第三章 刚体力学基础 2

L
p
o
r
m
L rp mrv mr J
2
(4) 角动量的定义并没有限定质点只能作曲线运 动而不能作直线运动。 (5) 单位: kg · m2/s
22
2.质点的角动量定理：
Lr p
d ( p) 由牛顿定律 r F r dt dL m r F r F dt
m1： m1 g T1 m1a1
1 2 滑轮 m：T1r T2 r J mr 2
m2： T2 m2 g m2 a2
T2 T2 m2
m r
T1 T1
a1 a2 a r
m1
m1 g
5
m2 g

m1 m2 g
1 m1 m2 m r 2
T1 mg sin ma A ① mg T2 maB ②
又 T1 T1 , T2 T2 ③
7
对定滑轮，由转动定律得
联立式①，②，③，④，⑤得
T1＝ 2+3sin mg 5 3+2sin mg 5 2(1-sin ) g 5
T2 R T1R＝I ④
卫星
地球
+
力的时间累积效应 冲量、动量、动量定理。 力矩的时间累积效应 冲量矩、角动量、角动量定理。
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3.4.1 角动量 质点的角动量定理和角动量守恒定律 1. 质点的角动量( 对O点 )
空间运动, 某时刻相对原点O的位 矢为 , 质点相对于O点的角动量
质量为 m 的质点以速度 v 在
r
1 1 1 1 2 m1 gx m 2 gx m 2 g 2 x m1v 2 m 2 v 2 J112 J 22 2 2 2 2 1 1 2 2 由于 v 1 R1 2 R 2， J 1 M 1 R 1， J 2 M 2 R 2 2 2 4 m 1 m 2 gx 2 v 2 m1 m 2 M 1 M 2
1 1
i i
2
2
2
1
i
(2) 力矩的功就是力的功。 (3) 内力矩作功之和为零。 (4) 力矩的功率
dW d p M M dt dt
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力矩的功率可以写成力矩与角速度的乘积。
3.3.3 刚体定轴转动的动能定理：
d d d d J J M J J d dt d dt
4. 平行轴定理 对质点系可以定义一个点：想象整个质点系的质量都 集中在这一点上，同时，在这一点上作用有质点系受到的所 有外力，则这一点的运动犹如一个受力质点的运动，服从牛 顿第二定律，该点成为质点系的质心。 z' J z' 刚体绕任意轴的转动惯量； z M J z 刚体绕通过质心的轴的转动惯量； L C 两轴间垂直距离。
L
z
r
o
L r p r mv
L rm v sin
x
L
m y
v
大小：
mv

方向: 符合右手螺旋法则。
r
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讨论 (1) 质点的角动量与质点的动量及位矢有关 (取 决于固定点的选择) 。 (2) 在直角坐标系中的分量式
mv mv x i mv y j mv z k
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m 2 ，且 m1＞ m 2 例3.6 如图2.40所示，物体的质量为 m1， R 2 ，质量 .圆盘状定滑轮的质量为 M 1 和 M 2 ，半径为 R1 ， 均匀分布.绳轻且不可伸长，绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴 光滑.试求当 m1下降了x距离时两物体的速度和加速度.
解 以两物体、两滑轮、地球成为一系统， A外 0，A 内非 0 ，故机械能守恒.以 m1 下降 x时的位置为重力势能零点，则有
2m1m2
0 t

m1 m2 gt
1 m1 m2 m r 2

1 mm1 2 T1 g 1 m1 m2 m 2 1 2m1m2 mm2 2 T2 g 1 m1 m2 m 2
T2 T2 m2
m r
T1 T1
m1
m1 g
W
2 1
Md

2
1
d J d d
1 1 2 J d J 2 J 12 1 2 2 2 1 2 1 Md ( 2 J )
2
合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转 动动能的增量—刚体定轴转动的动能定理.
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例3.5 如图2.39所示，一根质量为m，长为l的均匀细棒OA，可 绕固定点O在竖直平面内转动.今使棒从水平位置开始自由下摆 ，求棒摆到与水平位置成30°角时中心点C和端点A的速度.
R O
质点的匀速圆周运动
mv mv

