解得m=−35．【点评】本题考查的是一元一次方程的解，熟知使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解是解答此题的关键．【变式3-6】（2022秋•武城县期末）已知（|a|﹣1）x2﹣（a+1）x+8＝0是关于x的一元一次方程．（1）求a的值，并解出上述一元一次方程；（2）若上述方程的解是方程5x﹣2k＝2x解的2倍，求k的值．【分析】（1）根据一元一次方程的定义和解一元一次方程的一般步骤准确计算即可；（2）根据解析（1）得出的方程解，得出方程5x﹣2k＝2x解为x＝2，然后代入求出k的值即可．【解答】解：（1）由题意得：|a|﹣1＝0，﹣（a+1）≠0，∴a＝±1且a≠﹣1，∴a＝1，将a＝1代入方程得：﹣2x+8＝0，解得：x＝4．答：a的值是1，方程的解是x＝4．（2）由题意得：x＝4÷2＝2，将x＝2代入方程得：5×2﹣2k﹣2×2，解得：k＝3．答：k的值是3．【点评】本题主要考查了解一元一次方程，方程解的定义，一元一次方程的定义，解题的关键熟练掌握解一元一次方程的方法．【例题4】（2023•平桥区校级开学）王涵同学在解关于x的一元一次方程7a+x＝18时，误将+x看作﹣x，得方程的解为x＝﹣4，那么原方程的解为（）A．x＝4B．x＝2C．x＝0D．x＝﹣2【分析】把x＝﹣4代入方程7a﹣x＝18，得出方程7a+4＝18，求出a的值，再代入方程，求出方程的解即可．【解答】解：把x＝﹣4代入方程7a﹣x＝18得：7a+4＝18，解得：a＝2，即原方程为14+x＝18，解得：x＝4．故选：A．【点评】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解的应用，能得出关于a的一元一次方程是解此题的关键．【变式4-1】（2022秋•椒江区校级期中）小明解方程2K15+1=r2，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1没有乘10，由此求得的解为x＝4，试求a的值，并求出方程的正确解．【分析】把x＝4代入小明粗心得出的方程，求出a的值，代入方程求出解即可．【解答】解：由题意可知：（在去分母时，方程左边的1没有乘10，由此求得的解为x＝4），2（2x﹣1）+1＝5（x+a），把x＝4代入得：a＝﹣1，将a＝﹣1代入原方程得：2K15+1=K12，去分母得：4x﹣2+10＝5x﹣5，移项合并得：﹣x＝﹣13，解得x＝13．【点评】此题考查了解一元一次方程，解方程去分母时注意各项都乘以各分母的最小公倍数．【变式4-2】（2022秋•前郭县期末）某同学在解关于y的方程3K4−5K76=1去分母时，忘记将方程右边的1乘以12，从而求得方程的解为y＝10．（1）求a的值；（2）求方程正确的解．【分析】（1）根据题意得3（3y﹣a）﹣2（5y﹣7a）＝1，将y＝10代入方程即可求a的值；（2）当a＝1代入原方程再求解即可．【解答】解：（1）该同学去分母时方程右边的1忘记乘12，则原方程变为3（3y﹣a）﹣2（5y﹣7a）＝1，∵方程的解为y＝10，代入得3（30﹣a）﹣2（50﹣7a）＝1．解得a＝1．（2）将a＝1代入方程3K4−5K76=1，得3K14−5K76=1，解得y＝﹣1，即原方程的解为y＝﹣1．【点评】本题考查一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解与一元一次方程的关系是解题的关键．【变式4-3】（2023•秦皇岛一模）米老鼠在解方程2K13=r2−1的过程中，去分母时方程右边的﹣1忘记乘6，因而求得的解为x＝2．（1）请你帮助米老鼠求出a的值；（2）正确地解这个方程．【分析】（1）把x＝2代入方程2（2x﹣1）＝3（x+a）﹣1得出2×（2×2﹣1）＝3（2+a）﹣1，再求出方程的解即可；（2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可．【解答】解：（1）把x＝2代入方程2（2x﹣1）＝3（x+a）﹣1得：2×（2×2﹣1）＝3（2+a）﹣1，解得：a=13；（2）方程为2K13=r132−1，2（2x﹣1）＝3（x+13）﹣6，4x﹣2＝3x+1﹣6，4x﹣3x＝1﹣6+2，x＝﹣3．【点评】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，注意：使方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解．【变式4-4】（2022秋•道里区校级月考）小明同学在解方程2K13=r3−2，去分母时，方程右边的﹣2没有乘3，因而求得方程的解为x＝3．试求a的值，并正确地解出方程．【分析】先根据题意，得x＝3是方程2x﹣1＝x+a﹣2的解，然后根据方程解的定义将x＝2代入这个方程，从而求出a的值；再把所求得的a的值代入原方程，最后解一元一次方程即可．【解答】解：依题意，x＝3是方程2x﹣1＝x+a﹣2的解，∴2×3﹣1＝3+a﹣2，∴a＝4．∴原方程为2K13=r43−2，解方程，得2x﹣1＝x+4﹣6，解得x＝﹣1．故a＝4，原方程的正确的解是x＝﹣1．【点评】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程的知识，解题的关键是掌握相关的定义和解一元一次方程的一般步骤．【变式4-5】小王在解关于x的方程3a﹣2x＝15时，误将﹣2x看作2x，得方程的解x＝3，（1）求a的值；（2）求此方程正确的解；（3）若当y＝a时，代数式my3+ny+1的值为5，求当y＝﹣a时，代数式my3+ny+1的值．【分析】（1）把x＝3代入方程即可得到关于a的方程，求得a的值；（2）把a的值代入方程，然后解方程求解；（3）把y＝a代入my3+ny+1得到m和n的式子，然后把y＝﹣a代入my3+ny+1，利用前边的式子即可代入求解．【解答】解：（1）把x＝3代入3a+2x＝15得3a+6＝15，解得：a＝3；（2）把a＝3代入方程得：9﹣2x＝15，解得：x＝﹣3；（3）把y＝a代入my3+ny+1得27m+3n+1＝5，则27m+3n＝4，当y＝﹣a时，my3+ny+1＝﹣27m﹣3n+1＝﹣（27m+3n）+1＝﹣4+1＝﹣3．【点评】本题考查了方程的解的定义，以及代数式的求值，正确理解方程的解的定义，方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值，是关键．【变式4-6】（2022秋•大余县期末）聪聪在对方程r33−B−16=5−2①去分母时，错误地得到了方程：2（x+3）﹣mx﹣1＝3（5﹣x）②，因而求得的解是=52．（1）求m的值；（2）求原方程的解．【分析】（1）将x=52代入方程②，整理即可求出m的值，（2）将m的值代入方程①即可求出正确的解．【解答】（1）把x=52代入2（x+3）﹣mx﹣1＝3（5﹣x）中，得：2×（52+3）−52m﹣1＝3×（5−52），解得：m＝1．（2）当m＝1时原方程为r33−K16=5−2，2（x+3）﹣（x﹣1）＝3（5﹣x），4x＝8，x＝2．【点评】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．【例题5】（2022秋•兴隆县期末）方程mx+2x﹣12＝0是关于x的一元一次方程，若此方程的解为正整数，则正整数m的值有几个？（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】根据方程的解是正整数，可得（m+2）是12的约数，根据12的约数，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．【解答】解：由mx+2x﹣12＝0，得=12r2，∵方程mx+2x﹣12＝0是关于x的一元一次方程，此方程的解为正整数，m是正整数，∴m+2＝3或4或6或12，解得m＝1或2或4或10，∴正整数m的值有4个．故选：C．【点评】本题考查了一元一次方程的解，正确理解m+2＝3或4或6或12是关键．【变式5-1】已知关于x的方程kx＝5﹣x，有正整数解，则整数k的值为．【分析】根据方程的解是正整数，可得5的约数．【解答】解：由kx＝5﹣x，得x=5r1．由关于x的方程kx＝5﹣x，有正整数解，得5是（k+1）的倍数，得k+1＝1或k+1＝5．解得k＝0或k＝4，故答案为：0或4．【点评】本题考查了一元一次方程的解，利用方程的解是正整数得出关于k的方程是解题关键．【变式5-2】已知关于x的一元一次方程mx﹣1＝2（x+32）的解是正整数，则整数m的值为．【分析】根据方程的解是正整数，可得4的约数，根据4的约数，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．【解答】解：由mx﹣1＝2（x+32），得x=4K2，因为关于x的方程mx﹣1＝2（x+32）的解是正整数，得m﹣2＝1，m﹣2＝2，或m﹣2＝4．解得m＝3，m＝4，或m＝6．故答案为：3或4或6．【点评】本题考查了一元一次方程的解，利用方程的解是正整数得出关于m的方程是解题关键．【变式5-3】（2022秋•九龙坡区校级期末）若关于x的方程−2−B6=r13的解是整数解，m是整数，则所有m的值加起来为（）A．﹣5B．﹣16C．﹣24D．18【分析】根据解一元一次方程的一般步骤表示出x的代数式，分析解答即可．【解答】解：解方程−2−B6=r13，得：=44+，根据题意可知=44+为整数，m是整数，当m的值为0，﹣2，﹣3，﹣5，﹣6，﹣8时，44+为整数，∴0+（﹣2）+（﹣3）+（﹣5）+（﹣6）+（﹣8）＝﹣24，故选：C．【点评】本题考查了根据一元一次方程解的情况求参数，熟练掌握解一元一次方程的一半步骤是解本题的关键．【变式5-4】（2022秋•邗江区校级期末）若关于x的方程2ax＝（a+1）x+6的解为正整数，求整数a的值．【分析】首先解方程表示出x的值，然后根据解为正整数求解即可．【解答】解：2ax＝（a+1）x+6，移项得：2ax﹣（a+1）x＝6，合并同类项得：（a﹣1）x＝6，系数化为1得：=6K1，∵关于x的方程2ax＝（a+1）x+6的解为正整数，∴=6K1为正整数，∴a﹣1＝1或a﹣1＝2或a﹣1＝3或a﹣1＝6∴a＝2或a＝3或a＝4或a＝7．【点评】本题主要考查方程的解和解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．【变式5-5】设m为整数，且关于x的一元一次方程（m﹣5）x+m﹣3＝0．（1）当m＝2时，求方程的解；（2）若该方程有整数解，求m的值．【分析】（1）把m＝2代入原方程，得到关于x得一元一次方程，解之即可，（2）根据“m≠5，该方程有整数解，且m是整数”，结合一元一次方程的解题步骤，得到关于m的几个一元一次方程，解之即可．【解答】解：（1）当m＝2时，原方程为﹣3x﹣1＝0，解得，=−13，（2）当m≠5时，方程有解，=3−K5=−1−2K5，∵方程有整数解，且m是整数，∴m﹣5＝±1，m﹣5＝±2，解得，m＝6或m＝4或m＝7或m＝3．【点评】本题考查了一元一次方程的解和一元一次方程的定义，解题的关键：（1）正确掌握一元一次方程的解题步骤，（2）正确掌握一元一次方程的定义和一元一次方程的解题步骤．。

三、解答题1、（2008•乐山）阅读下列材料：我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离；即|x|=|x﹣0|，也就是说，|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离；这个结论可以推广为|x1﹣x2|表示在数轴上数x1，x2对应点之间的距离；在解题中，我们会常常运用绝对值的几何意义：例1：解方程|x|=2．容易得出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为±2，即该方程的x=±2；例2：解不等式|x﹣1|＞2．如图，在数轴上找出|x﹣1|=2的解，即到1的距离为2的点对应的数为﹣1，3，则|x﹣1|＞2的解为x＜﹣1或x＞3；例3：解方程|x﹣1|+|x+2|=5．由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和﹣2的距离之和为5的点对应的x的值．在数轴上，1和﹣2的距离为3，满足方程的x对应点在1的右边或﹣2的左边．若x对应点在1的右边，如图可以看出x=2；同理，若x对应点在﹣2的左边，可得x=﹣3．故原方程的解是x=2或x=﹣3．参考阅读材料，解答下列问题：（1）方程|x+3|=4的解为1或﹣7；（2）解不等式|x﹣3|+|x+4|≥9；（3）若|x﹣3|﹣|x+4|≤a对任意的x都成立，求a的取值范围．考点：含绝对值符号的一元一次方程；解一元一次不等式。

专题：阅读型。

分析：仔细阅读材料，根据绝对值的意义，画出图形，来解答．解答：解：（1）根据绝对值得意义，方程|x+3|=4表示求在数轴上与﹣3的距离为4的点对应的x的值为1或﹣7．（3分）（2）∵3和﹣4的距离为7，因此，满足不等式的解对应的点3与﹣4的两侧．当x在3的右边时，如图，易知x≥4．（5分）当x在﹣4的左边时，如图，易知x≤﹣5．（7分）∴原不等式的解为x≥4或x≤﹣5（8分）（3）原问题转化为：a大于或等于|x﹣3|﹣|x+4|最大值．（9分）当x≥﹣1时，|x﹣3|﹣|x+4|应该恒等于7，当﹣4＜x＜﹣1，|x﹣3|﹣|x+4|=﹣2x﹣1随x的增大而减小，当x≤﹣4时，|x﹣3|﹣|x+4|=7，即|x﹣3|﹣|x+4|的最大值为7．（11分）故a≥7．（12分）点评：本题是一道材料分析题，通过阅读材料，同学们应当深刻理解绝对值得几何意义，结合数轴，通过数形结合对材料进行分析来解答题目．由于信息量较大，同学们不要产生畏惧心理．2、解方程：．考点：含绝对值符号的一元一次方程。

第九讲 绝对值与一元一次方程绝对值是初中数学最活跃的概念之一，能与数学中许多知识关联而生成新的问题，我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程，简称绝对值方程．解绝对值方程的基本方法有：一是设法去掉绝对值符号．将绝对值方程转化为常见的方程求解；一是数形结合，借助于图形的直观性求解．前者是通法，后者是技巧．解绝对值方程时，常常要用到绝对值的几何意义，去绝对值的符号法则，非负数的性质、绝对值常用的基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法．例题【例1】方程5665-=+x x 的解是 ．(重庆市竞赛题)思路点拨 没法去掉绝对值符号，将原方程化为一般的一元一次方程来求解．【例2】 适合81272=-++a a 的整数a 的值的个数有( )．A ．5B ．4C ． 3D ．2( “希望杯；邀请赛试题)思路点拨 用分类讨论法解过程繁琐，仔细观察数据特征，借助数轴也许能找到简捷的解题途径．注：形如d cx b ax +=+的绝对值方程可变形为)(d cx b ax +±=+且0≥+d cx ， 才是原方程的根，否则必须舍去，故解绝对值时应检验．【例3】解方程：413=+-x x ；思路点拨 从内向外，根据绝对值定义性质简化方程．(天津市竞赛题)【例4】解下列方程：(1)113+=--+x x x (北京市“迎春杯”竞赛题)(2)451=-+-x x ． (“祖冲之杯”邀请赛试题)思路点拨 解含多个绝对值符号的方程最常用也是最一般的方法是将数轴分段进行讨论，采用前面介绍的“零点分段法”分类讨论；有些特殊的绝对值方程可利用绝对值的几何意义迅速求解．【例5】已知关于x 的方程a x x =-+-32，研究a 存在的条件，对这个方程的解进行讨论．思路点拨 方程解的情况取决于a 的情况，a 与方程中常数2、3有依存关系，这种关系决定了方程解的情况，因此，探求这种关系是解本例的关键．运用分类讨它法或借助数轴是探求这种关系的重要方法与工具，读者可从两个思路去解．注 本例给出了条件，但没有明确的结论，这是一种探索性数学问题，它给我们留有自由思考的余地和充分展示思维的广阔空间，我们应从问题的要求出发，进行分析、收集和挖掘题目提供的各种信息，进行全面研究．学力训练1．方程15)1(3+=-xx 的解是 ；方程1213+=-x x 的解是 ．2．已知199519953990=+x ，那么x ＝ ．3．已知，2+=x x ，那么19x 99+3x+27的值为 ．4．关于x 的方程x a x a -+=1的解是x=0，则a 的值 ；关于x 的方程x a x a -+=1的解是x=1，则有理数a 的取值范围是 ．5．使方程0223=++x 成立的未知数x 的值是( )．A ．一2B ．0C ．32 D ．不存在 6．方程055=-+-x x 的解的个数为( )．A ．不确定B ．无数个C ． 2个D ．3个(“祖冲之杯”邀请赛试题)7．已知关于 x 的方程mx+2=2(m-x)的解满足0121=--x ，则m 的值是( ) A ．5210或 B ．5210-或 C ．5210或- D ．5210--或 (山东省竞赛题)8．若20002020002000⨯=+x ，则x 等于( )．A ．20或一21B ．一20或21C ．—19或21D ．19或一21(重庆市竞赛题)9．解下列方程：(1)8453=+-x ；(2)43234+=--x x ；(3)312=+-x x ；(4)1212++-+-x x x ．10．讨论方程k x =-+23的解的情况．11．方程212=--x 的解是 ．12．若有理数x 满足方程x x +=-11，则化简1-x 的结果是 ．13．若0,0<>b a ，则使b a b x a x -=-+-成立的x 取值范围是 ．14．若100<<x ，则满足条件a x =-3的整数a 的值共有 个，它们的和是 ．15．若m 是方程x x +=-20002000的解，则2001-m 等于( )．A ．m 一2001B ．一m 一2001C ．m+2001D ．一m+200116．若关于x 的方程032=+-m x 无解，043=+-n x 只有一个解，054==-k x 有两个解，则m 、n 、k 的大小关系是( )．m>n>k B ．n>k>m C ．k>m>n D ． m>k>n17．适合关系式62343=++-x x 的整数x 的值有( )个．A ．0B ．1C ．2D ．大于2的自然数18．方程1735=--+x x 的解有( )．A ．1个B ．2个C ． 3个D ．无数个19．设a 、b 为有理数，且0>a ，方程3=--b a x 有三个不相等的解，求b 的值． (“华杯赛”邀请赛试题)20．当a 满足什么条件时，关于x 的方程a x x =---52有一解?有无数多个解?无解?21．已知y y x x +---=-++15912，求x+y 的最大值与最小值．(江苏省竞赛题)22． (1)数轴上两点表示的有理数是a 、b ，求这两点之间的距离；(2)是否存在有理数x ，使x x x =-++31?(3)是否存在整数x ，使144334=++++-+-x x x x ?如果存在，求出所有的整数x ；如果不存在，说明理由．参考答案。

