1.7绝对值与一元一次方程 (含解析,机构)-2021届九年级数学(苏科版)知识点一轮复习每日一练

一、选择题1．在《九章算术》方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化的思想，比如在234111112222+++++…中，“…”代表按规律不断求和，设234111112222x +++++⋅⋅⋅=．则有112x x =+，解得2x =，故2341111122222+++++⋅⋅⋅=．类似地2461111333++++⋅⋅⋅的结果为（ ） A ．43B ．98C ．65D ．22．某校社团活动课中，手工制作社的同学用一种彩色硬纸板制作某种长方体小礼品的包装盒，每张硬纸板可制作盒身12个，或制作盒底18个，1个盒身与2个盒底配成一套．现有28张这种彩色硬纸板，要使盒身和盒底刚好配套，若设需要x 张做盒身，则下列所列方程正确的是( ) A ．()182812x x -= B ．()1828212x x -=⨯ C ．()181412x x -=D ．()2182812x x ⨯-=3．如图33⨯网格中，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等，则b a -的值是（ ）A ．3-B ．2-C ．2D ．34．小丽买了20支铅笔，店主给她8折优惠（即按标价的80%出售），结果共便宜了1．6元，则每支铅笔的标价是（ ） A ．0．20元 B ．0．40元C ．0．60元D ．0．80元5．已知5x =是关于x 的方程4231x m x +=+的解，则方程3261x m x +=+的解是_________. A ．53B ．53-C ．-2D ．16．如图所示，两人沿着边长为90 m 的正方形，按A →B →C →D →A …的方向行走，甲从A 点以65 m/min 的速度、乙从B 点以75 m/min 的速度行走，当乙第一次追上甲时，将在正方形的（ ）边上．A ．BCB ．DC C ．ADD ．AB7．有两支同样长的蜡烛，一支能点燃4小时，另一支能点燃3小时，一次遇到停电，同时点燃这两支蜡烛，来电后同时吹灭，发现其中一支的长度是另一支的一半，则停电时间为（ ） A ．2小时B ．3小时C ．125小时D ．52小时8．古代有这样一个寓言故事：驴子和骡子一同走，它们驮着不同袋数的货物，每袋货物都是一样重的.驴子抱怨负担太重，骡子说:“你抱怨干嘛?如果你给我一袋，那我所负担的就是你的两倍；如果我给你一袋，我们才恰好驮的一样多!”那么驴子原来所驮货物的袋数是（ ） A ．5袋B ．6袋C ．7袋D ．8袋9．下列各题正确的是（ ） A ．由743x x =-移项得743x x -= B ．由213132x x --=+去分母得()()221133x x -=+- C ．由()()221331x x ---=去括号得42391x x ---= D ．由()217x x +=+去括号、移项、合并同类项得5x = 10．若三个连续偶数的和是24，则它们的积为（ ） A ．48 B ．240 C ．480 D ．120 11．下列方程中，其解为﹣1的方程是（ ）A ．2y=﹣1+yB ．3﹣y=2C ．x ﹣4=3D ．﹣2x ﹣2=412．解方程32282323x x x----=的步骤如下，错误的是（ ） ①2（3x ﹣2）﹣3（x ﹣2）＝2（8﹣2x ）； ②6x ﹣4﹣3x ﹣6＝16﹣4x ； ③3x +4x ＝16+10；④x ＝267．A ．①B ．②C ．③D ．④13．某项工作甲单独做4天完成,乙单独做6天完成,若甲先做1天,然后甲、乙合作完成此项工作,若甲一共做了x 天,则所列方程为（ ） A ．1146x x++= B ．1146x x ++= C ．1146x x -+= D ．111446x x +++= 14．某个体商贩在一次买卖中同时卖出两件上衣，每件售价均为135元，若按成本计算，其中一件盈利25%，一件亏本25%，则在这次买卖中他( ) A ．不赚不赔B ．赚9元C ．赔18元D ．赚18元 15．若代数式2x +3的值为6，则x 的值为（ ） A ．32B ．3C ．92D ．4二、填空题16．如果3m -与21m +互为相反数，则m =________．17．某信用卡上的号码由17位数字组成，每一位数字写在下面的一个方格中，如果任何相邻的三个数字之和都等于20，则x+y 的值等于______．18．某公司销售,,A B C 三种电子产品，在去年的销售中，产品C 的销售额占总的销售额的60%，由于受新冠肺炎疫情的影响，估计今年,A B 两种产品的销售额都将比去年减少45%，公司将产品C 定为今年销售的重点，要使今年的总销售额与去年持平，那么今年产品C 的销售额应比去年增加__________．19．一批玩具，如果3个小朋友玩1个，还剩2个玩具；如果2个小朋友玩1个，还有9人没有分到玩具.若设有x 个玩具，根据题意可列方程______.20．喜欢集邮的小惠共有中、外邮票145张，其中中国邮票的张数比外国邮票的张数的2倍少5张，问小惠有中国邮票______张，外国邮票_____张.21．在方程1322x -=-的两边同时_________，得x =__________. 22．完成下面的填空：一家商店将某种服装按成本价提高40%后标价，又以八折（即按标价的80%）优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的成本是多少元？我们知道，每件商品的利润是商品售价与商品成本价的差，如果设每件服装的成本价为x 元，那么每件服装的标价为_________元；每件服装的实际售价为___________元； 每件服装的利润为____________元. 由此，列出方程_________________. 解这个方程，得x =______________. 因此每件服装的成本价是___________元.23．用5个同样大小的小长方形恰好可以拼成如图所示的大长方形，若大长方形的周长是14，则小长方形的长是_______，宽是________.24．如果ma mb =，那么下列等式一定成立的是_______. ①a b =；②66ma mb -=-；③1122ma mb -=-；④88ma mb +=+；⑤3131ma mb -=-；⑥33ma mb -=+.25．已知21535a x y -和2547a x y +是同类项，则可得关于a 的方程为________. 26．把方程|21|5x -=化成两个一元一次方程是___________________.三、解答题27．青岛市某实验学校举办一年一届的科技文化艺术节活动，需制作一块活动展板，请来两名工人.已知师傅单独完成需4天，徒弟单独完成需6天. （1）两个人合作需要多少天完成？（2）现由徒弟先做1天，再两人合作，问：还需几天可以完成这项工作？28．某商场投入13800元资金购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价和销售价如表所示：（1）该商场购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？（2）全部售完500箱矿泉水，该商场共获得利润多少元？29．程大位是珠算发明家，他的名著《直指算法统宗》详述了传统的珠算规则，确立了算盘用书中有如下问题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁．意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人？ 30．解下列方程 （1）-9x-4x+8x=-3-7； （2）3x+10x=25+0.5x ．。

七年级上第1章我们与数学同行1.1 生活数学 1.2 活动思考第2章有理数2.1 正数与负数 2.2 有理数与无理数 2.3 数轴 2.4 绝对值与相反数 2.5 有理数的加法与减法 2.6 有理数的乘法与除法 2.7 有理数的乘方 2.8 有理数的混合运算第3章代数式3.1 字母表示数 3.2 代数式 3.3 代数式的值 3.4 合并同类项 3.5 去括号 3.6 整式的加减第4章一元一次方程4.1 从问题到方程 4.2 解一元一次方程 4.3 用一元一次方程解决问题第5章走进图形世界5.1 丰富的图形世界 5.2 图形的运动 5.3 展开与折叠 5.4主视图、左视图、俯视图第6章平面图形的认识(一)6.1 线段、射线、直线 6.2 角 6.3 余角、补角、对顶角 6.4 平行 6.5 垂直七年级下第7章平面图形的认识(二)7.1 探索直线平行的条件 7.2 探索平行线的性质 7.3 图形的平移7.4 认识三角形7.5 多边形的内角和与外角和第8章幂的运算8.1 同底数幂的乘法 8.2 幂的乘方与积的乘方8.3 同底数幂的除法第9章整式乘法与因式分解9.1 单项式乘单项式 9.2 单项式乘多项式 9.3 多项式乘多项式 9.4 乘法公式9.5 多项式的因式分解第10章二元一次方程组10.1 二元一次方程 10.2 二元一次方程组 10.3 解二元一次方程组 10.4 三元一次方程组10.5 用二元一次方程组解决问题第11章一元一次不等式11.1 生活中的不等式11.2 不等式的解集 11.3 不等式的性质11.4 解一元一次不等式11.5 用一元一次不等式解决问题11.6 一元一次不等式组第12章证明12.1 定义与命题12.2 证明 12.3 互逆命题八年级上册第1章全等三角形1.1 全等图形 1.2 全等三角形 1.3 探索三角形全等的条件第2章轴对称图形2.1 轴对称与轴对称图形 2.2 轴对称的性质 2.3 设计轴对称图案 2.4 线段、角的轴对称性 2.5 等腰三角形的轴对称性第3章勾股定理3.1 勾股定理 3.2 勾股定理的逆定理 3.3 勾股定理的简单应用第4章实数4.1 平方根 4.2 立方根 4.3 实数 4.4 近似数第5章平面直接坐标系5.1 物体位置的确定 5.2 平面直角坐标系第6章一次函数6.1 函数 6.2 一次函数 6.3 一次函数的图像 6.4 用一次函数解决问题6.5 一次函数与二元一次方程 6.6 一次函数、一元一次方程和一元一次不等式八年级下第7章数据的收集、整理、描述7.1 普查与抽样调查7.2 统计表、统计图的选用7.3 频数和频率7.4 频数分布表和频数分布直方图第8章认识概率8.1 确定事件与随机事件 8.2 可能性的大小 8.3 频率与概率第9章中心对称图形——平行四边形9.1 图形的旋转9.2 中心对称与中心对称图形 9.3 平行四边形9.4 矩形、菱形、正方形 9.5 三角形的中位线第10章分式10.1 分式10.2 分式的基本性质 10.3 分式的加减 10.4 分式的乘除10.5 分式方程第11章反比例函数11.1 反比例函数11.2 反比例函数的图像与性质11.3用反比例函数解决问题第12章12.1 二次根式12.2 二次根式的乘除 12.3 二次根式的加减九年级上第1章一元二次方程1.1 一元二次方程 1.2 一元二次方程的解法 1.3 一元二次方程的根与系数的关系 1.4 用一元二次方程解决问题第2章对称图形——圆2.1 圆 2.2 圆的对称性 2.3 确定圆的条件 2.4 圆周角2.5 直线与圆的位置关系 2.6 正多边形与圆 2.7 弧长及扇形的面积 2.8 圆锥的侧面积第3章数据的集中趋势和离散程度3.1 平均数 3.2 中位数与众数 3.3 用计算器求平均数3.4 方差 3.5 用计算器求方差第4章等可能条件下的概率4.1 等可能性 4.2 等可能条件下的概率（一） 4.3 等可能条件下的概率（二）九年级下第5章二次函数5.1 二次函数 5.2 二次函数的图像与性质 5.3 用待定系数法确定二次函数表达式 5.3 二次函数与一元二次方程 5.4 用二次函数解决问题第6章图形的相似6.1 图上距离与实际距离 6.2 黄金分割 6.3 相似图形 6.5 探索三角形相似条件 6.6 相似三角形的性质 6.7 图形的位似 6.8 用相似三角形解决问题第7章锐角三角形7.1 正切7.2 正弦、余弦7.3 特殊角的三角函数7.4 由三角函数值求锐角 7.5 解直角三角形7.6 用锐角三角函数解决问题第8章统计和概率的简单应用8.1 中学生的视力情况调查 8.2 货比三家8.3 统计分析帮你做预测 8.4 抽签方法合理吗 8.5 概率帮你做估计8.6 收取多少保险费才合理优质文档，内容可编辑。

综合探究：
探究1：如图，若点A在数轴上对应的数为a，点B在数轴上对应的数为b，且a、b满足|a+2|+ (b−1)2=0
（1）求线段AB的长
x+2的解，在数轴上是否存在点P，（2）点C在数轴上对应的数为x，且x是方程2x−1=1
2
使得PA＋PB＝PC？若存在，求出点P对应的数，若不存在，请说明理由
（3）在（1）（2）的条件下，点A，B，C开始再数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时描点B和点C分别以每秒4个单位长度和9个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离为AB，请问，AB－BC的值是都随着时间t的变化为变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出其值。

一、初一数学一元一次方程解答题压轴题精选（难）1．如图，动点A从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点B也从原点出发向数轴正方向运动，运动到3秒钟时，两点相距15个单位长度．已知动点A、B的运动速度比之是3∶2（速度单位：1个单位长度/秒）．（1）求两个动点运动的速度；（2）A、B两点运动到3秒时停止运动，请在数轴上标出此时A、B两点的位置；（3）若A、B两点分别从（2）中标出的位置再次同时开始在数轴上运动，运动的速度不变，运动的方向不限，问：运动到几秒钟时，A、B两点之间相距4个单位长度？【答案】（1）解：设点B的速度为2x个单位长度/秒，则点A的速度为3x个单位长度/秒，根据题意得：3×（2x+3x）=15，解得：x=1，∴3x=3，2x=2，答：动点A的运动速度为3个单位长度/秒，动点B的运动速度为2个单位长度/秒；（2）解：3×3=9，2×3=6，∴运动到3秒钟时，点A表示的数为﹣9，点B表示的数为6；（3）解：设运动的时间为t秒，当A、B两点向数轴正方向运动时，有|3t﹣2t﹣15|=4，解得：t1=11，t2=19；当A、B两点相向而行时，有|15﹣3t﹣2t|=4，解得：t3= 或t4= ，答：经过、、11或19秒，A、B两点之间相距4个单位长度．【解析】【分析】（1）根据已知：动点A、B的运动速度比之是3∶2，因此设点B的速度为2x个单位长度/秒，则点A的速度为3x个单位长度/秒，根据两点相距15，列方程，求解即可。

（2）根据两点的运动速度，就快求出A、B两点运动到3秒时停止运动，就可得出它们的位置。

（3）设运动的时间为t秒，分两种情况：当A、B两点向数轴正方向运动时；当A、B两点相向而行时，分别根据A、B两点之间相距4个单位长度，列方程求出t的值。

2．甲、乙两班学生到集市上购买苹果，苹果的价格如下：购苹果数不超过10千克超过10千克但不超过20千克超过20千克每千克价格10元9元8元苹果30千克.（1）乙班比甲班少付出多少元？（2）设甲班第一次购买苹果x千克.①则第二次购买的苹果为多少千克；②甲班第一次、第二次分别购买多少千克？【答案】（1）解：乙班购买苹果付出的钱数=8×30=240元，∴乙班比甲班少付出256-240=16元（2）解：①甲班第二次购买的苹果为（30-x）千克；②若x≤10，则10x+（30-x）×8=256，解得：x=8若10＜x≤15，则9x+（30-x）×9=256无解.故甲班第一次购买8千克，第二次购买22千克【解析】【分析】（1）根据20kg以上每千克的价格为8元可求出乙班付出的钱数，从而可求出乙班比甲班少付出多少．（2）设甲班第一次购买x千克，第二次购买30-x千克，则需要讨论①x≤10，②10＜x≤15，列出方程后求解即可得出答案．3．对于任意有理数，我们规定 =ad-bc．例如 =1×4-2×3=-2（1）按照这个规定，当a=3时，请你计算（2）按照这个规定，若 =1，求x的值。

