第三章 矩阵力学基础——力学量和算符

第三章矩阵力学基础(I)

—力学量和算符

上一章，中我们系统地介绍了波动力学。它的着眼点是波函数),(tx。薛定谔从粒子的波动性出发，用波函数),(tx猫述粒子的运动状态。通过在波函数的运动方程中引入的方法进行量子化，在一定的边界条件下，求解定态薛定谔方程，证明对于束缚态，会出现量子化的、分立的本征谱。在本章和下一章中，我们将介绍另一种量子化的方案。它是海森伯（Heisenberg）、玻恩、约丹(Jordan)、坎拉克(Dirac)提出和实现的。着眼点是力学量和力学量的测量。他们将力学量看成算符。通过将经典力学运动方程中的坐标和动量都当作算符的方法，引入r和p的对易关系.将经典的泊松括号改为量子的泊松括号，实现量子化。这种量子化，通常称为正则量子化。在选定了一定的“坐标系”或称表象后，算符用矩阵表示。算符的运算归结为矩阵的运算。本章将首先讨论力学量的算符表示和算符的矩阵表示，证实量子力学中的力学量必须用线性厄米算符表示。在选取特定的表象即“坐标系”后，这些算符对应线性厄米矩阵。然后进一步讨论力学量的测量，它的可能值、平均值以及具有确定值的条件。我们将证实算符的运动方程中含有对易子，出现。在矩阵力学中，算符的运动方程起着和波动力学中波函数的运动方程—薛定谔方程—同样的作用。

§3. 1力学量的平均值

在量子力学中，微观粒子的运动状态用波函数描述。一旦给出了波函数，就确定了微观粒子的运动状态.于是自然要问，所谓“确定”是什么意思，在什么意义下讲“确定”?在本章中我们将看到:所谓“确定”，是在能给出几率和求得平均值意义下说的。一般说来，当微观粒子处在某一运动状态时，它的力学量，如坐标、动量、角动量、能量等，不同时具有确定的数值，而具有一系列可能值，每一可能值均以一定的概率出现。当给定描述这一运动状态的波函数后，力学量出现各种可能值的相应的概率就完全确定。利用统计平均的方法，可以算出该力学量的平均值，进而与实验的观测值相比较。例如处于基态的氢原子。其电子的坐标和动量不同时具有确定的数值。但电子坐标具有某一确定值0x的概率，或电子动量具有某一确定值0p的概率，却完全可由氢原子的基态波函数给出。相应地，坐标x的平均值和动量p的平均值也完全确定。既然一切力学量的平均值原则上均可由给出，而且这些平均值就是在所描述的状态下相应的力学量的观测结果，在这种意义下一般认为，波函数描写了粒子的运动状态。

在§2.3讨论薛定愕方程时曾指出，力学量动量用算符来表示的对应关系是:ip，动能是222mT，定态薛定愕方程就是能量算符的本征方程。现在问:这种力学量用算符来表示的对应关系，是否仅是一种类比，其中是否还存在着更深刻的物理内涵?另外，是否任何力学量，均可用算符表示?而且除能量算符外，其他算符是否也有相应的本征方程?如果一切力学量均可用算符表示的命题成立，其逆命题，即一切算符均对应力学量是否也成立?比方说，开方就是个算符，它是否也对应力学量?量子力学中能对应力学量的算符是否有某种限制?本章将回答这些问题。

为此，先讨论力学量的平均值。对以波函数),(tr描述的状态，按照波函数的统计解释，rrdt2,表示在t时刻在rrrd中找到粒子的概率,因此坐标r的平均值显然是

rrrrrrrrdttdt),(,(),(*2） (3. 1.I)

坐标r的函数)(rf的平均值是

rrrrrdtftf),()(),()(* （3.1.2）

这里已经假定，波函数),(tx满足归一化条件(2. 1 .6)式。

现在讨论动量算符的平均值。显然,p的平均值p不能简单地写成rprdt2),(因为rrdt2),(只表示在rrrd中的概率而不代表在pppd中找到粒子的概率。要计算p，应该先找出在t时刻，在pppd中找到粒子的概率ppdtC2),(按§2.2的讨论，这相当于对),(tr作傅里叶变换，而),(tCp由公式

rrpdttCrpEri)(2/3),()2(1),( （3.1.3）

给出，动量p的平均值可表示为

pppppdtCtC),(),(* （3.1.4）

这里已经用了若),(tr归一，则),(tCp也归一的结论。但是上面这种作法，却不但间接，而且麻烦。应该找出一种直接从),(tx计算动量平均值的方法。为此，我们先计算动量p在x方向的分量xp的平均值。由(3.1.4)式得

rrrrprp.rpdtepdtedphixix,21,2123*23

prrrrrrpdeptdtdhix23**21,, (3.1.5)

