广州市育才中学高二数学双周清(一)

…………外…………………内………试题第I 卷（选择题）一、单选题 1．若函数()3sin2xf x x =+，则（ ） A ．()3ln32cos2xf x x =+'B ．()32cos2xf x x =+' C ．()3ln3cos2xf x x =+'D ．()3ln32cos2xf x x =-'2．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点分别为12,,F F P 是椭圆上一点，1210PF PF +=C 的标准方程为（ ）A ．2212510x y +=B ．2212520x y +=C ．2213020+=x yD ．2214530+=x y3．一颗骰子连续掷两次，设事件A 为“两次的点数不相等”，B 为“第一次为奇数点”，则()|P B A =（ ） A ．1011 B ．56C ．12D ．5124．用数字3，6，9组成四位数，各数位上的数字允许重复，且数字3至多出现一次，则可以组成的四位数的个数为（ ） A ．81B ．48C ．36D ．245．函数()2ln x xf x x=的图象大致是（ ）A ．B ．…订…………○…线…………____考号：___________…订…………○…线…………C ． D ．6．公园中有一块如图所示的五边形荒地，公园管理部门计划在该荒地种植126棵观赏树，若1至6六个区域种植的观赏树棵数成等比数列，且前3个区域共种植14棵，则第5个区域种植的观赏树棵数为（ ）A ．16B ．28C ．32D ．647．设()32:21p f x x x mx =+++在(),-∞+∞内单调递增，28:4xq m x ≥+对任意0x >恒成立，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 8．设2ln 2a =，3ln 3b =，e c =（e 2.718≈），则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c b a << B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<二、多选题 9．关于二项式5x ⎛⎝的展开式，下列选项正确的有（ ）A ．总共有6项B ．存在常数项C ．2x 项的系数是40D ．二项式系数之和为3210．已知抛物线2(0)y mx m =>焦点与双曲线点2213y x -=的一个焦点重合，点()02,P y 在抛物线上，则（ ）A ．双曲线的离心率为2B ．双曲线的渐近线为3y x =±C ．8m =D ．点P 到抛物线焦点的距离为6○…………装…………学校:___________姓名：_________○…………装…………11．已知函数()1cos sin f x x x x x +++＝的定义域是[]22ππ-，，则以下结论正确的是( )A ．()f x 在()0π，上不上单调函数B ．导函数()f x '的图像关于y 轴对称C ．()f x 在-2,-2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最小值大于－πD ．()f x 在定义域内至少有2个极小值12．网络流行语“内卷”，是指一类文化模式达到某种最终形态后，既没办法稳定下来，也不能转变为新的形态，只能不断地在内部变得更加复杂的现象数学中的螺旋线可以形象地展示“内卷”这个词.螺旋线这个词来源于希腊文，原意是“旋卷”或“缠卷”，如图所示的阴影部分就是一个美丽的旋卷性型的图案，它的画法是：正方形ABCD 的边长为4，取正方形ABCD 各边的四等分点E ，F ，G ，H ，作第二个正方形EFGH ，然后再取正方形EFGH 各边的四等分点M ，N ，P ，Q ，作第三个正方形MNPQ ，按此方法继续下去，就可以得到下图.设正方形ABCD 的边长为a 1，后续各正方形的边长依次为a 2，a 3，…，an ，…；如图阴影部分，设直角三角形AEH 面积为b 1，后续各直角三角形面积依次为b 2，b 3，…，bn ，….下列说法正确的是（ ）A ．正方形MNPQ 的面积为2516B ．14n n a -=⨯⎝⎭C ．使不等式14n b >成立的正整数n 的最大值为4 D ．数列{}n b 的前n 项和4n S < 第II 卷（非选择题）三、填空题 13．某学校贯彻“科学防疫”，实行“佩戴口罩，间隔而坐” .一排8个座位，安排4名同学就坐，共有______种不同的安排方法.(用数字作答)14．函数2ln y x x =-上的点到直线2y x =-的最短距离是________．15．已知函数3213,02()2343,03xx f x x x x x ⎧⎛⎫⋅≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪-++>⎪⎩，若函数2()[()](2)()2g x f x a f x a=-++恰有4个不同的零点，则a 的取值范围为____________． 四、双空题 16．已知55432543210(1)kx a x a x a x a x a x a -=+++++，则0a =_____，若12345244a a a a a +=+++，则实数k 的值为_____．五、解答题 17．已知数列{}n a 满足13n n a a +-=，且124,,a a a 成等比数列． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和为n S18．近年来，某市为促进生活垃圾分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾桶．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾桶中的生活垃圾，总计400吨，数据统计如下表（单位：吨）．(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率p ；(2)若处理1吨厨余垃圾需要5元，处理1吨非厨余垃圾需要8元，请估计处理这400吨垃圾所需要的费用；(3)某社区成立了垃圾分类宣传志愿者小组，有7名女性志愿者，3名男性志愿者，现…………订…………：___________考号：_______…………订…………从这10名志愿者中随机选取3名，利用节假日到街道进行垃圾分类宣传活动（每名志愿者被选到的可能性相同）．设X 为选出的3名志愿者中男性志愿者的个数，求随机变量X 的分布列及数学期望．19．已知函数32()f x x ax bx c =+++在点(1,2)P 处的切线斜率为4，且在1x =-处取得极值．(1)求函数()f x 的解析式；(2)当[2,2]x ∈-时，求函数()f x 的最值． 20．如图，在三棱锥A BCD -中，AB AC ==2BC CD ==，AD 90BCD ∠=︒.(1)证明：平面ABC ⊥平面BCD ； (2)求二面角D AB C --的大小.21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(n ，()*)n S n N∈在函数2y x=的图象上，数列{}n b 满足()1*1622,n n n b b nn N +-=+∈，且113b a =+(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)证明列数12n nb ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求数列{}n b 的通项公式； (3)设数列{}n c 满足对任意的*312123122,2222n n nn c c c c n N a b b b b +∈=+++⋯+++++均有成立，求1232010c c c c +++⋯+的值． 22．