绝对值与一元一次方程知识纵横绝对值是初中数学最活跃的概念之一,•能与数学中许多知识关联而生成新的问题,我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程,简称绝对值方程.解绝对值方程的基本方法有:一是设法去掉绝对值符号,将绝对值方程转化为常见的方程求解;一是数形结合,借助于图形的直观性求解.前者是通法,后者是技巧.解绝对值方程时,常常要用到绝对值的几何意义,去绝对值的符号法则,•非负数的性质、绝对值常用的基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法.例题求解【例1】方程│5x+6│=6x-5的解是_______.(2000年重庆市竞赛题)思路点拨设法去掉绝对值符号,将原方程化为一般的一元一次方程来求解.解:x=11提示:原方程5x+6=±(6x-5)或从5x+6≥0、5x+6<0讨论.【例2】适合│2a+7│+│2a-1│=8的整数a的值的个数有( ).A.5B.4C.3D.2 (第11届“希望杯”邀请赛试题)思路点拨用分类讨论法解过程繁琐,仔细观察数据特征,借助数轴也许能找到简捷的解题途径.解:选B提示:由已知即在数轴上表示2a的点到-7与+1的距离和等于8,•所以2a表示-7到1之间的偶数.【例3】解方程:│x-│3x+1││=4; (天津市竞赛题)思路点拨从内向外,根据绝对值定义性质简化方程.解:x=-54或x=32提示:原方程化为x-│3x+1=4或x-│3x+1│=-4【例4】解下列方程:(1)│x+3│-│x-1│=x+1; (北京市“迎春杯”竞赛题)(2)│x-1│+│x-5│=4. (“祖冲之杯”邀请赛试题)思路点拨解含多个绝对值符号的方程最常用也是最一般的方法是将数轴分段进行讨论,采用前面介绍的“零点分段法”分类讨论;有些特殊的绝对值方程可利用绝对值的几何意义迅速求解.解:(1)提示:当x<-3时,原方程化为x+3+(x-1)=x+1,得x=-5;当-3≤x<1时,原方程化为x+3+x-1=x+1,得x=-1;当x≥1时,原方程化为x+3-(x-1)=x+1,得x=3.综上知原方程的解为x=-5,-1,3.(2)提示:方程的几何意义是,数轴上表示数x的点到表示数1及5的距离和等于4,画出数轴易得满足条件的数为1≤x≤5,此即为原方程的解.【例5】已知关于x的方程│x-2│+│x-3│=a,研究a存在的条件,对这个方程的解进行讨论.思路点拨方程解的情况取决于a的情况,a与方程中常数2、3有依存关系,这种关系决定了方程解的情况,因此,探求这种关系是解本例的关键,•运用分类讨论法或借助数轴是探求这种关系的重要方法与工具,读者可从两个思路去解.解:提示:数轴上表示数x的点到数轴上表示数2,3的点的距离和的最小值为1,由此可得方程解的情况是:(1)当a>1时,原方程解为x=52a;(2)当a=1时,原方程解为2≤x≤3;(3)当a<1时,原方程无解.学力训练一、基础夯实1.方程3(│x│-1)= ||5x+1的解是_______;方程│3x-1│=│2x+1│的解是____.2.已知│3990x+1995│=1995,那么x=______.3.已知│x│=x+2,那么19x99+3x+27的值为________.4.关于x的方程│a│x=│a+1│-x的解是x=0,则a的值是______;关于x的方程│a│x=│a+1│-x的解是x=1,则有理数a的取值范围是________.5.使方程3│x+2│+2=0成立的未知数x的值是( ).A.-2B.0C. 23D.不存在6.方程│x-5│+x-5=0的解的个数为( ).A.不确定B.无数个C.2个D.3个 (“祖冲之杯”邀请赛试题)7.已知关于x的方程mx+2=2(m-x)的解满足│x-12|-1=0,则m的值是( ).A.10或25B.10或-25C.-10或25D.-10或-25(2000年山东省竞赛题)8.若│2000x+2000│=20×2000,则x等于( ).A.20或-21B.-20或21C.-19或21D.19或-21 (2001年重庆市竞赛题)9.解下列方程:(1)││3x-5│+4│=8; (2)│4x-3│-2=3x+4;(3)│x-│2x+1││=3; (4)│2x-1│+│x-2│=│x+1│.10.讨论方程││x+3│-2│=k的解的情况.二、能力拓展11.方程││x-2│-1│=2的解是________.12.若有理数x满足方程│1-x│=1+│x│,则化简│x-1│的结果是_______.13.若a>0,b<0,则使│x-a│+│x-b│=a-b成立的x的取值范围是______.(武汉市选拨赛试题)14.若0<x<10,则满足条件│x-3│=a•的整数a•的值共有_____•个,•它们的和是____.15.若m是方程│2000-x│=2000+│x│的解,则│m-2001│等于( ).A.m-2001B.-m-2001C.m+2001D.-m+200116.若关于x的方程│2x-3│+m=0无解,│3x-4│+n=0只有一个解,│4x-5│+•k=0有两个解,则m、n、k的大小关系是( ).A.m>n>kB.n>k>mC.k>m>nD.m>k>n17.适合关系式│3x-4│+│3x+2│=6的整数x的值有( )个.A.0B.1C.2D.大于2的自然数18.方程│x+5│-│3x-7│=1的解有( ).A.1个B.2个C.3个D.无数个19.设a、b为有理数,且│a│>0,方程││x-a│-b│=3有三个不相等的解,•求b的值.(“华杯赛”邀请赛试题)20.当a满足什么条件时,关于x的方程│x-2│-│x-5│=a有一解?有无数多个解?无解?三、综合创新21.已知│x+2│+│1-x│=9-│y-5│-│1+y│,求x+y的最大值与最小值.(第15届江苏省竞赛题)22.(1)数轴上两点表示的有理数是a、b,求这两点之间的距离;(2)是否存在有理数x,使│x+1│+│x-3│=x?(3)是否存在整数x,使│x-4│+│x-3│+│x+3│+│x+4│=14?如果存在,•求出所有的整数x;如果不存在,说明理由.【学力训练】(答案)1.±107、2或0 2.0或-1 3.54.-1,a≥0 提示:由│a+1│=│a│+1得a×1≥0,即a≥05.D6.B7.A8.D9.(1)x=3或x=13;(2)x=9或x=-37;(3)x=-43或x=2;(4)提示:分x<-1、-1≤x<12、•12≤x≤2、x≥2四种情况分别去掉绝对值符号解方程,当考虑到12≤x≤2时,•原方程化为(2x-1)-(x-2)=x+1,即1=1,这是一个恒等式,说明凡是满足12≤x≤2的x值都是方程的解.10.当k<0时,原方程无解;当k=0时,原方程有两解:x=-1或x=-5;当0<k<2时,原方程化为│x+3│=2±k,此时原方程有四解:x=-3±(2±k);当k=2时,原方程化为│x+•3│=2±2,此时原方程有三解:x=1或x=-7或x=-3;当k>2时,原方程有两解:x+3=±2(•2+k).11.±5 12.1-x 13.b≤x≤a 提示:利用绝对值的几何意义解.14.7、21提示:当0<x<3时,则有│x-3│=3-x=a,a的解是1,2;当3≤x<10时,则有│x-3│=x-3=a,a的解为0,1,2,3,4,5,615.D 提示:m≤0 16.A 17.C 提示:-2≤3x≤4 18.B19.提示:若b+3、b-3都是非负的,而且如果其中一个为零,则得3个解;如果都不是零,则得4个解,故b=3.20.提示:由绝对值几何意义知:当-3<a<3时,方程有一解;当a=±3时,•方程有无穷多个解;当a>3或a<-3时,方程无解.21.提示:已知等式可化为:│x+2│+│x-1│+│y+1│+│y-5│=9,•由绝对值的几何意义知,当-2≤x≤1且-1≤y≤5时,上式成立, 故当x=-2,y=-1时,x+y有最小值为-3;当x=1,y=5时,x+y的最大值为6.22.(1)│a-b│;(2)不存在;(3)x=±3,±2,±1,0.。

