广东省广州市高二下学期开学数学试卷(理科)

2023-2024学年广东省广州市天河区高二下册开学考数学试题一、单选题1．直线l ：30x +=的倾斜角θ为（）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π【正确答案】D【分析】根据斜率的定义即可求得倾斜角.【详解】30x +=的倾斜角θ满足tan k θ==56πθ=.故选：D.2．数列15-，17，19-，111，……的通项公式可能是n a =（）A ．(1)32nn -+B ．1(1)23n n --+C ．(1)23nn -+D ．1(1)32n n --+【正确答案】C【分析】由分母构成等差数列即可求出.【详解】数列的分母5,7,9, 形成首项为5，公差为2的等差数列，则通项公式为()51223n n +-⨯=+，所以()123nna n -=+.故选：C.3．若抛物线22(0)y px p =>上横坐标为52的点到焦点的距离为5，则p 的值为（）A ．52B ．2C ．4D ．5【正确答案】D【分析】由方程可得抛物线的焦点坐标和准线方程，进而由抛物线的定义可得：5522p+=，解之可得p 值.【详解】由题意可得：抛物线22(0)y px p =>开口向右，焦点坐标为(,0)2p ，准线方程为：2px =-，因为抛物线上横坐标为52的点到焦点的距离为5，由抛物线的定义可得：55(52222p p--=+=，解之可得：5p =，故选.D4．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，设AB a =，AD b=，1AA c = ，若点P 满足1149A P A C = ，则AP等于（）A ．445999a b c++ B ．544999a b c++C ．445999a b c-++D ．544999a b c--【正确答案】A【分析】由空间向量的线性运算法则求解．【详解】∵1111ABCD A B C D -是平行六面体，∴111111AC A D A B A A b a c =++=+-，114445()9999AP AA A P c b a c a b c =+=++-=++ ，故选：A ．5．圆C 1：2240x y +-=与圆C 2：2244120x y x y +-+-=的位置关系是（）A ．内含B ．内切C ．相交D ．外切【正确答案】C【分析】求出圆心距,与两圆半径的和、差的绝对值比较大小可得．【详解】1C 标准方程是224x y +=，圆心为1(0,0)C ，半径为2r =，2C 标准方程22(2)(220x y -++=），圆心2(2,2)C -，半径R =12C C =，022<-<<+，因此两圆相交，故选：C ．6．若动点P 在直线1y x =+上，动点Q 在曲线22x y =-上，则|PQ |的最小值为（）A ．14B ．4C ．2D ．18【正确答案】B【分析】设与直线1y x =+平行的直线l 的方程为y x m =+，当直线l 与曲线22x y =-相切，且点Q 为切点时，P ，Q 两点间的距离最小，根据导数的几何意义求出直线l 的方程，再利用平行线间的距离公式即可求得结果.【详解】设与直线1y x =+平行的直线l 的方程为y x m =+，∴当直线l 与曲线22x y =-相切，且点Q 为切点时，P ，Q 两点间的距离最小，设切点()00,Q x y ， 22x y =-，所以212y x =-，y x ∴'=-，0011x x ∴-=⇒=-，012y ∴=-，∴点11,2Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴直线l 的方程为12y x =+，,P Q ∴两点间距离的最小值为平行线12y x =+和1y x =+间的距离，,P Q ∴4=.故选.B7．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层地面的中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且上、中、下三层共有扇面形石板(不含天心石)3402块，则中层共有扇面形石板（）A ．1125块B ．1134块C ．1143块D ．1152块【正确答案】B【分析】由等差数列前n 项和的性质求解．【详解】记从中间向外每环扇面形石板数为{}n a ，{}n a 是等差数列，且公差为9d =，19a =，设每层有k 环，则3n k =，3402n S =，{}n a 是等差数列，则232,,k k k k k S S S S S --也成等差数列，所以()()2322k k k k k S S S S S -=+-，所以23()3402n k k S S S =-=，21134k k S S -=，故选：B ．8．已知(0,7)A ，(0,7)B -，(12,2)C ，以C 为焦点的椭圆过A 、B 两点，则椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程为（）A ．()221148x y y -=≤-B ．()221148x y y -=≥C．