第三章刚体力学基础[1]PPT课件
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第三章刚体力学基础
（1）轴通过棒的一端并与棒垂直轴。z
（2）轴通过棒的中心并与棒垂直；
dm
解：
J
r 2dm
dm dx m dx
o x dx
x
l
J l x2 m dx 1 m x3 l J 1 ml2
0l
3l 0
3
L
JC
2 L
x 2dx
mL2
/ 12
A
C
2
L/2
B
L/2
x
注：同一刚体，相对不同的转轴，转动惯量是不同的。
J ,r
质点A
T1 mg sin maA
质点B
mg T2 maB
滑轮（刚体） T2r T1r J
( T2 T2,T1 T1)
联系量 aA aB r
联立求解可得T1 、T2、 aA、 aB、
A
B
FN
T1 FR T1 mg T2
T2 m1g
为什么此时T1 ≠ T2 ？
mg
3、 平行轴定理与垂直轴定理
J11 J1 J2 2
ω
则B轮的转动惯量
J2
1 2 2
J1
n1 n2 n2
J1
20.0kg m2
(2)系统在啮合过程中机械能的变化为.
E
1 2
J1
J2
12
1 2
J112
1.32
104
J
质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比(一)
速度 加速度
质点v的运d动r
a
dt dv
dt
质量m, 力F
第一节 刚体运动的描述
一. 刚体
内部任意两点的距离在运动过程中始终保持不变的物 体，即运动过程中不发生形变的物体。
（2）轴通过棒的中心并与棒垂直；
dm
解：
J
r 2dm
dm dx m dx
o x dx
x
l
J l x2 m dx 1 m x3 l J 1 ml2
0l
3l 0
3
L
JC
2 L
x 2dx
mL2
/ 12
A
C
2
L/2
B
L/2
x
注：同一刚体，相对不同的转轴，转动惯量是不同的。
J ,r
质点A
T1 mg sin maA
质点B
mg T2 maB
滑轮（刚体） T2r T1r J
( T2 T2,T1 T1)
联系量 aA aB r
联立求解可得T1 、T2、 aA、 aB、
A
B
FN
T1 FR T1 mg T2
T2 m1g
为什么此时T1 ≠ T2 ？
mg
3、 平行轴定理与垂直轴定理
J11 J1 J2 2
ω
则B轮的转动惯量
J2
1 2 2
J1
n1 n2 n2
J1
20.0kg m2
(2)系统在啮合过程中机械能的变化为.
E
1 2
J1
J2
12
1 2
J112
1.32
104
J
质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比(一)
速度 加速度
质点v的运d动r
a
dt dv
dt
质量m, 力F
第一节 刚体运动的描述
一. 刚体
内部任意两点的距离在运动过程中始终保持不变的物 体，即运动过程中不发生形变的物体。
《刚体力学基础》课件
2
刚体在作用力学和运动学中的应用
说明刚体在作用力学和运动学研究中的应用，如力的分析和刚体的运动分析。
3
刚体力学与其他学科的关系
探讨刚体力学与其他学科的关系，如力学、工程学和物理学等的联系。
六、总结
1 刚体力学基础的重要性
总结刚体力学基础的重要性，强调其在物体运动研究中的价值。
2 接下来的深入研究方向
介绍刚体力学研究中所采用 的基本假设和运动条件，以 便准确描述刚体的运动。
二、刚体的运动学
1
刚体的平动运动和定点运动
讲解刚体的平动运动和定点运动，包括平移和旋转的概念以及运动轨迹。
2
刚体的旋转运动和欧拉角
解释刚体的旋转运动和欧拉角的概念，阐明旋转的自由度和描述方法。
3
刚体的复合运动
讲述刚体的复合运动，即平动和旋转运动的组合，展示不同运动方式的例子。
ห้องสมุดไป่ตู้
刚体静力学的经典问题
介绍刚体的平衡和力的平衡条件， 解释如何使刚体保持静止。
探讨刚体静力学中的经典问题， 如杠杆原理和平衡木问题。
牛顿第三定律在刚体上的 应用