利用公式

)'()()2(1)2(13)'(3)'(3rrppxidexideprrpirrpix (3.1.6) 可将(3.1.5)式改写为

rrrrrr3*,,tdxitdpx

rrrdtxit,,* (3.1.7)

同理有

rrrdtyitpy),())(,(*

(3.1.8)

rrrdtzitpy),())(,(* (3.1.9)

由此得出结论:要在状态),(tx中求动量px 、py 、pz的平均值，只需以相应的微分算符xi、yi、zi，作用在),(tr上，然后乘以),(*tr,再对全空间积分就可求得。将(3. 1. 7)、(3.1.8)及(3.1.9)式写成矢量式，得

rrrpdtit),())(,(* （3.1.10）

记动量算符为

ip (3 .1.11)

可将(3.1.10)式写成

rrprpdtt),(),(* (3 .1.12)

同理，不难证实，当n为正整数时解的平均值可写成

rrrdtxitpnnx),())(,(* (3.1.13)

同理还可给出对nyp、nzp的平均值。对于任何动量p的解析函数pf，总可将pf按p作泰勒展开并逐项积分，然后利用平均值公式(3.1.12)和(3.1.13)式求得它的平均值，从而有

rrprpdtftf),()(),()(* (3. 1.14)

比方，动能的平均值是

rdmmpT)2(222*2 (3.1.15)

角动量L的平均值是

rrprLdi)()* (3.1.16)

(3. 1. 10)式表明:动量的平均值依赖于波函数的梯度。这正是波粒二象性的反映。按德布罗意关系(1.4.3)式，波长越短，动量越大。显然，若越大，则越短;因而动量的平均值越大。综合上述我们得出，在求平均值的意义下，力学量可以用算符来代替。在用坐标表象中的波函数),(tr计算动量平均值时，需要引进动量算符。除动量算符ip外，能量算符和角动量算符分别为

)(),(222itUmHrLr (3.1.17)

)()()(xyyxipypxLzxxzipxpzLyzzyipzpyLxyzzxyyzx

(3.1.18)

体系的任何一个力学量O的平均值总可以表示为

rdOO* (3.1.19)

O是与力学量O相应的算符。在本章中，算符在它的顶上用“”表示。在对算符比较熟悉以后，为避免书写麻烦，我们将略去记号“”。在§2.2中曾指出，同一量子态既可用坐标表象中的波函数),(tr表示，也可用动量表象中的波函数),(tCp表示。与在坐标表象中，动量用算符来表示相似，在动量表象中，坐标也必须用算符来表示。可以证明，在动量表象中的坐标算符是

,ˆxpix pirˆ (3.1.20)

平均值是

ppprdtCitCp),())(,(* (3.1.21)

ppprdtCiFtCFp),((),(* (3.1.22)

相应地，在动量表象中的定态薛定愕方程是

)()((22ppECCiUmpp (3.1.23) 请读者自己证明动量表象中的这些结论。

§3.2算符的运算规则

若某一运算将函数二变为函数u,记作

Fu （3.2.1）

则表示这一运算的符号F称为算符。若算符F满足

22112211ˆˆ)(ˆFCFCCCF （3.2.2）

其中1、2 是任意函数，C1、C2是常数，则F称为线性算符。动量算符、积分算符等均为线性算符。若算符I满足

Iˆ （3.2.3）

为任意函数，则称I为单位算符。

在数学上，若存在映照Fˆ，将集合1F中的元素)(111Fxx,映照到集合2F之中的元素)(222Fxx，记作Fˆ：21xx或21ˆxxF。若集合1F和2F均为数集，则称Fˆ为函数;若1F是一般的集合而2F是数集，则称Fˆ为泛函；若1F和2F均为一般集合，则称Fˆ为算子或算符。

1.算符的运算规则

算符的一般运算规则如下:

（1）算符之和

算符A和B之和(A十B)，定义为

BABA (3.2.4)

必为任意函数。显然，算符之和满足交换律和结合律