(22148y x y -=≤-D．(22148y x y -=≥【正确答案】A【分析】由两点间距离公式可得13,15,14AC BC AB ===，根据题中条件，得到214AF BF -=<，结合双曲线的定义，即可得出结果.【详解】因为()0,7A ，()0,7B -，()12,2C ，所以13AC ==，15BC ==，14AB =，因为,A B 都在椭圆上，所以AF AC BF BC +=+，214AF BF BC AC -=-=<，故F 的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线的下支，又214c AB ==，22a AF BF =-=，即7c =，1a =，所以248b =，因此F 的轨迹方程是22148x y -=（1y ≤-）.故选：A.【点晴】方法点睛：求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标(),x y ，根据题意列出关于,x y 的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把,x y 分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将()()00x g x y h x ⎧=⎪⎨=⎪⎩代入()00,0f x y =.二、多选题9．下列说法中正确的是（）A ．方程22210x y x +-+=表示的曲线是圆B ．椭圆22143x y +=的长轴长为2C ．双曲线221169x y -=的渐近线方程为34y x =±D ．抛物线22x y =的准线方程是18x =-【正确答案】CD【分析】根据方程表示成曲线的标准形式，再根据定义判断正误.【详解】选项A:()2210x y -+=表示点()1,0，故A 错误；选项B:22143x y +=，2,a b ==24a =，短轴长2b =B 错误；选项C:43x y =±化简34y x =±，选项C 正确；选项D:抛物线22x y =表示成标准方程为212y x =，122p =，焦点坐标为1,08⎛⎫ ⎪⎝⎭准线为18x =-,选项D 正确；故选：CD.10．△ABC 的三个顶点坐标为A (4，0)，B (0，3)，C (6，7)，下列说法中正确的是（）A ．边BC 与直线3210x y -+=平行B ．边BC 上的高所在的直线的方程为32120x y +-=C ．过点C 且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为130x y +-=D ．过点A 且平分△ABC 面积的直线与边BC 相交于点D (3，5)【正确答案】BD【分析】由直线斜率判断A ，求出相应的直线方程判断BC ，求出边BC 中点坐标判断D ．【详解】直线BC 的斜率为732603k -==-，而直线3210x y -+=的斜率为32，两直线不平行，A 错；BC 边上高所在直线斜率为32-，直线方程为3(4)2y x =--，即32120x y +-=，B 正确；过C 且在两坐标轴上的截距相等的直线不过原点时方程为130x y +-=，过原点时方程为76y x =，C 错；过点A 且平分△ABC 面积的直线过边BC 中点，坐标为(3,5)，D 正确．故选：BD ．11．（多选）设数列{}n a 满足()12335212n a a a n a n ++++-= ，记数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为n S ，则（）A ．12a =B ．221n a n =-C ．21n n S n =+D ．1n n S na +=【正确答案】ABD【分析】依题意当1n =时，求出1a ，再利用作差法得到()212n n a -=，即可得到{}n a 的通项公式，再利用裂项相消法求数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和即可；【详解】解：由题意()12335212n a a a n a n ++++-= ，当1n =时，得12a =，令()12335212n n T a a a n a n =++++-= ，则当2n ≥时，()11231352322n n T a a a n a n --=++++-=- 所以()1212n n n T T n a --=-=，即221n a n =-．又1n =时，122211a ==⨯-也成立，∴221n a n =-，故数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的通项公式为()()21121212121n n n n =-+--+，∴11111111113355723212121n S n n n n =-+-+-++-+----+ 1212121n n n =-=++，即有1n n S na +=．故选：ABD ．12．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 、F 、G 分别为棱BC 、CC 1、BB 1的中点，则下列选项中正确的是（）A ．