讲解牛顿第三定律在刚体运动中 的应用，如碰撞和反作用力。
五、实际应用
1
刚体在机械和结构工程中的应用
展示刚体在机械和结构工程中的应用案例，如建筑物和机械装置。
提出刚体力学研究中的深入方向，如刚体动力学和非线性刚体力学。
3 刚体力学研究的意义
归纳刚体力学研究的意义，展示其对工程和科学领域的贡献。
三、刚体的动力学
牛顿第二定律在刚体 上的应用
探讨牛顿第二定律在刚体力学 中的应用，包括力和加速度的 关系。
刚体的角动量和角动 量定理
刚体力学基础PPT课件
转动：分定轴转动和非定轴转动 刚体的平面运动
5
二、刚体定轴转动的描述
1.刚体定轴转动的特点 轴上各点都保持不动，轴外各点在同一时间间隔内转过的角度一样。
以某转动平面与转轴的交点为原点，转动平面上所有质元都绕着这个 原点作圆周运动。
2.描述 可类似地定义绕定轴转动的刚体的：
*角位置 (t)
i
ri
z
切向加速度 法向加速度
ai ri
ani ri 2
ri
vi
§3-2 定轴转动刚体的转动惯量
一、刚体定轴转动定律
（1）单个质点m
与转轴刚性连接
Ft mat mr
M rF sinθ
z
M
Ft
F
O
r
m
Fn
M rFt mr 2 M mr2
一、刚体运动分类
2.转动 如果刚体上的所有质元都绕某同一直线作圆周运动，这种运动就称之为转动，
这条直线称为转轴。
A
A
分为定轴转动和非定轴转动
*非定轴转动 若转轴方向或位置变化，这种转动称为非定轴转动
A
A
* 定轴转动 若转动轴固定不动，这种转动称为定轴转动. 这个转
轴称为固定轴，
转动平面：垂直于固定轴的平面
内力（F质i2j 量）元刚受体外力Fej ，
Mej Mij mjrj2
外力矩
内力矩
z
O rj
Fej
m j
Fij
Mej Mij mjrj2
j
j
Mij M ji Mij 0
j
第3章-刚体 大学物理课件
2020/10/29
例4. 质量为M =16 kg的实心滑轮，半径为R = 0.15 m。 一根细绳绕在滑轮上，一端挂一质量为m的物体。
求（1）由静止开始1秒钟后，物体下降的距离。（2）
绳子的张力。
解: (1) T
M
M
m
mg
m
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TR1MR2 a 2R
T
mgTma
T 1 Ma 2
m
NT
2
2
m2g
m2 g
a
T2
Ny
rom
Nx
mg T 1
T1
m1 a
列方程如下：
m 1g T1 m 1a
T2 m 2g m 2a
T1r
T2r
1 2
mr
2
a r
m1 g
可求解
解：在地面参考系中，选取m1 、 m2和滑轮m为研 究对象，分别运用牛顿定律和刚体定轴转动定律得。
2020/10/29
2020/10/29
（2） 由刚体的机械能守恒得：
mgl 1 J2
22
1 ml22
6
3g l
A
c
o
B
0
零势点
2020/10/29
例11. 长为 l 的均质细直杆OA，一端悬于O点铅直下
垂，如图所示。一单摆也悬于O点，摆线长也为l，摆
球质量为m。现将单摆拉到水平位置后由静止释放，
摆球在 A 处与直杆作完全弹性碰撞后恰好静止。试
转轴固定不动的转动。
2020/10/29
定轴转动的特点：
• 各质点都作圆周运动； • 各质点圆周运动的平面垂直于轴线，圆心
在轴线上； • 各质点的矢径在相同的时间内转过的角度
第3章刚体力学基础
将圆盘视为一个系统，破裂后其受合 外力矩为零，所以其角动量守恒。
§3-3 刚体的能量
一、力矩的功
α
二、力矩的功率
说明：1、变力矩情况
2、此式的简单应用 三、转动动能 对刚体上任一质点mi, ri Vi ω 和质点的动能形式进行比较。
四、动能定理
意义：合外力矩对定轴转动的刚体所作的功， 等于刚体转动动能的增量。
第三章 刚体力学基础
§3-1 刚体运动的描述 一、刚体（rigid body） 刚体:在任何外力作用下，其形状和大小均不发生 改变的物体。 说明：
1）理想模型。