专题03 一元一次方程考点一、由实际问题抽象出一元一次方程：例1（2020湖南省张家界市）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，可列方程（）A. x+23=x2−9 B. x3+2=x−92C. x3−2=x+92D. x−23=x2+9【答案】B【解析】【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．根据车的辆数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．【解答】解：依题意，得：x3+2=x−92．故选：B．考点二、一元一次方程的解法：例2（2020重庆市）解一元一次方程12(x+1)=1−13x时，去分母正确的是（）A. 3(x+1)=1−2xB. 2(x+1)=1−3xC. 2(x+1)=6−3xD. 3(x+1)=6−2x 【答案】D【解析】【分析】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤和等式的基本性质．根据等式的基本性质将方程两边都乘以6可得答案．【解答】解：方程两边都乘以6，得：3(x+1)=6−2x，故选：D．考点三、一元一次方程的应用：例3（2020湖南省湘潭市）由于换季，商场准备对某商品打折出售，如果按原售价的七五折出售，将亏损25元，而按原售价的九折出售，将盈利20元，则该商品的原售价为（）A. 230元B. 250 元C. 270元D. 300 元【答案】D【解析】解：设该商品的原售价为x元，根据题意得：75%x+25=90%x−20，解得：x=300，则该商品的原售价为300元．故选：D．设该商品的原售价为x元，根据成本不变列出方程，求出方程的解即可得到结果．此题考查了一元一次方程的应用，弄清题中的等量关系是解本题的关键．一、选择题=3；③5x−2=3；④3(x+ 1.（2020江苏省镇江市期中）在方程：①3x−4=1；②x31)=2(2x+1)中，解为x=1的方程是（）A. ①②B. ①③C. ②④D. ③④【答案】D【解析】【分析】本题考查了一元一次方程的解法，方程的解，依据所考查知识点逐项进行计算判断即可．【解答】解：①3x−4=1，解得：x=53=3，②x3解得：x=9，③5x−2=3，解得：x=1，④3(x+1)=2(2x+1)解得：x=1，∴解为x=1的方程是③④，故选D．2.（2020上海市期中）若代数式3x−4与−2x+1的值相等，则x的值是（）A. 1B. 2C. 3D. 5【答案】A【解析】【分析】此题考查了利用等式的性质解一元一次方程，列出正确的方程是解本题的关键．根据题意列出方程，利用等式的性质求出方程的解即可得到x的值．【解答】解：根据题意得：3x−4=−2x+1，利用等式的性质1两边同时加上2x+4得：5x=5，利用等式的性质2两边除以5得：x=1，故选A．3.（2020北京市月考）文具店老板以每个144元的价格卖出两个计算器，其中一个赚了20%，另一个亏了20%，则卖这两个计算器总的是（）A. 不赚不赔B. 亏12元C. 盈利8元D. 亏损8元【答案】B【解析】【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，分清两个单位“1”的不同，找出合适的等量关系列出方程解决问题．可分别设两种计算器的进价，根据赔赚可列出方程求得两计算器的进价，再比较两计算器的进价和与售价和之间的差，即可得老板的赔赚情况．【解答】解：设赚了20%的进价为x元，亏了20%的一个进价为y元，由题意得：x(1+20%)=144，y(1−20%)=144，解得：x=120，y=180，则两个计算器的进价和=120+180=300(元)，两个计算器的售价和=144+144=288(元)，则300−288=12(元)，即在这次交易中亏了12元．故选B．4.（2020重庆市月考）下列通过移项变形，错误的是（）A. 由x+2=2x−7，得x−2x=−7−2B. 由x+3=2−4x，得x+4x=2−3C. 由2x−3+x=2x−4，得2x−x−2x=−4+3D. 由1−2x=3，得2x=1−3【答案】C【解析】【试题解析】【分析】本题考查了解一元一次方程和等式的性质，正确掌握等式的性质是解题的关键．根据等式的性质，依次分析各个选项，选出变形错误的选项即可．【解答】解：A.x+2=2x−7，移项得：x−2x=−7−2，即A项正确，B.x+3=2−4x，移项得：x+4x=2−3，即B项正确，C.2x−3+x=2x−4，移项得：2x+x−2x=−4+3，即C项错误，D.1−2x=3，移项得：2x=1−3，即D项正确，故选：C．5.在解方程x3−3x+16=1−x−12的过程中，下列去分母正确的是（）A. 2x−3x+1=6−3(x−1)B. 2x−(3x+1)=6−3x+1C. 2x−(3x+1)=1−3(x−1)D. 2x−(3x+1)=6−3(x−1)【答案】D【解析】【分析】本题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．方程两边乘以6去分母，去括号得到结果，即可做出判断．【解答】解：去分母得2x−(3x+1)=6−3(x−1)，故选D．6.如图是某月份的日历表，任意框出同一列上的三个数，则这三个数的和不可能是（）A. 38B. 45C. 57D. 66【答案】A【解析】【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用；得到日历中一竖列3个数之间的关系是解决本题的难点，可设中间的数为x，根据竖列上相邻的数相隔7可得其余2个数，相加等于各选项中数字求解即可．【解答】解：设中间的数为x，则最小的数为x−7，最大的数为x+7．A.当x+(x−7)+(x+7)=38，解得：x=38，故此选项符合题意；3B.当x+(x−7)+(x+7)=45，解得：x=15，故此选项不符合题意；C.当x+(x−7)+(x+7)=57，解得：x=19，故此选项不符合题意；D.当x+(x−7)+(x+7)=66，解得：x=22，故此选项不符合题意．故选A．7.已知关于x的方程(5a+14b)x+6=0无解，则ab是（）A. 正数B. 非负数C. 负数D. 非正数【答案】D【解析】【分析】本题考查了一元一次方程的解：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．先把方程化为(5a+14b)x=−6，利b2.从而可对各选项进行判断．用方程无解得到5a+14b=0，用b表示a，则ab=−145【解答】解：∵关于x的方程(5a+14b)x=−6无解，∴5a+14b=0，b，∴a=−145b2≤0．∴ab=−145故选：D．8.小芳在解一元一次方程“●x−3=2x+9时，一不小心将墨水泼在作业本上了，x前面的系数看不清了，查看答案是x=−2，请帮小芳算一算，●是（）A. 1B. 3C. 4D. −4【答案】D【解析】【分析】本题主要考查的是一元一次方程的解法，方程的解的有关知识，设●是m，则原方程可转化为：mx−3=2x+9，把x=−2代入得到关于m的一元一次方程，解之即可．【解答】解：设●是m，则原方程可转化为：mx−3=2x+9，把x=−2代入得：−2m−3=−4+9，解得：m=−4，即●是−4．故选D．9.如图，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A，C同时沿正方形的边开始移动，甲按顺时针方向环形，乙按逆时针方向环行，若乙的速度是甲的3倍，那么它们第一次相遇在AD边上，则它们第2019次相遇在（）边上．A. ADB. DCC. BCD. AB【答案】C【解析】【分析】本题主要考查行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用，难度较大，注意先通过计算发现规律然后再解决问题．此题利用行程问题中的相遇问题，设出正方形的边长，乙的速度是甲的速度的3倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答．【解答】解：设正方形的边长为4，乙的速度是甲的速度的3倍，时间相同，甲乙所行的路程比为1：3，把正方形的每一条边平均分成2份，由题意知：=2，乙行的路程为①第一次相遇甲乙行的路程和为8，甲行的路程为2×4×11+3=6，在AD边相遇；2×4×31+3 =4，乙行的②第一次相遇到第二次相遇甲乙行的路程和为16，甲行的路程为4×4×11+3=12，在CD边相遇；路程为4×4×31+3 =4，乙行的③第二次相遇到第三次相遇甲乙行的路程和为16，甲行的路程为4×4×11+3=12，在BC边相遇；路程为4×4×31+3 =4，乙行的④第三次相遇到第四次相遇甲乙行的路程和为16，甲行的路程为4×4×11+3=12，在AB边相遇；路程为4×4×31+3 =4，乙行的⑤第四次相遇到第五次相遇甲乙行的路程和为16，甲行的路程为4×4×11+3=12，在AD边相遇；路程为4×4×31+3 4次一循环，2019÷4=504……3，故它们第2019次相遇位置与第三次相同，在边BC上．故答案为C．二、填空题10.现规定一种新的运算：=ad−bc，例如=1×4−2×3=−2，当=15时，则x=_____．【答案】−3【解析】【试题解析】【分析】本题考查了解一元一次方程，利用新定义得出一元一次方程是解题关键．根据新定义，可得一元一次方程，根据解一元一次方程，可得答案．【解答】解：根据题意知3·(−x)−2x=15，解得：x=−3．故答案为−3．11.有一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大3，把个位数字与十位数字对调之后所得新数与原数之和是77，这个两位数是________．【答案】52【解析】【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设原两位数的个位数字为x，则十位数字为(x+3)，根据把个位数字与十位数字对调之后所得新数与原数之和是77，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设原两位数的个位数字为x，则十位数字为(x+3)，根据题意得：10(x+3)+x+10x+x+3=77，解得：x=2，∴x+3=2+3=5，∴这个两位数为52．故答案为52．12.定义一种新运算“a●b”的含义为：当a≥b时，a●b=a+b；当a<b时，a●b=a−b.例如：3●(−4)=3+(−4)=−1，(−6)●12=(−6)−12=−612(1)(−4)●3=____；(2)(3x−7)●(3−2x)=2，则x=____．【答案】(1)−7；(2)6.【解析】解：(1)根据题中的新定义得：(−4)●3=−4−3=−7；(2)根据题中的新定义得：当3x−7≥3−2x，即x≥2时，化简得：3x−7+3−2x=2，解得：x=6；当3x −7<3−2x ，即x <2时，化简得：3x −7−3+2x =2， 解得：x =2.4，不符合题意，舍去， 综上，x =6，故答案为：(1)−7；(2)6．(1)原式利用题中的新定义化简，计算即可求出值；(2)分两种情况，利用题中的新定义化简，解方程求出其解即可．此题考查了解一元一次方程，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．13. 若关于x 的方程1−2x =a4x +5和3x =52x −4有相同的解，则a =________．【答案】−6 【解析】 【分析】此题考查了同解方程，同解方程即为能使方程左右两边相等的未知数的值．求出第二个方程的解得到x 的值，代入第二个方程求出a 的值即可． 【解答】 解：3x =52x −4 6x =5x −8 x =−8，把x =−8代入1−2x =a4x +5得， 1+16=−2a +5 2a =−12 a =−6， 故答案为−6．14. 已知关于x 的一元一次方程mx −1=2(x +32)的解是正整数，则整数m 的值为_____________． 【答案】3或4或6【解析】解：由mx −1=2(x +32)，得x =4m−2，因为关于x的方程mx−1=2(x+32)的解是正整数，得m−2=1，m−2=2，或m−2=4．解得m=3，m=4，或m=6．故答案为：3或4或6．根据方程的解是正整数，可得4的约数，根据4的约数，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．本题考查了一元一次方程的解，利用方程的解是正整数得出关于m的方程是解题关键．15.已知关于x的一元一次方程(a+3)x|a|−2+6=0，则a的值为______．【答案】3【解析】【分析】本题考查的是一元一次方程的定义有关知识，根据题意可得a+3≠0且|a|−2=1即可解答．【解答】解：由题意可得：a+3≠0且|a|−2=1，解得：a=3．故答案为3．16.有m辆客车及n个人，若每辆客车乘40人，则还有10人不能上车，若每辆客车乘43人，则只有1人不能上车，有下列四个等式：①n−1040=n−143；②n+1040=n+143；③40m+10=43m−1；④40m+10=43m+1其中符合题意的是_________.(填序号)【答案】①；④【解析】【分析】此题考查由实际问题抽象出一元一次方程，考查列方程解应用题的能力，寻找相等关系是关键．首先要理解清楚题意，知道总的客车数量及总的人数不变，然后采用排除法进行分析从而得到正确答案．【解答】解：根据总人数列方程，应是40m+10=43m+1，③错误，④正确；根据客车数列方程，应该为n−1040=n−143，①正确，②错误；所以正确的是①；④．故答案为①；④．三、计算题17.解方程(1)2x−6=2(3x−5)(2)x+12−1=2−x3【答案】解：(1)2x−6=2(3x−5) 2x−6=6x−102x−6x=−10+6−4x=−4x=1；(2)x+12−1=2−x33(x+1)−6=2(2−x)3x+3−6=4−2x3x+2x=4+6−35x=7x=75．【解析】本题主要考查了解一元一次方程的知识点，解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1．(1)去括号、移项、合并同类项，最后化系数为1，即可求解；(2)首先去分母、然后去括号、移项、合并同类项，最后化系数为1，即可求解．四、解答题18.已知y1=−x+3，y2=2x−3．(1)当x取何值时，y1=y2?(2)当x取何值时，y1的值比y2的值的2倍大8⑪(3)先填表，后回答：根据所填表格，回答问题：随着x的值增大，y1、y2的值分别有怎样的变化？【答案】解：(1)由题意得：−x+3=2x−3，∴x=2，当x=2时，y 1=y 2；(2)由题意得：−x+3=2(2x−3)+8，∴x=0.2，当x=0.2时，y 1的值比y 2的值的2倍大8；(3)填表：y 1随着的x的值增大而减小；y 2随着的x的值增大而增大．【解析】【分析】本题立意新颖，实际考查代数式求值和解一元一次方程的解法；解一元一次方程常见的思路有通分，移项合并，系数化1．(1)根据题意建立方程−x +3=2x −3，根据解方程的步骤即移项、合并同类项、化系数为1依次进行求解；(2)根据题意建立方程−x +3=2(2x −3)+8，根据解方程的步骤即移项、合并同类项、化系数为1依次进行求解；(3)把x 的值分别代入计算即可求解． 【解答】 解：(3)填表如下：故y 1随着的x 的值增大而减小；y 2随着x 的值增大而增大．故答案为：6，5，4，3，2，1，0；−9，−7，−5，−3，−1，1，3．19. 同学们，今天我们来学习一个新知识，形如∣∣a c bd ∣∣的式子叫做二阶行列式，它的运算法则用公式表示为：∣∣ac bd ∣∣=ad −bc ，利用此法则解决以下问题： (1)仿照上面的解释，计算出|21−34|的结果；(2)依此法则化简|−2ab −3a +b32a −b −ab|的结果；(3)如果|53x +1x|=4，那么x 的值为多少？【答案】解：(1)根据题中的新定义得：原式=8−(−3)=8+3=11；(2)根据题中的新定义得：原式=−4a +2b +2ab −3ab +9a −3b =5a −b −ab ； (3)已知等式利用题中的新定义化简得：5x −3x −3=4，解得：x=3.5．【解析】(1)根据题中的新定义计算即可求出值；(2)根据题中的新定义化简即可得到结果；(3)已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值．此题考查了解一元一次方程，以及整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20.森林公园的门票价格规定如表：某校初一(5)(6)两个班共104人去游森林公园，其中(5)班人数较少，不到50人，(6)班人数较多，(6)班人数多于50人且少于100人，经估算，如果两班都是以班为单位分别购票则一共应付1240元；(1)求这两个班各有多少名学生？(2)如果两个班联合起来作为一个团体购票，可省多少钱？(3)如果初一(5)班单独组织游公园，作为组织者的你将如何购票才最省钱？【答案】解：(1)设(5)班有x人，则(6)班为(104−x)人，∴13x+11(104−x)=1240，解得：x=48，则104−x=56(人)答：(5)班有48人，(6)班有56人；(2)1240−104×9=304，∴可省304元钱；(3)要想享受优惠，由(1)可知(5)班有48人，只需多买3张，51×11=561，48×13=624>561，∴48人买51人的票可以更省钱．【解析】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元一次方程的解法的运用，设计方案的运用，解答时找到等量关系建立方程求出各班人数是关键．(1)设(5)班有x人，则(6)班为(104−x)人，其相等关系为两个班购票款数为1240元，列方程求解；(2)先求出购团体票的费用，再用1240元−团体票的费用就是节约的钱；(3)根据公园门票价格规定，通过计算得出应尽量设计的能够享受优惠的购票方案．21.如图所示，用三种大小不同的六个正方形和一个缺角的正方形拼成长方形ABCD，其中，GH=2cm，GK=2cm，设BF=xcm，(1)用含x的代数式表示CM=______cm，DM=______cm．(2)求x的值．(3)求长方形ABCD的面积．【答案】(1)x+2；2x+2；(2)∵AF−GH=AE−GK，∴DM=FH=3x，∴2x+2=3x．解得x=2．故x的值为2．(3)长方形的长为：x+x+x+x+2+x+2=14cm，宽为：4x+2=4×2+2=10cm．所以长方形ABCD的面积为：14×10=140cm2．【解析】【分析】(1)根据正方形的性质和线段的和差关系即可得出CM和DM．(2)由DM=FH，列方程求解即可；(3)先求出长方形ABCD的长和宽，再用长×宽即可得出长方形ABCD的面积．此题考查了一元一次方程的应用，主要是能够用不同的方法表示同一个长方形的宽，注意各个正方形的边长之间的数量关系．【解答】解：(1)CM=(x+2)cm，DM=MK=2(x+2)−2=2x+2(cm)．故答案为：x+2；2x+2；22.已知a是最大的负整数，b、c满足(b−3)2+|c+4|=0，且a，b，c分别是点A，B，C在数轴上对应的数．(1)求a，b，c的值，并在数轴上标出点A，B，C；(2)若动点P从C出发沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒2个单位长度，运动几秒后，点P到达B点？(3)在数轴上找一点M，使点M到A，B，C三点的距离之和等于13，请求出所有点M对应的数．【答案】解：(1)∵a是最大的负整数，∴a=−1，∵|b−3|+(c+4)2=0，∴b−3=0，c+4=0，∴b=3，c=−4．表示在数轴上为：(2)BC=3−(−4)=7，则运动时间为7秒．2(3)设点M表示的数为x，使P到A、B、C的距离和等于13，①当M在点B的右侧，x−(−4)+x−(−1)+x−3=13．，解得x=113．即M对应的数是113②当M在C点左侧，(−4)−x+(−1)−x+3−x=13．解得x=−5，即M对应的数是−5．或−5．综上所述，点M表示的数是113【解析】【试题解析】此题主要考查了一元一次方程的应用，与数轴有关计算问题，能够正确表示数轴上两点间的距离：两点所对应的数的差的绝对值．(1)根据绝对值和偶次幂具有非负性可得b−3=0，c+4=0，进而可得答案；(2)根据(1)中的数据得到BC=7，结合运动时间=运动路程÷运动速度解答；(3)分两种情况，①当M在点B的右侧，②当M在C点左侧，分别根据两点间距离公式列方程求解，注意数轴上两点间的距离公式：两点所对应的数的差的绝对值．23.如图，在数轴上的A点表示数a，B点表示数b，a、b满足(a+2)2+|b−4|=0．(1)点A表示的数为_________，点B表示的数为_________．(2)若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后(忽略球的大小，可看作一点)以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t(秒)．①当t=1时，甲小球到原点的距离=________；乙小球到原点的距离=________．当t=3时，甲小球到原点的距离=________；乙小球到原点的距离=________．②试探究：甲、乙两小球到原点的距离可能相等吗？若不能，请说明理由；若能，请直接写出甲、乙两小球到原点的距离相等时运动的时间．【答案】(1)−2；4；(2)①3；2；5；2；②当0<t≤2时，得t+2=4−2t，；解得t=23当t>2时，得t+2=2t−4，解得t=6．故当t=2秒或t=6秒时，甲乙两小球到原点的距离相等．3【解析】【分析】此题主要考查了数轴，一元一次方程有关知识．(1)利用绝对值的非负性即可确定出a，b即可；(2)①根据运动确定出运动的单位数，即可得出结论；②根据(I)0<t≤2，(Ⅱ)t>2，根据甲、乙两小球到原点的距离相等列出关于t的方程，解方程即可．【解答】解：(1)∵|a+2|+|b−4|=0；∴a=−2，b=4，∴点A表示的数为−2，点B表示的数为4，故答案为−2，4；(2)①当t=1时，∵一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动，∴甲小球1秒钟向左运动1个单位，此时，甲小球到原点的距离=3，∵一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，∴乙小球1秒钟向左运动2个单位，此时，乙小球到原点的距离=4−2=2，故答案为：3，2；当t=3时，∵一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动，∴甲小球3秒钟向左运动3个单位，此时，甲小球到原点的距离=5，∵一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，∴乙小球2秒钟向左运动2个单位，此时，刚好碰到挡板，改变方向向右运动，再向右运动1秒钟，运动2个单位，∴乙小球到原点的距离=2．故答案为3；2；5；2；②见答案．24.阅读理解：若A，B，C为数轴上三点且点C在点A，点B之间，若点C到A的距离是点C到B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的好点.例如，如图1，点A表示的数为−1，点B 表示的数为2.表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的好点，但点D是【B，A】的好点．知识运用：(1)如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为−2，点N所表示的数为4．数_______所表示的点是【M，N】的好点；数_______所表示的点是【N，M】的好点；(2)如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为−20，点B所表示的数为40.现有一动点P从点B出发，以每秒10个单位的速度向左运动.当时间t等于多少秒时，P，A，B中恰有一个点为其余两点的好点⋅【答案】(1) 2 ；0 ；=2秒；(2)当P是【A，B】的好点时，t=2010=4秒；当P是【B，A】的好点时，t=4010=9秒；当A是【B，P】的好点时，t=9010=18秒.当A是【P，B】的好点时，t=18010∴当时间等于2秒，4秒，9秒，18秒时，P，A，B中恰有一个点为其余两点的好点．【解析】本题主要考查一元一次方程的应用及数轴，解题关键是要读懂题目的意思，理解好点的定义，找出合适的等量关系列出方程，再求解．(1)设所求数为x，根据好点的定义分别列出方程x−(−2)=2(4−x)和4−x=2[x−(−2)]，解方程即可；(2)根据好点的定义可知分4种情况：①P为【A，B】的好点；②P为【B，A】的好点；③A为【B，P】的好点；④A是【P，B】的好点．设点P表示的数为y，根据好点的定义列出方程，进而得出t的值．。