初中数学含绝对值符号的一元一次方程练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 使方程3|x+2|+2=0成立的未知数x的值是（）D.不存在A.−2B.0C.232. 方程|x−19|+|x−93|=74的有理数解（）A.至少有3个B.恰好有2个C.恰有1个D.不存在3. 方程|x+1|+|x+9|+|x+2|=1992的解的个数是（）A.4B.3C.2D.14. 方程|x+1|+|x−5|＝6的整数解有（）A.5个B.6个C.7个D.无穷多个5. 方程|2007x−2007|=2007的解是（）A.0B.2C.1或2D.2或06. 方程|3x|=15的解的情况是（）A.有一个解，是5B.无解C.有无数个解D.有两个解，是±57. 方程m|x|−x−m=0(m>0且m≠1)有两个解，则实数m的取值范围是（）A.m>1B.0<m<1C.0<m<1或m<1D.这样的m不存在8. 方程|x+1|+|x−2|=3的整数解共有（）个．A.1B.2C.3D.49. 适合|2a+7|+|2a−1|=8的整数a的值的个数有（）A.5B.4C.3D.210. 若关于x的方程||x−2|−1|=a有三个整数解，则a的值是（）A.0B.1C.2D.311. 解方程|7x−1|=3，则x=________．的根，则a的取值范围是12. 若关于x的方程|x−1|=(a−1)x有且只有一个不大于12________．|=3，则x=________．13. 解方程|1−x214. 方程|x+5|−|3x−7|=1的解有________个．15. 若关于x的方程ax+3=|x|有负根且无正根，则a的取值范围是________．x|=4，则x=________．16. 方程|2−2317. 方程|5x+6|=6x−5的解是________．18. 关于x的方程||x−2|−1|=a恰有三个整数解，则a的值为________．19. 方程|2x+3|=1的解是________．，那么方程3△|x|=4的解x=________．20. 若规定a△b=a+2b221. 阅读下题和解题过程：化简：|x−2|+1−2(x−2)，使结果不含绝对值．解：当x−2≥0时，即x≥2时：原式=x−2+1−2x+4=−x+3；当x−2<0时，即x<2时：原式=−(x−2)+1−2x+4=−3x+7．这种解题的方法叫“分类讨论法”．请你用“分类讨论法”解一元一次方程：|2x−1|=3．22. 有些含绝对值的方程，可以通过讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程求解．例如：解方程x+2|x|=3，解：当x≥0时，方程可化为：x+2x=3，解得x=1，符合题意．当x <0时，方程可化为：x −2x =3，解得x =−3，符合题意．所以，原方程的解为：x =1或x =−3．仿照上面解法，解方程：x +3|x −1|=7．23. 已知关于x 的方程kx +3=|x +1|−2|x −1|+|x +2|有三个解，求k 的取值范围．24. 阅读下列材料：由绝对值的定义，若有|x|=4，则x =4或−4，若|y|=a ，则y =±a ．我们可以根据这样的结论，解一些简单的绝对值方程.例如： |2x +4|=5.解：方程|2x +4|=5可化为2x +4=5或2x +4=−5.当2x +4=5时，x =12. 当2x +4=−5时，x =−92. 故方程|2x +4|=5的解为x =12或−92.根据上面材料，解答下列问题：(1)解方程：|3x −2|=4；(2)已知|a +b +4|=6，求|a +b|的值.25. 解方程：|x −5|+√(42=1．26. 据绝对值的几何意义，方程|x −1|+|x +2|=5表示求在数轴上与1和−2的距离之和等于5的点对应的x 的值．在数轴上，1和−2的距离之和为3，所以满足方程的x 的对应点在1的右边或−2的左边；若x 对应点在1的右边，由图可看出x =2；同时，若x 对应点在−2的左边，可得x =−3，所以原方程的解是x =2或x =−3．请利用以上阅读材料，仿照上述过程解方程：|x −3|+|x +4|=9．27. 解方程：|x −|3x +1||=4．28. 求方程|x −|2x +1||＝3的不同的解的个数．29. 解方程：|x −4|−|x +2|=x +3．|=2．30. 解方程：|2x−3−2x−4231. 解下列方程：|x+3|−|x−1|=x+1．32. 如果a、b均为有理数，且满足|a−2|=3，(b−1)2=4，求a−b的值．33. 解方程：3|x−1|−|x+1|=2|x−2|34. 2|x−1|+3=9．35. 满足方程|2|2x−4|−3|=2x−1的所有解的和为多少？36. 解方程：|x−2|+|x−3|=2．37. 解关于x的方程：|x+1|−|x−2|=1.5．38. 解方程：|x+1|+|x−3|=4．39. 解方程：（1）|4x−1|=7；（2）2|x−3|+5=13．40. 先阅读下列解题过程，然后解答问题(1)、(2)解方程：|x+3|=2．解：当x+3≥0时，原方程可化为：x+3=2，解得x=−1；当x+3<0时，原方程可化为：x+3=−2，解得x=−5．所以原方程的解是x=−1，x=−5．(1)解方程：|3x−1|−5=0；(2)探究：当b为何值时，方程|x−2|=b+1①无解；②只有一个解；③有两个解．参考答案与试题解析初中数学含绝对值符号的一元一次方程练习题含答案一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】D【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】，根据绝对值的性质即可得出答要使方程3|x+2|+2=0成立，则可得：|x+2|=−23案．【解答】解：要使方程3|x+2|+2=0成立，，根据绝对值的非负性，则可得：|x+2|=−23即可得知使方程3|x+2|+2=0成立的x不存在．故选D．2.【答案】A【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】首先根据x的范围去掉绝对值符号，转换成一般的一元一次方程，从而求解．【解答】解：当x≤19时，方程即：19−x+93−x=74，解得：x=19；当19<x<93时，方程变形为：x−19+93−x=74，恒成立；当x≥93时，方程变形为：x−19+x−93=74，解得：x=93．则x为范围[19, 93]中的有理数，即至少有3个．故选A．3.【答案】C【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】首先根据x的范围去掉绝对值符号，转换成一般的一元一次方程，从而求解．【解答】解：当x≤−9时，原方程即：−x−1−x−9−x−2=1992解得：x=−668；当−9<x≤−2时．原方程即：−x−1+x+9−x−2=1992解得：x=−1986不合题意舍去；当−2<x≤−1时，原方程即：−x−1+x+9+x+2=1992解得：x=1981，舍去；当x>−1时，原方程即：x+1+x+9+x+2=1992解得：x=660．故x=−668或660．故选C．4.【答案】C【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】分三种情况：x≤−1；−1<x<5；x≥5去掉绝对值符号，化为常规的一元一次方程解答．【解答】当x≤−1时，原方程可化为−x−1+5−x＝6，解得x＝−1；当−1<x<5时，原方程可化为x+1+5−x＝6，x为−1<x<5中任意整数，即x＝0，1，2，3，4；当x≥5时，原方程可化为x+1+x−5＝6，解得x＝5，由上可知，原方程的整数解有7个，5.【答案】D【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】分别讨论x≥1，x<1，可求得方程的解．【解答】解：①当x≥1时，原方程可化为：2007x−2007=2007，解得：x=2，②当x<1时，原方程可化为：2007−2007x=2007，解得：x=0，综上可得x=0或2．故选D．6.【答案】D【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】本题的关键是弄清绝对值的规律．绝对值是15的数有±15，从而将|3x|=15转化为两个方程3x=15或3x=−15，可求得x的值．【解答】解：绝对值是15的数有±15，∴3x=15或3x=−15，得到x=5或x=−5．故选D．7.【答案】A【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】根据方程m|x|−x−m=0(m>0且m≠1)有两个解，可得知有一个正根与一个负根，然后分类x的取值范围即可．【解答】解：由方程m|x|−x−m=0(m>0且m≠1)有两个解，可得知有一个正跟与一个负根，(m>0且m≠1)，则m>1；当x>0时，解方程得：x=mm−1<0，则m>−1，综上所述，当x<0时，解方程得；x=−mm+1∴m>1．故选A．8.【答案】D【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】讨论：当x<−1，−(x+1)−(x−2)=3；当x=−1，0+3=3成立；当−1<x<2，x+1−(x−2)=3，3=3恒成立；当x=2，3=3；当x>2，x+1+x−2=3，然后分别得到满足条件的x的值．【解答】解：当x<−1，−(x+1)−(x−2)=3，解得x=−1舍去；当x=−1，0+3=3成立，所以x=−1是原方程的整数解；当−1<x<2，x+1−(x−2)=3，3=3恒成立，所以原方程的整数解有0，1；当x=2，3=3，所以x=2是原方程的整数解；当x>2，x+1+x−2=3，解得x=2舍去．所以原方程的整数解为−1、0、1、2．故选D．9.【答案】B【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】此方程可理解为2a到−7和1的距离的和，由此可得出2a的值，继而可得出答案．【解答】解：由此可得2a为−6，−4，−2，0的时候a取得整数，共四个值．故选B．10.【答案】B【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】根据绝对值的性质可得|x −2|−1=±a ，然后讨论x ≥2及x <2的情况下解的情况，再根据方程有三个整数解可得出a 的值．【解答】解：①若|x −2|−1=a ，当x ≥2时，x −2−1=a ，解得：x =a +3，a ≥−1；当x <2时，2−x −1=a ，解得：x =1−a ；a >−1；②若|x −2|−1=−a ，当x ≥2时，x −2−1=−a ，解得：x =−a +3，a ≤1；当x <2时，2−x −1=−a ，解得：x =a +1，a <1；又∵ 方程有三个整数解，∴ 可得：a =−1或1，根据绝对值的非负性可得：a ≥0．即a 只能取1．故选B ．二、 填空题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ）11.【答案】47或−27 【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】分为两种情况：①7x −1=3，②7x −1=−3，求出方程的解即可．【解答】解：分为两种情况：①7x −1=3，解得：x =47；②7x −1=−3，解得：x =−27， 故原方程的解为x =47或x =−27． 故答案是：47或−27． 12.【答案】a ≥2，或a <0【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】根据绝对值是大数减小数，可化简成不含绝对值得方程，根据方程的解不大于12，可得不等式，根据解不等式，可得不等式的解集．【解答】解：关于x 的方程|x −1|=(a −1)x 有且只有一个不大于12的根， 1−x =(a −1)x ，解得x =1a ， x =1a ≤12， 解得：a ≥2，或a <0，故答案为：a ≥2，或a <0．13.【答案】−5或7【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】先去绝对值，然后解方程．依据绝对值的意义，±3的绝对值是3，从而将原方程可化为两个方程(1)1−x 2=3，(2)1−x 2=−3，然后解出x 的值． 【解答】解：根据绝对值的意义，将原方程可化为：(1)1−x 2=3；(2)1−x 2=−3．解(1)得x =−5，解(2)得x =7．故填−5或7．14.【答案】2【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】分别讨论①x ≥73，②−5<x <73 ③x ≤−5，根据x 的范围去掉绝对值，解出x ，综合三种情况可得出x 的最终范围．【解答】解：从三种情况考虑：第一种：当x ≥73时，原方程就可化简为：x +5−3x +7=1， 解得：x =112符合题意；第二种：当−5<x <73时，原方程就可化简为：x +5+3x −7=1，解得：x =34符合题意；第三种：当x ≤−5时，原方程就可化简为：−x −5+3x −7=1，解得：x =132，不符合题意；所以x 的值为112或34． 故答案为：2．15.【答案】a ≥1【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】首先考虑去掉绝对值以后，x 的正负问题，即x ≥0和x ≤0时的情况．【解答】解：(1)当x ≥0时，|x|=x ，∴ 原式=ax +3=x ，∴ x =31−a （无正根），∴ 1−a ≤0，∴ a ≥1；(2)当x ≤0时，|x|=−x ，∴ 原式=ax +3=−x ，∴ x =−31+a （有负根），∴ 1+a ≥0，∴ a ≥−1，故a 的取值范围是：a ≥1．16.【答案】−3或9【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】根据|2−23x|=4，先去绝对值符号，然后移项化系数为1即可得出答案． 【解答】解：∵ |2−23x|=4，∴ 2−23x =4或−(2−23x)=4，由2−23x =4，移项化系数为1得：x =−3；由−(2−23x)=4，移项化系数为1得：x =9；故答案为：−3或9．17.【答案】x =11【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】根据绝对值的代数定义，去掉绝对值符号，将原方程化为一般的一元一次方程来求解．【解答】解：∵|5x+6|=6x−5，∴5x+6=±(6x−5)，解得，x=11或−111（舍去）．故答案为：x=11．18.【答案】1【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】根据绝对值的性质可得|x−2|−1=±a，然后讨论x≥2及x<2的情况下解的情况，再根据方程有三个整数解可得出a的值．【解答】解：①若|x−2|−1=a，当x≥2时，x−2−1=a，解得：x=a+3，a≥−1；当x<2时，2−x−1=a，解得：x=1−a；a>−1；②若|x−2|−1=−a，当x≥2时，x−2−1=−a，解得：x=−a+3，a≤1；当x<2时，2−x−1=−a，解得：x=a+1，a<1；又∵方程有三个整数解，∴可得：a=−1或1，根据绝对值的非负性可得：a≥0．即a只能取1．故答案为1．19.【答案】x=−1或x=−2，【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】根据绝对值的性质，可化简方程，根据解方程，可得答案．【解答】解：当x<−32时，原方程化简为−2x−3=1，解得x=−2，当x≥−32时，原方程化简为2x+3=1，解得x=−1，综上所述：方程|2x+3|=1的解是x=−1或x=−2，故答案为：x=−1或x=−2．20.【答案】±5 2【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】根据新规定a△b=a+2b，对方程3△|x|=4去绝对值后即可解答．2【解答】解：方程3△|x|=4可化为：3△x=4或3△(−x)=4，=4，当3△x=4时，根据新定义，3△x=3+2x2．解得：3+2x=8，x=52=4，当3△(−x)=4时，根据新定义，3△(−x)=3−2x2．解得：3−2x=8，x=−52故答案为：±5．2三、解答题（本题共计 20 小题，每题 10 分，共计200分）21.【答案】时原方程可化为：2x−1=3，解：当2x−1≥0时，即x≥12解得：x=2，时，原方程化为−(2x−1)=3，当2x−1<0时，即x<12解得：x=−1，即原方程的解为x=2或x=−1．【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】分为两种情况，当2x−1≥0或2x−1<0，先去掉绝对值符号，求出即可．【解答】时原方程可化为：2x−1=3，解：当2x−1≥0时，即x≥12解得：x=2，当2x−1<0时，即x<1时，原方程化为−(2x−1)=3，2解得：x=−1，即原方程的解为x=2或x=−1．22.【答案】解：当x<1时，方程可化为：x−3x+3=7解得x=−2，符合题意．当x≥1时，方程可化为：x+3x−3=7，解得x=5，符合题意．2所以，原方程的解为：x=−2或x=5．2【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】分类讨论：x<1，x≥1，根据绝对值的意义，可化简绝对值，根据解方程，可得答案．【解答】解：当x<1时，方程可化为：x−3x+3=7解得x=−2，符合题意．当x≥1时，方程可化为：x+3x−3=7，，符合题意．解得x=52所以，原方程的解为：x=−2或x=5．223.【答案】解：1)当x≤−2时，原式即kx+3=−x−1−2(1−x)−x−2，kx+3=−x−1−2+2x−x−2，kx=−8，则x=−8，k≤−2，−8k解得：k≥4；2)当−2<x≤−1，原式即kx+3=−x−1−2(1−x)+x+2，kx+3=−x−1−2+2x+x+2，kx+x−2x−x=−3−1−2+2，即(k−2)x=−4，，则x=42−k≤−1，则−2<42−k解得：4<k≤6；3)当−1<x≤1时，原式即kx+3=−x−1−2(1−x)+x+2，，解得：x=24−k≤1，根据题意得：−1<24−k解得：k>6或k<2；4)当x>1时，原式即kx+3=x+1−2(x−1)+x+2，，解得：x=2k>1，则2k解得：0<k<2．总之，当k>6时，方程有3个解．【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】分x≤−2，−2<x≤−1，−1<x≤1，和x>1四种情况进行讨论，求得方程的解，然后根据方程有解的条件求得k的范围，然后进行总结求解．【解答】解：1)当x≤−2时，原式即kx+3=−x−1−2(1−x)−x−2，kx+3=−x−1−2+2x−x−2，kx=−8，则x=−8，k≤−2，−8k解得：k≥4；2)当−2<x≤−1，原式即kx+3=−x−1−2(1−x)+x+2，kx+3=−x−1−2+2x+x+2，kx+x−2x−x=−3−1−2+2，即(k−2)x=−4，，则x=42−k≤−1，则−2<42−k解得：4<k≤6；3)当−1<x≤1时，原式即kx+3=−x−1−2(1−x)+x+2，，解得：x=24−k≤1，根据题意得：−1<24−k解得：k>6或k<2；4)当x>1时，原式即kx+3=x+1−2(x−1)+x+2，，解得：x=2k>1，则2k解得：0<k<2．总之，当k>6时，方程有3个解．24.【答案】解：(1)方程|3x−2|=4可化为3x−2=4或3x−2=−4，当3x−2=4时，x=2..当3x−2=−4时，x=−23所以，原方程的解为：x=2或x=−2．3(2)方程|a+b+4|=6可化为a+b+4=6或a+b+4=−6，当a+b+4=6时，a+b=2.当a+b+4=−6时，a+b=−10.所以，|a+b|=2或|a+b|=10.【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】分类讨论：x<1，x≥1，根据绝对值的意义，可化简绝对值，根据解方程，可得答案．【解答】解：(1)方程|3x−2|=4可化为3x−2=4或3x−2=−4，当3x−2=4时，x=2..当3x−2=−4时，x=−23．所以，原方程的解为：x=2或x=−23(2)方程|a+b+4|=6可化为a+b+4=6或a+b+4=−6，当a+b+4=6时，a+b=2.当a+b+4=−6时，a+b=−10.所以，|a+b|=2或|a+b|=10.25.【答案】解：当x≤4时，原方程为：5−x+4−x=1，解得：x=4；当4<x≤5时，原方程为：5−x+x−4=1，解得：x为任意实数；当x≥5时，原方程为：x−5+x−4=1，解得：x=5；【考点】二次根式的性质与化简含绝对值符号的一元一次方程【解析】根据二次根式的化简和绝对值的化简，可得答案．【解答】解：当x≤4时，原方程为：5−x+4−x=1，解得：x=4；当4<x≤5时，原方程为：5−x+x−4=1，解得：x为任意实数；当x≥5时，原方程为：x−5+x−4=1，解得：x=5；26.【答案】解：∵在数轴上3和−4的距离为7，7<9，∴满足方程|x−3|+|x+4|=9的x的对应点在3的右边或−4的左边．若x的对应点在3的右边，x=4；若x的对应点在−4的左边，x=−5，所以原方程的解是x=4或x=−5．【考点】含绝对值符号的一元一次方程数轴【解析】方程|x −3|+|x +4|=9表示数轴上与3和−4的距离之和为9的点对应的x 值，在数轴上3和−4的距离为7，满足方程的x 的对应点在3的右边或−4的左边，画图即可解答．【解答】解：∵ 在数轴上3和−4的距离为7，7<9，∴ 满足方程|x −3|+|x +4|=9的x 的对应点在3的右边或−4的左边．若x 的对应点在3的右边，x =4；若x 的对应点在−4的左边，x =−5，所以原方程的解是x =4或x =−5．27.【答案】解：原方程式化为x −|3x +1|=4或x −|3x +1|=−4(1)当3x +1>0时，即x >−13，由x −|3x +1|=4得x −3x −1=4∴ x =−52与x >−13不相符，故舍去 由x −|3x +1|=−4得x −3x −1=−4∴ x =32 (2)当3x +1<0时，即x <−13，由x −|3x +1|=4得x +3x +1=4∴ x =34与x <−13不相符，故舍去 由x −|3x +1|=−4得x +3x +1=−4∴ x =−54故原方程的解是x =−54或x =32【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】从内向外，根据绝对值定义性质简化方程；有|x|=1，得x =±1联想此题．【解答】解：原方程式化为x −|3x +1|=4或x −|3x +1|=−4(1)当3x +1>0时，即x >−13，由x −|3x +1|=4得x −3x −1=4∴ x =−52与x >−13不相符，故舍去由x −|3x +1|=−4得x −3x −1=−4∴ x =32(2)当3x +1<0时，即x <−13，由x −|3x +1|=4得x +3x +1=4∴ x =34与x <−13不相符，故舍去由x −|3x +1|=−4得x +3x +1=−4∴ x =−54 故原方程的解是x =−54或x =3228.【答案】|x −|2x +1||＝3，当x =−12时，原方程化为|x|＝3，无解；当x >−12时，原方程化为：|1+x|＝3， 解得：x ＝2或x ＝−4（舍去）．当x <−12时，原方程可化为：|x +(2x +1)|＝3，即|3x +1|＝3，∴ 3x +1＝±3，解得：x =23（舍去）或x =−43．综上可得方程的解只有x ＝2或x =−43两个解．【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】此方程有两层绝对值，先由2x +1＝0解得x =−12，然后分别对x =−12，x >−12，x <−12去掉绝对值符号，使方程转化为只含一个绝对值符号的方程，然后再去掉绝对值符号求解即可．【解答】|x −|2x +1||＝3，当x =−12时，原方程化为|x|＝3，无解；当x >−12时，原方程化为：|1+x|＝3，解得：x ＝2或x ＝−4（舍去）．当x <−12时，原方程可化为：|x +(2x +1)|＝3，即|3x +1|＝3，∴ 3x +1＝±3，解得：x =23（舍去）或x =−43． 综上可得方程的解只有x ＝2或x =−43两个解．29.【答案】解：①当x =4时，|4−4|−|4+2|=4+3，此时方程无解；②当x =−2时，|−2−4|−|−2+2|=−2+3，此时方程无解；③当x <−2时，原方程化为：4−x +x +2=x +3，解得：x =3，此时x =3>−2，此种情况不合题意；④当−2<x <4时，原方程化为：4−x −(x +2)=x +3，解得：x =−13；⑤当x >4时，原方程化为：x −4−(x +2)=x +3，解得：x =−9，∵ −9<4，此种情况不合题意；综合上述，原方程的解是x =−13． 【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】求出x −4=0和x +2=0的值，分为五种情况，求出每一种情况方程的解，即可得出答案．【解答】解：①当x =4时，|4−4|−|4+2|=4+3，此时方程无解；②当x =−2时，|−2−4|−|−2+2|=−2+3，此时方程无解；③当x<−2时，原方程化为：4−x+x+2=x+3，解得：x=3，此时x=3>−2，此种情况不合题意；④当−2<x<4时，原方程化为：4−x−(x+2)=x+3，解得：x=−13；⑤当x>4时，原方程化为：x−4−(x+2)=x+3，解得：x=−9，∵−9<4，此种情况不合题意；综合上述，原方程的解是x=−13．30.【答案】解：|2x−3−2x−42|=2，化简2x−3−2x−42=2①或2x−3−2x−42=−2②．解①得x=3；解②得x=−1．∴原方程的解为x=3或−1．【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】先去掉绝对值，把原方程化成两个一元一次方程来解．【解答】解：|2x−3−2x−42|=2，化简2x−3−2x−42=2①或2x−3−2x−42=−2②．解①得x=3；解②得x=−1．∴原方程的解为x=3或−1．31.【答案】解：当x<−3时，原方程得：−x−3+x−1=x+1，解得：x=−5，满足x<−3，∴x=−5．当−3≤x≤1时，原方程得：x+3+x−1=x+1，解得：x=−1，满足−3≤x≤1，∴x=−1．当x>1时，原方程得：x+3−x+1=x+1，解得：x=3，满足x>1，∴x=3．∴方程的解为：x=−5、x=−1、x=3．【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】根据绝对值性质，去掉绝对值符号，题目应该分为三个取值范围进行讨论，分别为：x<−3，−3≤x≤1，x>1，去掉绝对值后，解三个一元一次方程．【解答】解：当x<−3时，原方程得：−x−3+x−1=x+1，解得：x=−5，满足x<−3，∴x=−5．当−3≤x≤1时，原方程得：x+3+x−1=x+1，解得：x=−1，满足−3≤x≤1，∴x=−1．当x>1时，原方程得：x+3−x+1=x+1，解得：x=3，满足x>1，∴x=3．∴方程的解为：x=−5、x=−1、x=3．32.【答案】解：|a−2|=3a−2=3或a−2=−3a=5或a=−1(b−1)2=4b−1=2或b−1=−2b=3或b=−1．①a=5，b=3，a−b=5−3=2；②a=5，b=−1，a−b=5+1=6；③a=−1，b=3，a−b=−1−3=−4；④a=−1，b=−1，a−b=−1+1=0；∴a−b的值为2，6，−4，0．【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】本题主要考查了绝对值及有理数的混合运算．【解答】解：|a−2|=3a−2=3或a−2=−3a=5或a=−1(b−1)2=4b−1=2或b−1=−2b=3或b=−1．①a=5，b=3，a−b=5−3=2；②a=5，b=−1，a−b=5+1=6；③a=−1，b=3，a−b=−1−3=−4；④a=−1，b=−1，a−b=−1+1=0；∴a−b的值为2，6，−4，0．33.【答案】解：当x<−1时，得：−3(x−1)+(x+1)=−2(x−2)解得：恒成立，∴x<−1当−1≤x≤1时得：−3(x−1)−(x+1)=−2(x−2)解得x=−1当1<x≤2时得：3(x−1)−(x+1)=−2(x−2)解得x=2当x>2时得：3(x−1)−(x+1)=2(x−2)解得：恒成立，则x>2．综上所述：x≤−1或x≥2．【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】根据绝对值性质，因为本题含有三个绝对值，因此需要分类讨论，根据取值区间的不同，去掉绝对值符号，解一元一次方程．【解答】解：当x<−1时，得：−3(x−1)+(x+1)=−2(x−2)解得：恒成立，∴x<−1当−1≤x≤1时得：−3(x−1)−(x+1)=−2(x−2)解得x=−1当1<x≤2时得：3(x−1)−(x+1)=−2(x−2)解得x=2当x>2时得：3(x−1)−(x+1)=2(x−2)解得：恒成立，则x>2．综上所述：x≤−1或x≥2．34.【答案】解：当x−1≥0，即x≥1时，方程化为2(x−1)+3=9，去括号得：2x−2+3=9，移项合并得：2x=8，解得：x=4；当x−1<0，即x<1时，方程化为−2(x−1)+3=9，去括号得：−2x+2+3=9，移项合并得：−2x=4，解得：x=−2，综上，原方程的解为−2或4．【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】分两种情况考虑：当x−1大于等于0与x−1小于0，利用绝对值的代数意义化简后，求出方程的解即可得到x的值．【解答】解：当x−1≥0，即x≥1时，方程化为2(x−1)+3=9，去括号得：2x−2+3=9，移项合并得：2x=8，解得：x=4；当x−1<0，即x<1时，方程化为−2(x−1)+3=9，去括号得：−2x+2+3=9，移项合并得：−2x=4，解得：x=−2，综上，原方程的解为−2或4．35.【答案】解：①当2x−4≥0时，方程化为|4x−11|=2x−1，即4x−11=2x−1或4x−11=1−2x，解得：x=5，或x=2，②当2x−4<0时，方程化为|5−4x|=2x−1，即5−4x=2x−1，或5−4x=1−2x，解得：x=1，或x=2（舍去），故方程|2|2x−4|−3|=2x−1的所有解的和为：5+2+1=8．【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】因为题目中带有绝对值符号，所以必须分两种情况进行讨论，去掉绝对值符号，得到两个一元一次方程，求出方程的根，即可得到结果．【解答】解：①当2x−4≥0时，方程化为|4x−11|=2x−1，即4x−11=2x−1或4x−11=1−2x，解得：x=5，或x=2，②当2x−4<0时，方程化为|5−4x|=2x−1，即5−4x=2x−1，或5−4x=1−2x，解得：x=1，或x=2（舍去），故方程|2|2x−4|−3|=2x−1的所有解的和为：5+2+1=8．36.【答案】；解：①当x<2时，原方程等价于2−x+3−x=2，解得x=32②当2≤x≤3时，原方程等价于x−2+3−x=2无解；③当x ≥3时，原方程等价于x −2+x −3=2，解得x =72， 综上所述：方程的解是x =72，x =32．【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】根据分类讨论：x <2，2≤x <3，x ≥3，可化简绝对值，根据解方程，可得答案．【解答】解：①当x <2时，原方程等价于2−x +3−x =2，解得x =32； ②当2≤x ≤3时，原方程等价于x −2+3−x =2无解；③当x ≥3时，原方程等价于x −2+x −3=2，解得x =72，综上所述：方程的解是x =72，x =32． 37.【答案】解：①当x ≥2时，x +1−(x −2)=1.5，方程不存在；②当−1≤x <2时，x +1+(x −2)=1.5，2x =2.5x =1.25；③当x <−1时，−x −1+(x −2)=1.5，方程不存在；∴ |x +1|−|x −2|=1.5的解是x =1.25．【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】分别讨论①x ≥4；②3≤x <4；③x <3；根据x 的范围去掉绝对值，解出x ，综合三种情况可得出x 的最终范围．【解答】解：①当x ≥2时，x +1−(x −2)=1.5，方程不存在；②当−1≤x <2时，x +1+(x −2)=1.5，2x =2.5x =1.25；③当x <−1时，−x −1+(x −2)=1.5，方程不存在；∴ |x +1|−|x −2|=1.5的解是x =1.25．38.【答案】解：①当x =−1时，2+2=4；②当x =3时，4+0=4；③当x <−1时，−x +1+3−x =4，解得：x =0，此时不符合x <−1；④当−1<x <3时，−x −1+3−x =4，解得：x =−2，此时不符合−1<x <3；⑤当x >3时，x +1+x −3=4，解得：x=3，此时不符合x>3；所以原方程的解为x=−1或x=3．【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】求出x+1=0和x−3=0的解，分为5种情况，再每种情况去掉绝对值符号后求出每个方程的解即可．【解答】解：①当x=−1时，2+2=4；②当x=3时，4+0=4；③当x<−1时，−x+1+3−x=4，解得：x=0，此时不符合x<−1；④当−1<x<3时，−x−1+3−x=4，解得：x=−2，此时不符合−1<x<3；⑤当x>3时，x+1+x−3=4，解得：x=3，此时不符合x>3；所以原方程的解为x=−1或x=3．39.【答案】解：（1）原方程可化为：4x−1=7①，4x−1=−7②解①得，x=2，解②得，x=−1.5；故方程的解为x=2或x=−1.5．（2）原方程可化为：x−3=4①，x−3=−4②解①得，x=7，解②得，x=−1．故方程的解为x=7或x=−1．【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】两个方程都含有绝对值，在解答时需要先去掉绝对值符号，分两种情况解答．【解答】解：（1）原方程可化为：4x−1=7①，4x−1=−7②解①得，x=2，解②得，x=−1.5；故方程的解为x=2或x=−1.5．（2）原方程可化为：x−3=4①，x−3=−4②解①得，x=7，解②得，x=−1．故方程的解为x=7或x=−1．40.【答案】解：(1)|3x−1|=5，3x−1=5或3x−1=−5，；所以x=2或x=−43(2)∵|x−2|≥0，∴当b+1<0，即b<−1时，方程无解；当b+1=0，即b=−1时，方程只有一个解；当b+1>0，即b>−1时，方程有两个解．【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】(1)先移项得到）|3x−1|=5，利用绝对值的意义得到3x−1=5或3x−1=−5，然后分别解两个一次方程；(2)利用绝对值的意义讨论：当b+1<0或b+1=0或b+1>0时确定方程的解的个数，【解答】解：(1)|3x−1|=5，3x−1=5或3x−1=−5，所以x=2或x=−4；3(2)∵|x−2|≥0，∴当b+1<0，即b<−1时，方程无解；当b+1=0，即b=−1时，方程只有一个解；当b+1>0，即b>−1时，方程有两个解．。