已知函数()()1ln 0f x a x x x=+>． (1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若存在1x ，2x 满足120x x <<，且121x x =+，()()12f x f x =，求实数a 的取值范围．参考答案：1．A【解析】【分析】用函数的求导法则、常用函数的导数及复合函数的导数可得解.【详解】因为()3sin2xf x x=+，所以()3ln32cos2xf x x=+'.故选：A.2．B【解析】【分析】根据椭圆定义以及离心率公式，结合222a b c=+，进行基本量的计算即可得解.【详解】根据椭圆定义可得12210PF PF a+==，所以5a=，由离心率cea==，所以c=由22225520b a c=-=-=，所以椭圆C的标准方程为2212520x y+=.故选：B3．C【解析】【分析】根据已知条件先分析事件A对应的情况数，然后分析事件,A B同时发生的情况数，由此求解出()(),P A P AB的值，再根据公式()()()P ABP B AP A=求解出结果.【详解】由题知，事件A出现的情况有66630⨯-=种，事件A，B同时出现的情况有3515⨯=种，所以()1536P AB =，30()36P A =，()()()151302P AB P B A P A ===． 故选：C. 4．B 【解析】 【分析】根据题意，分2种情况讨论：①数字3不出现，①数字3出现1次，求出每种情况下四位数的数目，由加法原理计算可得答案. 【详解】解：根据题意，数字3至多出现一次，分2种情况讨论：①数字3不出现，此时四位数的每个数位都可以为6或9，都有2种情况， 则此时四位数有2×2×2×2=16个；①数字3出现1次，则数字3出现的情况有4种，剩下的三个数位，可以为6或9，都有2种情况，此时四位数有4×2×2×2=32个， 故有16+32=48个四位数， 故选：B. 5．D 【解析】 【分析】根据函数()f x 为偶函数，以及在01x <<时的单调性即可由排除法解出． 【详解】因为函数()f x 的定义域为{}|0x x ≠，而()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，所以B 错误；当01x <<时，()2ln ln x xf x x x x==，由()ln 10f x x '=+=可得1=x e ，所以函数()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上递增，所以C 错误；而()0f e e =>，排除A ，所以D 正确． 故选：D ．【解析】 【分析】根据题意，利用等比数列的求和公式，列出方程组，求得1,a q ，进而求得第5个区域种植观赏树的棵数，得到答案． 【详解】由题意，设等比数列{}n a 首项为1a ，公比为q ，可得()311141a q q-=-且()6111261a q q-=-，所以633112619114q q q -=+==-， 解得12,2a q ==，则452232a =⨯=，即第5个区域种植32棵．故选：C. 7．B 【解析】 【分析】求出()f x 的导函数，令导函数大于等于0恒成立，令判别式小于等于0求出m 的范围即命题p 中m 的范围；利用基本不等式求出命题q 中m 的范围；利用两个命题中m 的范围的包含关系得到两个命题的条件关系． 【详解】 解：32()21f x x x mx =+++在(,)-∞+∞内单调递增2()340f x x x m '∴=++≥恒成立，∴16120m ∆=-≤ ∴43m ≥当0x >时，288244x x x x ==++，当且仅当4x x =，即2x =时取等号， 2m ∴≥由43m ≥推不出2m ≥，由2m ≥推得出43m ≥， p ∴是q 必要不充分条件．故选：B【解析】 【分析】 利用函数()(0)lnxf x x x=>的单调性对a ，b ，c 进行大小比较即可. 【详解】令()(0)ln xf x x x =>，则()()()22ln ln ln 1()(0)ln ln x x x x x f x x x x ''--'==> 由()0f x '>，得e x >，由()0f x '<，得0e x << 则()(0)ln xf x x x=>在()0e ，单调递减，在()e +∞，单调递增，在e x =时取最小值.故2e e ln 2ln e >=，且3e e ln 3ln e>= <<0<<即ln 2ln 3023<<，则320ln 3ln 2<< 综上，有32e ln 3ln 2<<，即c b a << 故选：A 9．ACD 【解析】 【分析】根据二项展开式352152r rr r T C x-+=以及二项式系数的概念，逐项分析判断即可得解.【详解】根据二项展开式的通项公式可得： 35521552r r rr r rr T C xC x --+==， 对A ，由指数为5，展开式共有6项，A 正确； 对B ，由352152r r r r T C x-+=，若要存在常数项即3502r-=有解， 此时103r =，不符题意，不存在常数项，故B 错误；对C ，令3522r-=，解得2r =， 此时222352T C x =，25440C =，故C 正确；对D ，由二项式系数和为5232=，故D 正确. 故选：ACD 10．AC 【解析】 【分析】由双曲线的方程，求得1,2a b c ===，利用双曲线的几何性质，可判定A 正确，B 错误；根据题意，列出方程24m=，可判定C 正确；根据抛物线的定义，可判定D 错误. 【详解】由双曲线2213y x -=，可得1,a b ==2c ，所以双曲线的离心率为221c e a ===，所以A 正确；由双曲线的渐近线为y =，所以B 错误；由抛物线2(0)y mx m =>焦点与双曲线点2213y x -=的一个焦点重合，可得24m=，解得8m =，所以C 正确；由抛物线28y x =的准线方程为2x =-，则点()02,P y 到其准线的距离为2(2)4--=， 到焦点的距离也为4，所以D 错误. 故选：AC. 11．AD 【解析】 【分析】求f (x )的导数()f x '，根据导数的正负变化逐项判断即可. 【详解】()1sin sin cos 1cos f x x x x x x x '-++＝+＝，①()()33001010244f f f f πππππ⎛⎫⎛⎫>-<-< ⎪⎝''''⎪⎭⎝⎭＝，＝，＝，而()f x '在()0,π图像是连续的，①()f x '不恒为正或负，故f (x )在()0,π不单调，故A 正确；()()1cos f x x x f x -'≠'-＝，故()f x '不是偶函数，图像不关于y 轴对称，故B 错误； ①存在()()2121021f ππππ---<-＝++＝，故()f x 在-2,-2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最小值必小于或等于π-，故C 错误；①()()()()212010102120f f f f ππππππππ--'+'''<->-<>＝，＝+，＝，＝，而()f x '在[]22ππ-，上图像是连续的，故()f x '在[]22ππ-，上函数值至少出现了两次由负变正，即f (x )在[]22ππ-，上至少有两个极小值，故D 正确. 故选：AD. 12．