2）在外力的作用下，物体的形状和大小的变化很小 ,可以忽略不计,该物体仍可视为刚体。
二、刚体的运动 1、平动（translation）
刚体内任意两点的连线在
由平行轴定理
6g sinq 由(1)、(2)得： w = 2 7l v v v + mg = ma c 应用质心运动定理： N
(3) (4)
7 = ml 48
2
(2)
l = w2 a cl 4 6 = g sin q 7 l a = ct 4
(5)
由 (3)(4)(5)(6) 可解得：
l l 4 mg cos q = 4 J o 3 g cos q = (6) 7 13 N = mg sin q , l 7
解得:
应用型问题研究时以ω 绕轴旋转，在Δt 时间内其 角速度变为零。 d X C 碰撞过程中受力图为： ω Nx L/2 在图示坐标中， NY 依角动量定理： Z Y F
∵X方向无运动,∴NX = 0 结论：门碰装在离轴2/3处，开门时对轴的冲击力最小。
3）刚体匀变速转动公式
同匀变速直线运动公式。
大学物理第三章刚体力学PPT课件
精选
7
F is iin fis iin m ir i
两边同乘ri，得
F ir i siin fir i siin m ir i2
上式左边第一项为外力Fi对转轴的力矩，而第二项是 内力fi 对转轴的力矩。对刚体的所有质点都可写出类 似上式的方程，求和得
F ir is ii n fir is ii n ( m ir i 2 )
密度为，则dm=dx，有：
Ox
dx
l
J0r2dm ll2 2x2dx1l32 1 1m 22 l
（2）当转轴通过棒的一端A并与棒垂直时：
JAr2dm0 lx2dx3 l31 3m2l
精选
12
例2 求质量为m、半径为R、厚 为h的均质圆盘对通过盘心并与 盘面垂直的轴的转动惯量。
解：如图所示，将圆盘看成许多薄圆环组成。取任一 半径为r，宽度为dr的薄圆环，它的转动惯量为：
转动惯量与刚体的大小形状、质量分布以及转
轴的位置等有关。
精选
9
一般的情况下刚体质量是连 续分布的，把它分割成无限多个 微小部分，其中质量为dm的小块 到转轴的垂直距离为r，则它对该 转轴的转动惯量为
dJr2dm
r dm
积分得到整个刚体对相应转轴的转动惯量为
J r2dm
精选
10
常见刚体的转动惯量
MF 2dF 2rsin
精选
5
若F位于转动平面内，则上式简化为
MFd Fsri n
力矩是矢量，在定轴转动中， 力矩的方向沿着转轴，其指向 可按右手螺旋法则确定：右手 四指由矢径r的方向经小于的 角度转向力F方向时，大拇指的 指向就是力矩的方向。根据矢 量的矢积定义，力矩可表示为：
M rF
刚体力学基础 ppt课件
PPT课件
14
(2)用质量不计的细杆连接的五个质点, 如图55所示。转轴垂直于质点所在平面且通过o点, 转动 惯量为
JO=m.02 +2m(2l2) +3m(2l)2 +4ml2 +5m(2l2) =30ml2
2m
l
ml
l 3m
o
4m
l
5m
图5-5
PPT课件
15
例题5-2 质量连续分布刚体: J r 2dm
d( J )
dt
(5-3)
(Lz=J)
上式称为物体定轴转动方程。
对定轴转动的刚体, J为常量, d /dt=, 故式(6-16)
又可写成
M=J
(5-4)
这就是刚体定轴转动定理。
PPT课件
9
M=J
(5-4)
(5-4)表明, 刚体所受的合外力矩等于刚体的转动 惯量与刚体角加速度的乘积。
(5-6)
式中: r为刚体上的质元dm到转轴的距离。
PPT课件
12
三.平行轴定理
Jo=Jc+Md2
(5-7)
Jc 通过刚体质心的轴的转动 惯量;
M 刚体系统的总质量; d 两平行轴(o,c)间的距离。
Jo d Jc
o
C M
图5-3
PPT课件
13
例题5-1 质量离散分布刚体: J=Δmi ri2
fij ) 0
i
j( i j )
得
i
d ri Fi dt
i
( ri mii )
PPT课件
7
i
d ri Fi dt
i
第3章 刚体力学基础