点A 到直线EF 的距离为2B ．平面AEF 截正方体所得截面为五边形C ．三棱锥1A -AEF 的体积为23D ．存在实数λ、μ使得1λμ=+A G AF AE【正确答案】ACD【分析】在AEF △中，由三边长求得EF 边上的高判断A ，证明1,,,A D F E 共面判断B ，由11A AEF E AA F V V --=求得三棱锥的体积判断C ，证明根据平面向量的基本定理判断D ．【详解】连接AC ，由已知AE =EF3AF ====，222cos2AF EF AE AFE AF EF +-∠=⋅AEF △中，sin 2AFE ∠=，点A 到直线EF 的距离为sin 322AF AFE ∠=⨯=，A 正确；连接1BC ，则由,E F 分别是1,BC CC 中点得1//EF BC ，又正方体中易得11//BC AD ，因此1//EF AD ，∴1D ∈平面AEF ，从而截面为四边形1AEFD ，B 错；由已知点F 到直线1AA 的距离行于AC =1122EA A S =⨯⨯=!平面1A AE 即为平面11ACC A ，1//CF AA ，1AA ⊂平面1A AE ，CF ⊄平面1A AE ，则//CF 平面1A AE ，∴F ，C 到平面1A AE 的距离相等，∴11A AEFE AAF V V --=，由正方体性质知B 到平面11ACC A ，E 是BC 中点，则E 到平面1A AE 的距离为2d =，∴1111123323A AEF E AA F AA E V V S d --===⨯=!，C 正确；GF 与11A D 平行且相等（可由11B C 传递），则11AGFD 是平行四边形，11//AG D F ，1D F ⊂平面1AEFD ，1A G ⊄平面1AEFD ，∴1//A G 平面1AEFD ，实际上11AG D F =，而在平面AEF 中，,AE AF 不共线，,AE AF可作为平面AEF 的基底，从而存在实数λ、μ使得1E D A A F F λμ=+ ，即1λμ=+A G AF AE ，D 正确．故选：ACD ．三、填空题13．在各项均为正数的等比数列{n a }中，若24354624a a a a a a ++=，则35a a +=_________．【正确答案】2【分析】根据等比数列的性质计算．【详解】等比数列{}n a 各项均为正数，∴22233552435435624()a a a a a a a a a a a a ++=++=+=，352a a +=（负值舍去）故2.14．如图是某圆拱形桥的示意图，雨季时水面跨度AB 为6米，拱高(圆拱最高点到水面的距离)为1米．早季时水位下降了1米，则此时水面跨度增大到_________米．【正确答案】8【分析】画出圆拱图示意图，构建直角坐标系，列出雨季和旱季时水位方程即可求出圆的半径，旱季时水面跨度.【详解】画出圆拱图示意图，设圆半径为R ,雨季时水位方程()22213R R --=，解得5R =；旱季时水位方程()2222R DE R -+=，解得4DE =，所以此时水面跨度为28DE =.所以答案为8.15．如图，在棱长为2的正四面体(四个面都是正三角形)ABCD 中，M 、N 分别是AD 、BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成角的余弦值为_________．【正确答案】23【分析】作出异面直线所成的角，在三角形中由余弦定理求解．【详解】如图，连接DN ，取DN 中点G ，连接MG ，又M 是AD 中点，则//MG AN ，所以异面直线AN ，CM 所成角是CMG ∠或其补角，由已知3AN CM ==1322MG AN ==，1322NG DN ==DN BC ⊥，222237()122CG NG NC =+=+=MCG △中，373244cos 33232CMG +-∠=⨯⨯，∴异面直线AN ，CM 所成角的余弦值为23．故23．16．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，过F 点作圆222x y b +=的一条切线，切点为T ，延长FT 交椭圆C 于点A ，若T 为线段AF 的中点，则椭圆C 的离心率为_________．53153【分析】利用图中的几何关系及椭圆的定义即可求解.【详解】设椭圆的左焦点为1F ,连接1AF ，OT ,由几何关系可知112OT AF b ==，则2222TF OF OTc b =-=-，即222AF c b =-，由椭圆的定义可知12AF AF a +=，即22222b c b a +-=且222c a b =-，整理得2320b ab -=，解得23b a =，2222222513c a b b e a a a -===-=.故答案为.53四、解答题17．已知数列{n a }为等差数列，n S 是其前n 项和，且315S =，1516a a +=．数列{n b }中，11b =，()*11N 2n n b b n +=∈．(1)分别求数列{n a }，{n b }的通项公式；(2)求数列{}n n a b +的前n 项和n T ．【正确答案】(1)23(1)31n a n n =+-=-，11111((22n n n b --=⨯=.