BCD 【解析】 【分析】根据题意，先求的,n n a b ，再对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】根据题意可得：2222111315448nn n n a a a a ---⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故可得{}2na是首项为2116a =，公比为58的等比数列，则125168n n a -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，则14n n a -==⨯⎝⎭；根据题意可得：121313352443228n n n n n b a a a -⎛⎫=⨯⨯==⨯ ⎪⎝⎭；对A ：由14n n a -=⨯⎝⎭可得352a =，故正方形MNPQ 的边长为52， 故其面积为252524⎛⎫= ⎪⎝⎭，故A 错误；对B ：根据上述求解过程，14n n a -=⨯⎝⎭，故B 正确；对C ：因为()13528n n b f n -⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭是关于n 的单调递减函数，又45375118751,1024481924b b =>=<， 故不等式14n b >成立的正整数n 的最大值为4，故C 正确； 对D ：13528n n b -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，显然{}n b 是首项为32，公比为58的等比数列，故其前n 项和3512854445818nn nS ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-⨯< ⎪⎝⎭-，故D 正确.故选：BCD . 【点睛】本题综合考察等比数列通项公式、以及等比数列前n 项和的求解，属综合中档题. 13．120 【解析】 【分析】根据插空法，由题意求解，即可得出结果. 【详解】因为四个互不相邻的空位可产生五个位置，则这四个同学可以在这五个位置就坐，因此共有45120A =种不同的安排方法.故答案为：120. 【点睛】本题主要考查排列问题，利用插空法求解即可，属于常考题型. 14 【解析】 【分析】由题意知：平行于2y x =-且与2ln y x x =-相切的直线上的切点，即为要找的点，进而应用点线距离公式求最短距离即可.………外………………内………【详解】要使2()ln f x x x =-上的点到直线2y x =-的最短，则该点切线平行于2y x =-， 由1()2f x x x '=-且0x >，令1()21f x x x'=-=，①2210x x --=，解得12x =-（舍）或1x =， ①切点为(1,1)= 15．1314,33⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】由分段函数结合导数求出()f x 值域，令()t f x =，结合()g t 图象特征采用数形结合法可求a 的取值范围. 【详解】3213,02()2343,03xx f x x x x x ⎧⎛⎫⋅≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪-++>⎪⎩，当0x ≤时，()01133322xf x ⎛⎫⎛⎫=⋅≥⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数为减函数；当0x >时，()3223433f x x x x =-++，()()()()22264232212f x x x x x x x =-+=-+=--'，()0,1x ∈和()2,+∞时，()f x 单增，()1,2x ∈时，()f x 单减，()1413f =，()1323f =，故()f x 的图象大致为：…订…………○____考号：___________…订…………○令()t f x =，则()3,t ∈+∞，()()()()22()[()](2)()2222g x f x a f x a g t t a t a t a t =-++⇔=-++=--，[)3,t ∞∈+当2a =时，()()22g t t =-，[)3,t ∞∈+，()g t 无零点；当2a <时，()()()2g t t a t =--，[)3,t ∞∈+，()g t 无零点； 当2a >时，()()()2g t t a t =--，[)3,t ∞∈+，()0g t =，则t a =，要使2()[()](2)()2g x f x a f x a =-++恰有4个不同的零点，则()1314,33t f x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，即1314,33a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故答案为：1314,33⎛⎫⎪⎝⎭16． 1- 4 【解析】 【分析】根据二项式定理令0x =求得0a ，令1x =得()45053211a a a k a a a ++-=+++，便可求得参数k .【详解】 解：由题意得：55432543210(1)kx a x a x a x a x a x a -=+++++∴当0x =时，则()5011a =-=-当1x =时，()45053211a a a k a a a ++-=+++ 又12345244a a a a a +=+++()511244k -+=，解得4k =故答案为：1-；4 17．(1)3n a n =； (2)9(1)n nS n =+.【解析】 【分析】（1）根据题目所给递推关系，利用等差数列定义和通项公式进行基本量的计算即可得解； （2）利用裂项相消法进行计算即可得解. (1)由13n n a a +-=，可得{}n a 为等差数列，公差3d =，根据124,,a a a 为等比数列可得2214a a a =，所以2111(3)(9)a a a +=+，解得13a =，所以3(1)33n a n n =+-⋅=， (2) 由11111111()3(33)9(1)91n n a a n n n n n n +==⋅=⋅-+++， 所以1111111111(1)(1)9223341919(1)n nn n n n S =-+-+-++-=-=+++. 18．(1)35(2)2900元 (3)分布列见解析，910【解析】 【分析】（1）由题表可得厨余垃圾共有100吨，其中投入厨余垃圾桶的有60吨，根据古典概型即可求出结果；（2）由题表可得这400吨垃圾由100吨厨余垃圾，300吨非厨余垃圾，根据题意，即可求出结果；（3）由题意可知随机变量X 服从超几何分步，根据超几何分步即可求出分布列和期望.(1)解：由题表可得厨余垃圾共有602020100++=吨，其中投入厨余垃圾桶的有60吨，所以厨余垃圾投放正确的概率6031005p ==； (2)解：由题表可得这400吨垃圾由100吨厨余垃圾，300吨非厨余垃圾，则处理费用为510083002900⨯+⨯=（元）所以估计处理这400吨垃圾需要2900元； (3)解：随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，303373107(0)24C C P X C ===，123731021(1)40C C P X C ===21373107(2)40C C P X C ===，30373101(3)120C C P X C ===所以X 的分布列为所以721719()012324404012010E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 所以选出的3名志愿者中男性志愿者个数的数学期望为910. 19．(1)32()1f x x x x =+-+； (2)min ()1f x =-，max ()11f x =. 【解析】 【分析】（1）根据点(1,2)P 在函数图像上，再根据导数的几何意义以及极值点处导函数为0，联立方程即可得解；（2）由2()321f x x x '=+-，求得极值点处函数值和端点处函数值，进行比较即可求得最大值和最小值. (1)由2()32f x x ax b '=++ 根据题意可得：(1)12(1)324(1)320f a b c f a b f a b =+++=⎧⎪=++''=⎨⎪-=-+=⎩， 解得1,1,1a b c ==-=， 所以32()1f x x x x =+-+； (2)由（1）知： 2()321f x x x '=+-，令()f x '=(31)(1)0x x -+=， 解得1,13x x ==-，当[)2,1x ∈--时，()0f x '>，()f x 为增函数，当1(1,3x ∈-时，()0f x '<，()f x 为减函数，当1,23x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0f x '>，()f x 为增函数，由(2)1f -=-，(1)2f -=，122()327f =，(2)11f =， 所以min ()1f x =-，max ()11f x =. 