刚体力学的基础知识包括刚体绕定轴转 动的动力学方程和动能定理，刚体绕定轴 转动的角动量定理及角动量守恒定律
-------------------------------------------------------------------------------
§3-1 刚体 刚体定轴转动的描述
dt
当输---出----功----率-----一----定----时----,-力----矩-----与----角----速----度-----成----反----比----。------------
3. 刚体定轴转动的动能定理：
W
2 1
Md
2 1
Jd
2 1
J d d
dt
W
2 1
Jd
第3章 刚体力学基础
§3.1 刚体 刚体定轴转动的描述 §3.2 刚体定轴转动的转动定律 §3.3 刚体定轴转动的动能定理 §3.4 刚体定轴转动的角动量定理和角动量 守恒定律
-------------------------------------------------------------------------------
➢刚体上各质元的角量(即角位移、角速度、角加速度) 相同，而各质元的线量(即线位移、线速度、线加速度) 大小与质元到转轴的距离成正比 。
-------------------------------------------------------------------------------
§3-2 刚体定轴转动的转动定律
对滑轮 ， 由转动定律
T2R T1R J ④
由于绳不可伸长
aA aB R
⑤
J 1 mR2
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注意： F应该理解为外力在转动平面内的分力
如果有几个外力矩作用在刚体上，则合力矩等于
各个力矩的代数和
Mi riFi
i
i
力是引起质点运动状态变化的原因，而力矩是引起
转动物体运动状态变化的原因
二 刚体绕定轴的转动定律
刚体转动定律可由牛顿第二定律直接导出
F ifi m iai
外力的合力
内力的合力
假设 Fi和fi 都是位于质
点i所在的转动平面内
得到：
质点i的加速度 Z Mz
df
dF
Odr
dm
dF
F i fi m ia i m ir i
转动平面
dFn
转动定律
将力分解为作用在质量元△m上
的切向力和法向力
Z Mz
Fifim iai
dF df
Finfinmiain
将切向分量式两边同乘r，
例1、求质量为m、半径为R的均匀圆环的转动惯量。 轴与圆环平面垂直并通过圆心。
解: J r2dm
Z
R 2dm R 2 dm m2R O
J是可加的，所以若为薄圆筒 （不计厚度）结果相同。
R dm
例2、求质量为m、半径为R、厚为l 的均匀圆盘的转动 惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。
解：取半径为r宽为dr的薄圆环,
•转轴的位置
布，与转轴的位置结合决定转
•刚体的形状
轴到每个质元的矢径。
单个质点的转动惯量 J miri2 n
质点系的转动惯量 J (miri2)
i1
质量连续分布的刚 体的转动惯量
J r2dm m
国际单位制中转动惯量的单位为千克·米2（kg·m2）
转动惯量的定义及物理意义
刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质点的质量 与该质点到转轴的距离平方的乘积之总和。
转动平面
P X
参考 转轴 方向
P X
Q
X
d
dt
d
dt
d2
dt2
d
dt
v r
an r2 a r
角速度方向规定为沿轴方向， 指向用右手螺旋法则确定。
加速转动 减速转动
方向一致 方向相反
r
v
二、刚体绕定轴的匀变速转动
刚体绕定轴转动时，若β为常数，则这种运动称为刚 体绕定轴的匀变速转动
比较－质点匀变速直线运动和刚体绕定轴的匀变速转动
J miri2
M
i
J
质量为线分布
外力矩一定时，J越大，则β越小 即刚体转动的运动状态越难改变
d m d l其中、、分别