(2)12312222n n n n T -⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭【分析】(1)设等差数列{}n a 的公差为d ，根据等差数列的通项公式和等差数列的前n 项和公式列出方程组，解之即可求出数列{}n a 的通项公式，由题意可知：数列{}n b 为等比数列，利用等比数列的通项即可求出数列{}n b 的通项公式；(2)结合（1）可得：11(31)()2n n n a b n -+=-+，利用分组求和的方法即可求解.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为315S =，1516a a +=，则1113315416a d a a d +=⎧⎨++=⎩，解得：123a d =⎧⎨=⎩，所以23(1)31n a n n =+-=-.又因为11b =，()*11N 2n n b b n +=∈，所以数列{}n b 是以1为首项，以12为公比的等比数列，则11111(()22n n n b --=⨯=，故数列{n a }，{n b }的通项公式分别为：23(1)31n a n n =+-=-，11111((22n n n b --=⨯=.（2）由（1）可知：11(31)(2n n n a b n -+=-+，所以112233n n nT a b a b a b a b =++++++++ 123123()()n n a a a a b b b b =+++++++++ 11[1()](231)21212n n n ⨯-+-=+-12312222n n n -⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭18．已知圆C 的圆心在x 轴上，且经过坐标原点O 和点A (3．(1)求圆C 的标准方程；(2)求过点P (4，4)与圆C 相切的直线方程．【正确答案】(1)22(2)4x y -+=；(2)3440x y -+=或4x =．【分析】（1）设圆心坐标为(,0)a ，由圆心到圆上两点距离相等求得a ，然后得半径，从而得圆标准方程；（2）切线斜率存在时，设方程为4(4)y k x -=-，由圆心到切线距离等于半径求得k ，再说明斜率不存在时直线也是切线．【详解】（1）设圆心C 坐标为(,0)a ，由a =2a =，∴圆半径为2r OC ==，圆方程为22(2)4x y -+=；（2）易知直线4x =与圆C 相切，当切线斜率存在时设方程为4(4)y k x -=-，即440kx y k --+=，2=，解得34k =，切线方程为34(4)4y x -=-，即3440x y -+=，综上切线方程为3440x y -+=或4x =．19．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB AC ===，D 、E 、F 分别是棱11A B 、1CC 、BC 的中点．(1)求证：DF //平面11A ACC ；(2)若11AE A B ⊥，求平面DEF 与平面ABC 的夹角的余弦值．【正确答案】(1)证明见解析；【分析】（1）取AC 中点M ,连接1,FM A M ，证明DF ∥1A M ，即可证明DF ∥平面11A ACC （2）利用空间向量法分别将平面DEF 与平面ABC 的法向量表示出来，再求出夹角的余弦值【详解】（1）取AC 中点M ,连接1,FM A M ，1A D AB ∥，且112A D AB =，又FM AB ∥，12FM AB =11,A D FM A D FM ∴=∥，∴四边形是1A DFM 平行四边形，1DF A M ∴∥,又DF ⊄平面111,A ACC A M ⊂平面11A ACC ，所以DF ∥平面11A ACC .（2）因为11AE A B ⊥，11//A B AB 所以AE AB⊥又因为直三棱柱111ABC A B C -中，1AA AB ⊥且1AA AE A ⋂=，1,AA AE ⊂平面11A ACC 所以AB ⊥平面11A ACC 又AC ⊂平面11A ACC 所以AB AC⊥所以AB 、AC 、1AA 两两垂直故以A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系由题知，12AA AB AC ===所以()0,0,0A ，()0,2,1E ，()1,1,0F ，()10,0,2A ，()12,0,2B ，()1,0,2D 设平面DEF 的法向量为(),,n x y z = ，()1,2,1DE =--，()0,1,2DF =- 则00n FE n DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，2020x y z y z -+-=⎧⎨-=⎩取2y =，得()3,2,1n =，平面ABC 的一个法向量()0,0,1m =，cos ,14m n m n m n⋅<>==所以平面DEF 与平面ABC的夹角的余弦值为1420．设数列{n a }的前n 项和为n S ，已知11a =，22a =，且*2+1+3+3(N )n n n a S S n +=∈．