一、初一数学一元一次方程解答题压轴题精选（难）1．如图，数轴上 A、B 两点所对应的数分别是 a 和 b，且（a+5）2+|b﹣7|=0．（1）求 a，b；A、B 两点之间的距离．（2）有一动点 P 从点 A 出发第一次向左运动 1 个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度…按照如此规律不断地左右运动，当运动到 2019次时，求点P所对应的数．（3）在（2）的条件下，点P在某次运动时恰好到达某一个位置，使点P到点B的距离是点 P 到点 A 的距离的3倍？请直接写出此时点 P所对应的数，并分别写出是第几次运动．【答案】（1）解：∵（a+5）2+|b﹣7|=0，∴a+5=0，b﹣7=0，∴a=﹣5，b=7；∴A、B两点之间的距离=|﹣5|+7=12；（2）解：设向左运动记为负数，向右运动记为正数，依题意得：﹣5﹣1+2﹣3+4﹣5+6﹣7+…+2018﹣2019=﹣5+1009﹣2019=﹣1015．答：点P所对应的数为﹣1015（3）解：设点P对应的有理数的值为x，①当点P在点A的左侧时：PA=﹣5﹣x，PB=7﹣x，依题意得：7﹣x=3（﹣5﹣x），解得：x=﹣11；②当点P在点A和点B之间时：PA=x﹣（﹣5）=x+5，PB=7﹣x，依题意得：7﹣x=3（x+5），解得：x=﹣2；③当点P在点B的右侧时：PA=x﹣（﹣5）=x+5，PB=x﹣7，依题意得：x﹣7=3（x+5），解得：x=﹣11，这与点P在点B的右侧（即 x＞7）矛盾，故舍去．综上所述，点P所对应的有理数分别是﹣11和﹣2．所以﹣11和﹣2分别是点P运动了第11次和第6次到达的位置．【解析】【分析】（1）由绝对值和平方的非负性可得a与b的值，相减得两点间的距离。