20．(1)证明见解析 (2)3π 【解析】 【分析】（1）由勾股定理逆定理得到AC CD ⊥，再由BC CD ⊥，即可得到CD ⊥平面ABC ，从而得证；（2）取BC 的中点O ，连接AO ，即可得到AO ①平面BCD ，如图建立空间直角坐标系，………外…………○………学校:________………内…………○………利用空间向量法求出二面角的余弦值，即可得解； (1)证明：因为AB AC ==2BC CD ==，2AD =，所以222112AC CD AD +==，所以AC CD ⊥，又BC CD ⊥，,AC BC ⊂平面ABC ，AC BC C =，①CD ⊥平面ABC ，又CD ⊂平面BCD ，①平面ABC ①平面BCD ； (2)解：取BC 的中点O ，连接AO ，因为AB AC =，所以AO BC ⊥，又平面ABC ①平面BCD ，平面ABC 平面BCD BC =，AO ⊂平面ABC ，所以AO ①平面BCD ，以BC 的中点O 为原点，,,OB CD OA 分别为,,x y z 轴正方向建立空间直角坐标系，则A ⎛ ⎝⎭，(1,0,0)B ，()1,0,0C -，(120)D -， ， ，所以1,0,AB ⎛= ⎝⎭，()2,2,0DB =-，显然(0,1,0)m =为平面ABC 的法向量，设(),,n x y z =是平面ABD 的法向量，则00AB n DB n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即00x x y ⎧=⎪⎨⎪-=⎩， 令1x y ==，得(1,1,2n =，所以1cos ,2||||n m n m n m ⋅==⋅，显然二面角D AB C --为锐二面角，故所求二面角的平面角为3π.21．(1)()*21a n n N =-∈(2)证明见解析，()*62n n n b n N =-∈(3)()20112695+ 【解析】 【分析】（1）利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求解数列{}n a 的通项公式；（2）根据题干条件变形得到1113122n n n n b b --⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭()2n ≥，从而得到结果；（3）求出()()181262n nn c n ⎧=⎪=⎨⨯⎪⎩，利用分组求和和等比数列求和公式进行求解. (1)点(),n n S 在函数2y x =的图象上，()2*n S n n N ∴=∈当1n =时，21111a S ===当2n 时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=- 11a =也适合，{}n a ∴的通项公式为()*21n a n n N =-∈(2)①()11622n n n b b n +-=+①()1111116211333122222n n n n n n n n n b b b b n +-----+⎛⎫+=+=+=+ ⎪⎝⎭①111134132bb a =+=∴+= ①12n nb ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭其首项为3，公比为3的等比数列 ①113332n n n n b-+=⨯= ①()*62n n n b n N =-∈(3)由（2）得26n nn b +=由题意得：n *∈N 均有，3111231232222n n nn c c c c a b b b b +=++++++++ ①()3111231123122222n n n n c c c c a n b b b b ---=++++++++ ①()1222nn n nn c a a n b +-==+ ①()2226n nn n c b =+=⨯()2n又①12132c a b ==+ ①()11323618c b =+=⨯= ①()()181262n n n c n ⎧=⎪=⎨⨯⎪⎩①()234201012320101826666c c c c +++⋯+=++++⋯+=()1232010626666++++⋯+=()20102011661261862615-⋅++⋅=-=()20112695+ 22．(1)当0a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递减；当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； (2)()2,+∞. 【解析】 【分析】（1）根据a 的正负性，结合导数的性质分类讨论求解即可；（2）根据已知等式构造函数()1ln h t a t t t=+-，利用导数的性质，结合一元二次方程的求解根公式判断该函数的单调性，再通过构造新函数，利用导数的性质进行求解即可. (1)函数()f x 的定义域为()0,∞+，()21ax f x x -'=． 当0a ≤时，()0f x <′，()f x 在()0,∞+上单调递减；当0a >时，令()0f x <′，得10x a <<，令()0f x >′，得1x a >， 所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增． 综上所述，当0a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递减； 当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； (2) ()()21212121211111ln ln ln 0x f x f x a x a x a x x x x x =⇒+=+⇒+-=， 又121x x =+，则21212212121121ln 0ln 0x x x x x x x x a a x x x x x x +++-=⇒+-=． 令211x t x =>，即方程1ln 0a t t t +-=在()1,+∞上有解． 令()1ln h t a t t t =+-，()1,t ∈+∞， 则()2211a t t at t h t t t ⎛⎫-+ ⎪-+-⎝⎭'==，()1,t ∈+∞．12t t +>， 当2a ≤时，()0h t'<，()h t 在()1,+∞上单调递减， 又()10h =，则()0h t <在()1,t ∈+∞上恒成立，不合题意； 当2a >时，240a ->，令210t at -+-=，可知该方程有两个正根，因为方程两根之积为1且1t >，所以t = 当t ⎛∈ ⎝⎭时，()0h t '>， 当t ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()0h t '<； 则t ⎛∈ ⎝⎭时，()()10h t h >=， 而()()221e e 1e 2e a a a a h a a a =+-<+->． 令()()21e 2x x x x ϕ=+->，则()2e x x x ϕ'=-， 令()()m x x ϕ='，()2e 0x m x '=-<， 则()x ϕ'在()2,+∞上单调递减，()()224e 0x ϕϕ'<'=-<，则()x ϕ在()2,+∞上单调递减，()()225e 0x ϕϕ<=-<，即()e 0a h <， 故存在0a t ⎫∈⎪⎪⎝⎭，使得()00h t =，故2a >满足题意． 综上所述，实数a 的取值范围是()2,+∞． 【点睛】关键点睛：根据等式的形式构造新函数，再根据不等式的形式构造新函数是解题的关键.。