(1)求证：23n n a a +=；(2)求2n S ．【正确答案】(1)证明过程见详解(2)123322n n S +=-【分析】（1）当,2n n ∈≥*N 时，由题可得*2+1+3+3(N )n n n a S S n +=∈，11++3(N*)3n n n a S S n +-=∈，两式子相减可得2113n n n n a a a a +++-=-，即23,(2)n n a a n +=≥，然后验证当1n =时，命题成立即可；（2）通过求解数列{}n a 的奇数项与偶数项的和即可得到其对应前2n 项和的通项公式.【详解】（1））由条件，对任意*n ∈N ，有2133n n n a S S ++=-+*()N n ∈，因而对任意*,2n N n ∈≥，有1133n n n a S S +-=-+*()N n ∈，两式相减，得2113n n n n a a a a +++-=-，即23,(2)n n a a n +=≥，又121,2a a ==，所以3121121333()33a S S a a a a =-+=-++=，故对一切*n ∈N ，23n n a a +=．（2）由（1）知，0n a ≠，所以23n na a +=，于是数列21{}n a -是首项11a =，公比为3的等比数列，数列2{}n a 是首项12a =，公比为3的等比数列，所以112123,23n n n n a a ---==⨯，于是21221321242()()n n n n S a a a a a a a a a -=+++=+++++++ 1113(31)(133)2(133)3(133)2n n n n ----=+++⨯++=⨯++= ．所以123(31)33222n n n S +=-=-.21．如图，在矩形ABCD 中，AB =2，BC =1，E 为AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 折起到1A DE △(1A ∉平面ABCD )的位置．(1)判断当△ADE 折起到什么位置时，四棱锥1A BCDE -的体积最大(无需证明)，并求出这个最大体积；(2)若1AC =，点M 在线段A 1C 上，当直线BM 与平面DEC 所成角的正弦值为10时，试判断点M 的位置．【正确答案】(1)平面1A DE ⊥平面BCDE 时，四棱锥1A BCDE -的体积最大，最大体积为4；(2)M 为1AC 中点．【分析】（1）利用1A 点到直线DE 的距离是定值，得出平面1A DE ⊥平面BCDE 时体积最大，再由体积公式计算；（2）取DE 中点O ，建立如图所示的空间直角坐标系，设11A M C A λ=，(01)λ<<，由空间向量法求线面角，从而得参数值，确定出点M 位置．【详解】（1）取DE 中点O ．连接1AO ，则1AO DE ⊥，折叠过程中1AO 始终与DE 垂直，因此当1A O ⊥平面BCDE 时，1A 点到平面BCDE 的距离最大为1AO ，由1AO ⊂平面1A DE ，得平面1A DE ⊥平面BCDE ，由已知12A O =，21321122BCDE ABCD AED S S S =-=⨯-⨯=!，1111333224A BCDE BCDE V S A O -=⋅=⨯⨯=；（2）由已知ED CE ==222DE CE CD +=，DE CE ⊥，又CE =2OE =，∴2OC =，1AC =，所以22211A C A O OC =+，1A O OC ⊥，又1A O DE ⊥，DE OC O = ，,DE OC ⊂平面BCDE ，∴1A O ⊥平面BCDE ，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，其中//CE x 轴．12)2A ，,0)2C ，1)22A C =- ，设x 轴与CD 交于点N ，则N 为CD 中点，连接BN ，BN 交OC 于点P ，由DN 与BE 平行且相等得DEBN 是平行四边形，所以//BN DE ，于是P 为CE中点，2NP OE ==，122BP CE ==，因此BN BP PN =+=所以(2B，1(BA = ，设11,,)A M A C λ== ，(01)λ<<，则11,)2222BM BA A M λ=+=--++ ，平面DEC 的一个法向量是(0,0,1)n =，因为直线BM 与平面DEC所成角的正弦值为10，所以cos ,n BM n BM n BM⋅==，解得12λ=（2λ=舍去），所以M 是1AC中点．22．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为()3,0F，点(P 在双曲线C 上．(1)求双曲线C 的标准方程；(2)设A 、B 分别为双曲线C 的左、右顶点，若过点F 的直线l 交双曲线C 的右支于M 、N 两点，设直线AM 、BN 的斜率分别为1k 、2k ，是否存在实数λ使得12k k λ=？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【正确答案】(1)22145x y -=(2)存在，15λ=-，理由见解析【分析】（1）由条件列方程组解得参数即可；（2）设直线为3x my =+，联立双曲线方程消x ，结合韦达定理可表示出12k k ，再由M N y y 与M N y y +的关系消元，从而得出12k k 的定值比值.