（2）设向左运动记为负数，向右运动记为正数，并在-5的基础上把得到的数据相加即可。

（3）设点P对应的有理数的值为x，分别表示PA和PB的长，列方程求解即可。

1.2.2 一元二次方程的解法-公式法与因式分解法【基础知识】一、公式法解一元二次方程 1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式：． ①当时，原方程有两个不等的实数根；②当时，原方程有两个相等的实数根；③当时，原方程没有实数根.3.用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.要点：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择.（2）一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+=.①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：21,24b b acx -±-=.② 当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22bx a =-.③ 当240b ac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根.二、因式分解法解一元二次方程1.用因式分解法解一元二次方程的步骤 （1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 2.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 要点：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.【典例剖析】考点一：公式法【典例1】．小丽同学想用公式法解方程231x x -+=，你认为a ，b ，c 的值应分别为（ ） A ．1-，3，1- B ．1-，3，1 C ．1-，1-，1 D ．1，3-，1-【答案】A 【解析】∵231x x -+=，∴2310x x -+-=．∴1,3,1a b c =-==-．【典例2】．用公式法解方程23412x x +=，下列代入公式正确的是（ ）A ．x =B ．x =C ．x =D ．x =【答案】D 【解析】231240,3,12,4x x a b c -+===-=，代入求根公式得x =．【典例3】．当20,40a b ac ≠-≥的是（ ）A ．20ax bx c ++=B ．20ax bx c -+=C ．2ax bx c +=D ．2ax bx c =+【答案】A 【分析】根据公式法，判断选项中的一元二次方程的实数根是否是题目中给出的那个． 【解析】一元二次方程20ax bx c ++=，当0a ≠，240b ac -≥的时候，它有两个实数根242b b c aa -±-．故选：A ． 【点睛】本题考查一元二次方程的解法——公式法，解题的关键是掌握求根公式．【典例4】．方程2x 2-6x+3=0较小的根为p ，方程2x 2-2x-1=0较大的根为q ，则p+q 等于( ) A ．3 B ．2C ．1D ．23【答案】B 【解析】试题分析：2x 2－6x ＋3＝0， 这里a ＝2，b ＝－6，c ＝3， ∵△＝36－24＝12， ∴x 623±33±，即p 33- x 2－2x －1＝0，这里a ＝2，b ＝－2，c ＝－1， ∵△＝4＋8＝12， ∴x 223±13±， 即q ＝132+则p ＋q 2． 故选B ．点睛：此题考查了解一元二次方程－公式法，利用此方法解方程时，首先找出a ，b ，c ，计算出根的判别式的值，当根的判别式的值大于等于0时，代入求根公式求出解．考点二：因式分解法【典例5】．方程23x x =的根是（ ） A ．3x = B ．0x =C ．123,0x x =-=D ．123,0x x ==【答案】D 【分析】先把方程化为一般式，再把方程左边因式分解得x （x ﹣3）＝0，方程就可转化为两个一元一次方程x ＝0或x ﹣3＝0，然后解一元一次方程即可． 【解析】 解：∵x 2＝3x ， ∴x 2﹣3x ＝0， ∴x （x ﹣3）＝0， ∴x ＝0或x ＝3， 故选：D ． 【点睛】本题考查了利用因式分解法解一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的方法：先把方程化为一般式，再把方程左边因式分解，然后把方程转化为两个一元一次方程，最后解一元一次方程即可． 【典例6】．方程2(3)5(3)x x x +=+的根是（ ） A ．52x =B ．3x =-或52x =C ．3x =-D ．3x =或52x =-【答案】B 【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可． 【解析】解：2(3)5(3)x x x +=+ 移项，得2(3)5(3)0x x x +-+=()(3)250x x +-=解得：3x =-或52x = 故选B ． 【点睛】此题考查的是解一元二次方程，掌握利用因式分解法解一元二次方程是解决此题的关键． 【典例7】．下列方程中适合用因式分解法解的是（ ）A ．210x x -+=B ．2(10x x +=C ．22350x x ++=D ．2650x x --=【答案】B 【分析】根据因式分解法即可得． 【解析】观察四个选项可知，只有选项B 适合用因式分解法解，即2(10x x +=可因式分解为(1)(0x x +=， 故选：B ． 【点睛】本题考查了利用因式分解法解方程，掌握因式分解法是解题关键． 【典例8】．用因式分解法解方程，下列方法正确的是（ ） A ．∵()()22340x x --=，∴220x -=或340x -= B ．∵()()311x x +-=，∴30x +=或11x -= C ．∵()()2323x x --=⨯，∴22x -=或33x -= D ．∵()20x x +=，∴20x += 【答案】A 【解析】∵()()22340x x --=，∴220x -=或340x -=，A 选项正确，符合题意；由于使用因式分解法解方程时方程右边须为0，故B ，C 选项错误；∵()20x x +=，∴20x +=或0x =，故D 选项错误．考点三：综合题（换元法、含绝对值问题、设值（参）与代换问题）【典例9】．解方程① 9(x -3)2 = 25，② 6x2 -x = 1，③ x2 +4x -3596 = 0，④ x(x -1) = 1.较简便的方法依次是（）；A．开平方法、因式分解法、公式法、配方法B．因式分解法、公式法、公式法、配方法C．配方法、因式分解法、配方法、公式法D．开平方法、因式分解法、配方法、公式法【答案】D对于第①个方程，由于左右两边是某个数或式子的平方，据此选择开平方法解方程；对于方程②可结合因式分解中的基本方法分析即可得解; 对于方程③二次项系数为1可考虑配方法; 对于方程④利用公式法求解比较简便.【解析】解：方程①符合直接开方法的形式，因此选择开平方法比较简便；方程②等号左边含有公因式x，则可利用因式分解法比较简便；方程③等号左边二次项系数为1，则可利用配方法比较简便；方程④等号左边展开，移项，然后利用公式法求解比较简便.故选D.【点睛】本题是解一元二次方程的题目，关键是知道如何合理的选择解一元二次方程的方法.【典例10】0．已知(x+y)(x+y +2) = 15, 则x+y的值为（）.A．3或5 B．3或-5 C．-3或5 D．-3或-5【答案】B【分析】首先把x+y看做一个整体,然后利用因式分解法解此方程即可.【解析】解：方程整理，得：(x+y) ²+2(x+y)−15=0，因式分解，得： [(x+y)+5][(x+y)−3]=0，得：x＋y＝－5或x＋y＝3.故答案为B.【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握此解法是解本题的关键．【典例11】．方程x|x|-3|x|+2=0的实数根的个数是（）．A．1；B．2；C．3；D．4．【答案】C【分析】利用绝对值的几何意义，假设x＞0或x＜0，分别分析得出即可．【解析】解：当x＞0时，原式=x2-3x+2=0，解得：x1=1；x2=2；当x＜0时，原式=-x2+3x+2=0，解得：x1（不合题意舍去），x2∴方程的实数解的个数有3个解．故选C．【点睛】此题主要考查的是含有绝对值符号的一元二次方程的一般计算题，充分考查的是绝对值的意义．【典例12】．在解方程（x+2）（x﹣2）=5时，甲同学说：由于5=1×5，可令x+2=1，x﹣2=5，得方程的根x1=﹣1，x2=7；乙同学说：应把方程右边化为0，得x2﹣9=0，再分解因式，即（x+3）（x﹣3）=0，得方程的根x1=﹣3，x2=3．对于甲、乙两名同学的说法，下列判断正确的是..（）A．甲错误，乙正确B．甲正确，乙错误C．甲、乙都正确D．甲、乙都错误【答案】A【解析】（x+2）（x﹣2）=5，x2-4=5，x2-9=0，（x+3）（x-3）=0，x+3=0或x-3=0，x1=-3，x2=3，所以甲错误，乙正确，故选A.【典例13】．已知一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣a﹣2＝0的一个根与方程（a+1）x2+ax﹣a2+a+2＝0的一个根互为相反数，那么（a+1）x2+ax﹣a2+a+2＝0的根是（）A．0，﹣23B．0，23C．﹣1，2 D．1，﹣2【答案】A【解析】【分析】将x0、﹣x0分别代入已知的两个方程，求出a的值，再将a的值代入要求解的方程，解方程即可. 【解析】设x0为方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣a﹣2=0的一个根，则﹣x0为方程（a+1）x2+ax﹣a2+a+2=0的一个根，∴（a+1）x02﹣a x0+a2﹣a﹣2=0①，（a+1）x02﹣a x0﹣a2+a+2=0②，∴①﹣②得：2a2﹣2a﹣4=0，即a2﹣a﹣2=0，解得a=2或﹣1，当a=2时，3x2+2x=0，解得x=0或﹣23；②当a=﹣1时，﹣x﹣1﹣1+2=0，解得x=0.∴方程的解是0或﹣2 3 .故选A.【点睛】本题主要考查一元二次方程的解的定义.【过关检测】一、单选题1．方程210x x+-=的根是（）A．1B C．1-D 【答案】D【分析】观察原方程，可用公式法求解. 【解析】解：∵1a =，1b =，1c =-， ∴241450b ac -=+=>，∴x =； 故选：D . 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，正确理解运用一元二次方程的求根公式是解题的关键.2．一元二次方程260x +-=的根是( )A ．12x x ==B ．120x x ==-，C ．12x x ==-D ．12x x ==-【答案】C找出方程中二次项系数a ，一次项系数b 及常数项c ，再根据x=2b a-± ，将a ，b 及c 的值代入计算，即可求出原方程的解． 【解析】解：∵a=1，c=-6∴ =2- =，∴x 1，x 2 故选：C ． 【点睛】本题考查利用公式法求一元二次方程的解，利用公式法解一元二次方程时，首先将方程化为一般形式，找出二次项系数，一次项系数及常数项，计算出根的判别式，当根的判别式≥0时，将a ，b 及c 的值代入求根公式即可求出原方程的解．3．一元二次方程x 2﹣px+q=0的两个根是（4q ＜p 2）（ ）A ．x =B ．x =C ．x =D ．x =【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的求根公式x=(240b ac -≥)可直接得到答案．【解析】∵a=1，b=-p ，c=q ， ∴b 2-4ac=p 2-4q ， ∵4q ＜p 2， ∴b 2-4ac=p 2-4q ＞0，∴x= 2b a -故选A ． 【点睛】此题主要考查了公式法解一元二次方程，关键是掌握求根公式．4．若在实数范围内定义一种运算“*”,使a*b =(a +1)2-ab ,则方程(x +2)*5=0的解为( )A ．-2B ．-2,3C D【答案】D 【分析】根据题目所给的运算方法，列出一元二次方程，解方程求解即可. 【解析】∵a*b =(a +1)2-ab ,，∴(x +2)*5=(x +2+1)2-5(x +2)= x 2+x -1， ∵(x +2)*5=0， ∴x 2+x -1=0，解得x 1,x 2故选D. 【点睛】本题是阅读理解题，根据新运算的规则列出方程是解答此题的关键． 5．方程()()451x x +-=的根为（ ） A ．x=-4B ．x=5C ．14x =-，25x =D ．以上结论都不对【答案】D 【分析】把原方程化为一元二次方程的一般形式，利用公式法解方程即可. 【解析】原方程化为2210x x --=，利用求根公式有x =A 、B 、C 中都没有方程的根，故选D. 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，利用公式法解方程时，一定把方程化为一般形式.6．用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a 、b 、c 的值．对于方程-4x 2+3=5x ，下列叙述正确的是（ ） A ．a 4=-，b 5=，c 3= B ．a 4=-，b 5=-，c 3= C ．a 4=，b 5=，c 3= D ．a 4=，b 5=-，c 3=- 【答案】B 【分析】用公式法求一元二次方程时，首先要把方程化为一般形式． 【解析】 ∵-4x 2+3=5x∴-4x 2-5x+3=0，或4x 2+5x-3=0∴a=-4，b=-5，c=3或a=4，b=5，c=-3．故选B ． 【点睛】此题考查了公式法解一元二次方程的应用条件，首先要把方程化为一般形式． 7．一元二次方程2234x x x -+=-+ 的根是（ ）A ．11x =-2x 1=-B ．1x =， 212x =C ．112x+=,212x -=D ．1211x x =-+=--【答案】D 【解析】试题解析：方程整理得：2220.x x +-=()224242120.b ac ∆=-=-⨯-=>1x ===-±故选D.点睛：一元二次方程：()200.ax bx c a ++=≠公式法的求根公式为：x =8．方程ax 2+bx+c=0（a ＜0）有两个实根，则这两个实根的大小关系是（ ）ABC ．2b a -≤2b a-D 【答案】A 【解析】因为b b -≤-且 a ＜0,,故选A.9．已知实数x 满足()()2224120x x x x ----=，则代数式21x x -+的值是( )A ．7B ．-1C ．7或-1D ．-5或3【答案】A 【分析】将x 2-x 看作一个整体，然后利用因式分解法解方程求出x 2-x 的值，再整体代入进行求解即可. 【解析】∵(x 2﹣x)2﹣4(x 2﹣x)﹣12＝0， ∴(x 2﹣x+2)(x 2﹣x ﹣6)＝0， ∴x 2﹣x+2＝0或x 2﹣x ﹣6＝0， ∴x 2﹣x ＝﹣2或x 2﹣x ＝6； 当x 2﹣x ＝﹣2时，x 2﹣x+2＝0， ∵b 2﹣4ac ＝1﹣4×1×2＝﹣7＜0， ∴此方程无实数解；当x 2﹣x ＝6时，x 2﹣x+1＝7， 故选A ． 【点睛】本题考查了用因式分解法解一元二次方程，解本题的关键是把x 2-x 看成一个整体． 10．若方程()()x 23x 10-+=，则3x 1+的值为( )? A ．7 B ．2C ．0D ．7或0【答案】D 【分析】根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解得到x 的值，将x 的值代入31x +中，即可求出值．方程2310x x -+=（）（），可得20x -=或310x +=，解得：12123x x ==-，，当2x =时，313217x +=⨯+=；当13x =-时，1313103x +=⨯-+=（）． 故选D ． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，利用此方法解方程时首先将方程右边化为0，左边的多项式分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 11．方程2430x x -+=的解是（ ） A ．1x =±或3x =± B ．1x =或3x = C ．1x =-或3x =- D ．无实数根【答案】A 【解析】 【解析】（1）当x ＞0时，原方程可变形为2430x x -+=， 即()()310x x --=， 解得1x =或3x =；（2）当x ＜0时，原方程可变形为2430x x ++=， 即()()310x x ++=， 解得1x =-或3x =-，则方程2430x x -+=的解是1x =±或3x =±. 故选A. 【点睛】解本题的关键在于对方程去绝对值，再通过因式分解法来解方程即可. 12．若1x ，2x ，3x ，4x ，5x 为互不相等的正奇数，满足()()()()()2123452005200520052005200524x x x x x -----=，则2222212345x x x x x ++++的末位数字是（ ） A ．1B ．3C ．5D ．7【分析】因为1x ，2x ，3x ，4x ，5x 为互不相等的正奇数，所以()12005x -，()22005x -，()32005x -，()42005x -，()52005x -为互不相等的非零偶数（有偶数个负数），又因为26224=23 ，所以这5个偶数只能是2，-2，4，6，-6（否则就会有相同的偶数），所以1x ，2x ，3x ，4x ，5x 分别等于2007，2003，2001，1999，2011，所以2222212345x x x x x ++++的末位数字是1 【解析】解：∵1x ，2x ，3x ，4x ，5x 为互不相等的正奇数∴()12005x -，()22005x -，()32005x -，()42005x -，()52005x -为互不相等的偶数，且负数个数为偶数个而将224分解为5个互不相等的偶数之积，只有唯一的形式：2242(2)46(6)=⋅-⋅⋅-∴()12005x -，()22005x -，()32005x -，()42005x -，()52005x -分别等于2、()2-、4、6、()6- ∴1x ，2x ，3x ，4x ，5x 分别等于2007，2003，2001，1999，2011又∵20072尾数是9，20032尾数是9，20012尾数是1，19992尾数是1，20112尾数是1∴2222212345x x x x x ++++的末位数字是1．故选A ． 【点睛】本题主要考查了数字变化类的一些简单的问题，能够掌握七内在规律并熟练求解是解题关键．二、填空题13．方程()()1312x x -+=的解为________． 【答案】3或5- 【分析】首先把方程转化为一般形式，再利用公式法求解． 【解析】（x-1）（x+3）=12 x 2+3x-x-3-12=0 x 2+2x-15=0282-±==, ∴x 1=3，x 2=-5 故答案是:3或-5． 【点睛】考查了学生解一元二次方程的能力，解决本题的关键是正确理解运用求根公式． 14．把方程2511333x x +=-化为一般形式是______，其中a =______，b =______，c =______，24b ac -=______，方程的根是1x =______，2x =______.【答案】23520x x --= 3 －5 －2 49 13- 2 【分析】方程整理为一般形式，找出一般形式中a ，b ，c 的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解． 【解析】 解：方程2511333x x +=-化为一般形式是：23520x x --=， ∴a ＝3，b ＝−5，c ＝−2， ∵b 2−4ac ＝25＋24＝49， ∴x ＝54957236， 则方程的解为x 1＝13-，x 2＝2． 故答案为23520x x --=；3，−5，−2，49；13-，2． 【点睛】此题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握求根公式是解题关键．15．方程20.250x x +-=中，24b ac -的值为__________，根是___________．【答案】5 12x x ==【分析】根据公式法解一元二次方程即可． 【解析】解：20.250x x +-= a=0.2，b=1，c=-5∴24b ac -=()2140.2550-⨯⨯-=<∴x=120.2-±⨯=52-±∴125522x x -+--==故答案为：5；12x x ==【点睛】此题考查的是解一元二次方程，掌握利用公式法解一元二次方程是解决此题的关键． 16．方程()()2232x x -=-用________法求解较宜，解得方程的根是____________ 【答案】因式分解 122 5.x x ==， 【分析】先移项，然后利用因式分解法进行解方程，即可求出方程的根． 【解析】解：∵()()2232x x -=-， ∴()()22320x x ---=， 利用因式分解法，得()()2230x x ---=，∴()()250x x --=， ∴20x -=或50x -=，∴122, 5.x x ==∴原方程的根是122, 5.x x == 故答案为：因式分解；122, 5.x x == 【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握因式分解法解方程． 17．一元二次方程x(x ﹣5)=x ﹣5的解为___________． 【答案】x 1=5，x 2=1 【分析】先移项得到x （x ﹣5）﹣（x ﹣5）=0，然后利用因式分解法解方程． 【解析】解：x （x ﹣5）﹣（x ﹣5）=0， （x ﹣5）（x ﹣1）=0， x ﹣5=0或x ﹣1=0， 所以x 1=5，x 2=1． 故填x 1=5，x 2=1． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．18．已知2－4c>0)，则x 2＋bx ＋c 的值为_______________________.【答案】0 【分析】把x 的值代入代数式，再进行计算即可． 【解析】∵2(40)2b x bc -=->，∴2,x bx c ++2,22b b b c ⎛⎫--=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭,c =,c =2222422,4b bc b c ---+=+,c c =-+ 0.=故答案为0. 【点睛】考查解一元二次方程-公式法，把x 的值代入是解题的关键.19．设A 是方程x 2的所有根的绝对值之和,则A 2=________. 【答案】4083 【分析】根据公式法得到，再根据题意得到，计算即可得到答案.【解析】由公式法得x=2，则=A 2=4083.【点睛】本题考查公式法求一元二次方程，解题的关键是掌握公式法求一元二次方程.20．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“友好方程”．已知关于x 的一元二次方程2455x x m mx -+=+和2210x x m ++-=互为“友好方程”，则m 的值为_______．【答案】34-或1或2- 【分析】先利用因式分解法解方程2455x x m mx -+=+，得到x 1=5，x 2=m-1．再分别将x=5，x=m-1代入x 2+2x+m-1=0，求出m 的值即可． 【解析】2455x x m mx -+=+，整理得2(4)5(1)0x m x m -++-=，分解因式，得(5)[(1)]=0x x m ---， 解得1251x x m ==-，．当5x =时，221x x m ++-=251010m ++-=， 解得34m =-；当1x m =-时，221x x m ++-=21)11)0(2(m m m -+-+=-， 解得1m =或2m =-． 所以m 的值为34-或1或2-． 故答案为：34-或1或2-． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了利用因式分解法解方程，求出方程2455x x m mx -+=+的两个解是解题的关键． 21．已知c 为实数，并且方程x 2﹣3x +c =0的一个根的相反数是方程x 2+3x ﹣c =0的一个根，则方程x 2+3x ﹣c =0的解是______． 【答案】x 1=0，x 2=﹣3． 【解析】解：设方程x 2﹣3x +c =0一个根为t ，则t 2﹣3t +c =0①，因为﹣t 为方程x 2+3x ﹣c =0的一个根，所以t 2﹣3t ﹣c =0②，由①②得：c =0，解方程x 2+3x =0得：x 1=0，x 2=﹣3．故答案为x 1=0，x 2=﹣3．22．对于实数a ，b ，定义运算“*”，a *b ＝22()()a ab a b ab b a b ⎧->⎨-≤⎩例如4*2．因为4＞2，所以4*2＝42－4×2＝8，若x 1、x 2是一元二次方程x 2－9x ＋20＝0的两个根，则x 1*x 2＝__． 【答案】4【解析】试题分析：先求出方程的两个根，再利用新定义的运算法则计算,计算时需要分类讨论.试题解析：x 2－7x ＋12＝0，(x －4)(x －3)＝0，x －4＝0或x －3＝0，∴x 1＝4，x 2＝3或x 1＝3，x 2＝4.当x 1＝4，x 2＝3时，x 1*x 2＝42－4×3＝4， 当x 1＝3，x 2＝4时，x 1*x 2＝3×4－42＝－4，∴x 1*x 2的值为4或－4. 点睛：定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，是可以深刻理解数学本源的题型，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、△、⊙，#等，解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算.三、解答题23．公式法解方程：（1）2220x x +-=；（2）2(2)3x x x +=-；（3）228817x x x -+=．【答案】（1）1211x x =-=-2）121,32x x ==-；（3）1211,2x x =-=． 【分析】（1）直接利用公式法求解即可；（2）方程整理成一般式后，直接利用公式法求解即可；（3）方程整理成一般式后，直接利用公式法求解即可．【解析】（1）122a b c ===-，，，224241(2)120b ac ∴∆=-=-⨯⨯-=>，1x ∴===-即1211x x =-=-（2）2(2)3x x x +=-，22530x x ∴+-=，253a b c ∴===-，，，224542(3)49b ac ∴∆=-=-⨯⨯-=，557244b x a ---±∴===，12132x x ∴==-，；（3）228817x x x -+=，整理，得2210x x +-=，211a b c ∴===-，，，224142(1)9b ac ∴∆=-=-⨯⨯-=，134x -±∴===，12112x x ∴=-=，．【点睛】本题考查了解一元二次方程-公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．24．用因式分解法解下列关于x 的方程（1）()()2234410x x --+= （2）23(5)2(5)x x -=-（3）(1)(2)24x x x ++=+ （4）2(2)3(2)40x x +++-= 【答案】（1）137x =，25x =-；（2）15=x ，2133x =；（3）12x =-，21x =；（4）16x =-，21x =-【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；（2）移项，然后利用因式分解法解一元二次方程即可；（3）移项，然后利用因式分解法解一元二次方程即可；（4）利用因式分解法解一元二次方程即可．【解析】解：（1）()()22344+1=0x x --()()()()344+1344+1=0x x x x ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦-+-- ()()735=0x x --- 解得：137x =，25x =- （2）23(5)2(5)x x -=-23(5)2(5)0x x -+-=[](5)3(5)20x x --+=()(5)3130x x --=解得：15=x ，2133x = （3）(1)(2)24x x x ++=+()(1)(2)220x x x ++-+=()2(1)0x x +-=解得：12x =-，21x =（4）2(2)3(2)40x x +++-=(24)(21)0x x +++-=(6)(1)0x x ++=解得：16x =-，21x =-【点睛】此题考查的是解一元二次方程，掌握利用因式分解法解一元二次方程是解决此题的关键．25．按指定的方法解方程：（1）9（x ﹣1）2﹣5=0（直接开平方法）（2）2x 2﹣4x ﹣8=0（配方法）（3）6x 2﹣5x ﹣2=0（公式法）（4）（x+1）2=2x+2（因式分解法）【答案】（1）x 1，x 22）x 1x 2=13）x 1，x 2（4）x 1=﹣1，x 2=1．【分析】（1）移项后，利用直接开平方法解方程；（2）利用配方法，先把二次项的系数化为1，再确定一次项的系数，然后配方即可；（3）先确定a 、b 、c 的值，然后求出△=b 2-4ac ，判断后利用公式法解方程即可；（4）把方程右边提公因式2，再移项，提公因式x+1即可解方程.【解析】（1）移项得：9（x ﹣1）2=5，（x ﹣1）2=59，开方得：x ﹣x 1，x 2； （2）2x 2﹣4x ﹣8=0，2x 2﹣4x=8，x 2﹣2x=4，配方得：x 2﹣2x+1=4+1，（x ﹣1）2=5，开方得：x ﹣x 1x 2=1（3）6x 2﹣5x ﹣2=0，b 2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×6×（﹣2）=73，x 1=12，x 2=512； （4）（x+1）2=2x+2，（x+1）2﹣2（x+1）=0，（x+1）（x+1﹣2）=0，x+1=0，x+1﹣2=0，x 1=﹣1，x 2=1．【点睛】此题主要考查了一元一次方程的解法，关键是熟练掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法.26．用因式分解法解下列关于x 的方程：（1）2152x x -=；（2）224(3)(2)0+--=x x ；（3）222(3)9x x -=-；（4）22204a x ax b -+-=．【答案】（1）10x =，210x =-；（2）18x =-，243x =-；（3）13x =，29x =；（4）112x a b =-，212x a b =+．【分析】（1）移项后提取公因式；（2）使用平方差公式；（3）等式右边用平方差公式分解，然后移项提取公因式；（4）前面三项可以用完全平方公式分解，然后用平方差公式．【解析】解：（1）2152x x -=，21502x x +=，1502x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则有0x =或1502x +=， 解得：10x =，210x =-；（2）224(3)(2)0+--=x x ，[][]2(3)(2)2(3)(2)0x x x x +--++-=，(8)(34)0x x ++=，则有80+=x 或340+=x ，解得：18x =-，243x =-； （3）222(3)9x x -=-，22(3)(3)(3)x x x -=+-，[](3)2(3)(3)0x x x ---+=，(3)(9)0x x --=，则有30x -=或90x -=，解得：13x =，29x =；（4）22204a x ax b -+-=， 2202⎛⎫--= ⎪⎝⎭a x b ， 022a a x b x b ⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 则有02a x b -+=或02--=a x b ， 解得：112x a b =-，212x a b =+． 【点睛】本题考查用因式分解法解一元二次方程，需要先将等式右边变成0，然后观察等式左边，采用适当的方法进行因式分解，最后由每个因式等于0求出方程的根．27．选用适当的方法解下列方程：（1）（3﹣x ）2+x 2＝9；（2）（2x ﹣1）2+（1﹣2x ）﹣6＝0；（3）（3x ﹣1）2＝4（1﹣x ）2；（4x ﹣1）2＝（1﹣x ）【答案】（1）x 1＝0，x 2＝3；（2）x 1＝2，x 2＝﹣12；（3）x 1＝﹣1，x 2＝35；（4）x 1＝1，x 2＝22 ． 【分析】（1）用完全平方式变形后，提出公因式求解即可；（2）整理后分解因式得出两个一元一次方程，求解即可；（3）先开平方，可得出两个一元一次方程，求解即可；（4）移项后整理分解因式即可求解．【解析】解：（1）（3﹣x ）2+x 2＝9，2x 2﹣6x ＝0，x 2﹣3x ＝0，x （x ﹣3）＝0，x 1＝0，x 2＝3；（2）（2x ﹣1）2+（1﹣2x ）﹣6＝0，（2x ﹣1）2﹣（2x ﹣1）﹣6＝0，（2x ﹣1﹣3）（2x ﹣1+2）＝0，x 1＝2，x 2＝﹣12； （3）（3x ﹣1）2＝4（1﹣x ）2；3x ﹣1＝±2（x ﹣1），3x ﹣1＝2x ﹣2或3x ﹣1＝﹣2x +2，x 1＝﹣1，x 2＝35；（4x ﹣1）2＝（1﹣x ），x ﹣1）2+（x ﹣1）＝0，（x ﹣1）＝0，x 1＝1，x 2＝22-．【点睛】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．28．选择合适的方法解方程：（1）(1)x x x -=；（2）(1)(1)2(3)8x x x +-++=；（326x =（4）2210x x --=．【答案】（1）120,2x x ==；（2）123,1x x =-=；（3）1x 2x =（4）11x =21x =【分析】（1）移项后利用分解因式法求解；（2）先化为一般形式，再利用分解因式法求解；（3）二次项系数化为1后利用配方法求解；（4）利用公式法解答即可．【解析】解：（1）移项，得(1)0x x x --=，提取公因式，得(11)0x x --=．∴0x =或110x --=，解得：120,2x x ==；（2）整理，得212680x x -++-=，即2230x x +-=，因式分解，得(3)(1)0x x +-=．即30x +=或10x -=，解得：123,1x x =-=；（326x -=二次项系数化为1，得21x -=-．配方，得2221x -+=-+，即2(2x =，∴x -=解得：1x =2x =（4）方程中，1,2,1a b c ==-=-，2(2)41(1)80∴∆=--⨯⨯-=>．∴212x ==即11x =21x =【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基本题型，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题关键． 29．解方程：(x －2 013)(x －2 014)＝2 015×2 016．【答案】原方程的解为x 1＝4 029，x 2＝－2．【分析】根据题意结合等式的性质可分情况讨论，将方程转化为两个方程组，方程组2013201620142015x x -=⎧⎨-=⎩或2013201520142016x x -=-⎧⎨-=-⎩，然后分别解方程组即可求解． 【解析】解：由题意得：方程组2013201620142015x x -=⎧⎨-=⎩的解一定是原方程的解，解得x ＝4 029， 方程组2013201520142016x x -=-⎧⎨-=-⎩的解也一定是原方程的解，解得x ＝－2， ∵原方程最多有两个实数解，∴原方程的解为x 1＝4 029，x 2＝－2．30．小明在解方程x 2﹣5x ＝1时出现了错误，解答过程如下：∵a ＝1，b ＝﹣5，c ＝1，（第一步）∴b 2﹣4ac ＝（﹣5）2﹣4×1×1＝21（第二步）∴x =∴152x =，252x =（第四步） （1）小明解答过程是从第 步开始出错的，其错误原因是 ．（2）写出此题正确的解答过程．【答案】（1）一，原方程没有化简为一般形式；（2）见解析【分析】（1）根据一元二次方程的解法步骤即可求出答案．（2）根据一元二次方程的解法即可求出答案．【解析】解：（1）确定一元二次方程的系数时，应该先化简为一般形式，所以小明解答过程是从第一步开始出错的，其错误原因是原方程没有化简为一般形式．故答案为：一，原方程没有化简为一般形式．（2）∵a ＝1，b ＝﹣5，c ＝﹣1，∴b 2﹣4ac ＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣1）＝29．∴x =∴1x ，2x = 【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法．31．阅读理解：方程()200++=≠ax bx c a 的根是x =.方程20y by ac ++=的根是y =因此，要求()200++=≠ax bx c a 的根，只要求出方程20y by ac ++=的根，再除以a 就可以了. 举例：解方程2172806x x ++=. 解：先解方程：2187206y y ++⨯=，得12y =-，26y =-. 所以方程2172806x x ++=的两根是1272x -=，2672x -=. 即1136x =-，2112x =-. 请按上述阅读理解中所提供的方法解方程2149607x x +-=. 【答案】1149x =，217x =- 【分析】 根据材料中方法先求出方程2164907y y +-⨯=的根，然后再除以49即可. 【解析】 先解方程2164907y y +-⨯=，即2670y y +-=， 分解因式得()()170y y -+=，解得11y =，27y =-，∴方程2149607x x +-=的解为1149x =，217x =-. 【点睛】此题考查了解一元二次方程−公式法与因式分解法，理解题中的方法是解本题的关键．32．阅读下面的材料：解方程2||20x x --=．解：当0x >时，原方程化为220x x --=，解得122,1x x ==-（不合题意，舍去）；当0x =时，20-=，矛盾，舍去；当0x <时，原方程化为220x x +-=解得122,1x x =-=（不合题意，舍去）．综上所述，原方程的根是122,2x x ==-．请参照上面材料解方程．（1）2|1|10x x ---=；（2）2|21|4x x =-+．【答案】（1）121,2x x ==-；（2）123,1x x ==-【分析】（1）分三种情况去掉绝对值，化成一元二次方程，解一元二次方程即可．（2）分三种情况去掉绝对值，化成一元二次方程，解一元二次方程即可．【解析】（1）2|1|10x x ---=，当1x >时，原方程化为20x x -=，解得1210x x ==（舍去），（不合题意，舍去）； 当1x =时，原方程化为1010--=，∴1x =是原方程的解；当1x <时，原方程化为220x x +-=，解得1221x x =-=，（不合题意，舍去）．综上所述，原方程的根是1212x x ==-，； （2）2|21|4x x =-+， 当12x >时，原方程化为2230x x --=， 解得1231x x ==-，（不合题意，舍去）； 当12x =时，144=，矛盾，舍去； 当12x <时，原方程化为2250x x +-=，解得11x =-21x =-（不合题意，舍去）．综上所述，原方程的根是1231x x ==-，【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把含绝对值的一元二次方程转化成一元一次方程． 33．已知a 是一元二次方程2410x x -+=的两个实数根中较小的根.（1）求242012a a -+的值；（2）化简求值21211a a a a-+-.【答案】（1）2011；（2）a-1，1【分析】（1）因为a 是一元二次方程的根，可得到2410a a -+=，进而可得到结果；（2）先解出方程，方程两个解中较小的为a ，然后利用二次根式与分式的化简法则对代数式进行化简，最后代入a 即可.【解析】（1）a 是一元二次方程2410x x -+=的两个实数根中最小的根，2410a a ∴-+=.2420122011a a ∴-+=.（2）解方程可得12x =22x =a 是一元二次方程2410x x -+=的两个实数根中最小的根，2a ∴=110a ∴-=<.21211a a a a-+--()2111a a a -=- ()21(1)(1)=(1)a a a a a a ------ ()21(1)a a a a -=- 1a =-∴原式1=【点睛】本题考查一元二次方程的解以及二次根式的混合运算，解题关键在于能够得到a 的值.34．观察下列方程：①2227910x x -+=；②2223660x x -+=；③2219450x x -+=；④2215280x x -+=；⑤2211150x x -+=；…上面每一个方程的二次项系数都是2，各个方程的解都不同，但每个方程24b ac -的值均为1．（1）请你写出两个方程，使每个方程的二次项系数都是2，且每个方程的24b ac -的值也都是1，但每个方程的解与已知的5个方程的解都不相同．（2）对于一般形式的一元二次方程20ax bx c ++=（a≠0，24b ac -≥0），能否作出一个新方程20ax b x c '+'+=，使24b ac -与24b ac '-'相等？若能，请写出所作的新的方程（b '，c '需用a ，b ，c 表示），并说明理由；若不能，也请说明理由．【答案】（1）答案不惟一，如2227602310x x x x -+=-+=，；（2）能，见解析.【解析】【分析】（1）先根据已知条件每个方程的二次项系数都是2，且每个方程的24b ac -的值也都是1，但每个方程的解与已知的5个方程的解都不相同这个条件，再根据根的判别式即可求出答案.（2）根据（1）可得出一个新方程20ax b x c '+'+＝，使24b ac -与24b ac '-'相等.【解析】（1）答案不惟一，如2227602310x x x x -+=-+=，；（2）能，所作的新方程为2(2)()0ax b a x a b c +++++=．通过观察可以发现2b b a c a b c ''=+=++，．【点睛】本题主要考查了根的判别式，解题时要找出规律，得出新的方程是此题的关键.35．阅读下列材料：解方程：x 4﹣6x 2+5＝0．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x 2＝y ，那么x 4＝y 2，于是原方程可变为y 2﹣6y +5＝0…①，解这个方程得：y 1＝1，y 2＝5．当y ＝1时，x 2＝1，∴x ＝±1；当y ＝5时，x 2＝5，∴x ＝所以原方程有四个根：x 1＝1，x 2＝﹣1，x 3x 4在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．（1）解方程（x 2﹣x ）2﹣4（x 2﹣x ）﹣12＝0时，若设y ＝x 2﹣x ，则原方程可转化为 ；求出x（2）利用换元法解方程：224224x x x x -+-＝2．【答案】（1）y 2﹣4y ﹣12＝0，x 1＝-2，x 2＝3；（2）x 1＝x 2＝1【分析】（1）直接代入得关于y 的方程，然后进行计算，即可得到结果；（2）设y=224x x -把分式方程变形后求解，把解代入设中求出x 的值． 【解析】解：（1）设y ＝x 2﹣x ，原方程可变形为：y 2﹣4y ﹣12＝0故答案为：y 2﹣4y ﹣12＝0 ，∴(6)(2)0y y -+=，∴6y =或2y =-，∴26x x -=或22x x -=-解得：x 1＝-2，x 2＝3． （2）设y ＝224x x -，则2412x x y-=， 原方程变形为：120y y+-=， 去分母，得y 2﹣2y +1＝0，即（y ﹣1）2＝0解得，y 1＝y 2＝1经检验，y ＝1是分式方程的根． ∴224x x -＝1， 即x 2﹣2x ﹣4＝0解得：x 1＝x 2＝1经检验，∴原分式方程的解为：x 1＝x 2＝1【点睛】本题考查了一元二次方程、分式方程的解法．看懂题例理解换元法是关键．换元法的一般步骤有：设元、换元、解元、还原几步．注意应用换元法解分式方程，注意验根．36．阅读下面材料：材料一：分解因式是将一个多项式化为若干个整式积的形式的变形，“十字相乘法”可把某些二次三项式分解为两个一次式的乘积，具体做法如下：对关于x ，y 的二次三项式22ax bxy cy ++，如图1，将2x 项系数12a a a =⋅，作为第一列，2y 项系数12c c c =⋅，作为第二列，若1221a c a c +恰好等于xy 项的系数b ，那么22ax bxy cy ++可直接分解因式为：()()221122ax bxy cy a x c y a x c y ++=++示例1：分解因式：2256x xy y ++解：如图2，其中111=⨯，623=⨯，而51312=⨯+⨯；∴2256(2)(3)x xy y x y x y ++=++；示例2：分解因式：22412x xy y --．解：如图3，其中111=⨯，1262-=-⨯，而4121(6)-=⨯+⨯-；∴22412(6)(2)x xy y x y x y --=-+；材料二：关于x ，y 的二次多项式22ax bxy cy dx ey f +++++也可以用“十字相乘法”分解为两个一次式的乘积．如图4，将12a a a =作为一列，12c c c =作为第二列，12f f f =作为第三列，若1221a c a c b +=，1221a f a f d +=，1221c f c f e +=，即第1、2列，第1、3列和第2、3列都满足十字相乘规则，则原式分解因式的结果为：()()22111222ax bxy cy dx ey f a x c y f a x c y f +++++=++++；示例3：分解因式：2243283x xy y x y -+-+-．解：如图5，其中111=⨯，3(1)(3)=-⨯-，3(3)1-=-⨯；满足41(3)1(1)-=⨯-+⨯-，21(3)11,8(3)(3)(1)1-=⨯-+⨯=-⨯-+-⨯；∴2243283(3)(31)x xy y x y x y x y -+-+-=---+请根据上述材料，完成下列问题：（1）分解因式：232x x ++= ；2256220x xy y x y -+++-= ；（2）若x ，y ，m 均为整数，且关于x ，y 的二次多项式2262120x xy y x my +--+-可用“十字相乘法”分解为两个一次式的乘积，求出m 的值，并求出关于x ，y 的方程22621201x xy y x my +--+-=-的整数解．【答案】（1）(1)(2)x x ++，(35)(24)x y x y -+--；（2）5456m m ==-，14x y =-⎧⎨=⎩和24x y =⎧⎨=-⎩【分析】（1）①直接用十字相乘法分解因式；②把某个字母看成常数用十字相乘法分解即可；。