质量为面分布 dmds为质量的线密度、 面密度和体密度。
质量为体分布 dmdV
线分布
面分布
体分布
注 只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布 意 的刚体，才能用积分计算出刚体的转动惯量
（线量关系与角量关系）
vv0 at
xx0
v0t
1a 2
t2
v2v0 22a(xx0)
0 t 0 0t12t2
20 22(0)
例3-1 一转速为每分钟150转、半径为0.2米的飞轮， 因受到制动而均匀减速，经过30秒停止转动。试求： （1）β和在此时间内飞轮所转的圈数 （2）t=6秒时飞轮的ω （3） t=6秒时飞轮边缘上任一点的线速度、切向加 速度和法向加速度
3-4 刚体定轴转动的角动量守恒定律
3-1 刚体的基本运动
刚体：任何情况下物体的大小和形状都不发生变化，
即物体内任意两点间的距离保持不变。 一、刚体的基本运动 ：平动和定轴转动
即 任意两点间的相对位置保持不变的质点系（物体） 平动：可以归结为质点运动的问题
刚体在运动中，其上任意两点的连线始终保持平行。
3-1 刚体的基本运动 一、刚体的基本运动 ：平动和定轴转动 二、刚体绕定轴的匀变速转动
3-2 刚体绕定轴的转动定律 转动惯量 一、力对转轴的力矩 二、刚体绕定轴的转动定律 三、转动惯量的计算 四、平行轴定理 垂直轴定理 五、 刚体定轴转动的转动定律的应用
3-3 刚体定轴转动的动能定理 一、力矩的功 二、刚体定轴转动的动能 三、刚体定轴转动的动能定理
A
A
B
A
B
B
转动：对点、对轴（只讨论定轴转动）
O
定轴转动：各质点均作圆周
转轴 运动，其圆心都在一条固定
不动的直线（转轴）上。
A• •
•A 既平动又转动：质心的
•
平动加绕质心的转动
转 速
刚体上各质点的位置、线速度、加速度一般不同， 但角量（角位移、角速度、角加速度）都相同
描述刚体整体的运动用角量最方便。
a r 0 .2 ( 6 ) 0 .1( 0 m /s 2 )
3-2 刚体绕定轴的转动定律 转动惯量
一 力对转轴的力矩
(1) Z
(2)MzFra bibliotekO r FdP
转动平面
Mz rF
M rF sin Fd
Z
F
F
O
F
rP
转动平面
任意方向的力 对转轴的力矩
Ｍ的方向由右手螺旋定则来确定，若先选定了转轴的 正方向，则M与转轴方向一致时取正值，反之为负值
a)d
6
所以在30秒时间内飞轮所转过的圈数为
N2 7 253.7 5(圈 )
(2) 0 t 5 ( 6 ) 6 4 (ra /s )d
(3) 在t=6秒时刻飞轮边缘上任一点的线速度和加速 度可分别由公式得
v r 0 .2 4 0 .8 ( m /s )
a n r2 0 . 2 ( 4 ) 2 3 . 2 2 ( m /s 2 )
分析： 由 每分钟150转 可知
0 t2 6 105 5 0 ra/sd
而已知 r=0.2m t=30s ω=0
可由公式求相应的物理量
解: (1) 00 5 (ra /s2 d )
t
30 6
负号表示角加速度方向与角速度方向相反
（飞轮做匀减速转动）
2202
(5)2
75(r
2( )
的合力矩。
刚体定轴转动的转动定律
J miri2
M J
i
写成矢量形式
M JJd
dt
M＝J 与 Fma地位相当
m反映质点的平动惯性，J反映刚体的转动惯性 力矩是使刚体转动状态发生改变而产生角加速度的原因
三 转动惯量的计算
与转动惯量有关的因素： 实质上与转动惯量有关的只
•刚体的质量
有前两个因素。形状即质量分
Z
dmdV2rdrl
dJ r2dm 2lr3dr
OR
Jd J0 R2 lr 3d r1 2R 4l
Or
d
dm
dF
变换得
dFn
转动平面
F ir i fir i m ia ir i m ir i2
对等式左边求和得到外力矩
转动定律
F ir i fir i ( m ir i2 )
i
i
i
合外力矩M 内力矩＝0 转动惯量J
刚体绕定轴转动时，刚体对定轴的转动惯量与角
加速度的乘积，等于作用在刚体上所有外力对该轴