含绝对值符号的一元一次方程一．选择题（共5小题）1．若关于x的方程|2x﹣3|+m=0无解，|3x﹣4|+n=0只有一个解，|4x﹣5|+ k=0有两个解，则m，n，k的大小关系是（）A．m>n>k B．n>k>m C．k>m>n D．m>k>n2．方程|2x﹣1|﹣a=0恰有两个正数解，则a的取值范围是（）A．−1<a<0B．−1<a<1C．0<a<1D．12<a<13．适合|2a+7|+|2a﹣1|=8的整数a的值的个数有（）A．5B．4C．3D．24．已知x﹣y=4，|x|+|y|=7，那么x+y的值是（）A．±32B．±112C．±7D．±15．方程|2x﹣4|=0的解是（）A．2B．﹣2C．±2D．12二．填空题（共5小题）6．已知方程|x|=ax+1有一个负根但没有正根，则a的取值范围是．7．已知方程x−25=2−x+32的解也是方程|3x﹣2|=b的解，则b=．8．如果|a+3|=1，那么a=．9．若|x+1|=3，则x为．10．方程|x﹣3|=7的解为．三．解答题（共5小题）11．阅读下面的解题过程：解方程：|5x|=2．；解：（1）当5x≥0时，原方程可化为一元一次方程5x=2，解得x=25（2）当5x<0时，原方程可化为一元一次方程﹣5x=2，解得x=−2．5请同学们仿照上面例题的解法，解方程3|x﹣1|﹣2=10．12．解方程|x|﹣2=0，可以按下面的步骤进行：解：当x≥0时，得x﹣2=0．解这个方程，得x=2．当x<0时，得﹣x﹣2=0．解这个方程，得x=﹣2．所以原方程的解是x=2或x=﹣2．仿照上述的解题过程，解方程|x﹣2|﹣1=0．13．解方程：|x﹣2|+|x+1|=5．14．解方程：|x+1|+|x﹣3|=4．15．|2x+1|=5．含绝对值符号的一元一次方程参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．若关于x的方程|2x﹣3|+m=0无解，|3x﹣4|+n=0只有一个解，|4x﹣5|+k=0有两个解，则m，n，k的大小关系是（）A．m＞n＞k B．n＞k＞m C．k＞m＞n D．m＞k＞n【解答】解：（1）∵|2x﹣3|+m=0无解，∴m＞0．（2）∵|3x﹣4|+n=0有一个解，∴n=0．（3）∵|4x﹣5|+k=0有两个解，∴k＜0．∴m＞n＞k．故选A2．方程|2x﹣1|﹣a=0恰有两个正数解，则a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜0B．﹣1＜a＜1C．0＜a＜1D．＜a＜1【解答】解：∵方程|2x﹣1|﹣a=0恰有两个正数解，∴，解得：0＜a＜1．故选C．3．适合|2a+7|+|2a﹣1|=8的整数a的值的个数有（）A．5B．4C．3D．2【解答】解：由此可得2a为﹣6，﹣4，﹣2，0的时候a取得整数，共四个值．故选B．4．已知x﹣y=4，|x|+|y|=7，那么x+y的值是（）A．±B．±C．±7D．±1【解答】解：由x﹣y=4，得：x=y+4，代入|x|+|y|=7，∴|y+4|+|y|=7，①当y≥0时，原式可化为：2y+4=7，解得：y=，②当y≤﹣4时，原式可化为：﹣y﹣4﹣y=7，解得：y=，③当﹣4＜y＜0时，原式可化为：y+4﹣y=7，故此时无解；所以当y=时，x=，x+y=7，当y=时，x=，x+y=﹣7，综上：x+y=±7．故选C．5．方程|2x﹣4|=0的解是（）A．2B．﹣2C．±2D．【解答】解：由|2x﹣4|=0，得2x﹣4=0．解得x=2，故选：A．二．填空题（共5小题）6．已知方程|x|=ax+1有一个负根但没有正根，则a的取值范围是a＞﹣1．【解答】解：由题意，得﹣x=ax+1，（a+1）x=﹣1，a+1＞0，解得a＞﹣1，故答案为：a＞﹣1．7．已知方程的解也是方程|3x﹣2|=b的解，则b=．【解答】解：2（x﹣2）=20﹣5（x+3），2x﹣4=20﹣5x﹣15，7x=9，解得：x=．把x=代入方程|3x﹣2|=b得：|3×﹣2|=b，解得：b=．故答案为：．8．如果|a+3|=1，那么a=﹣2或﹣4．【解答】解：∵|a+3|=1，∴a+3=1或a+3=﹣1，∴a=﹣2或﹣4．故答案为：﹣2或﹣4．9．若|x+1|=3，则x为2或﹣4．【解答】解：由|x+1|=3，∴x+1=3或x+1=﹣3，解得：x=2或x=﹣4．故答案为：﹣4或2．10．方程|x﹣3|=7的解为x=10@x=﹣4．【解答】解：∵|x﹣3|=7，∴x﹣3=±7，解得：x=10或﹣4．三．解答题（共5小题）11．阅读下面的解题过程：解方程：|5x|=2．解：（1）当5x≥0时，原方程可化为一元一次方程5x=2，解得x=；（2）当5x＜0时，原方程可化为一元一次方程﹣5x=2，解得x=﹣．请同学们仿照上面例题的解法，解方程3|x﹣1|﹣2=10．【解答】解：（1）当x﹣1≥0时，原方程可化为一元一次方程3（x﹣1）﹣2=10，解得x=5；（2）当x﹣1＜0时，原方程可化为一元一次方程﹣3（x﹣1）﹣2=10，解得x=﹣3．12．解方程|x|﹣2=0，可以按下面的步骤进行：解：当x≥0时，得x﹣2=0．解这个方程，得x=2．当x＜0时，得﹣x﹣2=0．解这个方程，得x=﹣2．所以原方程的解是x=2或x=﹣2．仿照上述的解题过程，解方程|x﹣2|﹣1=0．【解答】解：当x≥2时，原方程即：x﹣2﹣1=0，解得：x=3；当x＜2时，原方程即：2﹣x﹣1=0，解得：x=1．则方程的解是：x=3或x=1．13．解方程：|x﹣2|+|x+1|=5．【解答】解：x＜﹣1时，x+1＜0，x﹣2＜0，原方程化为﹣（x﹣2）﹣（x+1）=5，解得x=﹣2，﹣1＜x＜2时，x+1＞0，x﹣2＜0，原方程化为﹣（x﹣2）+（x+1）=5，方程无解，x＞2时，x+1＞0，x﹣2＞0，原方程化为（x﹣2）+（x+1）=5，解得x=3，所以，原方程的解是x=﹣2或x=3．14．解方程：|x+1|+|x﹣3|=4．【解答】解：①当x=﹣1时，0+4=4；②当x=3时，4+0=4；③当x＜﹣1时，﹣x﹣1+3﹣x=4，解得：x=﹣1，此时不符合x＜﹣1；④当﹣1＜x＜3时，x+1+3﹣x=4，4=4；⑤当x＞3时，x+1+x﹣3=4，解得：x=3，此时不符合x＞3；所以原方程的解为x=﹣1或x=3．15． |2x+1|=5．【解答】解：根据题意，原方程可化为：①2x+1=5；②2x+1=﹣5，解得x=2；x=﹣3．。

二、填空题1、解方程，则x=﹣5或7．考点：含绝对值符号的一元一次方程。

专题：计算题。

分析：先去绝对值，然后解方程．依据绝对值的意义，±3的绝对值是3，从而将原方程可化为两个方程（1）=3，（2）=﹣3，然后解出x的值．解答：解：根据绝对值的意义，将原方程可化为：（1）=3；（2）=﹣3．解（1）得x=﹣5，解（2）得x=7．故填﹣5或7．点评：本题结合方程考查了绝对值的意义，解题时要注意分类讨论．2、满足方程|x+2|+|x﹣3|=5的x的取值范围是﹣2≤x≤3．考点：含绝对值符号的一元一次方程。

专题：分类讨论。

分析：分别讨论①x≥3，②﹣2＜x＜3，③x≤﹣2，根据x的范围去掉绝对值，解出x，综合三种情况可得出x的最终范围．解答：解：从三种情况考虑：第一种：当x≥3时，原方程就可化简为：x+2+x+3=5，解得：x=3；第二种：当﹣2＜x＜3时，原方程就可化简为：x+2﹣x+3=5，恒成立；第三种：当x≤﹣2时，原方程就可化简为：﹣x﹣2+3﹣x=5，解得：x=﹣2；所以x的取值范围是：﹣2≤x≤3．点评：解一元一次方程，注意最后的解可以联合起来，难度很大．3、若，则x=6或0．考点：含绝对值符号的一元一次方程。

专题：计算题。

分析：绝对值中，|a|=，由，可得﹣1=±1，故问题可求．解答：解：∵，∴﹣1=±1，∴x=6或0．故填6或0．点评：本题考查绝对值方程问题，规律：若|a|=m，（m＞0），则转化为a=±m来求解．4、方程|x﹣3|=1的解为4或2．考点：含绝对值符号的一元一次方程。

专题：计算题。

分析：方程含有绝对值，在解答时需要先去掉绝对值符号，分两种情况解答．解答：解：原方程可化为x﹣3=1①，x﹣3=﹣1 ②解①得x=4，解②得x=2．故填4或2．点评：解本题的关键是去掉绝对值，而去绝对值的关键问题是分类讨论．5、关于方程|x﹣3|+4=5的解为4或2．考点：含绝对值符号的一元一次方程。

几种类型的一元一次方程的解法 解一元一次方程时，一般按照“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”等步骤来进行，但是对于某些特殊类型的一元一次方程，需根据实际情况来进行求解.下面分类举例说明.一、含绝对值的方程的解法解含有绝对值符号的一元一次方程的基本思路就是去掉绝对值符号.转化为一般方程来求解.常用的转化方法有以下几种：（一）、对于最简绝对值方程，依据绝对值的定义，去掉绝对值符号，化为两个一元一次方程分别解之，即：若||x a = ，则x a =± .例1.（2001年湖南常德中考题）已知|31|2x -=，则x =（ ）.（A ）1 （B ）－13 （C ）1或－13（D ）无解 解：由绝对值的定义，得312312x x -=-=-或，分别解得113x x ==-或，故选（C ）. 例2.（1996年“希望杯”赛题）若||,x a =则||x a -=（ ）.（A ）0或2a （B ）x a - （C ）a x - （D ）0 解：由绝对值的定义，得x a =±，分别代入||x a -中得： 当x a =时，||0x a -=；当x a =-时，||2x a a -=.故选（A ）. 例 3.（2001年重庆市竞赛题）若|20002000|202000x +=⨯.则x 等于（ ）.（A ）20或－21 （B ）－20或21（C ）－19或21 （D ）19或－21 解：由绝对值的定义，得|20002000|202000x +=±⨯，分别解得1921x x ==-或.故选（D ）.同步练习：1.（1997年四川省初中数学竞赛题）方程|5|25x x -+=-的根是_________.2.（2000年山东省初中数学竞赛题）已知关于x 的方程22()mx m x +=-的解满足1||102x --=，则x 的值是（ ）.（A ）10或25 （B ）10或－25（C ）－10或25 （D ）－10或－253.（2000年重庆市初中数学竞赛题）方程|56|65x x +=-的解是_________.答案：1.x =－10；2.（C ）；3.11x = .（二）、对于含有双重或多重绝对值符号的较复杂的绝对值方程，可用零点分段法分类讨论转化为最简绝对值方程来解.例4.（“迎春杯”竞赛题）解方程|3||1|1x x x +--=+ 分析与解：（1）定零点令x ＋3＝0，x －1＝0.解得x ＝－3，x ＝1.（2）对x 的取值分段讨论以－3，1为界将数轴分为三段，即x ≤－3，－3＜x ≤1，x ＞1.（3）分别在每一段上讨论当x ≤－3时，－x －3＋x －1＝x ＋1，解得x ＝－5.当－3＜x ≤1时，x ＋3＋x －1＝x ＋1，解得x ＝－1.当x ＞1时，x ＋3－x ＋1＝x ＋1，解得x ＝3.同步练习：1.（2000年“希望杯”竞赛题）若0a <，则200011||a a+等于（ ）.（A ）2007a （B ）－2007a （C ）－1989a （D ）1989a2.（“江汉杯”竞赛题）方程|1||99||2|1992x x x +++++=共有（）个解.（A）4 （B）3 （C）2 （D）1答案：1.（D）；2.（C）.（三）、对于某些特殊的绝对值方程，还可借助数轴用绝对值的几何意义求解.例5.（第11届“希望杯”竞赛题）适合|27||21|8++-=a a的整数的值的个数有（）.（A）5 （B）4 （C）3 （D）2解：由已知知，即在数轴上表示2a的点到－7和＋1的点的距离的和等于8，所以2a表示－7到＋1之间的偶数，有－6、－4、－2、0四个.故选（B）.例 6.（1999年武汉市竞赛题）若0,0><则使a b-+-=-成立的的取值范围是_______.x a x b a b||||解：||-表示数x和b的x bx a-表示数x和a的点的距离，||点的距离，a－b表示a、b的点的距离，可知，表示x的点应位于表示a、b的两点之间.故b≤x≤a即为所求的x的取值范围.同步练习：1.（1998年“希望杯”竞赛题）适合关系式|34||32|6-++=x x的整数的值是（）.（A）0 （B）1 （C）2 （D）大于2的自然数2.（“祖冲之杯”竞赛题）解方程x x-+-=：.|1||5|4答案：1.（C）；2.1≤x≤5.二、含字母系数的一元一次方程一个一元一次方程中，除了未知数以外，还有其它字母的方程叫做含有字母系数的方程，那么，这类方程怎样解呢？含字母系数的一元一次方程总可化为ax b=的形式.其方程的解由a b、的取值范围确定或对解方、的取值范围确定，当字母a b程的过程并未产生实质性的影响时，其解法同数字系数的一元一次方程一样；当字母a b、的取值范围围给出时，则需讨论解的情况.例7.解下列关于的方程：()()()(0)cx b c x a b x b a x a c--=---+≠.分析：这个方程中除了字母x外，还有字母a b c、、，由于说明是关于x的方程，应视为x未知数，a b c、、为已知数，故去括号，移项，合并同类项等整理时都要以x为未知数进行.例8.解关于x的方程：.分析：这个方程仍然以x为未知数，看作已知数来解.同步练习：解关于的方程.答案：11 xa =-.。

专题26 解含绝对值的一元一次方程1．同学们都知道，|5(2)|--表示5与2-的差的绝对值，实际上也可理解为5与2-两数在数轴上所对应的两点之间的距离:同理|4|x -也可理解为x 与4两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索:（1）求|5(2)|--= ;（2）若|2|6x -=，则x = ;（3）请你找出所有符合条件的整数x ,使得|2||3|5x x -++=.2．方程22019x x +=的解为__________． 3．已知关于x 的方程12x a +=+只有一个解，那么201819315x a --的值为______． 4．如图，在关于x 的方程x a b -=（a ，b 为常数）中，x 的值可以理解为：在数轴上，到A 点的距离等于b 的点X 对应的数．例如：因为到实数1对应的点A 距离为3的点X 对应的数为4和-2，所以方程13x -=的解为4x =，2x =-．用上述理解，可得方程32x -=的解为______．5．阅读与探究：如：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”．如：2x =，213x -=，…，都是含有绝对值的方程，有绝对值的方程的解呢基本思路是：把“含有绝对值的方程”转化为“不含有绝对值的方程”．例如： 解方程23x x +=.解：当0x ≥时，方程可化为：23x x +=，解得1x =，符合题意．当0x <时，方程可化为：23x x -=，解得3x =-，符合题意．所以，原方程的解为：1x =或3x =-.根据以上材料解决下列问题：(1)若33x x -=-，则x 的取值范围是________________；(2)方程30x +=的解的个数是________________；(3)方程32x +=的解是_________________；(4)解方程：317x x +-=． (5)若关于x 的方程31x b +=+有两个解，直接写出b 的取值范围．6．阅读与写作：一个数学问题，在特定的题设下，有时其结论并不唯一，因而我们需要对这一问题进行必要的分类，将一个数学问题根据题设分为有限的若干种情况，在每一种情况中分别求解，最后再将各种情况下得到的结果进行归纳综合，这种解决问题的思维方法在数学上称为“分类讨论”例如在解方程32x +=时，我们就可以利用这种思维方式来解决．当30x +≥时，原方程可化为32x +=，解得1x =-；当30x +<时，原方程可化为32x +=-，解得5x =-．所以原方程的解是1x =-或5x =-． （1）请你用这种思维方式解方程3240x --=．（2）围绕“分类讨论”这一主题撰写一篇数学小文章，题目自拟．（要求：书写端正，字数限于100字内．）7．阅读下面的解题过程：解方程：|x +3|=2．解：当x +3≥0时，原方程可化成为x +3=2解得x =-1，经检验x =-1是方程的解；当x +3＜0，原方程可化为，-（x +3）=2解得x =-5，经检验x =-5是方程的解．所以原方程的解是x =-1，x =-5．解答下面的两个问题：（1）解方程：|3x -2|-4=0；探究：当值a 为何值时，方程|x -2|=a ， ①无解；②只有一个解；③有两个解．8．有些含绝对值的方程，可以通过讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程求解．例如：解方程2||3x x +=，解：当0x ≥时，方程可化为：23x x +=，解得1x =，符合题意；当0x <时，方程可化为：23x x -=，解得3x =-，符合题意．所以，原方程的解为1x =或3x =-．请根据上述解法，完成以下两个问题：（1）解方程：2|1|3x x +-=；（2）试说明关于x 的方程|3||1|x x a ++-=解的情况．9．先阅读下列的解题过程，然后回答下列问题.例：解绝对值方程：21=x .解：讨论：①当0x ≥时，原方程可化为21x =，它的解是12x =； ②当0x <时，原方程可化为21x -=，它的解是12x =-.原方程的解为12x =或12x =-. （1）依例题的解法，方程算132x =的解是_______； （2）尝试解绝对值方程：2|2|6x -=；（3）在理解绝对值方程解法的基础上，解方程：|2||1|3x x -+-=.10．阅读材料：我们知道：点A ．B 在数轴上分别表示有理数a 、b ，A ．B 两点之间的距离表示为AB ，在数轴上A ．B 两点之间的距离AB =|a -b |．所以式子|x −3|的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x 的点之间的距离．根据上述材料，解答下列问题：（1）若|x −3|=4，则x =______；（2）式子|x −3|=|x +1|，则x =______；（3）若|x −3|+|x +1|=9，借助数轴求x 的值．11．我们知道，|a |表示数a 到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上有两个点A ,B ,分别用a ，b 表示，那么A ,B 两点间的距离为AB a b ，利用此结论，回答以下问题：(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是 ；(2)数轴上表示x 和﹣1的两点A ．B 之间的距离是 ，如果|AB |＝2，那么x 的值为 ；(3)求|x ﹣3|+|x +5|的最小值是： ．(4)若|x ﹣3|＝|x +5|，则x ＝ ．若|x ﹣3|＝3|x +5|，则x ＝ ．12．在学习绝对值后，我们知道，|a |表示数a 在数轴上的对应点与原点的距离．如：|5|表示5在数轴上的对应点到原点的距离，而|5|＝|5﹣0|，即|5﹣0|表示5、0在数轴上对应的两点之间的距离．类似的有|5﹣3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离：|5+3|＝|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5、﹣3在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点A 、B 在数轴上分别表示有理数a 、b ，那么A 、B 两点之间的距离可表示为|a ﹣b |．请根据绝对值的意义并结合数轴解答下列问题：(1)数轴上表示2和﹣3的两点之间的距离是 ；数轴上P 、Q 两点之间的距离为3，若点P 表示的数是﹣2，则点Q 表示的数是 ．(2)点A 、B 、C 在数轴上分别表示有理数x 、﹣4、3，那么A 到B 的距离是 ；A 到C 的距离 ．（用含绝对值的式子表示）(3)若|x ﹣3|+|x +4|＝11，则x 的值为 ．(4)若|x ﹣3|+|x +4|＝7，则x 的取值范围值为 ． 13．同学们都知道，()52--表示5与-2的差的绝对值，实际上也理解为5与-2两数在数轴上对应的两点之间的距离，回答下列问题：（1）()52--=_______。