【详解】（1）由题意得，2222222341a b ab ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得2245a b ⎧=⎨=⎩，故双曲线C 的标准方程为22145x y -=；（2）直线l 交双曲线C 的右支于M 、N 两点，故斜率不为0，设为3x my =+，联立双曲线方程化简得()225430250m y my -++=，()()()222304255440010m m m D =-创-=+>，则223025,5454M N M Nm y y y y m m +=-=--，直线l 与右支交于两点，则225054M N y y m =<-，则55m 骣琪Î-琪桫，()2,0A -，()2,0B ，12,022N MM N y y k k x x ==¹+-，()()()()122122552MM N M N M N MM N N M N M M N N N y y x y my my y y k x y k y x y my my y y x -+++====+++-，∵65M N M N y y m y y +=-，∴()56M N M N my y y y =-+，∴()()125151666552555666M N M M N M N NM N y y y y y k k y y y y y -++-===--++-+，∴存在15λ=-使得12k k λ=（1）直线与圆锥曲线的定值问题，一般是借助韦达定理将内容表示出来，再根据式子的特征进一步化简求值.（2）本题直线设成3x my =+的形式，方便处理直线斜率不为0的情形（包括斜率不存在），也方便表示12k k .。

广东省高二下学期开学数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2020高一上·衡阳期中) 已知命题，则是（）A .B .C .D .2. （2分）在样本的频率分布直方图中,共有11个小长方形,若中间一个小长立形的面积等于其他10个小长方形的面积的和的,且样本容量为160,则中间一组有频数为（）A . 32B . 0.2C . 40D . 0.253. （2分） (2016高二上·安徽期中) 给出以下四个命题，①如果平面α，β，γ满足α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，则l⊥γ②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α③已知a，b是异面直线，α，β为两个平面，若a⊂α，a∥β，b⊂β，b∥α，则α∥β④一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线其中正确命题的个数是（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个4. （2分） (2017高二·卢龙期末) 设曲线y=sinx上任一点（x，y）处切线斜率为g（x），则函数y=x2g（x）的部分图象可以为（）A .B .C .D .5. （2分） (2018高二上·霍邱期中) 两条平行直线与之间的距离是（）A .B .C . 2D . 16. （2分）若函数f（x）=x2+x+alnx在（1，3）内有极值，则实数a的取值范围是（）A . （﹣7，﹣3）B . [﹣21，﹣3]C . [﹣7，﹣3]D . （﹣21，﹣3）7. （2分）(2017·自贡模拟) 若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N=n（bmodm），例如10=2（bmod4）．如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．执行该程序框图，则输出的n等于（）A . 20B . 21C . 22D . 238. （2分） (2018高二上·齐齐哈尔月考) 矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分内的黄豆数为204颗，以此实验数据为依据可以估计出阴影部分的面积约为（）A . 16B . 16.32C . 16.34D . 15.969. （2分） (2015高二上·济宁期末) 已知双曲线（a＞0，b＞0）的一个焦点为F1（0，﹣c）（c＞0），离心率为e，过F1平行于双曲线渐近线的直线与圆x2+y2=c2交于另一点P，且点P在抛物线x2=4cy上，则e2=（）A .B .C .D .10. （2分） (2018高三上·湖北期中) 下列四个结论：命题“ ，”的否定是“ ，”；若是真命题，则可能是真命题；“ 且”是“ ”的充要条件；，都有．其中正确的是A .B .C .D .11. （2分）(2020·辽宁模拟) 点到抛物线的准线的距离为6，则该抛物线的方程是（）A .B .C . 或D . 