用一元一次不等式解决问题南京市钟英中学姜鹏目标要求：1.会用一元一次不等式描述现实生活中的数量之间的不等关系，并解决一些的实际问题；2.初步体会一元一次不等式的应用价值，发展学生的分析问题和解决问题的能力.过程性目标1．分析和探究实际问题中的数量间的不等关系.重点和难点重点：列元一次不等式的解应用题关键是对各数量间关系的理解和分析；难点：抓住关键字眼，挖掘隐含的数量关系.一、课前热身：1.根据题意列不等式.（1）小明今年x岁，他的年龄不小于12岁.（2）一个n边形的内角和超过外角和..（3）一个三角形三边为2、3、x..（4）王大爷早晨以xkm/时的速度到10km远的公园晨练，早晨六点出发，要在7点前赶到..二、创设情境：引例：一只纸箱质量为1kg，当放入一些苹果（每个苹果的质量为0.25kg）后，箱子和苹果的总质量为10kg.这只纸箱内装有多少个苹果例1：一只纸箱质量为1kg，当放入一些苹果（每个苹果的质量为0.25kg）后，箱子和苹果的总质量不超过10kg.这只纸箱内最多能装多少个苹果思考1：“例1”和“引例”在表述上有何不同思考2：列一元一次不等式解决问题的一般步骤有哪些例2：某人骑一辆电动自行车，如果行驶速度增加5km/h，那么2h所行驶的路程不少于原来速度所行驶的路程，他原来行驶的速度最大是多少三、交流反思问：列一元一次不等式，解决实际问题步骤与求列一元一次方程解决实际问题，作一下比较，看看它们有哪些类似之处有什么不同（可安排学生进行讨论和交流.）由学生得出以下结论，教师作适当的总结.（1）解答步骤类似于列一元一次方程解决实际问题，关键的是找出题中的数量关系. 列一元一次方程解决实际问题，是根据题中的相等关系，列出一元一次方程，而列一元一次不等式，解决实际问题，是根据题中的不等关系，列出一元一次不等式；（2）列一元一次不等式，解决实际问题时，要注意在不等式两边都乘以（或除以）同一个负数时，不等号方向必须改变.例3：搭一搭：算一算：课本“数学实验室”按上图所示的搭法，用4根火柴棒可以搭1个正方形，用7根火柴棒可以搭2个正方形，用10根火柴棒可以搭3个正方形。