广东省广州市市育才中学2022年高二数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的零点所在的大致区间是（）A．（1，2）B．（2，e）C．（e,3）D．（e,+）参考答案：B2. 已知直线ax+y﹣1=0与圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0交于A，B两点．若|AB|=2，则实数a的值是（）A．﹣B．﹣C．D．2参考答案：A【考点】直线与圆的位置关系．【分析】圆方程化为标准方程，找出圆心坐标与半径r，利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离d，根据弦长，利用垂径定理及勾股定理列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．【解答】解：圆方程化为（x﹣1）2+（y﹣4）2=4，可得圆心（1，4），半径r=2，∵弦长|AB|=2，圆心到直线的距离d==，解得：a=﹣，故选A．3. 已知双曲线的左、右焦点分别是、，其一条渐近线方程为，点在双曲线上，则·＝( )A. －12B. －2 C. 0 D. 4参考答案：C 略4. 给出以下命题：（1）直线l：y=k（x﹣3）与双曲线﹣=1交于A，B两点，若|AB|=5，则这样的直线有3条；（2）已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若=++，则P，A，B，C四点共面；（3）已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若=2﹣+2，则P，A，B，C四点一定不共面；（4）直线θ=（ρ∈R）与曲线ρ=（ρ∈R）没有公共点．其中，真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C【考点】命题的真假判断与应用．【分析】（1）根据直线和双曲线的位置关系进行判断．（2）根据四点共面的等价条件进行判断．（3）根据四点共面的等价条件进行判断．（4）根据极坐标成立的条件进行判断．【解答】解：（1）由双曲线方程得a=2，c=3，即直线l：y=k（x﹣3）过双曲线的右焦点，∵双曲线的两个顶点之间的距离是2a=4，a+c=2+3=5，∴当直线与双曲线左右两支各有一个交点时，当k=0时2a=4，则满足|AB|=5的直线有2条，当直线与实轴垂直时，当x=c=3时，得﹣=1，即=，即y2=，则y=±，此时通径长为5，若|AB|=5，则此时直线AB的斜率不存在，故不满足条件．综上可知有2条直线满足|AB|=5，故（1）错误，（2）∵++=1，∴P，A，B，C四点共面，故（2）正确，（3）∵2﹣1+2=﹣1≠1，∴P，A，B，C四点一定不共面，故（3）正确，（4）当θ=时，1﹣2cosθ=1﹣2cos=1﹣2×=1﹣1=0，此时曲线ρ=无意义，即直线θ=（ρ∈R）与曲线ρ=（ρ∈R）没有公共点，故（4）正确，故选：C5. 把一枚骰子连续掷两次，已知在第一次抛出的是偶数点的情况下，第二次抛出的也是偶数点的概率为（）A．1 B． C．D．参考答案：B略6. 若四个正数成等差数列，是和的等差中项，是和的等比中项，则和的大小关系是（）A．B．C．D．参考答案：D略7. 已知向量，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为( )A． B． C.4 D．8参考答案：B8. 直线l的参数方程为，（t为参数），上的点P1对应的参数是t1，则点P1与P（a，b）之间的距离为（）．A．|t1| B．2|t1| C．|t1| D．|t1|参考答案：Ｃ9. 如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段AC1上有两个动点E，F，且EF=．给出下列四个结论：①CE⊥BD；②三棱锥E﹣BCF的体积为定值；③△BEF在底面ABCD内的正投影是面积为定值的三角形；④在平面ABCD内存在无数条与平面DEA1平行的直线其中，正确结论的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：D【考点】棱柱的结构特征；命题的真假判断与应用．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由BD⊥平面ACC1，知BD⊥CE；由点C到直线EF的距离是定值，点B到平面CEF的距离也是定值，知三棱锥B﹣CEF的体积为定值；线段EF在底面上的正投影是线段GH，故△BEF在底面ABCD内的投影是△BGH，由此能导出△BGH的面积是定值；设平面ABCD与平面DEA1的交线为l，则在平面ABCD内与直线l平行的直线有无数条．【解答】解：∵BD⊥平面ACC1，∴BD⊥CE，故①正确；∵点C到直线EF的距离是定值，点B到平面CEF的距离也是定值，∴三棱锥B﹣CEF的体积为定值，故②正确；线段EF在底面上的正投影是线段GH，∴△B EF在底面ABCD内的投影是△BGH，∵线段EF的长是定值，∴线段GH是定值，从而△BGH的面积是定值，故③正确；设平面ABCD与平面DEA1的交线为l，则在平面ABCD内与直线l平行的直线有无数条，故④对．故选D．【点评】本题考查命题的真假判断和应用，解题时要认真审题，仔细解答，要熟练掌握棱柱的结构特征．10. 欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，表示的复数位于复平面中的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限参考答案：B,对应点,位于第二象限,选B.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是_________．参考答案：2+略12. 已知扇形AOB半径为1，∠AOB=60°，弧AB上的点P满足(λ，μ∈R)，则λ+μ的最大值是；最小值是．参考答案：，【考点】平面向量数量积的运算；向量在几何中的应用．【分析】建立坐标系，设∠BOP=θ，用θ表示出P点坐标，得出λ+μ及关于θ的表达式，根据θ的范围和三角函数的性质得出答案．【解答】解：以O为原点，以OB为x轴建立平面直角坐标系，设∠BOP=θ，则P（cosθ，sinθ），B（1，0），A（，），∵，∴，即．∴λ+μ=cosθ+sinθ=sin（θ+），∵P在上，∴0，∴当时，λ+μ取得最大值．=（，﹣sinθ），=（1﹣cosθ，﹣sinθ），∴=（）（1﹣cosθ）+（﹣sinθ）（﹣sinθ）=﹣cosθ﹣sinθ=﹣sin（θ+）． ∵0≤θ≤，∴≤≤．∴当=时，取得最小值﹣．故答案为：， ．13. 若a ＞0，b ＞0，且函数f （x ）=4x 3﹣ax 2﹣2bx+2在x=1处有极值，则ab 的最大值等于 ．参考答案：9【考点】函数在某点取得极值的条件．【分析】求出导函数，利用函数在极值点处的导数值为0得到a ，b 满足的条件，利用基本不等式求出ab 的最值．【解答】解：由题意，求导函数f′（x ）=12x 2﹣2ax ﹣2b ∵在x=1处有极值 ∴a+b=6 ∵a＞0，b ＞0 ∴ab≤（）2=9，当且仅当a=b=3时取等号所以ab 的最大值等于9 故答案为：914. 把圆的参数方程化成普通方程是______________________．参考答案：15. 若 为虚数单位，则的值为_______.参考答案： －4 略16. 为了了解高三学生的数学成绩，抽取了某班60名学生，将所得数据整理后，画出其频率分布直方图(如图所示)，已知从左到右各长方形高的比为2∶3∶5∶6∶3∶1，则该班学生数学成绩在(80,100)之间的学生人数是．参考答案： 33 略17. 