6.2.5含绝对值符号的一元一次方程完成时间：40min一．选择题（共30小题）1．已知|2﹣x|=4，则x的值是（）A．﹣3 B．9 C．﹣3或9 D．以上结论都不对2．已知关于x的方程|5x﹣4|+a=0无解，|4x﹣3|+b=0有两个解，|3x﹣2|+c=0只有一个解，则化简|a﹣c|+|c﹣b|﹣|a ﹣b|的结果是（）A．2a B．2b C．2c D．03．方程|3x|+|x﹣2|=4的解的个数是（）A．0B．1C．2D．34．已知关于x的方程mx+2=2（m﹣x）的解满足方程|x﹣|=0，则m的值为（）A．B．2C．D．35．方程|2x﹣6|=0的解是（）A．3B．﹣3 C．±3 D．6．若|x﹣1|=3，则x=（）A．4B．﹣2 C．±4 D．4或﹣27．方程|2x﹣1|=4x+5的解是（）A．x=﹣3或x=﹣B．x=3或x=C．x=﹣D．x=﹣38．若关于x的方程|x|=2x+1的解为负数，则x的值为（）A．B．C．D．﹣19．方程|x﹣3|+|x+3|=6的解的个数是（）A．2B．3C．4D．无数个10．若|x﹣2|=3，则x的值是（）A．1B．﹣1 C．﹣1或5 D．以上都不对11．方程|3x|=18的解的情况是（）A．有一个解是6 B．有两个解，是±6 C．无解D．有无数个解12．如果|x﹣1|+x﹣1=0，那么x的取值范围是（）A．x＞1 B．x＜1 C．x≥1 D．x≤1 13．若|2000x+2000|=20×2000，则x等于（）14．已知关于x的方程|x|=ax﹣a有正根且没有负根，则a的取值范围是（）A．a＞1 B．a≤﹣1 C．a＞2或a≤﹣2 D．a＞1或a≤﹣115．适合|2a+7|+|2a﹣1|=8的整数a的值的个数有（）A．2B．4C．8D．1616．若|x|=3x+1，则（4x+2）2005=（）A．﹣1 B．0C．0或1 D．117．方程|2x﹣1|﹣a=0恰有两个正数解，则a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜0 B．﹣1＜a＜1 C．0＜a＜1 D．＜a＜1 18．已知x﹣y=4，|x|+|y|=7，那么x+y的值是（）A．±B．±C．±7 D．±119．适合关系式|3x﹣4|+|3x+2|=6的整数x的值有（）个．A．0B．1C．2D．大于2的自然数20．若单项式﹣2a|x|b|4x|和32ab3﹣x的相同字母的指数相同，则x的整数值等于（）A．1B．﹣1 C．±1 D．±1以外的数21．方程|2007x﹣2007|=2007的解是（）A．0B．2C．1或2 D．2或022．满足||x﹣1|﹣|x||﹣|x﹣1|+|x|=1的x的值是（）A．0B．±C．D．±23．如果方程|3x|﹣ax﹣1=0的根是负数，那么a的取值范围是（）A．a＞3 B．a≥3 C．a＜3 D．a≤324．关于x的含有绝对值的方程|2x﹣1|﹣|x|=2的不同实数解共有（）个．A．1B．2C．3D．425．方程|x﹣19|+|x﹣93|=74的有理数解（）A．至少有3个B．恰好有2个C．恰有1个D．不存在26．方程2|x|+3=5的解是（）A．1B．﹣1 C．1和﹣1 D．无解27．绝对值方程||x﹣2|﹣|x﹣6||=l的不同实数解共有多少个（）A．2B．4C．l D．028．||||x﹣1|﹣1|﹣1|﹣1|=0是一个含有4重绝对值符号的方程，则（）A．0，2，4全是根B．0，2，4全不是C．0，2，4不全是D．0，2，4之外没29．使方程3|x+2|+2=0成立的未知数x的值是（）A．﹣2 B．0C．D．不存在30．方程|x+5|﹣|3x﹣7|=1的解有（）A．1个B．2个C．3个D．无数个6.2.5含绝对值符号的一元一次方程参考答案与试题解析一．选择题（共30小题）1．已知|2﹣x|=4，则x的值是（）A．﹣3 B．9C．﹣3或9 D．以上结论都不对考点：含绝对值符号的一元一次方程．专题：计算题．分析：绝对值为4的数是±4，从而可去掉绝对值符号，计算即可．解答：解：∵|2﹣x|=4，∴2﹣x=4或2﹣x=﹣4，解得：x=﹣3或9；故选C．点评：本题考查解一元一次方程的解法；解一元一次方程常见的思路有通分，移项，左右同乘除等．2．已知关于x的方程|5x﹣4|+a=0无解，|4x﹣3|+b=0有两个解，|3x﹣2|+c=0只有一个解，则化简|a﹣c|+|c﹣b|﹣|a﹣b|的结果是（）A．2a B．2b C．2c D．0考点：含绝对值符号的一元一次方程．专题：计算题．分析：根据关于x的方程|5x﹣4|+a=0无解，|4x﹣3|+b=0有两个解，|3x﹣2|+c=0只有一个解，可判断出a，b，c的取值范围，进而求解．解答：解：根据关于x的方程|5x﹣4|+a=0无解，可得出：a＞0，由|4x﹣3|+b=0有两个解，可得出：b＜0，由|3x﹣2|+c=0只有一个解，可得出；c=0，故|a﹣c|+|c﹣b|﹣|a﹣b|可化简为：|a|+|b|﹣|a﹣b|=a﹣b﹣a+b=0．故选D．点评：本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，难度不大，关键是根据已知条件判断出a，b，c的取值范围．然后化简．3．方程|3x|+|x﹣2|=4的解的个数是（）A．0B．1C．2D．3考点：含绝对值符号的一元一次方程．专题：分类讨论．分析：根据x的取值范围取绝对值，所以需要分类讨论：①当x≥2时；②当0＜x＜2时；③当x＜0时；根据x 的三种取值范围来解原方程．解答：解：①当x≥2时，由原方程，得3x+x﹣2=4，即4x﹣2=4，②当0＜x＜2时，由原方程，得3x﹣x+2=4，解得x=1；③当x＜0时，由原方程，得﹣3x﹣x+2=4，解得x=﹣．综上所述，原方程有2个解．故选C．点评：本题考查了含绝对值符号的一元一次方程．解这类题目时，一定要分类讨论，以防漏解．4．已知关于x的方程mx+2=2（m﹣x）的解满足方程|x﹣|=0，则m的值为（）A．B．2C．D．3考点：含绝对值符号的一元一次方程；一元一次方程的解．专题：计算题．分析：本题中有2个方程，且是同解方程，一般思路是：先求出不含字母系数的方程的解，再把解代入到含有字母系数的方程中，求字母系数的值．解答：解：∵|x﹣|=0，∴x=，把x代入方程mx+2=2（m﹣x）得：m+2=2（m﹣），解之得：m=2；故选B．点评：此类题型的特点是，有2个方程，一个含有字母系数，一个是不含字母系数的方程，2方程同解，求字母系数的值．一般方法是：先求出不含字母系数的方程的解，再把解代入到含有字母系数的方程中，求字母系数的值．5．方程|2x﹣6|=0的解是（）A．3B．﹣3 C．±3 D．考点：含绝对值符号的一元一次方程．分析：根据非负数的性质去掉绝对值符号，求出未知数的值即可．解答：解：∵|2x﹣6|=0，∴2x﹣6=0，∴x=3．故选A．点评：本题考查的是非负数的性质，是中学阶段的基础题．6．若|x﹣1|=3，则x=（）A．4B．﹣2 C．±4 D．4或﹣2考点：含绝对值符号的一元一次方程．专题：分类讨论；方程思想．分析：根据绝对值的意义，得出x﹣1=±3，可解得x的值．注意结果有两个．所以x﹣1=±3，解得x=4或﹣2．故选D．点评：本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，注意绝对值都是非负数，互为相反数的两数绝对值相等．7．方程|2x﹣1|=4x+5的解是（）A．x=﹣3或x=﹣B．x=3或x=C．x=﹣D． x=﹣3考点：含绝对值符号的一元一次方程．专题：计算题．分析：根据绝对值的性质去掉绝对值符号，再根据解一元一次方程的步骤求解即可．解答：解：①当2x﹣1≥0，即x≥时，原式可化为：2x﹣1=4x+5，解得，x=﹣3，舍去；②当2x﹣1＜0，即x＜时，原式可化为：1﹣2x=4x+5，解得，x=﹣，符合题意．故此方程的解为x=﹣．故选C．点评：此题比较简单，解答此题的关键是根据绝对值的性质去掉绝对值符号，不要漏解．8．若关于x的方程|x|=2x+1的解为负数，则x的值为（）A．B．C．D．﹣1考点：含绝对值符号的一元一次方程．专题：分类讨论．分析：分两种情况去解方程即可①x≥0；②x＜0．解答：解：①当x≥0时，去绝对值得，x=2x+1，得x=﹣1，不符合预设的x≥0，舍去．②当x＜0时，去绝对值得，﹣x=2x+1，得x=﹣．故选B．点评：本题考查了一元一次方程的去绝对值的解法．要分类讨论．9．方程|x﹣3|+|x+3|=6的解的个数是（）A．2B．3C．4D．无数个考点：含绝对值符号的一元一次方程．分析：根据x的取值范围取绝对值，所以需要分类讨论：①当x≥3时；②当﹣3≤x＜3时；③当x＜﹣3时；根据x的三种取值范围来解原方程即可．解答：解：当x≥3时，原方程可变形为：x﹣3+x+3=6，解得：x=3，当﹣3≤x＜3时，原方程可变形为：﹣x+3+x+3=6，得出原方程有无数个解；当x＜﹣3时，原方程可变形为：﹣x+3﹣x﹣3=6，解得：x=﹣3，故选D．点评：本题考查了含绝对值符号的一元一次方程．解这类题目时，一定要分类讨论，以防漏解．10．若|x﹣2|=3，则x的值是（）A．1B．﹣1 C．﹣1或5 D．以上都不对考点：含绝对值符号的一元一次方程．专题：计算题．分析：|x﹣2|=3去绝对值，可得x﹣2=±3，然后计算求解．解答：解：∵|x﹣2|=3，∴x﹣2=±3，∴x=﹣1或5．故选C．点评：此题考查了绝对值的性质，要求掌握绝对值的性质及其定义，并能熟练运用到实际运算当中．绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．11．方程|3x|=18的解的情况是（）A．有一个解是6 B．有两个解，是±6 C．无解D．有无数个解考点：含绝对值符号的一元一次方程．专题：计算题；分类讨论．分析：去绝对值符号时，要分两种情况进行讨论，即x≥0和x＜0两种情况．解答：解：∵|3x|=18∴这个方程就变形为3x=±18两个方程．当x≥0时，3x=18，∴x=6当x＜0时，﹣3=18，∴x=﹣6故选B．点评：解方程的过程就是一个方程变形的过程，变形的依据是等式的基本性质，变形的目的是变化成x=a的形式．解决本题还要运用分类讨论思想．12．如果|x﹣1|+x﹣1=0，那么x的取值范围是（）A．x＞1 B．x＜1 C．x≥1 D．x≤1考点：绝对值；含绝对值符号的一元一次方程．专题：计算题．分析：先根据绝对值的性质讨论x﹣1的符号，确定出x的取值范围，再解关于x的一元一次方程，求出x的值．解答：解：当x﹣1≥0，即x≥1时，原方程可化为x﹣1+x﹣1=0，解得，x=1；当x﹣1＜0，即x＜1时，原方程可化为1﹣x+x﹣1=0，x无解．综上所述原方程的解集是x≤1，故选D．点评：本题考查的是含绝对值符号的一元一次方程，解答此题的关键是熟知绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0；13．若|2000x+2000|=20×2000，则x等于（）A．20或﹣21 B．﹣20或21 C．﹣19或21 D．19或﹣21专题：计算题．分析：根据|2000x+2000|=2000|x+1|=20×2000，约分得：|x+1|=20，然后去掉绝对值即可．解答：解：根据|2000x+2000|=2000|x+1|=20×2000，约分得：|x+1|=20，∴x+1=20或﹣（x+1）=20，移项解得：x=19或x=﹣21．故选D．点评：本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，难度不大，关键是正确去掉绝对值符号，不要漏解．14．已知关于x的方程|x|=ax﹣a有正根且没有负根，则a的取值范围是（）A．a＞1 B．a≤﹣1 C．a＞2或a≤﹣2 D．a＞1或a≤﹣1考点：含绝对值符号的一元一次方程．分析：根据绝对值的性质和方程|x|=ax﹣a有正根且没有负根，确定a的取值范围．解答：解：①当ax﹣a≥0，a（x﹣1）＞0，解得：x≥1 且a≥0，或者x≤1且a≤0，②正根条件：x＞0，x=ax﹣a，即x=＞0，解得：a＞1 或a＜0，由①，即得正根条件：a＞1 且x≥1，或者a＜0，0＜x≤1，③负根条件：x＜0，得：﹣x=ax﹣a，解得：x=＜0，即﹣1＜a＜0，由①，即得负根条件：﹣1＜a＜0，x＜0，根据条件：只有正根，没有负根，因此只能取a＞1（此时x≥1，没负根），或者a≤﹣1（此时0＜x≤1，没负根）．综合可得，a＞1或a≤﹣1．故选：D．点评：此题主要考查了含绝对值符号的一元一次方程，根据绝对值的性质，要分x≥0和x＜0，两种情况进行讨论，确定a的取值范围．15．适合|2a+7|+|2a﹣1|=8的整数a的值的个数有（）A．2B．4C．8D．16考点：含绝对值符号的一元一次方程．分析：先分别讨论绝对值符号里面代数式值，然后去绝对值，解一元一次方程即可求出a的值．解答：解：（1）当2a+7≥0，2a﹣1≥0时，可得，|2a+7|+|2a﹣1|=82a+7+2a﹣1=8，解得，a=解不等式2a+7≥0，2a﹣1≥0得，a≥﹣，a≥，所以a≥，而a又是整式，（2）当2a+7≤0，2a﹣1≤0时，可得，|2a+7|+|2a﹣1|=8﹣2a﹣7﹣2a+1=8，解得，a=﹣解不等式2a+7≤0，2a﹣1≤0得，a≤﹣，a≤，所以a≤﹣，而a又是整数，故a=﹣不是方程的一个解；（3）当2a+7≥0，2a﹣1≤0时，可得，|2a+7|+|2a﹣1|=82a+7﹣2a+1=8，解得，a可为任何数．解不等式2a+7≥0，2a﹣1≤0得，a≥﹣，a≤，所以﹣≤a≤，而a又是整数，故a的值有：﹣3，﹣2，﹣1，0．（4）当2a+7≤0，2a﹣1≥0时，可得，|2a+7|+|2a﹣1|=8﹣2a﹣7+2a﹣1=8，可见此时方程不成立，a无解．综合以上4点可知a的值有四个：﹣3，﹣2，﹣1，0．故选B．点评：本题主要考查去绝对值及解一元一次方程的方法：解含绝对值符号的一元一次方程要根据绝对值的性质和绝对值符号内代数式的值分情况讨论，即去掉绝对值符号得到一般形式的一元一次方程，再求解．16．若|x|=3x+1，则（4x+2）2005=（）A．﹣1 B．0C．0或1 D．1考点：含绝对值符号的一元一次方程；绝对值；有理数的乘方；解一元一次方程．专题：计算题．分析：当x≥0时去绝对值符号，求出方程的解；当x＜0时，去绝对值符号，求出方程的解，代入求出即可．解答：解：当x≥0时，原方程化为：x=3x+1，∴x=﹣＜0（舍去），当x＜0时，原方程化为：﹣x=3x+1，∴x=﹣，∴（4x+2）2005==1，故选D．点评：本题主要考查对绝对值，解一元一次方程，含绝对值符号的一元一次方程，有理数的乘方等知识点的理解和掌握，求出未知数x的值是解此题的关键．17．方程|2x﹣1|﹣a=0恰有两个正数解，则a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜0 B．﹣1＜a＜1 C．0＜a＜1 D．＜a＜1考点：含绝对值符号的一元一次方程．分析：由方程|2x﹣1|﹣a=0恰有两个正数解，即可得不等式组，解此不等式组即可求得答案．解答：解：∵方程|2x﹣1|﹣a=0恰有两个正数解，∴，解得：0＜a＜1．故选C．点评：此题考查了含绝对值符号的一元一次方程的求解方法．此题难度较大，解题的关键是根据题意得到不等式组：．18．已知x﹣y=4，|x|+|y|=7，那么x+y的值是（）A．±B．±C．±7 D．±1考点：含绝对值符号的一元一次方程．专题：计算题．分析：根据x﹣y=4，得：x=y+4，代入|x|+|y|=7，然后分类讨论y的取值即可．解答：解：由x﹣y=4，得：x=y+4，代入|x|+|y|=7，∴|y+4|+|y|=7，①当y≥0时，原式可化为：2y+4=7，解得：y=，②当y≤﹣4时，原式可化为：﹣y﹣4﹣y=7，解得：y=，③当﹣4＜y＜0时，原式可化为：y+4﹣y=7，故此时无解；所以当y=时，x=，x+y=7，当y=时，x=，x+y=﹣7，综上：x+y=±7．故选C．点评：本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，难度适中，关键是把x用y表示出来后进行分类讨论y的取值范围．19．适合关系式|3x﹣4|+|3x+2|=6的整数x的值有（）个．A．0B．1C．2D．大于2的自然数考点：含绝对值符号的一元一次方程．专题：计算题；分类讨论．分析：分别讨论①x≥，②﹣＜x＜，③x≤﹣，根据x的范围去掉绝对值，解出x，综合三种情况可得出x 的最终范围．解答：解：从三种情况考虑：第一种：当x≥时，原方程就可化简为：3x﹣4+3x+2=6，解得：x=；第二种：当﹣＜x＜时，原方程就可化简为：﹣3x+4+3x+2=6，恒成立；第三种：当x≤﹣时，原方程就可化简为：﹣3x+4﹣3x﹣2=6，解得：x=﹣；所以x的取值范围是：﹣≤x≤，故符合条件的整数位：0，1．故选C．点评：本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，难度不大，关键掌握正确分类讨论x的取值范围．20．若单项式﹣2a|x|b|4x|和32ab3﹣x的相同字母的指数相同，则x的整数值等于（）A．1B．﹣1 C．±1 D．±1以外的数考点：同类项；含绝对值符号的一元一次方程．专题：计算题．分析：根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）列出方程|x|=1，|4x|=3﹣x，即可求出x的值．解答：解：由同类项的定义得：|x|=1，解得x=±1，又|4x|=3﹣x，解得x=﹣1或x=，∴x=﹣1．故选B．点评：本题考查了同类项的知识，属于基础题，注意判断两个项是不是同类项，只要两看，即一看所含有的字母是否相同，二看相同字母的指数是否相同．21．方程|2007x﹣2007|=2007的解是（）A．0B．2C．1或2 D．2或0考点：含绝对值符号的一元一次方程．专题：数形结合．分析：分别讨论x≥1，x＜1，可求得方程的解．解答：解：①当x≥1时，原方程可化为：2007x﹣2007=2007，解得：x=2，②当x＜1时，原方程可化为：2007﹣2007x=2007，解得：x=0，综上可得x=0或2．故选D．点评：本题考查含绝对值的一元一次方程，解决此题的关键是能够根据x的取值范围进行分情况化简绝对值．22．满足||x﹣1|﹣|x||﹣|x﹣1|+|x|=1的x的值是（）A．0B．±C．D．±考点：含绝对值符号的一元一次方程．专题：计算题．分析：看到比较繁琐的有绝对值得计算题，首先要考虑怎样去掉绝对值．明确x的取值范围决定去掉绝对值之后的正负关系．解答：解：（1）当x＞1时，原式=x﹣x+1﹣x+1+x=1，2=1显然不成立，故舍去．（2）当0＜x＜1时，原式=|﹣（x﹣1）﹣x|﹣（1﹣x）+x，=|﹣2x+1|﹣1+2x，=2x﹣1﹣1+2x，=4x﹣2，又∵原式=1，∴4x﹣2=1，∴x=．故选C．点评：本题主要考查的是含有绝对值符号的一元一次方程的最基本的计算，难易适中．23．如果方程|3x|﹣ax﹣1=0的根是负数，那么a的取值范围是（）A．a＞3 B．a≥3 C．a＜3 D．a≤3考点：含绝对值符号的一元一次方程．专题：分类讨论．分析：分三种情况讨论a的取值范围：①a=3，②a＞3，③a＜3，再去绝对值符号进行求解．解答：解：原方程为|3x|=ax+1．①若a=3，则|3x|=3x+1．当x＜0时，﹣3x=3x+1，∴x=﹣；当x≥0时，3x=3x+1，不成立；∴当a=3时，原方程的根为：x=﹣；②若a＞3，当x＜0时，﹣3x=ax+1，∴x=＜0；当x≥0时，3x=ax+1，∴x=＜0，矛盾，∴当a＞3时，原方程的解为：x=＜0．③若a＜3时，当x≥0时，3x=ax+1，∴x=0，∴原方程的根是正数，不符合题意．综上所述：当a≥3时，原方程的根是负根．故选B．点评：本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，难度较大，关键是分类讨论a的取值范围后再进行求解．24．关于x的含有绝对值的方程|2x﹣1|﹣|x|=2的不同实数解共有（）个．A．1B．2C．3D．4考点：含绝对值符号的一元一次方程．专题：计算题．分析：分别讨论①x≥，②0＜x＜，③x≤0，根据x的范围去掉绝对值，解出x，综合三种情况可得出x的最终范围．解答：解：从三种情况考虑：第一种：当x≥时，原方程就可化简为：2x﹣1﹣x=2，解得：x=3；第二种：当0＜x＜时，原方程就可化简为：﹣2x+1﹣x=2，解得：x=﹣，不符合题意；第三种：当x≤0时，原方程就可化简为：﹣2x+1+x=2，解得：x=﹣1；所以x的不同实数解为：x=3或x=﹣1，共有两个．故选B．点评：本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，难度适中，关键是掌握正确分类讨论x的取值范围．25．方程|x﹣19|+|x﹣93|=74的有理数解（）A．至少有3个B．恰好有2个C．恰有1个D．不存在考点：含绝对值符号的一元一次方程．分析：首先根据x的范围去掉绝对值符号，转换成一般的一元一次方程，从而求解．解答：解：当x≤19时，方程即：19﹣x+93﹣x=74，解得：x=19；当19＜x＜93时，方程变形为：x﹣19+93﹣x=74，恒成立；当x≥93时，方程变形为：x﹣19+x﹣93=74，解得：x=93．则x为范围[19，93]中的有理数，即至少有3个．故选A．点评：本题主要考查了绝对值方程的解法，关键是正确进行讨论．26．方程2|x|+3=5的解是（）A．1B．﹣1 C．1和﹣1 D．无解考点：含绝对值符号的一元一次方程．分析：首先利用一元一次方程的求解方法，求得|x|的值，继而求得答案．解答：解：∵2|x|+3=5，∴2|x|=2，∴|x|=1，∴x=±1．故选C．点评：此题考查了含绝对值符号的一元一次方程的求解方法．此题比较简单，注意换元思想的应用．27．绝对值方程||x﹣2|﹣|x﹣6||=l的不同实数解共有多少个（）A．2B．4C．l D．0考点：含绝对值符号的一元一次方程．专题：计算题．分析：分别讨论x≥6、x＜2、2≤x＜6，根据x的范围去掉绝对值，解出x，综合六种情况可得出x的最终范围．解答：解：根据题意，知（1）|x﹣2|﹣|x﹣6|=1，①当x﹣2≥0，x﹣6≥0，即x≥6时，x﹣2﹣2+6=1，解得x=﹣1，不合题意，舍去；②当x﹣2＜0，x﹣6＜0，即x＜2时，﹣x+2+x﹣6=1，即﹣4=1，显然不成立；③当x﹣2≥0，x﹣6＜0，即2≤x＜6时，x﹣2+x﹣6=1，解得x=4.5；（2）|x﹣2|﹣|x﹣6|=﹣1，④当x﹣2≥0，x﹣6≥0，即x≥6时，x﹣2﹣2+6=﹣1，解得x=﹣3，不合题意，舍去；⑤当x﹣2＜0，x﹣6＜0，即x＜2时，﹣x+2+x﹣6=﹣1，即﹣4=﹣1，显然不成立；⑥当x﹣2≥0，x﹣6＜0，即2≤x＜6时，x﹣2+x﹣6=﹣1，解得x=3.5；综上所述，原方程的解是：x=4.5，3.5，共有2个．故选A．点评：本题考查了含有绝对值符号的一元一次方程．其实，本题不难，只要在解题过程中多一份细心，就不会丢解的．28．||||x﹣1|﹣1|﹣1|﹣1|=0是一个含有4重绝对值符号的方程，则（）A．0，2，4全是根B．0，2，4全不是根C．0，2，4不全是根D．0，2，4之外没有根考点：含绝对值符号的一元一次方程．分析：解含有绝对值符号的方程的关键是去绝对值符号，这可用“零点分段法”．即令x+2=0，x+1=0，x=0，x﹣1=0，x﹣2=0，x﹣3=0，x﹣4=0，分别得到x=﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，这7个数将数轴分成8段，然后在每一段上去掉绝对值符号再求解．解答：解：①当x≥4时，原方程化为x﹣4=0，解得x=4，在所给的范围x≥4之内，x=4是原方程的解；②当3≤x＜4时，原方程化为4﹣x=0，解得x=4，不在所给的范围3≤x＜4之内，x=4不是原方程的解；③当2≤x＜3时，原方程化为x﹣2=0，解得x=2，在所给的范围2≤x＜3之内，x=2是原方程的解；④当1≤x＜2时，原方程化为2﹣x=0，解得x=2，不在所给的范围1≤x＜2之内，x=2不是原方程的解；⑤当0≤x＜1时，原方程化为x=0，在所给的范围0≤x＜1之内，x=0是原方程的解；⑥当﹣1≤x＜0时，原方程化为x=0，不在所给的范围﹣1≤x＜0之内，x=0不是原方程的解；⑦当﹣2≤x＜﹣1时，原方程化为x+2=0，解得x=﹣2，在所给的范围﹣2≤x＜﹣1之内，x=﹣2是原方程的解；⑧当x＜﹣2时，原方程化为﹣2﹣x=0，解得x=﹣2，不在所给的范围x＜﹣2之内，x=﹣2不是原方程的解．综上，可知原方程的解为x=4，2，0，﹣2．故选A．点评：本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，属于竞赛题型，难度较大．29．使方程3|x+2|+2=0成立的未知数x的值是（）A．﹣2 B．0C．D．不存在考点：含绝对值符号的一元一次方程．专题：计算题．分析：要使方程3|x+2|+2=0成立，则可得：|x+2|=，根据绝对值的性质即可得出答案．解答：解：要使方程3|x+2|+2=0成立，则可得：|x+2|=，根据绝对值的非负性，即可得知使方程3|x+2|+2=0成立的x不存在．故选D．点评：本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，比较容易，关键是根据绝对值的非负性即可判断．30．方程|x+5|﹣|3x﹣7|=1的解有（）A．1个B．2个C．3个D．无数个考点：含绝对值符号的一元一次方程．专题：计算题．分析：分别讨论①x≥，②﹣5＜x＜，③x≤﹣5，根据x的范围去掉绝对值，解出x，综合三种情况可得出x的最终范围．解答：解：从三种情况考虑：第一种：当x≥时，原方程就可化简为：x+5﹣3x+7=1，解得：x=符合题意；第二种：当﹣5＜x＜时，原方程就可化简为：x+5+3x﹣7=1，解得：x=符合题意；第三种：当x≤﹣5时，原方程就可化简为：﹣x﹣5+3x﹣7=1，解得：x=不符合题意；所以x的值为：或．故选B．点评：本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，难度不大，关键是分类讨论x的取值范围．。