或12. （2分） (2015高三上·巴彦期中) 已知函数f（x）= ，函数g（x）=b﹣f（2﹣x），其中b∈R，若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（）A . （，+∞）B . （﹣∞，）C . （0，）D . （，2）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2016·新课标Ⅲ卷文) 已知f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）=e﹣x﹣1﹣x，则曲线y=f（x）在点（1，2）处的切线方程是________．14. （1分） (2020高三上·厦门月考) 若x，y满足约束条件，则的最大值是________．15. （1分） (2017高三下·河北开学考) 某校共有高一、高二、高三学生共有1290人，其中高一480人，高二比高三多30人．为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数为________．16. （1分） (2016高二上·江阴期中) 过点M（1，﹣2）的直线l将圆C：（x﹣2）2+y2=9分成两段弧，当其中的劣弧最短时，直线l的方程是________．三、解答题 (共6题；共65分)17. （5分） (2017高三上·长沙开学考) 已知函数f（x）= ﹣1（b∈R，e为自然对数的底数）在点（0，f（0））处的切线经过点（2，﹣2）．（Ⅰ）讨论函数F（x）=f（x）+ax（a∈R）的单调性；（Ⅱ）若∀x∈R，不等式exf（x）≤c（x﹣1）+1恒成立，求实数c的取值范围．18. （15分） (2019高二下·周口期末) 某公司的广告费支出x与销售额y(单位：万元)之间有下列对应数据回归方程为＝ x＋，其中，（1）画出散点图，并判断广告费与销售额是否具有相关关系；（2）根据表中提供的数据，求出y与x的回归方程＝ x＋；（3）预测销售额为115万元时，大约需要多少万元广告费．19. （10分） (2016高二上·杭州期末) 如图，在三棱锥P﹣ABC中，BC⊥平面APC，AB=2 ，AP=PC=CB=2．（1）求证：AP⊥平面PBC；（2）求二面角P﹣AB﹣C的大小．20. （15分） (2016高一下·和平期末) 雾霾天气是一种大气污染状态，PM2.5被认为是造成雾霾天气的“元凶”，PM2.5日均值越小，空气质量越好．国家环境标准设定的PM2.5日均值（微克/立方米）与空气质量等级对应关系如表：PM2.5日均值0﹣﹣3535﹣﹣7575﹣﹣115115﹣﹣150150﹣﹣250250以上（微克/立方米）空气质量等级1级优2级良3级轻度污染4级中度污染5级重度污染6级严重污染由某市城市环境监测网获得4月份某5天甲、乙两城市的空气质量指数数据，用茎叶图表示，如图所示．（1）试根据统计数据，分别写出两城区的PM2.5日均值的中位数，并从中位数角度判断哪个城区的空气质量较好？（2）考虑用频率估计概率的方法，试根据统计数据，估计甲城区某一天空气质量等级为3（3）分别从甲、乙两个城区的统计数据中任取一个，试求这两城区空气质量等级相同的概率．21. （10分） (2016高三上·韶关期中) 已知函数f（x）=2lnx﹣ax+a（a∈R）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）≤0恒成立，证明：当0＜x1＜x2时，．22. （10分）(2020·厦门模拟) 在平面直角坐标系中，圆，点，过的直线与圆交于点，过做直线平行交于点．（1）求点的轨迹的方程；（2）过的直线与交于、两点，若线段的中点为，且，求四边形面积的最大值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共65分)答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、答案：18-3、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、答案：20-3、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：。

广东省广州市高二下学期开学数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）下列命题正确的是（）A .B .C . x>1是x2>1的充分不必要条件D . 若a>b，则a2>b22. （2分）下列命题是真命题的为（）A . 若,则B . 若,则C . 若,则D . 若,则3. （2分）不等式的解集是（）A . ，B . ，C .D .4. （2分）若，且构成等比数列，则（）A . 有最小值4B . 有最小值4C . 无最小值D . 有最小值25. （2分） (2017高一下·荔湾期末) 不等式x2﹣3x﹣10＞0的解集是（）A . {x|﹣2≤x≤5}B . {x|x≥5或x≤﹣2}C . {x|﹣2＜x＜5}D . {x|x＞5或x＜﹣2}6. （2分） (2019高一下·上海月考) 若，且，那么是（）A . 