某中学为了解学生数学课程的学习情况，从高二学生的某次数学限时训练成绩中随机抽取部分学生的考试成绩进行统计分析，得到如下的样本频率分布直方图，若在样本中成绩在[80,90]的学生有20人，则样本中成绩在[60,70)内的人数为 .参考答案：24三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2024-2025学年广东省广州市高二上学期11月月考数学检测试卷一、单选题（本大题共8小题）1．在长方体中，等于（ ）1111ABCD A B C D -1AB BC CC ++A ．B ．C ．D ．1AD u u u r 1AC u u u r ADAB2．已知直线过圆的圆心，且与直线平行，则直线的方程l 22(3)4x y +-=10x y ++=l 为（ ）A ．B ．C ．D ．20x y +-=20x y -+=30x y +-=30x y -+=3．已知，若三向量共面，则实数等于(2,1,3),(1,4,2),(1,3,)a b c λ=-=--= ,,a b cλ（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为（）()2,3P A ．B ．或50x y +-=50x y +-=10x y -+=C ．或D ．或320x y -=10x y -+=320x y -=50x y +-=5．直线x+y ﹣1＝0被圆（x+1）2+y 2＝3截得的弦长等于（ ）A ．B ．2C ．2D ．46．已知圆的方程为，过直线上任意一点作圆的切C 22(3)(4)1x y -+-=:3450l x y +-=C 线，则切线长的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．457．已知椭圆：，过点的直线交椭圆于，两点.若E ()222210+=>>x y a b a b ()4,0E A B 中点坐标为，则椭圆的离心率为（ ）AB ()2,1-EA ．B ．C ．D ．12138．长方体中，，，，是棱上的动点，则1111ABCD A B C D -1AB =2AD =15AA =P 1DD 的面积最小时，（ ）1PAC ∆DP =A ．1B ．2C ．D ．452二、多选题（本大题共3小题）9．已知直线：与圆：相交于，两点，则（ ）l 4360x y ++=C 22280x y x +--=E FA ．圆心的坐标为B ．圆的半径为C ()1,0CC ．圆心到直线的距离为2D ．C l EF =10．如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是DD 1，DB 的中点，则下列选项中正确的是（ ）A ．EF 平面ABC 1D 1//B ．EF ⊥B 1CC ．EF 与AD 1所成角为60°D ．EF 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为11．已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，动点222:1(20)4x y C b b +=>>1F 2F B 在椭圆上，则下列描述正确的有（ ）P CA ．若的周长为6，则12PF F b =B ．若当时，的内切圆半径为12π3F PF ∠=12PF F b =C ．若存在点，使得，则P 12PF PF ⊥2)b ∈D ．若的最大值为2b ，则PB2)b ∈三、填空题（本大题共3小题）12．已知向量，，则.(),1,2a x =-()2,1,2b =⋅=a b 13．若直线和垂直，则实数.1:30l x y -+=2:(2)10l x a y +--=a =14．直线与圆相交于A ，B 两点，弦长的20(R)mx y m +-=∈22:210C x y y +--=||AB最小值为，若的面积为m 的值为．ΔABC 四、解答题（本大题共5小题）15．已知直线l 经过点P (－2，5)，且斜率为.34-(1)求直线l 的方程；(2)若直线m 与直线l 平行，且点P 到直线m 的距离为3，求直线m 的方程．16．如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，ADEF ABCD AD CD ⊥//AB CD ，，为的中点．2AB AD ==4CD =M CE(1)求证：平面；//BM ADEF (2)求证：平面.BC ⊥BDE 17．已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线()1,2-A 1270:l x y ++＝()2,0B -与圆A 相交于l ,M N (1)求圆的方程；A(2)当的方程．MN =l18．已知椭圆长轴是短轴的倍，且右焦点为.2222:1(0)x y C a b a b +=>>(1,0)F （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）直线交椭圆于两点，若线段中点的横坐标为，求直线:(2)l y k x =+C ,A B AB 23-的方程及的面积.l FAB 19．如图所示，四棱锥中，，S ABCD -2290DAB ADC ABD BCD ∠=∠=∠=∠=︒平面.CB BD ==SB SD ==SBD ⊥ABCD（1）求证：平面平面；SBD ⊥SBC （2）若点P 在线段上，且，若平面与平面所成锐二面角大小为SC CPCS λ=ABP SBD ，求的值.60︒λ答案1．【正确答案】B【详解】.111AB BC CC AC CC AC ++=+= 故选：B2．【正确答案】C【详解】的圆心为，设直线的方程为，22(3)4x y +-=()0,3l 0x y C ++=将代入中，得，解得，()0,30x y C ++=030C ++=3C =-故直线的方程为.l 30x y +-=故选：C3．【正确答案】A 【详解】三向量共面，设，,,a b c c ma nb =+ 故，(1,3,)(2,1,3)(1,4,2)m n λ=-+--即，解得.123432m nm n m n λ=-⎧⎪=-+⎨⎪=-⎩111m n λ=⎧⎪=⎨⎪=⎩故选：A4．【正确答案】D【详解】当截距都为0时，过点时直线为，()0,0320x y -=当截距不为零时，设直线为，代入点得，1x y a a +=()2,3P 5,50a x y =∴+-=故在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为或.320x y -=50x y +-=故选：D.5．【正确答案】B【详解】如图,圆(x ＋1)2＋y 2＝3的圆心为M (−1,0)，圆半径|AM圆心M (−1,0)到直线x +y −1=0的距离：|，MC ∴直线x +y −1=0被圆(x +1)2+y 2=3截得的弦长：.2AB ==故选B.点睛: 本题考查圆的标准方程以及直线和圆的位置关系.判断直线与圆的位置关系一般有两种方法： 1．代数法：将直线方程与圆方程联立方程组，再将二元方程组转化为一元二次方程，该方程解的情况即对应直 线与圆的位置关系．这种方法具有一般性，适合于判 断直线与圆锥曲线的位置关系，但是计算量较大．2．几何法：圆心到直线的距离与圆半径比较大小，即可判断直线与圆的位置关系．这种方法的特点是计算量较小．当直线与圆相交时,可利用垂径定理得出圆心到直线的距离,弦长和半径的勾股关系.6．【正确答案】B 【详解】如图所示，直线上一点A 作圆的两条切线，过C 作，AD AE 、BC l ⊥则切线长为，AD AE ==显然，当且仅当，AC BC≥A B、=4=AC所以切线长最小值为故选：B7．【正确答案】B【详解】设，则，()()1122,,,A x y B x y 22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得：，22221212220x x y y a b --+=因为中点坐标为，AB ()2,1-所以，12124,2x x y y +=+=-所以，()()2212122212122x x b y y b x x y y a a +-=-=-+又，1212011422AB y y k x x -+===--所以，22212b a =即，2a b =所以，c e a ===故选：B8．