含绝对值符号的一元一次方程一 、填空题1.方程21302x --=的解为 ．二 、解答题2.解方程1121123x x +--+-=3.解方程：2121x x -+=+4.解方程：23143x x x +--=-5.解方程154x x -+-=6.解方程124x x -+-=7.解方程4321x x +=-8.解方程525x x -+=-9.解方程134x x -+-=10.解方程2131x x -=+11.解方程4329x x +=+12.解方程：（1）1x = （2）235x +=13.解方程525x x -+=-14.解方程4329x x +=+含绝对值符号的一元一次方程答案解析一 、填空题1.方程可化简为216x -=，令210x -=，则12x =当12x <时，方程可化为126x -=，解得52x =-，检验符合12x <，∴52x =- 当12x ≥时，方程可化为216x -=，解得72x =，检验符合12x ≥，∴72x = 综上所述，72x =或52x =- 【解析】零点分段法二 、解答题2.85x =或185x =-原方程整理得：1315x +=，即1315x +=或者1315x +=-，所以原方程的解为85x = 或185x =-3.由题意得210x +≥，∴12x ≥-原方程变形为22x x -=或222x x -=--，∵221x --≤-，∴222x x -=--舍 由22x x -=知0x ≥，方程可变形为22x x -=或22x x -=- 解得2x =-或23x =，检验，2x =-舍 综上所述，原方程的解为23x =4.令230x +=与10x -=，则32x =-和1x =若32x <-，则原方程可化为[](23)(1)43x x x -+---=-，解得15x =-， 检验不符合32x <-，∴15x =-不是原方程的解若312x -≤≤，则原方程可化为[](23)(1)43x x x +---=-，解得5x =， 检验不符合312x -≤≤，∴5x =不是原方程的解若1x >，则原方程可化为(23)(1)43x x x +--=-，解得73x =， 检验符合1x >，∴73x =是原方程的解 综上所述73x =是原方程的解5.设“x ”“1”“5”在数轴上分别用“P ”“A ”“B ”来表示，由题意得，原方程可变形4PA PB +=如图，当点P 在点A 左侧时，设PA a =，4PB a =+，则原方程可变形为44a a ++=，解得0a =，与题意不符合如图，当点P 在线段AB 上时（包含端点），4PA PB AB +==，符合题意，∴15x ≤≤如图，当点P 在点B 右侧时，设PB b =，4PA b =+，则原方程可变形为44b b ++=，解得0b =，与题意不符合 综上所诉，原方程的解集为15x ≤≤ 【解析】绝对值的几何意义6.设“x ”“1”“2”在数轴上分别用P ，A ，B 来表示，则原方程可化为4AP PB +=①如图,当点P 在A 点左侧时，设PA a =，1PB a =+，则原方程可化为14a a ++=5B 1511A解得32a =，∴31122x =-=-②如图，当点P 在线段AB 上时，由24PA PB +=≠矛盾，③如图，当点P 在B 点右侧时，设PB b =，1PA b =+， 则原方程可变形为14b b ++=，解得32b =，∴37222x =+=综上所述，原方程的解为12x =-或72x = 【解析】绝对值的几何意义7.依据绝对值的非负性可知210x -≥，则12x ≥，那么容易得到430x +>∴原方程可变形为4321x x +=-，解得2x =-，检验不符合12x ≥，舍 ∴原方程无解8.令50x -=，则5x =当5x <，原方程化为525x x -+=-，解得10x =- 检验符合5x <，10x =-是原方程的解 当5x ≥，原方程化为525x x -+=-，解得0x = 检验不符合5x ≥，0x =不是原方程的解，舍去 综上所述，10x =-是原方程的解 【解析】零点分段法9.令10x -=，30x -=，则1x =，3x =P 2112P12当1x <时，原方程可化简为：(1)(3)4x x ----=，0x = 检验符合1x <，0x =是原方程的解；当13x ≤<时，原方程可化简为：1(3)4x x ---=，此方程无解； 当3x ≥时，原方程可化简为：134x x -+-=，4x = 检验符合3x ≥，则4x =是原方程的解； 综上所述，原方程的解为：0x =或4x =． 【解析】零点分段法10.令210x -=，310x +=，则12x =，13x =-当13x <-时，原方程化为1231x x -=--，2x =- 检验符合13x <-，∴2x =-是原方程的解 当1132x -≤<时，原方程化为1231x x -=+，0x = 检验符合1132x -≤<，∴0x =是原方程的解 当12x ≥时，原方程化为2131x x -=+，2x =- 检验不符合12x ≥，∴2x =-不是原方程的解 综上所述，2x =-或0x =是原方程的解 【解析】零点分段法11.令430x +=，则34x =-当34x ≤-时，原方程可化简为：4329x x --=+，2x =- 检验符合34x ≤-，2x =-是方程的解．当34x >-时，原方程可化简为：4329x x +=+，3x = 检验符合34x >-，3x =是方程的解． 综上所述2x =-和3x =是方程的解．【解析】零点分段法12.1x=±；1x=或4x=-【解析】（1）我们知道x代表的含义是数轴上代表“x”的点到原点的距离，而到原点距离等于1的点有两个，分别位于原点两侧，“1+”“1-”，∴1x=±（2）若将23x+做为整体，根据绝对值的意义，原方程可化为235x+=或者235x+=-，解得1x=或4x=-（若将2x作为整体，则可理解为“2x”到“3-”的距离等于5的点是多少）推荐第一种理解方式13.易知250x--≥，则52 x≤-由552x x-=--，得552x x-=--或5(52)x x-=---，所以0x=或10x=-．经检验知0x=方程左右两边不等，故舍去．从而原方程的解为10x=-．14.依据绝对值的非负性可知290x+≥，即92x≥-．原绝对值方程可以转化为①4329x x+=+，解得3x=，经检验符合题意．②43(29)x x+=-+，解得2x=-，经检验符合题意．综上所述，2x=-和3x=是方程的解．。

含绝对值符号的一元一次方程习题附答案1.已知|2-x|=4，则x的值是？解：|2-x|=4，分两种情况讨论：当2-x≥0时，有2-x=4，解得x=-2；当2-x<0时，有-(2-x)=4，解得x=-6.综上所述，x的值为-2或-6，选项C。

2.已知关于x的方程|5x-4|+a=0无解，|4x-3|+b=0有两个解，|3x-2|+c=0只有一个解，则化简|a-c|+|c-b|-|a-b|的结果是？解：首先，|5x-4|+a=0无解，说明|5x-4|≠0，即5x-4≠0，解得x≠4/5；其次，|4x-3|+b=0有两个解，说明|4x-3|=0，即4x-3=0，解得x=3/4；最后，|3x-2|+c=0只有一个解，说明|3x-2|=0，即3x-2=0，解得x=2/3.将x≠4/5，x=3/4，x=2/3代入|a-c|+|c-b|-|a-b|中，得到|a-c|+|c-b|-|a-b|=|a-0|+|0-b|-|a-b|=|a-b|-|a-b|=0，选项D。

3.方程|3x|+|x-2|=4的解的个数是？解：分两种情况讨论：当x≥0时，有3x+x-2=4，解得x=1；当x<0时，有-3x+x-2=4，解得x=-2/4=-1/2.综上所述，方程|3x|+|x-2|=4的解有两个，即x=1或x=-1/2，选项C。

4.已知关于x的方程mx+2=2(m-x)的解满足方程|x-|=0，则m的值为？解：由于|x-|=0，说明x=0，代入方程mx+2=2(m-x)中，得到2m+2=0，解得m=-1，选项A。

5.方程|2x-6|=0的解是？解：|2x-6|=0，说明2x-6=0，解得x=3，选项A。

6.若|x-1|=3，则x=？解：分两种情况讨论：当x-1≥0时，有x-1=3，解得x=4；当x-1<0时，有-(x-1)=3，解得x=-2.综上所述，x的值为4或-2，选项C。

7.方程|2x-1|=4x+5的解是？解：分两种情况讨论：当2x-1≥0时，有2x-1=4x+5，解得x=-3；当2x-1<0时，有-(2x-1)=4x+5，解得x=3/2.综上所述，方程|2x-1|=4x+5的解为x=-3或x=3/2，选项A。

一元一次方程（2）——解含绝对值的一元一次方程一、含绝对值的一次方程（我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程，简称绝对值方程．）1．含绝对值的一次方程的解法（1）形如 ax b c(a 0)型的绝对值方程的解法：①当c 0时，根据绝对值的非负性，可知此时方程无解；②当c 0时，原方程变为ax b0，即axb；b0，解得xa③当c 0 时，原方程变为ax b c或ax bcb或xc b c，解得xa．a（2）形如ax b cx d(ac 0)型的绝对值方程的解法：①根据绝对值的非负性可知cx d 0 ，求出x的取值范围；②根据绝对值的定义将原方程化为两个方程ax b cx d和ax b (cx d)；③分别解方程ax b cx d和ax b (cx d)；④将求得的解代入cx d 0检验，舍去不合条件的解．（3）形如ax b cx d(ac 0)型的绝对值方程的解法：①根据绝对值的定义将原方程化为两个方程ax b cx d或ax b (cx d)；②分别解方程ax b cx d和ax b (cx d)．（4）形如x a xb c(a b)型的绝对值方程的解法：①根据绝对值的几何意义可知x a x b ab；②当c a b时，此时方程无解；当c a b时，此时方程的解为ax b；当cab时，分两种情况：①当x a时，原方程的解为x ab c；②当x b时，原方程的解为2x a b c．2（5）形如axbcxdexf(ac0)型的绝对值方程的解法：①找绝对值零点：令ax b 0，得xx1，令cxd0得x x2；②零点分段讨论：不妨设x1x2，将数轴分为三个区段，即①xx1；②x1 xx2；③xx2；③分段求解方程：在每一个区段内去掉绝对值符号，求解方程并检验，舍去不在区段内的解．（6）形如ax b cxd ex f(a0)型的绝对值方程的解法：解法一：由内而外去绝对值符号：按照零点分段讨论的方式，由内而外逐层去掉绝对值符号，条件的解．解法二：由外而内去绝对值符号：①根据绝对值的非负性可知ex f 0，求出x的取值范围；解方程并检验，舍去不符合②根据绝对值的定义将原方程化为两个绝对值方程ax b ex f (cxd) 和ax b (ex f) (cxd) ；③解②中的两个绝对值方程．黑体小四黑体小四一、含绝对值的一次方程黑体小四1．含绝对值的一次方程的解法例1、（1）2x35x11 2x1 （2） 12 32x 10的解为例2、方程 3 ．2例3、解方程x 2005 2005x 2006例4、已知：当m n时，代数式m2n22n25的值互为相反数，求关于x的3和m2方程m1 x n的解．例5、（1）4x32x9 （2）x52x5例6、（1）2x13x1 （2）x1x34 （3）x 2 x 1 6 （4）2x 1 2 x 3例7、（1）2x3x14x3 （2）x33x 9x523x 5（2）3x548例8、（1）x 162（3）2x 1 1 2 （4）x 3x 1 4例9、解方程：x 2 1 2x 1例10、求方程x 3x 1 4的解．例11、当0≤x≤1时，求方程x 1 1 1 0的解例12、解方程：x 1 1 1 1 0黑体小四2．含绝对值的一次方程解的讨论例13、不解方程直接判断方程①2x 4 3 0；②3x 2 x；③x 3 3 x；④x 2 x 0无解的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个例14、证明：方程x x 1 x 2 x 3只有一个解．黑体小四二、含字母系数和绝对值的一次方程黑体小四1．含字母系数和绝对值的一次方程的解法楷体五号例15、求关于x的方程1x2 3a的解．2例16、解关于 x的方程 x 1 x 5 a．例17、解方程x 3 2 k例18、求x 2 1 a 0(0 a 1)的所有解的和．楷体五号2．含字母系数和绝对值的一次方程解的讨论楷体五号例19、若关于x的方程2x 3 m 0无解，3x 4 n 0只有一个解，4x 5 k 0有两个解，则m，n，k的大小关系为（）A．m n k B ．n k m C．k m n D．m k n例20、方程m 8 m 8 0的解的个数为（）A．2个B．3个C．无数个D．无数个例21、若x 2 1 a有三个整数解，求a的值．例22、设a、b为有理数，且 a 0，方程x a b 3有三个不相等的解，求b的值．例23、已知关于 x的方程kx 3 2x有一个正数解，求k的取值范围．例24、已知方程x ax 1有一个负根而没有正根，求a的取值范围．。