解一元一次不等式（1）第一部分教案设计教学内容教材第127-128页，判别并能解简单的一元一次不等式。

教材分析本节课是在学习了不等式性质的基础上来学习一元一次不等式，在初中阶段，不等式位于一次方程（组）之后，它是进一步探究显示世界数量关系的重要内容。

前一节利用不等式的性质解简单的不等式，为系统学习一元一次不等式做好了辅垫。

其实不等式的研究从最简单的一元一次不等开始，一元一次不等式的解法及其相关概念是本章的基础知识。

解任何一个代数不等式（组）最终都要化归为解一元一次不等式，因而解一元一次不等式是项基本技能。

另外，不等式解集的数轴表示从形的角度描述了不等式的解集，并为解不等式组做了准备，本节内容是进一步学习其他不等式（组）的基础。

教学目标知识与能力1.理解一元一次不等式的概念。

2.会解不含有字母的简单一元一次不等式，并能在数轴上表示其解集。

3.通过与解一元一次方程的比较，体会类比的思想方法。

过程与方法1.通过把解集表示在数轴上的学习过程，逐步培养数形结合的思想。

2.通过实例让学生经历求一元一次不等式的解的过程，探索一元一次不等式的解法与一元一次方程解法的异同。

3.类比一元一次方程的解法，使学生熟练掌握一元一次不等式的解法。

情感、态度与价值观1.积极参与对数学问题的探讨，敢于发表见解，并在与他人合作交流中获益，体会成功的喜悦。

2.在进行实际问题讨论的过程中，让学生发扬合作交流精神，探索运用数学知识解决实际问题的方法与途径，提高学生参与数学活动的兴趣。

、教学重难点及突破重点不含有分母的一元一次不等式的解法。

难点解一元一次不等式时，不等号方向的改变。

教学突破解一元一次不等和解一元一次方程有很多相同点，因而在教学中可以利用类比展开教学，让学生结合一元一次方程理解一元一次不等式及其解法。

教学方案设计教学设想通过分类不等式，引出一元一次不等式，通过复习等式和解一元一次方程，让学生对比发现如何解一元一次不等式，最后通过三个例题与练习来巩固、提高。

绝对值与一元一次方程知识纵横绝对值是初中数学最活跃的概念之一,•能与数学中许多知识关联而生成新的问题,我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程,简称绝对值方程.解绝对值方程的基本方法有:一是设法去掉绝对值符号,将绝对值方程转化为常见的方程求解;一是数形结合,借助于图形的直观性求解.前者是通法,后者是技巧.解绝对值方程时,常常要用到绝对值的几何意义,去绝对值的符号法则,•非负数的性质、绝对值常用的基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法.例题求解【例1】方程│5x+6│=6x-5的解是_______.(2000年重庆市竞赛题)思路点拨设法去掉绝对值符号,将原方程化为一般的一元一次方程来求解.解:x=11提示:原方程5x+6=±(6x-5)或从5x+6≥0、5x+6<0讨论.【例2】适合│2a+7│+│2a-1│=8的整数a的值的个数有( ).A.5B.4C.3D.2 (第11届“希望杯”邀请赛试题)思路点拨用分类讨论法解过程繁琐,仔细观察数据特征,借助数轴也许能找到简捷的解题途径.解:选B提示:由已知即在数轴上表示2a的点到-7与+1的距离和等于8,•所以2a表示-7到1之间的偶数.【例3】解方程:│x-│3x+1││=4; (天津市竞赛题)思路点拨从内向外,根据绝对值定义性质简化方程.解:x=-54或x=32提示:原方程化为x-│3x+1=4或x-│3x+1│=-4【例4】解下列方程:(1)│x+3│-│x-1│=x+1; (北京市“迎春杯”竞赛题)(2)│x-1│+│x-5│=4. (“祖冲之杯”邀请赛试题)思路点拨解含多个绝对值符号的方程最常用也是最一般的方法是将数轴分段进行讨论,采用前面介绍的“零点分段法”分类讨论;有些特殊的绝对值方程可利用绝对值的几何意义迅速求解.解:(1)提示:当x<-3时,原方程化为x+3+(x-1)=x+1,得x=-5;当-3≤x<1时,原方程化为x+3+x-1=x+1,得x=-1;当x≥1时,原方程化为x+3-(x-1)=x+1,得x=3.综上知原方程的解为x=-5,-1,3.(2)提示:方程的几何意义是,数轴上表示数x的点到表示数1及5的距离和等于4,画出数轴易得满足条件的数为1≤x≤5,此即为原方程的解.【例5】已知关于x的方程│x-2│+│x-3│=a,研究a存在的条件,对这个方程的解进行讨论.思路点拨方程解的情况取决于a的情况,a与方程中常数2、3有依存关系,这种关系决定了方程解的情况,因此,探求这种关系是解本例的关键,•运用分类讨论法或借助数轴是探求这种关系的重要方法与工具,读者可从两个思路去解.解:提示:数轴上表示数x的点到数轴上表示数2,3的点的距离和的最小值为1,由此可得方程解的情况是:(1)当a>1时,原方程解为x=52a;(2)当a=1时,原方程解为2≤x≤3;(3)当a<1时,原方程无解.学力训练一、基础夯实1.方程3(│x│-1)= ||5x+1的解是_______;方程│3x-1│=│2x+1│的解是____.2.已知│3990x+1995│=1995,那么x=______.3.已知│x│=x+2,那么19x99+3x+27的值为________.4.关于x的方程│a│x=│a+1│-x的解是x=0,则a的值是______;关于x的方程│a│x=│a+1│-x的解是x=1,则有理数a的取值范围是________.5.使方程3│x+2│+2=0成立的未知数x的值是( ).A.-2B.0C. 23D.不存在6.方程│x-5│+x-5=0的解的个数为( ).A.不确定B.无数个C.2个D.3个 (“祖冲之杯”邀请赛试题)7.已知关于x的方程mx+2=2(m-x)的解满足│x-12|-1=0,则m的值是( ).A.10或25B.10或-25C.-10或25D.-10或-25(2000年山东省竞赛题)8.若│2000x+2000│=20×2000,则x等于( ).A.20或-21B.-20或21C.-19或21D.19或-21 (2001年重庆市竞赛题)9.解下列方程:(1)││3x-5│+4│=8; (2)│4x-3│-2=3x+4;(3)│x-│2x+1││=3; (4)│2x-1│+│x-2│=│x+1│.10.讨论方程││x+3│-2│=k的解的情况.二、能力拓展11.方程││x-2│-1│=2的解是________.12.若有理数x满足方程│1-x│=1+│x│,则化简│x-1│的结果是_______.13.若a>0,b<0,则使│x-a│+│x-b│=a-b成立的x的取值范围是______.(武汉市选拨赛试题)14.若0<x<10,则满足条件│x-3│=a•的整数a•的值共有_____•个,•它们的和是____.15.若m是方程│2000-x│=2000+│x│的解,则│m-2001│等于( ).A.m-2001B.-m-2001C.m+2001D.-m+200116.若关于x的方程│2x-3│+m=0无解,│3x-4│+n=0只有一个解,│4x-5│+•k=0有两个解,则m、n、k的大小关系是( ).A.m>n>kB.n>k>mC.k>m>nD.m>k>n17.适合关系式│3x-4│+│3x+2│=6的整数x的值有( )个.A.0B.1C.2D.大于2的自然数18.方程│x+5│-│3x-7│=1的解有( ).A.1个B.2个C.3个D.无数个19.设a、b为有理数,且│a│>0,方程││x-a│-b│=3有三个不相等的解,•求b的值.(“华杯赛”邀请赛试题)20.当a满足什么条件时,关于x的方程│x-2│-│x-5│=a有一解?有无数多个解?无解?三、综合创新21.已知│x+2│+│1-x│=9-│y-5│-│1+y│,求x+y的最大值与最小值.(第15届江苏省竞赛题)22.(1)数轴上两点表示的有理数是a、b,求这两点之间的距离;(2)是否存在有理数x,使│x+1│+│x-3│=x?(3)是否存在整数x,使│x-4│+│x-3│+│x+3│+│x+4│=14?如果存在,•求出所有的整数x;如果不存在,说明理由.【学力训练】(答案)1.±107、2或0 2.0或-1 3.54.-1,a≥0 提示:由│a+1│=│a│+1得a×1≥0,即a≥05.D6.B7.A8.D9.(1)x=3或x=13;(2)x=9或x=-37;(3)x=-43或x=2;(4)提示:分x<-1、-1≤x<12、 •12≤x≤2、x≥2四种情况分别去掉绝对值符号解方程,当考虑到12≤x≤2时,•原方程化为(2x-1)-(x-2)=x+1,即1=1,这是一个恒等式,说明凡是满足12≤x≤2的x值都是方程的解.10.当k<0时,原方程无解;当k=0时,原方程有两解:x=-1或x=-5;当0<k<2时,原方程化为│x+3│=2±k,此时原方程有四解:x=-3±(2±k);当k=2时,原方程化为│x+•3│=2±2,此时原方程有三解:x=1或x=-7或x=-3;当k>2时,原方程有两解:x+3=±2(•2+k).11.±5 12.1-x 13.b≤x≤a 提示:利用绝对值的几何意义解.14.7、21提示:当0<x<3时,则有│x-3│=3-x=a,a的解是1,2;当3≤x<10时,则有│x-3│=x-3=a,a的解为0,1,2,3,4,5,615.D 提示:m≤0 16.A 17.C 提示:-2≤3x≤4 18.B19.提示:若b+3、b-3都是非负的,而且如果其中一个为零,则得3个解;如果都不是零,则得4个解,故b=3.20.提示:由绝对值几何意义知:当-3<a<3时,方程有一解;当a=±3时,•方程有无穷多个解;当a>3或a<-3时,方程无解.21.提示:已知等式可化为:│x+2│+│x-1│+│y+1│+│y-5│=9,• 由绝对值的几何意义知,当-2≤x≤1且-1≤y≤5时,上式成立, 故当x=-2,y=-1时,x+y有最小值为-3;当x=1,y=5时,x+y的最大值为6.22.(1)│a-b│;(2)不存在;(3)x=±3,±2,±1,0.。

专题26 含绝对值的一元一次方程1．【我阅读】解方程：|5|2x +=．解：当50x +时，原方程可化为：52x +=，解得3x =-； 当50x +<时，原方程可化为：52x +=-，解得7x =-． 所以原方程的解是3x =-或7x =-．【我会解】解方程：|32|50x --=．2．阅读下列例题，并按要求完成问题： 例：解方程|2|1x =．解：①当20x 时，21x =，它的解是：12x =； ②当20x 时，21x -=，它的解是：12x =-． 所以原方程的解是12x =或12x =-． 请你模仿上面例题的解法，解方程：|21|5y -=．3．阅读下面的例题：解方程：|1|5x -=．解：由绝对值的定义，得15x -=或15x -=-． 所以6x =或4x =-．仿照上面的思路，尝试解下列方程：（1）|3|6x =（2）|21|7x -=4．解方程：||31||4x x -+=．5．解方程：（1）|32|x x -=（2）|||4|5x -=6．解下列方程：（1）|5|3x +=（2）|21|7x -=（3）1|4|1 2x+=（4）3|5|24 4x+-=7．解方程：（1）|23|13x x-=-（2）|23||13|x x-=-8．已知关于x的方程||4x ax=-+只有负数根，求a的取值范围．9．已知方程2|1||3|0x x+--+=，求这个方程解的个数．10．解方程：|31||1|2x x+--=．11．a为何值时，方程|2|2|||1|x x x a-++-=有解？12．解方程：|21|32x x-=+．13．已知c为实数，讨论方程|1||2|2|3|x x x c---+-=解的情况．14．如果关于x的方程|1||3|x x a+--=有无穷多个解，求a的值．15．解下列方程：|3||1|1x x x+--=+．16．解方程：3||51-+=．x x17．解方程：3|1||1|2|2|x x x--+=-18．解方程|2||21|7-++=．x x19．解关于x的方程：|1||2| 1.5+--=．x x20．根据数轴解方程：|2||3|5x x-++=．21．满足方程|2|24|3|21x x--=-的所有解的和为多少？22．解方程：|1||3|3---=．x x23．若关于x的方程|1|||++=有解，求实数a的取值范围．x x a24．解方程，求符合|1||2|4x x++-=的x的取值．25．解方程：|1||1|2++-=．x x26．解方程：|2||2|4--+=．x x27．解方程：|2||21||3|10--++-=．x x x。