【正确答案】A【详解】根据题意，以为坐标原点，以所在直线为轴A 1,,AB AD AA ,,x y z 建立空间直角坐标系如下图所示：设，(),05DP x x =≤≤故可得()()()10,2,,0,0,5,1,2,0P x A C 由空间中两点之间的距离公式可得：1A P==，PC =1AC =故在三角形中，由余弦定理可得：1PA C 22211112A P PC A C cos A PC A P PC+-∠==⨯则1sin A PC ∠==故11112A PC S sin A PC A P PC =∠⨯⨯△12===当且仅当时，的面积最小.1x =1PAC ∆故满足题意时，.1DP =故选：A.9．【正确答案】ACD【详解】对于AB ，圆：的圆心，半径，A 正确，B 错误；C 22(1)9x y -+=(1,0)C 3r =对于C ，点到直线：的距离，C 正确；(1,0)C l 4360x y ++=2d ==对于D ，D 正确.||EF ==故选：ACD10．【正确答案】ABD【分析】根据线线平行证明线面平行，由线线垂直证明线面垂直，再得线线垂直，由线线关系、线面关系可得线线角、线面角.【详解】对于A ，连结BD 1，在DD 1B 中，E 、F 分别为D 1D 、DB 的中点，则 EF D 1B ，//又∵D 1B 平面ABC 1D 1，EF 平面ABC 1D 1 ，⊂⊄∴EF 平面ABC 1D 1，//故A 正确；对于B ，∵平面，且平面，平面，AB ⊥11BCC B AB ⊄11BCC B 1B C ⊂11BCC B ∴B 1C ⊥AB ，又B 1C ⊥BC 1又AB 平面ABC 1D 1，BC 1平面ABC 1D 1，AB BC 1=B ⊂⊂ ∴B 1C ⊥平面ABC 1D 1又∵BD 1平面ABC 1D 1⊂∴B 1C ⊥BD 1，而EF BD 1//∴EF ⊥B 1C ，故B 正确；对于C ，由选项A ，可知，在中，可知1//EF BD 1Rt BAD 12,AB AD ==所以，所以EF 与AD 1所成角不为60°，故C 不正确；1tan AD B ∠=对于D ，由选项A ，可知，且平面，所以为EF 与平面1//EF BD 11D C ⊥11BB C C 11D BC ∠BB 1C 1C 所成的角，在中，可知，11Rt D C B 11112,D C BC BD ===所以D 正确.11sin D BC ∠=故选：ABD11．【正确答案】ABD【详解】对于A,由椭圆，可得，222:1(20)4x y C b b +=>>2a =因为的周长为6，所以，解得，12PF F 226a c +=1c =因为，所以，解得A 正确；222a c b -=241b -=b =对于B ，由，可得，2a =12||||24PF PF a +==当时，由余弦定理可得12π3F PF ∠=222212121212(2)||||||2||||cos c F F PF PF PF PF F PF ==+-⋅∠，22121212(||||)3||||43||||PF PF PF PF a PF PF =+-⋅=-⋅则，解得，222123||||444PF PF a c b ⋅=-=2124||||3PF PF b ⋅=所以，1221212||||sin 12PF F PF PF S F PF ∠==又的内切圆半径为，12PF F所以，121212||||||))1(2PF F PF S PF F F c =++=+ 所以，所以，解得（舍去）或，2)c +=22222c b c +==-2c =-1c =所以B 正确；b =对于C ，若，则以为圆心，为半径的圆与椭圆有交点，则，12PF PF ⊥O c b c ≤所以，所以，解得，22b c ≤22224b a b b≤-=-0b <≤所以存在点，使得，则，故C 错误；P 12PF PF ⊥b ∈对于D ，设，(,),(0,)P xy Bb ||PB ===，==又因为，因为下顶点到上顶点的距离为2b ，又的最大值为2b ，b y b -≤≤PB故时取最大值，所以，解得，故D 正确.y b =-324b b b ≤--2b ≤<故选：ABD.12．【正确答案】3-【详解】向量，由，(),1,2a x =-a == 0x =则有，又，则.()0,1,2a =- ()2,1,2b = ()0211223a b ⋅=⨯+⨯+-⨯=- 故答案为.3-13．【正确答案】3【详解】由题意得，解得.()120a --=3a =故314．【正确答案】21±【详解】直线恒过圆内的定点，20(R)mx y m +-=∈22:(1)2C x y +-=(0,2)M r =圆心C 到直线的距离,所以，1d CM ≤=2AB =≥即弦长的最小值为2；由AB21sin 2ABC r ACB ∆=∠=即或．若，则圆心到弦AB 的距离3ACB π∠=23π3ACB π∠= ，故不符合题意；当时，圆心到直线的距离为1CM >=23ACB π∠=,设弦AB 的中点为N ，又，故，1CM <=1CM =4NCM π∠=即直线的倾斜角为或，则m 的值为 .20(R)mx y m +-=∈4π34π1±故答案为2，1±15．【正确答案】(1)3x ＋4y －14＝0(2)3x ＋4y ＋1＝0或3x ＋4y －29＝0【详解】（1）由直线的点斜式方程得，35(2)4y x -=-+整理得直线l 的方程为3x ＋4y －14＝0.（2）∵直线m 与l 平行，可设直线m 的方程为3x ＋4y ＋c ＝0，3即|14＋c |＝15.∴c ＝1或c ＝－29.故所求直线m 的方程为3x ＋4y ＋1＝0或3x ＋4y －29＝0.16．【正确答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）依题意可以D 为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量共面定理可证明共面，即可证明平面；,,BM AD AF //BM ADEF （2）由空间向量数量积为零可证明，，再由线面垂直的判定定理即BC DB ⊥BC DE ⊥可证明平面.BC ⊥BDE 【详解】（1）根据题意可知平面平面，ADEF ⊥ABCD 平面平面，ADEF ABCD AD =又是正方形，所以，平面，ADEF AD ED ⊥ED ⊂ADEF所以平面，ED ⊥ABCD 即，，两两垂直；DA DC DE 以D 为原点，分别以，，的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立如图所示DA DC DE 的空间直角坐标系．则，()()()()()()0,0,0,2,0,0,2,2,0,0,4,0,0,0,2,2,0,2D A B C E F 又为的中点，所以，M CE ()0,2,1M 则，()()()2,0,1,2,0,0,0,0,2BM AD AF =-=-= 所以，故共面．12BM AD AF =+ ,,BM AD AF 又平面，BM ⊄ADEF 所以平面；//BM ADEF （2）()()()2,2,0,2,2,0,0,0,2BC DB DE =-== 易知，所以；440BC DB ⋅=-+= BC DB ⊥又，可得；0BC DE ⋅= BC DE ⊥又，平面，DB DE D ⋂=,DB DE ⊂BDE 所以平面.BC ⊥BDE 17．