(1)1x | = 7；(2) 5 | x | = 10; (3) | x | = 0; (4) | x | = -3; (5) | 3x | = 9.x -1看成一个字母y ,则原方程变为:含绝对值的一元一次方程解法、绝对值的代数和几何意义。

绝对值的代数意义： 正数的绝对值是它本身； 负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值 是零。

aa 0 用字母表示为a 0 a 0a a 0绝对值的几何意义：表示这个数的点离开原点的距离。

因此任何数的绝对值是非负 数。

1、求下列方程的解:解: 二、根据绝对值的意义，我们可以得到：广当a > 0时 x = ± a| x | = a y 当 a = 0 时 x = 0 当a < 0时 方程无解.(三)例1 ：解方程：(1)19 T x | = 100 -10 | x | (2)2|x| 3 3 |x| 4解: (1) 例2、思考：如何解 | x -1 | = 2 分析：用换元(整体思想)法去解决，把 | y | = 2，这个方程的解为 y = ± 2,即x -1 = ± 2，解得x = 3或x = -1.解:解方程：||2y 1| 6d ）且 (2 )解方程:例 3:解方程：| 2x -1 | -3 = 0解： 三：形如 ax b ex d 的绝对值的一元一次方程可变形为： ax b (ex ex d 0才是原方程的根，否则必须舍去，故解绝对值方程时必须检验。

例1：解方程：5x 6 6x 5练习：(1)解方程：4x 3 2 3x 4四：“零点分段法”解含多个绝对值的代数问题“零点分段法”即令各绝对值代数式为零，得若干个绝对值为零的点，这些点把数轴分成几个区间，再在各区间内化简求值即可。

例1:化简下列各式1、2x 12、x 1 x 3练习：化简：x 1 2x 1 x例2:解下列方程1、x 1 x 5 42、x 3 x 1 x 1练习：1、3x 1 2x 12、2x 1 x 2 2x 1。

含绝对值符号的一元一次方程习题附答案6.2.5含绝对值符号的一元一次方程完成时间：40min一．选择题（共30小题）1．已知|2﹣x|=4，则x 的值是（ ） A ． ﹣3 B ．9 C ．﹣3或9 D ． 以上结论都不对2．已知关于x 的方程|5x ﹣4|+a=0无解，|4x ﹣3|+b=0有两个解，|3x ﹣2|+c=0只有一个解，则化简|a ﹣c|+|c ﹣b|﹣|a ﹣b|的结果是（ ） A ． 2a B ．2b C ．2c D ．3．方程|3x|+|x ﹣2|=4的解的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 4．已知关于x 的方程mx+2=2（m ﹣x ）的解满足方程|x ﹣|=0，则m 的值为（ ） A ． B ． 2 C ．D ．35．方程|2x ﹣6|=0的解是（ ） A3 B ﹣3 C ±3 D． ． ． ．6．若|x ﹣1|=3，则x=（ ） A ． 4 B ．﹣2 C ．±4 D ．4或﹣27．方程|2x ﹣1|=4x+5的解是（ ） A ． x=﹣3或x=﹣ B ． x=3或x= C ． x=﹣ D ．x=﹣38．若关于x 的方程|x|=2x+1的解为负数，则x 的值为（ ） A ． B ． C ． D ．﹣19．方程|x ﹣3|+|x+3|=6的解的个数是（ ） A ． 2 B ．3 C ．4 D ．无数个10．若|x ﹣2|=3，则x 的值是（ ） A ． 1 B ．﹣1 C ．﹣1或5 D ． 以上都不对11．方程|3x|=18的解的情况是（ ） A 有一个B 有两个C 无解D 有无数． 解是6 ． 解，是±6．． 个解12．如果|x ﹣1|+x ﹣1=0，那么x 的取值范围是（ ） A ． x ＞1 B ．x ＜1 C ．x ≥1 D ．x ≤113．若|2000x+2000|=20×2000，则x 等于（ ） A ． 20或﹣21 B ． ﹣20或21 C ． ﹣19或21 D ．19或﹣2114．已知关于x 的方程|x|=ax ﹣a 有正根且没有负根，则a 的取值范围是（ ） A ． a ＞1 B ．a ≤﹣1 C ． a ＞2或a ≤﹣2 D ． a ＞1或a ≤﹣115．适合|2a+7|+|2a ﹣1|=8的整数a 的值的个数有 （ ） A ． 2 B ．4 C ．8 D ．1616．若|x|=3x+1，则（4x+2）2005=（ ） A ． ﹣1 B ．0 C ．0或1 D ．117．方程|2x ﹣1|﹣a=0恰有两个正数解，则a 的取值范围是（ ）A ． ﹣1＜a ＜0B ． ﹣1＜a ＜1C ． 0＜a ＜1D ．＜a ＜118．已知x ﹣y=4，|x|+|y|=7，那么x+y 的值是（ ） A ． ± B ． ± C ． ±7 D ．±119．适合关系式|3x ﹣4|+|3x+2|=6的整数x 的值有（ ）个． A ． 0 B ．1 C ．2 D ． 大于2的自然数20．若单项式﹣2a |x|b |4x|和32ab 3﹣x 的相同字母的指数相同，则x的整数值等于（ ） A ． 1 B ．﹣1 C ．±1 D ． ±1以外的数21．方程|2007x ﹣2007|=2007的解是（ ） A ． 0 B ．2 C ．1或2 D ．2或022．满足||x ﹣1|﹣|x||﹣|x ﹣1|+|x|=1的x 的值是（ ）28．||||x ﹣1|﹣1|﹣1|﹣1|=0是一个含有4重绝对值符号的方程，则（ ）A ． 0，2，4全是根B ． 0，2，4全不是根C ． 0，2，4不全是根D ．0，2，4之外没有根29．使方程3|x+2|+2=0成立的未知数x 的值是（ ） A ． ﹣2 B ．0 C ．D ．不存在30．方程|x+5|﹣|3x ﹣7|=1的解有（ ） A ． 1个 B ．2个 C ．3个 D ．无数个6.2.5含绝对值符号的一元一次方程参考答案与试题解析一．选择题（共30小题）1．已知|2﹣x|=4，则x 的值是（ ） A ． ﹣3 B ．9 C ．﹣3或9 D ． 以上结论都不对考点：含绝对值符号的一元一次方程．专题：计算题． 分析： 绝对值为4的数是±4，从而可去掉绝对值符号，计算即可．解答： 解：∵|2﹣x|=4， ∴2﹣x=4或2﹣x=﹣4，解得：x=﹣3或9； 故选C ．点评： 本题考查解一元一次方程的解法；解一元一次方程常见的思路有通分，移项，左右同乘除等．2．已知关于x 的方程|5x ﹣4|+a=0无解，|4x ﹣3|+b=0有两个解，|3x ﹣2|+c=0只有一个解，则化简|a ﹣c|+|c ﹣b|﹣|a ﹣b|的结果是（ ） A ． 2a B ．2b C ．2c D ．考点： 含绝对值符号的一元一次方程．专题：计算题． 分析： 根据关于x 的方程|5x ﹣4|+a=0无解，|4x ﹣3|+b=0有两个解，|3x ﹣2|+c=0只有一个解，可判断出a ，b ，c 的取值范围，进而求解．解答： 解：根据关于x 的方程|5x ﹣4|+a=0无解，可得出：a ＞0， 由|4x ﹣3|+b=0有两个解，可得出：b ＜0，由|3x ﹣2|+c=0只有一个解，可得出；c=0，故|a ﹣c|+|c ﹣b|﹣|a ﹣b|可化简为：|a|+|b|﹣|a ﹣b|=a ﹣b ﹣a+b=0． 故选D ．点评： 本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，难度不大，关键是根据已知条件判断出a ，b ，c 的取值范围．然后化简．3．方程|3x|+|x ﹣2|=4的解的个数是（ ）A ． 0B ．1 C ．2 D ．3考点：含绝对值符号的一元一次方程．专题：分类讨论． 分析： 根据x 的取值范围取绝对值，所以需要分类讨论：①当x ≥2时；②当0＜x ＜2时；③当x ＜0时；根据x 的三种取值范围来解原方程． 解答： 解：①当x ≥2时，由原方程，得 3x+x ﹣2=4，即4x ﹣2=4，解得x=（舍去）；②当0＜x ＜2时，由原方程，得 3x ﹣x+2=4，解得x=1； ③当x ＜0时，由原方程，得 ﹣3x ﹣x+2=4，解得x=﹣． 综上所述，原方程有2个解． 故选C ．点评： 本题考查了含绝对值符号的一元一次方程．解这类题目时，一定要分类讨论，以防漏解．4．已知关于x 的方程mx+2=2（m ﹣x ）的解满足方程|x ﹣|=0，则m 的值为（ ）A ．B ． 2C ．D ．3 考点：含绝对值符号的一元一次方程；一元一次方程的解． 专题：计算题．分析： 本题中有2个方程，且是同解方程，一般思路是：先求出不含字母系数的方程的解，再把解代入到含有字母系数的方程中，求字母系数的值．解答： 解：∵|x ﹣|=0，∴x=， 把x 代入方程mx+2=2（m ﹣x ）得：m+2=2（m ﹣）， 解之得：m=2；故选B ．点评： 此类题型的特点是，有2个方程，一个含有字母系数，一个是不含字母系数的方程，2方程同解，求字母系数的值．一般方法是：先求出不含字母系数的方程的解，再把解代入到含有字母系数的方程中，求字母系数的值．5．方程|2x ﹣6|=0的解是（ ）A ．3 B ． ﹣3 C ． ±3 D ．考点：含绝对值符号的一元一次方程．分析： 根据非负数的性质去掉绝对值符号，求出未知数的值即可．解答： 解：∵|2x ﹣6|=0，∴2x ﹣6=0，∴x=3．故选A ．点评：本题考查的是非负数的性质，是中学阶段的基础题．6．若|x ﹣1|=3，则x=（ ）A ． 4B ． ﹣2C ． ±4D ．4或﹣2考点：含绝对值符号的一元一次方程．专题：分类讨论；方程思想．分析： 根据绝对值的意义，得出x ﹣1=±3，可解得x 的值．注意结果有两个．解答： 解：因为|3|=3，|﹣3|=3，所以x ﹣1=±3，解得x=4或﹣2．故选D ．点评： 本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，注意绝对值都是非负数，互为相反数的两数绝对值相等． 7．方程|2x ﹣1|=4x+5的解是（ ）A ． x=﹣3或x=﹣B ． x=3或x=C ．x=﹣D ． x=﹣ 3考点：含绝对值符号的一元一次方程． 专题：计算题．分析：根据绝对值的性质去掉绝对值符号，再根据解一元一次方程的步骤求解即可．解答： 解：①当2x ﹣1≥0，即x ≥时，原式可化为：2x ﹣1=4x+5，解得，x=﹣3，舍去；②当2x ﹣1＜0，即x ＜时，原式可化为：1﹣2x=4x+5，解得，x=﹣，符合题意．故此方程的解为x=﹣．故选C ．点此题比较简单，解答此题的关键是根据绝对值的性质去评：掉绝对值符号，不要漏解．8．若关于x 的方程|x|=2x+1的解为负数，则x 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．﹣1考点：含绝对值符号的一元一次方程． 专题：分类讨论．分析：分两种情况去解方程即可①x ≥0；②x ＜0．解答： 解：①当x ≥0时，去绝对值得，x=2x+1，得x=﹣1，不符合预设的x ≥0，舍去．②当x ＜0时，去绝对值得，﹣x=2x+1，得x=﹣． 故选B ．点评： 本题考查了一元一次方程的去绝对值的解法．要分类讨论．9．方程|x ﹣3|+|x+3|=6的解的个数是（ ）A ．2B ． 3C ． 4D ．无数个考点：含绝对值符号的一元一次方程．分析： 根据x 的取值范围取绝对值，所以需要分类讨论：①当x ≥3时；②当﹣3≤x ＜3时；③当x ＜﹣3时；根据x的三种取值范围来解原方程即可．解答： 解：当x ≥3时，原方程可变形为：x ﹣3+x+3=6，解得：x=3，当﹣3≤x ＜3时，原方程可变形为：﹣x+3+x+3=6，得出原方程有无数个解；当x ＜﹣3时，原方程可变形为：﹣x+3﹣x ﹣3=6，解得：x=﹣3，则方程|x ﹣3|+|x+3|=6的解的个数是无数个；故选D ．点评： 本题考查了含绝对值符号的一元一次方程．解这类题目时，一定要分类讨论，以防漏解．10．若|x ﹣2|=3，则x 的值是（ ）A ．1B ． ﹣1C ． ﹣1或5D ． 以上都不对考点：含绝对值符号的一元一次方程．专题：计算题．分析：|x ﹣2|=3去绝对值，可得x ﹣2=±3，然后计算求解．解答： 解：∵|x ﹣2|=3，∴x ﹣2=±3，∴x=﹣1或5．故选C ．点评： 此题考查了绝对值的性质，要求掌握绝对值的性质及其定义，并能熟练运用到实际运算当中．绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．11．方程|3x|=18的解的情况是（ ）A ． 有一个解是6B ． 有两个解，是±6C ．无解D ． 有无数个解考点：含绝对值符号的一元一次方程．专题：计算题；分类讨论．分析： 去绝对值符号时，要分两种情况进行讨论，即x ≥0和x ＜0两种情况．解答： 解：∵|3x|=18∴这个方程就变形为3x=±18两个方程． 当x ≥0时，3x=18，∴x=6当x ＜0时，﹣3=18，∴x=﹣6故选B ．点评： 解方程的过程就是一个方程变形的过程，变形的依据是等式的基本性质，变形的目的是变化成x=a 的形式．解决本题还要运用分类讨论思想．12．如果|x ﹣1|+x ﹣1=0，那么x 的取值范围是（ ）A ．x ＞1B ． x ＜1C ． x ≥1D ．x ≤1考点：绝对值；含绝对值符号的一元一次方程． 专题：计算题．分先根据绝对值的性质讨论x ﹣1的符号，确定出x 的取析：值范围，再解关于x 的一元一次方程，求出x 的值． 解答： 解：当x ﹣1≥0，即x ≥1时，原方程可化为x ﹣1+x ﹣1=0，解得，x=1； 当x ﹣1＜0，即x ＜1时，原方程可化为1﹣x+x ﹣1=0，x 无解．综上所述原方程的解集是x ≤1，故选D ．点评： 本题考查的是含绝对值符号的一元一次方程，解答此题的关键是熟知绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0；13．若|2000x+2000|=20×2000，则x 等于（ ）A ．20或﹣21 B ． ﹣20或21 C ． ﹣19或21 D ．19或﹣21考点：含绝对值符号的一元一次方程． 专题：计算题．分析： 根据|2000x+2000|=2000|x+1|=20×2000，约分得：|x+1|=20，然后去掉绝对值即可．解答： 解：根据|2000x+2000|=2000|x+1|=20×2000， 约分得：|x+1|=20，∴x+1=20或﹣（x+1）=20，移项解得：x=19或x=﹣21．故选D ．点评： 本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，难度不大，关键是正确去掉绝对值符号，不要漏解．14．已知关于x 的方程|x|=ax ﹣a 有正根且没有负根，则a 的取值范围是（ ）A ．a ＞1B ． a ≤﹣1C ． a ＞2或a ≤﹣2D ． a ＞1或a ≤﹣1考点：含绝对值符号的一元一次方程． 分析： 根据绝对值的性质和方程|x|=ax ﹣a 有正根且没有负根，确定a 的取值范围．解答： 解：①当ax ﹣a ≥0，a（x ﹣1）＞0， 解得：x ≥1 且 a ≥0，或者 x ≤1且a ≤0，②正根条件：x ＞0，x=ax ﹣a ，即x=＞0，解得：a ＞1 或a ＜0，由①，即得正根条件：a ＞1 且x ≥1，或者a ＜0，0＜x ≤1， ③负根条件：x ＜0，得：﹣x=ax ﹣a ，解得：x=＜0，即﹣1＜a ＜0，由①，即得负根条件：﹣1＜a ＜0，x ＜0，根据条件：只有正根，没有负根，因此只能取 a ＞1（此时x ≥1，没负根），或者a ≤﹣1（ 此时0＜x ≤1，没负根）．综合可得，a ＞1或a ≤﹣1．故选：D ．点评： 此题主要考查了含绝对值符号的一元一次方程，根据绝对值的性质，要分x ≥0和x ＜0，两种情况进行讨论，确定a 的取值范围．15．适合|2a+7|+|2a ﹣1|=8的整数a 的值的个数有 （ ）A ．2B ． 4C ． 8D ．16考点：含绝对值符号的一元一次方程． 分析： 先分别讨论绝对值符号里面代数式值，然后去绝对值，解一元一次方程即可求出a 的值．解答： 解：（1）当2a+7≥0，2a ﹣1≥0时，可得，|2a+7|+|2a ﹣1|=82a+7+2a ﹣1=8，解得，a=解不等式2a+7≥0，2a ﹣1≥0得，a ≥﹣，a ≥，所以a ≥，而a 又是整式，故a=不是方程的一个解；（2）当2a+7≤0，2a﹣1≤0时，可得，|2a+7|+|2a﹣1|=8﹣2a﹣7﹣2a+1=8，解得，a=﹣解不等式2a+7≤0，2a﹣1≤0得，a≤﹣，a≤，所以a≤﹣，而a又是整数，故a=﹣不是方程的一个解；（3）当2a+7≥0，2a﹣1≤0时，可得，|2a+7|+|2a﹣1|=82a+7﹣2a+1=8，解得，a可为任何数．解不等式2a+7≥0，2a﹣1≤0得，a≥﹣，a≤，所以﹣≤a≤，而a又是整数，故a的值有：﹣3，﹣2，﹣1，0．（4）当2a+7≤0，2a﹣1≥0时，可得，|2a+7|+|2a﹣1|=8﹣2a﹣7+2a﹣1=8，可见此时方程不成立，a无解．综合以上4点可知a的值有四个：﹣3，﹣2，﹣1，0．故选B．点本题主要考查去绝对值及解一元一次方程的方法：解含评： 绝对值符号的一元一次方程要根据绝对值的性质和绝对值符号内代数式的值分情况讨论，即去掉绝对值符号得到一般形式的一元一次方程，再求解．16．若|x|=3x+1，则（4x+2）2005=（ ） A ． ﹣1 B ．0 C ．0或1 D ．1考点： 含绝对值符号的一元一次方程；绝对值；有理数的乘方；解一元一次方程．专题：计算题． 分析： 当x ≥0时去绝对值符号，求出方程的解；当x ＜0时，去绝对值符号，求出方程的解，代入求出即可． 解答： 解：当x ≥0时，原方程化为：x=3x+1，∴x=﹣＜0（舍去）， 当x ＜0时，原方程化为：﹣x=3x+1， ∴x=﹣， ∴（4x+2）2005==1，故选D ．点评： 本题主要考查对绝对值，解一元一次方程，含绝对值符号的一元一次方程，有理数的乘方等知识点的理解和掌握，求出未知数x 的值是解此题的关键．17．方程|2x ﹣1|﹣a=0恰有两个正数解，则a 的取值范围是（ ）A ． ﹣1＜a ＜0B ． ﹣1＜a ＜ 1C ． 0＜a ＜1D ．＜a ＜1考点：含绝对值符号的一元一次方程．分析：由方程|2x ﹣1|﹣a=0恰有两个正数解，即可得不等式组，解此不等式组即可求得答案．解答：解：∵方程|2x ﹣1|﹣a=0恰有两个正数解， ∴，解得：0＜a ＜1． 故选C ．点评：此题考查了含绝对值符号的一元一次方程的求解方法．此题难度较大，解题的关键是根据题意得到不等式组：．18．已知x ﹣y=4，|x|+|y|=7，那么x+y 的值是（ ） A ．± B ． ± C ．±7 D ．±1考点： 含绝对值符号的一元一次方程．专题：计算题． 分析： 根据x ﹣y=4，得：x=y+4，代入|x|+|y|=7，然后分类讨论y 的取值即可．解答： 解：由x ﹣y=4，得：x=y+4，代入|x|+|y|=7， ∴|y+4|+|y|=7，①当y ≥0时，原式可化为：2y+4=7，解得：y=，②当y ≤﹣4时，原式可化为：﹣y ﹣4﹣y=7，解得：y=，③当﹣4＜y ＜0时，原式可化为：y+4﹣y=7，故此时无解；所以当y=时，x=，x+y=7， 当y=时，x=，x+y=﹣7，综上：x+y=±7． 故选C ．点评： 本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，难度适中，关键是把x 用y 表示出来后进行分类讨论y 的取值范围．19．适合关系式|3x ﹣4|+|3x+2|=6的整数x 的值有（ ）个． A ．0 B ．1 C ．2 D ．大于2的自然数考点：含绝对值符号的一元一次方程．专题：计算题；分类讨论．分析： 分别讨论①x ≥，②﹣＜x ＜，③x ≤﹣，根据x 的范围去掉绝对值，解出x ，综合三种情况可得出x 的最终范围．解答：解：从三种情况考虑：第一种：当x ≥时，原方程就可化简为：3x ﹣4+3x+2=6，解得：x=；第二种：当﹣＜x ＜时，原方程就可化简为：﹣3x+4+3x+2=6，恒成立；第三种：当x ≤﹣时，原方程就可化简为：﹣3x+4﹣3x ﹣2=6，解得：x=﹣；所以x 的取值范围是：﹣≤x ≤，故符合条件的整数位：0，1． 故选C ．点评： 本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，难度不大，关键掌握正确分类讨论x 的取值范围．20．若单项式﹣2a |x|b |4x|和32ab 3﹣x 的相同字母的指数相同，则x的整数值等于（ ）A ． 1B ．﹣1 C ．±1 D ． ±1以外的数考点：同类项；含绝对值符号的一元一次方程．专题：计算题． 分析： 根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）列出方程|x|=1，|4x|=3﹣x ，即可求出x 的值． 解答： 解：由同类项的定义得：|x|=1， 解得x=±1，又|4x|=3﹣x ，解得x=﹣1或x=， ∴x=﹣1． 故选B ．点评： 本题考查了同类项的知识，属于基础题，注意判断两个项是不是同类项，只要两看，即一看所含有的字母是否相同，二看相同字母的指数是否相同．21．方程|2007x ﹣2007|=2007的解是（ ） A ． 0 B ．2 C ．1或2 D ．2或0考含绝对值符号的一元一次方程．点：专题：数形结合． 分析：分别讨论x ≥1，x ＜1，可求得方程的解． 解答： 解：①当x ≥1时，原方程可化为：2007x ﹣2007=2007， 解得：x=2，②当x ＜1时，原方程可化为：2007﹣2007x=2007， 解得：x=0， 综上可得x=0或2． 故选D ．点评： 本题考查含绝对值的一元一次方程，解决此题的关键是能够根据x 的取值范围进行分情况化简绝对值．22．满足||x ﹣1|﹣|x||﹣|x ﹣1|+|x|=1的x 的值是（ ） A ． 0 B ． ± C ． D ．±考点：含绝对值符号的一元一次方程．专题：计算题． 分析： 看到比较繁琐的有绝对值得计算题，首先要考虑怎样去掉绝对值．明确x 的取值范围决定去掉绝对值之后的正负关系．解答： 解：（1）当x ＞1时，原式=x ﹣x+1﹣x+1+x=1， 2=1显然不成立，故舍去．（2）当0＜x ＜1时，原式=|﹣（x ﹣1）﹣x|﹣（1﹣x ）+x ， =|﹣2x+1|﹣1+2x ， =2x ﹣1﹣1+2x ， =4x ﹣2， 又∵原式=1， ∴4x ﹣2=1，∴x=． 故选C ．点评： 本题主要考查的是含有绝对值符号的一元一次方程的最基本的计算，难易适中．23．如果方程|3x|﹣ax ﹣1=0的根是负数，那么a 的取值范围是（ ） A ． a ＞3 B ．a ≥3 C ．a ＜3 D ．a ≤3考点：含绝对值符号的一元一次方程．专题：分类讨论．分析： 分三种情况讨论a 的取值范围：①a=3，②a ＞3，③a ＜3，再去绝对值符号进行求解． 解答： 解：原方程为|3x|=ax+1．①若a=3，则|3x|=3x+1．当x ＜0时，﹣3x=3x+1，∴x=﹣；当x ≥0时，3x=3x+1，不成立；∴当a=3时，原方程的根为：x=﹣； ②若a ＞3，当x ＜0时，﹣3x=ax+1，∴x=＜0；当x ≥0时，3x=ax+1，∴x=＜0，矛盾，∴当a ＞3时，原方程的解为：x=＜0．③若a ＜3时，当x ≥0时，3x=ax+1，∴x=0， ∴原方程的根是正数，不符合题意． 综上所述：当a ≥3时，原方程的根是负根． 故选B ．点评： 本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，难度较大，关键是分类讨论a 的取值范围后再进行求解．24．关于x 的含有绝对值的方程|2x ﹣1|﹣|x|=2的不同实数解共有（ ）个． A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4考含绝对值符号的一元一次方程．点： 专题：计算题．分析： 分别讨论①x ≥，②0＜x ＜，③x ≤0，根据x 的范围去掉绝对值，解出x ，综合三种情况可得出x 的最终范围． 解答：解：从三种情况考虑：第一种：当x ≥时，原方程就可化简为：2x ﹣1﹣x=2，解得：x=3；第二种：当0＜x ＜时，原方程就可化简为：﹣2x+1﹣x=2，解得：x=﹣，不符合题意；第三种：当x ≤0时，原方程就可化简为：﹣2x+1+x=2，解得：x=﹣1；所以x 的不同实数解为：x=3或x=﹣1，共有两个． 故选B ．点评： 本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，难度适中，关键是掌握正确分类讨论x 的取值范围．25．方程|x ﹣19|+|x ﹣93|=74的有理数解（ ） A ． 至少有3个 B ． 恰好有2个C ． 恰有1个D ．不存在考点：含绝对值符号的一元一次方程．分析：首先根据x 的范围去掉绝对值符号，转换成一般的一元一次方程，从而求解．解答： 解：当x ≤19时，方程即：19﹣x+93﹣x=74，解得：x=19； 当19＜x ＜93时，方程变形为：x ﹣19+93﹣x=74，恒成立；当x ≥93时，方程变形为：x ﹣19+x ﹣93=74，解得：x=93． 则x 为范围[19，93]中的有理数，即至少有3个． 故选A ．点评：本题主要考查了绝对值方程的解法，关键是正确进行讨论．26．方程2|x|+3=5的解是（ ）A ．1B ． ﹣1C ． 1和﹣1D ．无解考点：含绝对值符号的一元一次方程． 分析： 首先利用一元一次方程的求解方法，求得|x|的值，继而求得答案．解答： 解：∵2|x|+3=5，∴2|x|=2， ∴|x|=1，∴x=±1．故选C ．点评： 此题考查了含绝对值符号的一元一次方程的求解方法．此题比较简单，注意换元思想的应用．27．绝对值方程||x ﹣2|﹣|x ﹣6||=l 的不同实数解共有多少个（ ）A ．2B ． 4C ． lD ．考点：含绝对值符号的一元一次方程． 专题：计算题．分析： 分别讨论x ≥6、x ＜2、2≤x ＜6，根据x 的范围去掉绝对值，解出x ，综合六种情况可得出x 的最终范围． 解答： 解：根据题意，知（1）|x ﹣2|﹣|x ﹣6|=1，①当x ﹣2≥0，x ﹣6≥0，即x ≥6时，x ﹣2﹣2+6=1，解得x=﹣1，不合题意，舍去；②当x ﹣2＜0，x ﹣6＜0，即x ＜2时，﹣x+2+x ﹣6=1，即﹣4=1，显然不成立；③当x ﹣2≥0，x ﹣6＜0，即2≤x ＜6时，x ﹣2+x ﹣6=1，解得x=4.5；（2）|x ﹣2|﹣|x ﹣6|=﹣1，④当x ﹣2≥0，x ﹣6≥0，即x ≥6时，x ﹣2﹣2+6=﹣1，解得x=﹣3，不合题意，舍去； ⑤当x ﹣2＜0，x ﹣6＜0，即x ＜2时，﹣x+2+x ﹣6=﹣1，即﹣4=﹣1，显然不成立；⑥当x ﹣2≥0，x ﹣6＜0，即2≤x ＜6时，x ﹣2+x ﹣6=﹣1，解得x=3.5；综上所述，原方程的解是：x=4.5，3.5，共有2个． 故选A ．点评： 本题考查了含有绝对值符号的一元一次方程．其实，本题不难，只要在解题过程中多一份细心，就不会丢解的．28．||||x ﹣1|﹣1|﹣1|﹣1|=0是一个含有4重绝对值符号的方程，则（ ）A ． 0，2，4全是根B ． 0，2，4全不是根C ． 0，2，4不全是根D ． 0，2，4之外没有根考点：含绝对值符号的一元一次方程． 分析： 解含有绝对值符号的方程的关键是去绝对值符号，这可用“零点分段法”．即令x+2=0，x+1=0，x=0，x ﹣1=0，x ﹣2=0，x ﹣3=0，x ﹣4=0，分别得到x=﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，这7个数将数轴分成8段，然后在每一段上去掉绝对值符号再求解．解答： 解：①当x ≥4时，原方程化为x ﹣4=0，解得x=4，在所给的范围x ≥4之内，x=4是原方程的解；②当3≤x ＜4时，原方程化为4﹣x=0，解得x=4，不在所给的范围3≤x ＜4之内，x=4不是原方程的解；③当2≤x ＜3时，原方程化为x ﹣2=0，解得x=2，在所给的范围2≤x ＜3之内，x=2是原方程的解；④当1≤x ＜2时，原方程化为2﹣x=0，解得x=2，不在所给的范围1≤x ＜2之内，x=2不是原方程的解；⑤当0≤x ＜1时，原方程化为x=0，在所给的范围0≤x ＜1之内，x=0是原方程的解；⑥当﹣1≤x ＜0时，原方程化为x=0，不在所给的范围﹣1≤x ＜0之内，x=0不是原方程的解；⑦当﹣2≤x ＜﹣1时，原方程化为x+2=0，解得x=﹣2，在所给的范围﹣2≤x ＜﹣1之内，x=﹣2是原方程的解； ⑧当x ＜﹣2时，原方程化为﹣2﹣x=0，解得x=﹣2，不在所给的范围x ＜﹣2之内，x=﹣2不是原方程的解． 综上，可知原方程的解为x=4，2，0，﹣2．故选A ．点评： 本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，属于竞赛题型，难度较大．29．使方程3|x+2|+2=0成立的未知数x 的值是（ ）A ．﹣2 B ． 0 C ． D ．不存在考点：含绝对值符号的一元一次方程．专题：计算题．分析： 要使方程3|x+2|+2=0成立，则可得：|x+2|=，根据绝对值的性质即可得出答案．解答：解：要使方程3|x+2|+2=0成立，则可得：|x+2|=，根据绝对值的非负性， 即可得知使方程3|x+2|+2=0成立的x 不存在．故选D ．点评： 本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，比较容易，关键是根据绝对值的非负性即可判断．30．方程|x+5|﹣|3x ﹣7|=1的解有（ ）A ．1个B ． 2个C ． 3个D ．无数个考点：含绝对值符号的一元一次方程． 专题：计算题．分析： 分别讨论①x ≥，②﹣5＜x ＜，③x ≤﹣5，根据x 的范围去掉绝对值，解出x ，综合三种情况可得出x 的最终范围．解答：解：从三种情况考虑：第一种：当x ≥时，原方程就可化简为：x+5﹣3x+7=1， 解得：x=符合题意； 第二种：当﹣5＜x ＜时，原方程就可化简为：x+5+3x ﹣7=1，解得：x=符合题意； 第三种：当x ≤﹣5时，原方程就可化简为：﹣x ﹣5+3x ﹣7=1，解得：x=不符合题意；所以x 的值为：或．故选B ．点评： 本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，难度不大，关键是分类讨论x 的取值范围．。