一元一次方程的解每日一练1．解方程2x＝3x时，两边都除以x，得2＝3，其错误原因是（）A．方程本身是错的B．方程无解C．两边都除以了0D．2x小于3x【分析】出错的地方为：方程两边除以x，没有考虑x为0的情况，据此判断即可．【解答】解：错误的地方为：方程两边都除以x，没有考虑x是否为0，正确解法为：移项得：2x﹣3x＝0，合并得：﹣x＝0，系数化为1得：x＝0．故选：C．【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．一列方程如下排列：＝1的解是x＝2；＝1的解是x＝3；＝1的解是x＝4；…根据观察得到的规律，写出其中解是x＝2020的方程：+＝1．【分析】先根据已知方程得出规律，再根据得出的规律得出即可．【解答】解：∵一列方程如下排列：＝1的解是x＝2；＝1的解是x＝3；＝1的解是x＝4；∴一列方程如下排列：+＝1的解是x＝2；+＝1的解是x＝3；+＝1的解是x＝4；…∴+＝1，∴方程为+＝1，故答案为：+＝1．【点评】本题考查了一元一次方程的解，能根据题意得出规律是解此题的关键．3．已知x＝3是方程3x﹣2a＝5的解，则a＝2．【分析】直接把x的值代入进而得出答案．【解答】解：∵x＝3是方程3x﹣2a＝5的解，∴9﹣2a＝5，解得：a＝2．故答案为：2．【点评】此题主要考查了一元一次方程的解，正确把x的值代入是解题关键．4．已知关于x的方程3x﹣2m＝6的解是x＝m，则m的值是6．【分析】把x＝m代入方程3x﹣2m＝6得到关于m的一元一次方程，解之即可．【解答】解：把x＝m代入方程3x﹣2m＝6得：3m﹣2m＝6，解得：m＝6，故答案为：6．【点评】本题考查了一元一次方程的解，正确掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．5．当a＝﹣1时，关于x的方程﹣＝1的解是x＝﹣1．【分析】把x＝﹣1代入方程计算即可求出a的值．【解答】解：把x＝﹣1代入方程得：﹣＝1，去分母得：2+3﹣a＝6，解得：a＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．6．小明在解方程＝﹣1，方程两边都乘以各分母的最小公倍数去分母时，漏乘了不含分母的项﹣1，得到方程的解是x＝3，请你帮助小明求出m的值和原方程正确的解．【分析】将x＝3代入方程得4×（2×3﹣1）＝3（3+m）﹣1，求得m＝4，据此可得原方程为＝﹣1，解之可得．【解答】解：根据题意，x＝3是方程4（2x﹣1）＝3（x+m）﹣1的解，将x＝3代入得4×（2×3﹣1）＝3（3+m）﹣1，解得m＝4，所以原方程为＝﹣1，解方程得x＝．【点评】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握等式的基本性质和解一元一次方程的基本步骤．7．关于x的方程＝﹣x的解比方程4（3x﹣7）＝19﹣35x的解大1，求m的值．【分析】先解方程4（3x﹣7）＝19﹣35x的解，然后将x+1的值求出后代入方程＝﹣x即可求出m的值．【解答】解：4（3x﹣7）＝19﹣35x，解得：x＝1，∴＝﹣x的解为x＝2，∴将x＝2代入方程＝﹣x可得：＝﹣，∴．【点评】本题考查一元一次方程，解题的关键是熟练运用一元一次方程的解法，本题属于基础题型．8．若关于x一元一次方程x+2018＝2x+m的解为x＝2018，则关于y的一元一次方程y+2018+＝2y+m+2的解为y＝2017．【分析】将y+2018+＝2y+m+2变形为（y+1）+2018＝2（y+1）+m，再设y+1＝x，根据题中方程的解确定出y的值即可．【解答】解：y+2018+＝2y+m+2变形为（y+1）+2018＝2（y+1）+m，设y+1＝x，方程变形得：x+2018＝2x+m，由x+2018＝2x+m的解为x＝2018，得到y+1＝x＝2018，解得：y＝2017．故答案为：y＝2017．【点评】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．9．已知代数式M＝（a+b+1）x3+（2a﹣b）x2+（a+2b）x﹣4是关于x的二次多项式．（1）若方程3（a+b）y＝ky﹣8的解是y＝4，求k的值；（2）当x＝2时，代数式M的值为﹣34．当x＝﹣2时，求代数式M的值．【分析】（1）根据二次多项式的定义表示出a、b的关系，再把y＝4代入方程得到关于k的一元一次方程，然后求解即可；（2）把x＝2代入M得到一个关于a、b的方程，然后联立a+b+1＝0解方程组求出a、b的值，然后求出M，再把x＝﹣2代入M进行计算即可得解．【解答】解：（1）∵代数式M＝（a+b+1）x3+（2a﹣b）x2+（a+2b）x﹣5是关于x的二次多项式，∴a+b+1＝0，且2a﹣b≠0，∵关于y的方程3（a+b）y＝ky﹣8的解是y＝4，∴3（a+b）×4＝4k﹣8，∵a+b＝﹣1，∴3×（﹣1）×4＝4k﹣8，解得k＝﹣1；（2）∵当x＝2时，代数式M＝（2a﹣b）x2+（a+2b）x﹣4的值为﹣34，∴将x＝2代入，得4（2a﹣b）+2（a+2b）﹣4＝﹣34，整理，得a＝﹣3，∵a+b+1＝0，∴b＝2，∴M＝[2×（﹣3）﹣2]x2+（﹣3+2×2）x﹣4＝﹣8x2+x﹣4．将x＝﹣2代入，得﹣8×（﹣2）2+（﹣2）﹣4＝﹣38．【点评】本题考查了代数式求值，多项式以及一元一次方程的解的定义，根据“二次多项式”的定义得到a+b+1＝0是解题的关键．10．已知关于x的方程的解是正整数，求正整数a的值．【分析】首先解关于x的方程求得x的值，根据x是正整数即可求得a的值．【解答】解：去分母，得：ax+10＝7x﹣3，移项、合并同类项，得：（a﹣7）x＝﹣13，系数化成1得：x＝﹣，∵x是正整数，∴a﹣7＝﹣1或﹣13，∴a＝6或﹣6．又∵a是正整数．∴a＝6．【点评】本题是一个方程的综合题目．解关于x的方程是本题的一个难点．11．已知a，b为定值，关于x的方程＝1﹣，无论k为何值，它的解总是2．则ab＝﹣4．【分析】根据一元一次方程的解法，去分母并把方程整理成关于a、b的形式，然后根据方程的解与k 无关分别列出方程求解即可．【解答】解：方程两边都乘6，去分母得2（kx﹣a）＝6﹣3（2x+bk），2kx﹣2a＝6﹣6x﹣3bk，整理得（2x+3b）k+6x＝2a+6，∵无论k为何值，方程的解总是2，∴2a+6＝6×2，2×2+3b＝0，解得a＝3，b＝﹣，ab＝3×（﹣）＝﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题考查了一元一次方程的解，根据方程的解与k无关，则k的系数为0列出方程是解题的关键．12．若关于x的方程（k﹣2019）x﹣2017＝7﹣2019（x+1）的解是整数，则整数k的取值个数是（）A．2B．3C．4D．6【分析】原方程依次去括号，移项，合并同类项，系数化为1，得到关于k的x的值，根据“该方程的解是整数”，得到几个关于k的一元一次方程，解之即可．【解答】解：方程（k﹣2019）x﹣2017＝7﹣2019（x+1）整理化简，可得kx＝5，即x＝，∵该方程的解是整数，k为整数，∴x＝1或﹣1或5或﹣5，即＝1或﹣1或5或﹣5，解得：k＝5或﹣5或1或﹣1，∴整数k的取值个数是4个，故选：C．【点评】本题考查了一元一次方程的解，正确掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．13．聪聪在对方程①去分母时，错误的得到了方程2（x+3）﹣mx﹣1＝3（5﹣x）②，因而求得的解是x＝，试求m的值，并求方程的正确解．【分析】将x＝代入方程②，整理即可求出m的值，将m的值代入方程①即可求出正确的解．【解答】解：把x＝代入方程②得：2（+3）﹣m﹣1＝3（5﹣），解得：m＝1，把m＝1代入方程①得：﹣＝，去分母得：2（x+3）﹣x+1＝3（5﹣x），去括号得：2x+6﹣x+1＝15﹣3x，移项合并得：4x＝8，解得：x＝2，则方程的正确解为x＝2．【点评】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．14．已知代数式M＝（a+b+1）x3+（2a﹣b）x2+（a+3b）x﹣5是关于x的二次多项式．若关于y的方程3（a+b）y＝ky﹣8的解是y＝4，求k的值．【分析】根据二次多项式求出a+b＝﹣1，把a+b＝﹣1和y＝4代入方程，即可求出k．【解答】解：∵代数式M＝（a+b+1）x3+（2a﹣b）x2+（a+3b）x﹣5是关于x的二次多项式，∴a+b+1＝0，a+b＝﹣1，∵关于y的方程3（a+b）y＝ky﹣8的解是y＝4，∴﹣3×4＝4k﹣8，解得：k＝﹣1．【点评】本题考查了多项式和一元一次方程的解，能得出关于k的一元一次方程是解此题的关键．15．若关于x的方程＝与方程x﹣3（x﹣1）＝2﹣（x+1）的解互为相反数，求k的值．【分析】解方程x﹣3（x﹣1）＝2﹣（x+1）求得x＝﹣2，然后将其代入关于x的方程＝，得到关于k的方程，通过解方程求得k的值即可．【解答】解：x﹣3（x﹣1）＝2﹣（x+1），x﹣3x+3＝2﹣x﹣1，解得x＝2．由题意得方程＝的解为x＝﹣2，则有＝解得：k＝﹣．【点评】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程的方法．把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．16．解方程：x﹣＝﹣1【分析】根据解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1依次求解可得．【解答】解：12x﹣3（x﹣2）＝2（5x﹣7）﹣12，12x﹣3x+6＝10x﹣14﹣12，∴x＝32．【点评】本题主要考查解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．17．解方程：＝2．【分析】根据一元一次方程的解法即可求出答案．【解答】解：∵﹣＝2，∴5（2x﹣1）﹣3（4x+1）＝30，∴10x﹣5﹣12x﹣3＝30，∴﹣2x﹣8＝30，∴﹣2x＝38，∴x＝﹣19．【点评】本题考查一元一次方程，解题的关键是熟练运用一元一次方程的解法，本题属于基础题型．18．解方程：（1）2（x+1）﹣3（x﹣2）＝4+x（2）【分析】（1）依次去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可得到答案，（2）依次去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可得到答案．【解答】解：（1）去括号得：2x+2﹣3x+6＝4+x，移项得：2x﹣3x﹣x＝4﹣2﹣6，合并同类项得：﹣2x＝﹣4，系数化为1得：x＝2，（2）去分母得：3（x+2）﹣2（2x﹣3）＝12，去括号得：3x+6﹣4x+6＝12，移项得：3x﹣4x＝12﹣6﹣6，合并同类项得：﹣x＝0，系数化为1得：x＝0．【点评】本题考查了解一元一次方程，正确掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．19．设P＝2y﹣2，Q＝2y+3，且3P﹣Q＝1，则y的值为．【分析】将P与Q代入3P﹣Q＝1中计算即可求出y的值．【解答】解：根据题意得：3（2y﹣2）﹣（2y+3）＝1，去括号得：6y﹣6﹣2y﹣3＝1，移项合并得：4y＝10，解得：y＝．故答案为：【点评】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出解．20．若我们定义a※b＝4ab﹣a÷b，其中符号“※’是我们规定的一种运算符号，例如，6※2＝4×6×2﹣6÷2＝48﹣3＝45．（1）求（﹣4）※（﹣2），（﹣2）※2；（2）若x※2＝15，求x．【分析】（1）原式利用新定义化简即可求出值；（2）已知等式利用新定义化简，计算即可求出x的值．【解答】解：（1）根据题中的新定义得：原式＝32﹣2＝30；原式＝﹣16+1＝﹣15；（2）已知等式利用新定义化简得：8x﹣x＝15，解得：x＝2．【点评】此题考查了解一元一次方程，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．（1）填写下表：（2）根据上表，直接写出方程5x﹣3＝6+2x的解．【分析】（1）根据题意求出所求即可；（2）观察5x﹣3＝6+2x时x的值即为方程的解．【解答】解：（1）填写下表：（2）根据上表，直接写出方程5x﹣3＝6+2x的解为x＝3．故答案为：（1）2；3；﹣3；12；17；6；10；14【点评】此题考查了解一元一次方程，弄清题意是解本题的关键．22．马小虎同学在解关于x的一元一次方程＝﹣1去分母时，方程右边的1漏乘了3，因而求得方程的解为x＝﹣2，请你帮助马小虎同学求出a的值，并求出原方程正确的解．【分析】将x＝﹣2代入得﹣4﹣1＝﹣2+a﹣1求得a＝﹣2，据此可得原方程为＝﹣1，解之可得．【解答】解：根据题意，x＝﹣2是方程2x﹣1＝x+a﹣1的解，将x＝﹣2代入得﹣4﹣1＝﹣2+a﹣1，解得：a＝﹣2，把a＝﹣2代入原方程得＝﹣1，解得：x＝﹣4．【点评】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握等式的基本性质和解一元一次方程的基本步骤．23．用“*”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a*b＝a2b﹣2ab+4b．如：1*3＝12×3﹣2×1×3+4×3＝9．（1）求（﹣2）*2的值；（2）若3*＝7，求a的值；（3）请判断2*x与x*（﹣2）的差为正数还是负数，并说明理由．【分析】（1）原式利用已知的新定义计算即可求出值；（2）已知等式利用已知的新定义化简，求出a的值即可；（3）根据题意列出关系式，利用新定义化简，判断即可．【解答】解：（1）根据题中的新定义得：原式＝8+8+8＝24；（2）由题意9×﹣2×3×+4×＝7，即＝7，解得：a＝1；（3）为正数，理由如下：根据题中的新定义得：2*x＝4x﹣4x+4x＝4x，x*（﹣2）＝﹣2x2+4x﹣8，之差为2*x﹣x*（﹣2）＝4x+2x2﹣4x+8＝2x2+8＞0，则差为正数．【点评】此题考查了解一元一次方程，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．24．请先阅读下列一组内容，然后解答问题：因为：＝1﹣，＝，＝…＝所以：＝（1﹣）+（）+（）…+（）＝1﹣…＝1﹣＝问题：（1）计算：①；②（2）解方程：++…+＝2005．【分析】（1）①先拆项，再抵消法计算即可求解；②先拆项，再抵消法计算即可求解；（2）先拆项，再抵消法得到方程x﹣＝2005，再合并同类项，系数化为1计算即可求解．【解答】解：（1）①＝1﹣+﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝；②＝×（1﹣+﹣+…+﹣）＝×（1﹣）＝×＝；（2）++…+＝2005，x﹣＝2005，x＝2005，x＝2006．【点评】考查了解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．。