【正确答案】(1)()()221220x y ++-=(2)或3460x y -+=2x =-【分析】(1)由题意知点到直线距离公式可确定圆A 半径，带入到圆的标准方程可求r 得圆的方程；(2)过A 做，由垂径定理可知圆心到直线，设出直线，可分为斜率存在和AQ MN ⊥l l 斜率不存在两种情况，解之可得直线方程【详解】（1）易知到直线的距离为圆A 半径r ，()1,2-A 270x y ++＝所以，r ==则圆A 方程为()()221220x y ++-=（2）过A 做,由垂径定理可知，且，AQ MN ⊥90MQA ∠︒＝MQ =在Rt AMQ 1=当动直线斜率不存在时，设直线的方程为，l l 2x =-经检验圆心到直线的距离为，且根据勾股定理可知，l 1MN =显然合题意，2x =-当动直线斜率存在时，过点，设方程为：，l l ()2,0B -l ()2y k x =+由到距离为知得，()1,2-A l 11=34k =代入解之可得，3460x y -+=所以或为所求方程．3460x y -+=2x =-l18．【正确答案】（Ⅰ）（Ⅱ）12212x y +=【详解】（Ⅰ）因为长轴是短轴的倍，所以.2a =因为焦点的坐标为，所以.F ()1,01c =结合，得.222a b c =+1a b ==所以椭圆方程为.2212x y +=（Ⅱ）设，.()11,A x y ()22,B x y 由得.()221,22x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()2222218820k x k x k +++-=则.22121222882,2121k k x x x x k k --+==++因为线段中点的横坐标为，AB −23所以.212242=2213x x k k +-=-+解得 ，即（符合题意）214k =12k =±所以直线的方程为，l ()122y x =±+因为AB==点到直线的距离Fld =所以的面积 .FAB 112AFB S == 即的面积等于.FAB 119．【正确答案】（1）见解析（2）.23λ=（1）证明平面，平面平面即得证；（2）以A 为原点，分别以BC ⊥SBD SBD ⊥SBC ，和平行于的方向为x ，y ，z 轴正方向，建立空间直角坐标系，利AD AB SE A xyz -用向量法得到，解方程即得解.12=【详解】（1）证明：因为，2290DAB ADC ABD BCD ∠=∠=∠=∠=︒故，故.90CBD ∠=︒BC BD ⊥又平面平面，平面平面，平面，SBD ⊥ABCD SBD ABCD BD =BC ⊂ABCD 故平面；BC ⊥SBD 因为平面，故平面平面；BC ⊂SBC SBD ⊥SBC （2）设E 为的中点，连接，因为，BD SE SB SD =所以，又平面平面，故平面，SE BD ⊥SBD ⊥ABCD SE ⊥ABCD 如图，以A 为原点，分别以，和平行于的方向为x ，y ，z 轴正方向，AD ABSE 建立空间直角坐标系，A xyz -则，，，，，()0,0,0A ()0,2,0B ()2,4,0C ()2,0,0D ()1,1,2S 因为，则，CP CS λ= ()()1,3,2,3,2CP CS λλλλλ==--=-- 所以，()2,43,3P λλλ--易得平面的一个法向量为，SBD ()2,2,0BD = 设为平面的一个法向量，，，(),,n x y z = ABP ()0,2,0AB = ()2,43,2AP λλλ=-- 由得不妨取.0,0,n AB n AP ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ()()20,24320,y x y z λλλ=⎧⎨-+-+=⎩()2,0,2n λλ=- 因为平面与平面所成锐二面角为，SBD ABP 60︒所以，12=解得，（不合题意舍去），23λ=2λ=-故.23λ=本题主要考查空间直线平面位置关系的证明，考查空间二面角的向量求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.。

2020-2021学年广东省广州市市育才中学高二数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 曲线y=+1（﹣2≤x≤2）与直线y=kx﹣2k+4有两个不同的交点时实数k的范围是( )A．（，] B．（，+∞）C．（，）D．（﹣∞，）∪（，+∞）参考答案：A【考点】直线与圆相交的性质．【专题】直线与圆．【分析】根据直线过定点，以及直线和圆的位置关系即可得到结论．利用数形结合作出图象进行研究即可．【解答】解：由y=k（x﹣2）+4知直线l过定点（2，4），将y=1+，两边平方得x2+（y﹣1）2=4，则曲线是以（0，1）为圆心，2为半径，且位于直线y=1上方的半圆．当直线l过点（﹣2，1）时，直线l与曲线有两个不同的交点，此时1=﹣2k+4﹣2k，解得k=，当直线l与曲线相切时，直线和圆有一个交点，圆心（0，1）到直线kx﹣y+4﹣2k=0的距离d=，解得k=，要使直线l：y=kx+4﹣2k与曲线y=1+有两个交点时，则直线l夹在两条直线之间，因此＜k≤，故选：A．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，利用数形结合是解决本题的关键，考查学生的计算能力．2. 在中，已知，则 ( )A. 5B. 10C.D.参考答案：C略3. 已知i是虚数单位，，则“”是“为纯虚数”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件参考答案：A【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．【详解】因为＝，当时，＝2i，是纯虚数，当为纯虚数时，，故选：A【点睛】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查充分必要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4. 我们把底面是正三角形，顶点在底面的射影是正三角形中心的三棱锥称为正三棱锥。

现有一正三棱锥放置在平面上，已知它的底面边长为2，高为，在平面上，现让它绕转动，并使它在某一时刻在平面上的射影是等腰直角三角形，则的取值范围是（）A． B．C．. D．参考答案：D5. 已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为，则到另一焦点距离为（）A． B． C． D．参考答案：D6. 如果10N的力能使弹簧压缩10cm，为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置6cm处，则克服弹力所做的功为( )A . 0.28J B. 0.12J C. 0.26J D. 0.18J参考答案：D7. 在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率是( )A. B. C. D.参考答案：B8. 要得到函数的图像，可以把函数的图像（）A．向右平移个单位 B.向左平移个单位C. 向右平移个单位D. 向左平移个单位参考答案：B9. 共个人，从中选1名组长1名副组长，但不能当副组长，不同的选法总数是A.16 B．20 C． D．参考答案：A10. 下列各数中，最小的数是（）A． B． C． D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：，，，，则按照以上规律，若具有“穿墙术”，则．参考答案：99，，，，则按照以上规律可知：∴故答案为：9912. △ABC 中，b=a, B=2A ，则△ABC 为__三角形参考答案：等腰直角13. 过点作圆的弦，其中最短的弦长为_________.参考答案：略14. 假设你家订了一份早报，送报人可能在早上6：30 -7：30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去上班的时间在早上7：00一8：00之间，则你父亲离开家前能得到报纸的概率为________．参考答案：15. 已知函数，它在处的切线方程为，则的取值范围是__________．参考答案：[0,+∞) 【分析】由题可先求出，再令，则，根据单调性求出的最小值，从而得到答案。