含绝对值号的一元一次方程题目特点：一元一次方程中的未知数含有绝对值号。

解题关键：去绝对值号，化为一元一次方程求解。

解题方法：分类讨论，分x ≥0和x ＜0两种情况讨论。

讨论时，要注意方程的解是否符合题意。

解题关键：去绝对值号。

所用知识：0||0x x x x x ⎧=⎨-<⎩?。

,,||(),.x a x a x a x a a x x a -⎧-=⎨--=-<⎩… 例1 方程|3x|=15的解的情况是（ ）A 、有一个解，是5B 、无解C 、有无数个解D 、有两个解，是±5解：①当x ≥0时，去绝对值得：3x=15，解得：x=5；②当x ＜0时，去绝对值得：-3x=15，解得：x=-5。

故方程有两根，分别为x=5和x=-5．故选D ．点评：这是绝对值方程，正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 例2 若关于x 的方程||21x x =+的解为负数，则x 的值为（ ）A 、14-B 、13-C 、12- D 、-1 分析：分x ≥0和x ＜0两种情况讨论去绝对值即可．解：①当x ≥0时，去绝对值得，x=2x+1，解得x=-1，不符合预设的x ≥0，舍去．②当x ＜0时，去绝对值得，-x=2x+1，得13x =-．故选B ．例3 方程2|x-5|=6x 的解为（ ）A 、x=52-或54x =B 、x=52或54x =-C 、54x =D 、52x =- 分析：首先考虑去掉绝对值，这是要考虑x 的取值范围，即x ＞5和x ＜5，又有方程2|x-5|=6x 可知，x ＞0，由上可知方程的解．解：（1）当x ≥5时，2（x-5）=6x ，∴4x=-10，解得x=52-，与x ＞5矛盾，舍去； （2）当x ＜5时，2（5-x ）=6x ，∴8x=10，解得x=54；故选C 。

点评：本题主要考查的是含有绝对值符号的一元一次方程的一般计算题，充分考察了绝对值的几何意义．难易适中．例4 方程|21|45x x -=+的解是（ ）A 、x=-3或23x =-B 、x=3或23x =C 、23x =- D 、3x =- 分析：分210x -…和210x -<两种情况讨论去掉绝对值符号，再根据解一元一次方程的步骤求解即可．解：①当2x-1≥0，即x ≥12时，原式可化为：2145x x -=+，解得，x=-3，舍去； ②当2x-1＜0，即x ＜12时，原式可化为：1245x x -=+，解得，23x =-，符合题意． 故此方程的解为23x =-．故选C ．练习：1．方程|2x-6|=0的解是（）A、3B、-3C、±3D、132．方程|3x|=15的解的情况是（）A、有一个解，是5B、无解C、有无数个解D、有两个解，是±5 3．方程|2007x-2007|=2007的解是（）A、0B、2C、1或2D、2或04．若|x-2|=3，则x的值是（）A、1B、-1C、-1或5D、以上都不对5．使方程3|x+2|+2=0成立的未知数x的值是（）A、-2B、0C、23D、不存在6．已知|3x|-y=0，|x|=1，则y的值等于（）A、3或-3B、1或-1C、-3D、37．关于x的方程mx+1=2（m-x）的解满足|x+2|=0，则m的值为（）A、43B、43-C、34D、34-8．已知关于x的方程mx+2=2（m-x）的解满足|x-12|-1=0，则m的值是（）A、10或25B、10或25-C、-10或25D、-10或25-9．方程|x|=5的解是x= ，|x-2|=0的解是，3|x|=-6的解是，|x+2|=3的解是。

一、选择题（共10小题）1、方程|2x﹣1|=4x+5的解是（）A、x=﹣3或x=﹣B、x=3或x=C、x=﹣D、x=﹣32、若关于x的方程|x|=2x+1的解为负数，则x的值为（）A、B、C、D、﹣13、已知|3x|﹣y=0，|x|=1，则y的值等于（）A、3或﹣3B、1或﹣1C、﹣3D、34、方程|3x|=15的解的情况是（）A、有一个解，是5B、无解C、有无数个解D、有两个解，是±55、如果|x﹣1|+x﹣1=0，那么x的取值范围是（）A、x＞1B、x＜1C、x≥1D、x≤16、方程|3x|+|x﹣2|=4的解的个数是（）A、0B、1C、2D、37、绝对值方程||x﹣2|﹣|x﹣6||=l的不同实数解共有多少个（）A、2B、4C、lD、08、方程|1﹣2x|=3的解是（）A、x=﹣1B、x=﹣2C、x=±2D、x=﹣1．x=29、若|x|=3x+1，则（4x+2）2005=（）A、﹣1B、0C、0或1D、110、若关于x的方程|2x﹣3|﹣m=0只有一个解，则m的值是（）A、正数B、负数C、零D、不存在二、填空题（共10小题）11、已知（|m|﹣1）x2﹣（m+1）x+8=0是关于x的一元一次方程，则m=_________．12、解方程，则x=_________．13、若|x﹣3|=2，则x的值为_________．14、x=2是方程|m|（x+2）=3x的解，那么m=_________．15、若2x﹣3=0且|3y﹣2|=0，则xy=_________．16、已知|x+1|=4，（y+2）2=0，则x﹣y=_________．17、如果|x﹣3|﹣3+x=0，那么x的取值范围是_________．18、若|m|=m+1，则（4m+1）2011=_________．19、若|x﹣1|=3，则x=_________．20、若x=3是方程的一个解，则b等于_________．答案与评分标准一、选择题（共10小题）1、方程|2x﹣1|=4x+5的解是（）A、x=﹣3或x=﹣B、x=3或x=C、x=﹣D、x=﹣3考点：含绝对值符号的一元一次方程。