练习11 解一元一次方程1．解下列方程： （1）3x 4−2=13x +1；（2）5（x ﹣5）﹣2（x ﹣12）＝2； （3）3x+54−4x−23=1；（4）27（3x +7）＝2−32x ．【分析】（1）方程去分母，移项合并，把x 系数化为1，即可求出解； （2）方程去括号，移项合并，把x 系数化为1，即可求出解； （3）方程去分母，去括号，移项合并，把x 系数化为1，即可求出解； （4）去分母，去括号，移项合并，把x 系数化为1，即可求出解． 【解答】解：（1）3x 4−2=13x +1，去分母得：9x ﹣24＝4x +12， 移项得：9x ﹣4x ＝12+24， 合并同类项得：5x ＝36， 解得：x ＝7.2．（2）5（x ﹣5）﹣2（x ﹣12）＝2， 去括号得：5x ﹣25﹣2x +24＝2， 移项得：5x ﹣2x ＝2+25﹣24， 合并同类项得：3x ＝3， 解得：x ＝1． （3）3x+54−4x−23=1，去分母得：3（3x +5）﹣4（4x ﹣2）＝12 去括号得：9x +15﹣16x +8＝12， 移项得：9x ﹣16x ＝12﹣15﹣8， 合并同类项得：﹣7x ＝﹣11， 解得：x =117． （4）27（3x +7）＝2−32x ， 去分母得：4（3x +7）＝28﹣21x ， 去括号得：12x +28＝28﹣21x 移项合并得：33x ＝0， 解得：x ＝0．【点评】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．2．已知关于x 的方程3x ﹣6（x −b3）＝4x 和3x+b 4−1−5x 8=1有相同的解，求这个解．【分析】根据题意分别用含b 的式子表示出两个方程的解，再求出b 的值，进而可得结果． 【解答】解：∵3x ﹣6（x −b 3）＝4x ， ∴x =27b ，∵关于x 的方程3x ﹣6（x −b3）＝4x 和3x+b 4−1−5x 8=1有相同的解，∴把x =27b 代入3x+b 4−1−5x 8=1得：3×27b+b4−1−5×27b8=1，解得：b =74，将b =74代入第二个方程， 2（3x +b ）﹣（1﹣5x ）＝8， 11x ＝9﹣2b ， 11x ＝9﹣2×74， 解得x =12．【点评】本题考查了同解方程，解决本题的关键是根据题意先求出b 的值．3．如果关于x 的方程x−43=8−x+22的解与方程4x ﹣（3a +1）＝6x +2a ﹣1的解相同，求a 的值． 【分析】先求出第一个方程的解，然后代入第二个方程得到关于a 的一元一次方程，再根据一元一次方程的解法进行求解即可． 【解答】解：解方程x−43=8−x+22得：x ＝10，由题意：4x ﹣（3a +1）＝6x +2a ﹣1的解为x ＝10， 代入得：4×10﹣（3a +1）＝6×10+2a ﹣1， 解得：a ＝﹣4．【点评】本题考查了同解方程，同解方程就是解相同的方程，本题先求出第一个方程的解是解题的关键． 4．在一元一次方程中，如果两个方程的解相同，则称这两个方程为同解方程． （1）若关于x 的两个方程2x ＝4与mx ＝m +1是同解方程，求m 的值； （2）若关于x 的两个方程2x ＝a +1与3x ﹣a ＝﹣2是同解方程，求a 的值．【分析】（1）先求出第一个方程的解，然后代入第二个方程得到关于m 的一元一次方程，再根据一元一次方程的解法进行求解即可；（2）分别将两个关于x 的方程解出来，得到两个用含a 的代数式表示的解，根据同解方程的定义，列出等式，建立一个关于a 的方程，然后解答． 【解答】解：（1）解方程2x ＝4得x ＝2， 把x ＝2代入mx ＝m +1得2m ＝m +1， 解得m ＝1；（2）关于x 的两个方程2x ＝a +1与3x ﹣a ＝﹣2得x =a+12，x =a−23， ∵关于x 的两个方程2x ＝a +1与3x ﹣a ＝﹣2是同解方程， ∴a+12=a−23，解得a ＝﹣7．【点评】本题考查了同解方程，正确理解同解方程的定义是解题的关键．5．定义：关于x 的两个一次二项式，其中任意一个式子的一次项系数都是另一个式子的常数项，则称这两个式子互为“对称二项式”．例如，式子3x +4与4x +3互为“对称二项式”．（1）判断式子﹣5x +2与﹣2x +5 不是 （填“是”或“不是”）互为“对称二项式”． （2）已知式子ax +b 的“对称二项式”是3x ﹣4且数a 、b 在数轴上所对应的点为 A 、B ． ①若数轴上有一点P 到A 、B 两点的距离的和P A +PB ＝11，则点P 在数轴上的数是 ﹣6或5 ．②若|2﹣a|+|﹣1+b|＝8x，求x的值．【分析】（1）根据定义的特征：任意一个式子的一次项系数都是另一个式子的常数项，（2）①分三种情况：当P点在A作左边时，当P点在A、B之间时，当P点在B点右边时，由线段和差关系求得P A或PB的值，进而得P点表示的数；②把a、b的值代入，可得关于x的一元一次方程，解方程即可．【解答】解：（1）∵﹣5x+2与﹣2x+5的其中一个式子的一次项系数不是另一个式子的常数项，∴它们不互为“对称二项式”，故答案为：不是；（2）∵式子ax+b的“对称二项式”是3x﹣4，∴a＝﹣4，b＝3，①∵|P A|+|PB|＝11，∴当P点在A作左边时，有P A+P A+AB＝11，即2P A+7＝11，则P A＝2，于是P为﹣4﹣2＝﹣6；当P点在A、B之间时，有P A+PB＝AB＝7≠11，无解；当P点在B点右边时，有2PB+AB＝11，则PB＝2，于是P为3+2＝5，综上，点P在数轴上所对应的数是﹣6或5；故答案为：﹣6或5；②∵a＝﹣4，b＝3，∴|2+4|+|﹣1+3|＝8x，∴8x＝8，解得x＝1．【点评】本题主要考查了新定义，数轴，两点间的距离，一元一次方程的应用，关键是正确理解新定义，把新的知识转化为常规知识进行解答．6．已知m，n是有理数，单项式﹣x n y的次数为3，而且方程（m+1）x2+mx﹣tx+n+2＝0是关于x的一元一次方程．（1）若该方程的解是x＝3，求t的值．（2）若题目中关于x的一元一次方程的解是整数，请求出整数t的值．【分析】（1）根据单项式的定义和一元一次方程的定义可得n＝2，m＝﹣1，然后将x＝3代入可得t的值；（2）分别将第一问中的m和n的值代入，根据整数解和整数t的条件可得结论，∴﹣x ﹣xt +4＝0，当x ＝3时，则﹣3﹣3t +2+2＝0， ∴t =13；（2）（m +1）x 2+mx ﹣tx +n +2＝0， ∵n ＝2，m ＝﹣1， ∴﹣x ﹣xt +4＝0， x =4t+1， t =4−x x =4x −1， ∴t ≠﹣1，x ≠0 ∵t 是整数，x 是整数， ∴当x ＝1时，t ＝3， 当x ＝4时，t ＝0， 当x ＝﹣1时，t ＝﹣5， 当x ＝﹣4时，t ＝﹣2， 当x ＝2时，t ＝1， 当x ＝﹣2时，t ＝﹣3．【点评】本题考查了单项式的定义和一元一次方程的定义，熟练掌握这些定义是关键，并注意方程有整数解的条件．7．已知x ＝m 与x ＝n 分别是关于x 的方程ax +b ＝0（a ≠0）与cx +d ＝0（c ≠0）的解． （1）若关于x 的方程ax +b ＝0（a ≠0）的解与方程6x ﹣7＝4x ﹣5的解相同，求m 的值； （2）当n ＝1时，求代数式3c 2+cd +2c ﹣2（12cd +32c 2﹣d ）的值；（3）若|m ﹣n |=12，则称关于x 的方程ax +b ＝0（a ≠0）与cx +d ＝0（c ≠0）为“差半点方程”．试判断关于x 的方程4042x −92=9×2020﹣2020t +x ，与4040x +4＝8×2021﹣2020t ﹣x ，是否为“差半点方程”，并说明理由．【分析】（1）解方程6x ﹣7＝4x ﹣5就可以求出m 的值．（2）根据方程解的定义求得c +d ＝0，然后化简代数式，把c +d ＝0代入即可求得代数式的值； （3）分别解出两个一元一次方程的解（都用t 的式子来表示），求出两个解的差绝对值即可．∵关于x 的方程ax +b ＝0（a ≠0）的解与方程6x ﹣7＝4x ﹣5的解相同， ∴m ＝1．（2）∵x ＝1是关于x 的方程cx +d ＝0（c ≠0）的解． ∴c +d ＝0，代数式3c 2+cd +2c ﹣2（12cd +32c 2﹣d ）＝3c 2+cd +2c ﹣cd ﹣3c 2+2d ＝2c +2d ＝2（c +d ） ＝0．（3）解方程4042x −92=9×2020﹣2020t +x 得，x =9×20204041−2020t 4041+94041×2解方程4040x +4＝8×2021﹣2020t ﹣x 得，x =8×20214041−2020t4041−44041， ∵|（9×20204041−2020t 4041+94041×2）﹣（8×20214041−2020t 4041−44041）|=12，∴关于x 的方程4042x −92=9×2020﹣2020t +x 与4040x +4＝8×2021﹣2020t ﹣x ，是“差半点方程”．【点评】本题是新定义题，准确把握题意和熟知解一元一次方程的知识是解决本题的关键．8．【定义】若关于x 的一元一次方程ax ＝b 的解满足x ＝b +a ，则称该方程为“友好方程”，例如：方程2x ＝﹣4的解为x ＝﹣2，而﹣2＝﹣4+2，则方程2x ＝﹣4为“友好方程”． 【运用】（1）①﹣2x =43，②12x ＝﹣1两个方程中为“友好方程”的是 ① （填写序号）；（2）若关于x 的一元一次方程3x ＝b 是“友好方程”，求b 的值；（3）若关于x 的一元一次方程﹣2x ＝mn +n （n ≠0）是“友好方程”，且它的解为x ＝n ，则m ＝ ﹣3 ，n ＝ −23 ．【分析】（1）利用题中的新定义判断即可；（2）根据题中的新定义列出有关b 的方程，求出方程的解即可得到b 的值；利用题中的新定义确定出所求即可；（3）根据“友好方程”的定义即可得出关于m 、n 的二元二次方程组，解之即可得出m 、n 的值．【解答】解：（1）①﹣2x =43， 解得：x =−23，而−23=−2+43，是“友好方程”； ②12x ＝﹣1，解得：x ＝﹣2，﹣2≠﹣1+12，不是“友好方程”； 故答案是：①；（2）方程3x ＝b 的解为x =b3． 所以b3=3+b ．解得b =−92；（3）∵关于x 的一元一次方程﹣2x ＝mn +n 是“友好方程”，并且它的解是x ＝n ， ∴﹣2n ＝mn +n ，且mn +n ﹣2＝n ， 解得m ＝﹣3，n =−23， 故答案为﹣3，−23．【点评】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 9．我们把形如1n（n 是正整数，n ≥2）的分数叫做单位分数，如12、13、14⋯（1）任何一个单位分数都可以拆成两个不同的单位分数之和，如12=13+16、13=14+112、14=15+120⋯，观察上述式子的规律，回答下面的问题： ①把17写成两个单位分数之和：17=18+156；②把1n （n 是正整数，n ≥2）写成两个单位分数之和：1n=1n+1+1n(n+1)， ；③计算当11×3+13×5+15×7+⋯+x =613时，最后一项x ＝113；（2）某些单位分数也可以拆成两个分母是相邻自然数的单位分数的差，如16=12−13，112=13−14，120=14−15，则在单位分数12、13、14、…、1100中，能按上述要求拆分的有 9 个．【分析】（1）①等式右边第一个分数的分母是等式左边分母加1，第二个分数的分母是前两个分母的积，据此可得；②根据以上规律求解可得；③原等式拆成12（1−13+13−15+15−17+⋯+x ）=613，然后解一元一次方程即可； （2）一个分数，如果分子是1，分母是相邻的自然数的积，就可以拆成分子是1，分母是相邻的自然数差的单位分数的差的分数，据此即可判断． 【解答】解：（1）①根据题意知，17=18+156，故答案为：18+156．②根据题意知，1n =1n+1+1n(n+1)，故答案为：1n+1+1n(n+1)．③11×3+13×5+15×7+⋯+x =613，12（1−13+13−15+15−17+⋯+x ）=613， 12（1﹣x ）=613， x =113．（2）在单位分数12、13、14、…、1100中，可以拆成两个分母是相邻自然数的单位分数的差的分数，其分母有1×2，2×3，3×4，4×5，5×6，6×7，7×8，8×9，9×10共9个， 故答案为9．【点评】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知等式得出等式右边第一个分数的分母是等式左边分母加1，第二个分数的分母是前两个分母的积的规律． 10．先阅读下列解题过程，然后解答后面两个问题． 解方程：|x ﹣3|＝2．解：当x ﹣3≥0时，原方程可化为x ﹣3＝2，解得x ＝5；当x﹣3＜0时，原方程可化为x﹣3＝﹣2，解得x＝1．所以原方程的解是x＝5或x＝1．（1）解方程：|3x﹣2|﹣4＝0．（2）解关于x的方程：|x﹣2|＝b+1【分析】（1）首先要认真审题，解此题时要理解绝对值的意义，要会去绝对值，然后化为一元一次方程即可求得．（2）根据绝对值的性质分类讨论进行解答．【解答】解：（1）当3x﹣2≥0时，原方程可化为3x﹣2﹣4＝0，解得x＝2；当3x﹣2＜0时，原方程可化为﹣（3x﹣2）﹣4＝0，解得x=−2 3．所以原方程的解是x＝2或x=−2 3．（2）①当b+1＜0，即b＜﹣1时，原方程无解，②当b+1＝0，即b＝﹣1时：原方程可化为：x﹣2＝0，解得x＝2；③当b+1＞0，即b＞﹣1时：当x﹣2≥0时，原方程可化为x﹣2＝b+1，解得x＝b+3；当x﹣2＜0时，原方程可化为x﹣2＝﹣（b+1），解得x＝﹣b+1．【点评】本题主要考查含绝对值符号的一元一次方程，解题的关键是根据绝对值的性质将绝对值符号去掉，从而化为一般的一元一次方程求解．11．我们规定，若关于x的一元一次方程ax＝b的解为b﹣a，则称该方程为“差解方程”，例如：2x＝4的解为2，且2＝4﹣2，则该方程2x＝4是差解方程．请根据上边规定解答下列问题：（1）判断3x＝4.5是否是差解方程；（2）若关于x的一元一次方程6x＝m+2是差解方程，求m的值．【分析】（1）求出方程的解，再根据差解方程的意义得出即可；（2）根据差解方程得出关于m的方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）∵3x ＝4.5， ∴x ＝1.5， ∵4.5﹣3＝1.5， ∴3x ＝4.5是差解方程；（2）∵关于x 的一元一次方程6x ＝m +2是差解方程， ∴m +2﹣6=m+26， 解得：m =265． 【点评】本题考查了一元一次方程的解得应用，能理解差解方程的意义是解此题的关键． 12．已知当x ＝﹣1时，代数式2mx 3﹣3nx +6的值为17．（1）若关于y 的方程2my +n ＝4﹣ny ﹣m 的解为y ＝2，求m n 的值；（2）若规定[a ]表示不超过a 的最大整数，例如[4.3]＝4，请在此规定下求[m −3n2]的值．【分析】（1）把x ＝﹣1代入2mx 3﹣3nx +6＝17得到一个关于m ，n 的方程，把y ＝2代入方程2my +n ＝4﹣ny ﹣m 得到一个关于m ，n 的方程，即可得到一个方程组，解方程组即可求得m ，n 的值，代入代数式即可求解；（2）把m ，n 的值代入代数式求值，根据[a ]表示的意义即可求解．【解答】解：（1）把x ＝﹣1代入2mx 3﹣3nx +6，根据题意得：﹣2m +3n +6＝17，则2m ﹣3n ＝﹣11， 把y ＝2代入方程得：4m +n ＝4﹣2n ﹣m ，即5m +3n ＝4， 根据题意得：{2m −3n =−115m +3n =4，解得：{m =−1n =3，则m n ＝﹣1；（2）∵把x ＝﹣1代入2mx 3﹣3nx +6，根据题意得：﹣2m +3n +6＝17， ∴2m ﹣3n ＝﹣11， ∴m −32n =−5.5， ∵[﹣5.5]＝﹣6， ∴[m −32n ]＝﹣6．【点评】本题考查了方程的解的定义，以及解方程组，正确求得m，n的值是关键．13．一元一次方程都可以变形为形如ax＝b（a，b为常数）的方程，称为一元一次方程的最简形式．关于x的方程ax＝b（a，b为常数，且a≠0）解的讨论：当a≠0时，是一元一次方程，有唯一解x=b a；当a＝0，且b＝0时，它有无数多个解，任意数都是它的解；当a＝0，且b≠0时，它无解，因为任何数都不可能使等式成立．讨论关于当x的方程（a﹣4）x＝2的解．【分析】分a＝4和a≠4两种情况分别求解可得．【解答】解：当a≠4 时，有唯一解x=2a−4，当a＝4 时，无解．【点评】本题主要考查一元一次方程的解，解题的关键是熟练掌握等式的基本性质．14．如图，已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a、b满足|a+3|+（b﹣2）2＝0．（1）求A、B所表示的数；（2）点C在数轴上对应的数为x，且x是方程2x+1=12x﹣8的解．①求线段BC的长；②在数轴上是否存在点P，使P A+PB＝BC？求出点P对应的数；若不存在，说明理由．【分析】（1）根据|a+3|+（b﹣2）2＝0，可以求得a、b的值，从而可以求得点A、B表示的数；（2）①根据2x+1=12x﹣8可以求得x的值，从而可以得到点C表示的数，从而可以得到线段BC的长；②根据题意可以列出关于点P表示的数的关系式，从而可以求得点P表示的数．【解答】解：（1）∵|a+3|+（b﹣2）2＝0，∴a+3＝0，b﹣2＝0，解得，a＝﹣3，b＝2，即点A表示的数是﹣3，点B表示的数是2；（2）①2x+1=12x﹣8解得，x＝﹣6，∴BC＝2﹣（﹣6）＝8，即线段BC的长为8；②存在点P，使P A+PB＝BC，设点P的表示的数为m，则|m﹣（﹣3）|+|m﹣2|＝8，∴|m+3|+|m﹣2|＝8，当m＞2时，解得，m＝3.5，当﹣3＜m＜2时，无解，当m＜﹣3时，m＝﹣4.5，即点P对应的数是3.5或﹣4.5．【点评】本题考查数轴、一元一次方程的解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数相结合的思想解答问题．。