L
r r
mv

r r r r
mv
mv
圆环匀速转动 但总动量mv 0
质点的mv不守恒 但是r mv 常矢量
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r mv 在描述行星的轨道运动，自转运动，
卫星的轨道运动及微观粒子的运动中都具有独特作 用。因此必须引入一个新的物理量－－角动量L， 来描述这一现象。
解 (1)由题知 M k 2 ，故由转动定律有
k 2 I
即
1 3
k 2 I
2 k 0 9I
将 0 代入，求得这时飞轮的角加速度为
9
(2)为求经历的时间t，将转动定律写成微分方程的形式，即
d M I I dt
k 2 I d dt

6 0
l l mg cos d mg mg (hc末 hc初 ) 2 4
式中 hc 是棒的质心所在处相对棒的质心C在最低点(即棒在竖 直位置处)的高度.
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将 AG mg
l 1 及 J ml 2 代入①式，得 4 3
3g 2l
则中心点C和端点A的速度分别为
l 1 vc 6 gl 2 4 vA l 1 6 gl 2
解 棒受力如图2.39所示，其中重力G对 O轴的力矩大小等于 mg cos ，是θ的函 数，轴的支持力对O轴的力矩为零.由转动 动能定理，有

6
l 2

0
l 1 1 2 1 2 mg cos d J 2 J0 J 2 2 2 2
①
等式左边的积分为重力矩的功.即
AG

t
t0
Mdt
M
质点角动量定理 积分形式
叫冲量矩 ——力矩对时间的积累作用 和
L 必须是对同一固定点而言
注: 力矩
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3.质点角动量守恒定律
dL 角动量定理： M dt
若
M 0
,则
L r m =常矢量
质点所受外力对某固定点的力矩为零， 则质点对该固定点的角动量守恒，这就是质 点的角动量守恒定律.
若力矩在某轴上的分量为零(或力对某轴的 力矩为零)，则质点对该轴的动量矩守恒。 角动量守恒定律是物理学的基本定律之一，它不 仅适用于宏观体系，也适用于微观体系。
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例3.7 在光滑的水平桌面上，放有质量为M的木块，木块与一弹簧相连， 弹簧的另一端固定在O点，弹簧的劲度系数为k，设有一质量为m的子弹以 初速 v0 垂直于OA射向M并嵌在木块内，如图2.31所示.弹簧原长 l0 ，子弹 击中木块后，木块M运动到B点时刻，弹簧长度变为l，此时OB垂直于OA ，求在B点时，木块的运动速度 v2 . 解 击中瞬间，在水平面内，子弹与木块组成 的系统沿 v0 方向动量守恒，即有
由于运动过程中物体所受合力为恒力，a为常数，v 2 ＝2ax，故有
2(m 1 m 2 )g a 2(m 1 m 2 ) M 1 M 2
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3.4 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律 3.4.1 角动量 质点的角动量定理和角动量守恒定律 角动量(动量矩)的引入：
圆环的匀速定轴转动
z
O

ri
1 2 E k J 2
P
vi
• Δmi
刚体绕定轴转动时的转动动能等于刚体的转 动惯量与角速度平方乘积的一半
比较：
1 2 Ek J 2
1 E k m 2 2
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3.3.2 力矩的功 力的累积过程 —力矩的空间累积效应。 根据功的定义 d W i Fi d ri Fi cos d s
dr d ( p ) dL d pr (r p) dt dt dt dt
dL M dt
质点角动量定理 微分形式
作用在质点上的力矩等于质点角动量对时 间的变化率。称质点对固定点的角动量定理。
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t
t0
M dt L L 0
(2) 用平行轴定理、迭加法
. o .
R
O
J = J 大– J 小 J = J 大+ J 小
4
例2 一定滑轮质量为 m，半径为 r , 不能伸长的轻绳两边分 别系 m1 和 m2 的物体挂于滑轮上, m1 >m2, 绳与滑轮间无 相对滑动。设轮轴光滑无摩擦, 滑轮的初角速度为零。 求:滑轮转动角速度随时间变化的规律以及绳中的张力。 解:以m1 ,m2 ,m（含与滑轮接触的绳） 为研究 对象,受力分析

O
d
d ri
Fi ri d M i d
对i求和
Fi
dW Md
若M=C
ri
.
P

对一有限过程
W Md
1
2