直角三角形B . 等边三角形C . 等腰三角形D . 等腰直角三角形7. （2分）(2017·青浦模拟) 已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意实数对（x1 ， y1）∈M，存在（x2 ， y2）∈M，使x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M={（x，y）|y= }；②M={（x，y）|y=log2x}；③M={（x，y）|y=2x﹣2}；④M={（x，y）|y=sinx+1}．其中是“垂直对点集”的序号是（）A . ①②③B . ①②④C . ①③④D . ②③④8. （2分）函数y=loga（x+3）﹣1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中m，n均大于0，则的最小值为（）A . 2B . 4C . 8D . 169. （2分） (2018高一下·金华期末) 设实数，满足约束条件，则的取值范围是（）A .B .C .D .10. （2分）已知焦点在y轴的椭圆的离心率为，则m= （）A . 3或B . 3C .D .二、填空题 (共5题；共6分)11. （1分） (2016高三上·浦东期中) 不等式的解集是________．12. （1分）(2017·绵阳模拟) 若实数x、y满足，则x+2y的最小值是________．13. （1分）已知双曲线的右焦点为，则该双曲线的渐近线方程为________.14. （2分） (2015高二下·伊宁期中) 已知双曲线中心在原点，一个焦点为F1（﹣，0），点P在双曲线上，且线段PF1的中点坐标为（0，2），则此双曲线的方程是________，离心率是________．15. （1分） (2016高一下·新疆期中) 已知x＞0，函数y= +x的最小值是________．三、解答题 (共6题；共55分)16. （5分） (2020高一下·红桥期中) 在中，内角所对的边分别为．已知．（Ⅰ）求b和的值；（Ⅱ）求的值．17. （10分） (2016高二上·徐州期中) 命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0（其中a＞0），命题q：实数x 满足（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18. （10分） (2019高二上·集宁期中) 已知：在等差数列{an}中，a1= 2，a1+a2+a3= 12．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn=an·3n ，求数列{bn}的前n项之和为Sn ．19. （10分）(2017·腾冲模拟) 已知数列{an}的前n项和为Sn ， a1= ，Sn=n2an﹣n（n﹣1），n=1，2，…（1）证明：数列{ Sn}是等差数列，并求Sn；（2）设bn= ，求证：b1+b2+…+bn＜．20. （15分） (2016高三上·宝安模拟) 已知椭圆M：：（a＞0）的一个焦点为F（﹣1，0），左右顶点分别为A，B．经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点．（1）求椭圆方程；（2）当直线l的倾斜角为45°时，求线段CD的长；（3）记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2 ，求|S1﹣S2|的最大值．21. （5分）已知椭圆Γ： =1（a＞b＞0）的右焦点为（2 ，0），且椭圆Γ上一点M到其两焦点F1 ， F2的距离之和为4 ．（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；（Ⅱ）设直线l：y=x+m（m∈R）与椭圆Γ交于不同两点A，B，且|AB|=3 ．若点P（x0 ， 2）满足||=| |，求x0的值．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共5题；共6分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共6题；共55分) 16-1、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、。

广东省2021年高二下学期开学数学试卷（理科）C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高一下·邢台月考) 锐角三角形的内角，，的对边分别为，，，已知，，则周长的最大值为（）A .B .C . 3D . 42. （2分）(2018·株洲模拟) 已知等差数列的公差为2，若成等比数列，是的前项和，则等于（）A . -8B . -6C . 0D . 103. （2分） (2015高二下·赣州期中) 已知数列{an}是等比数列，且a2013+a2015= dx，则a2014（a2012+2a2014+a2016）的值为（）A . π2B . 2πC . πD . 4π24. （2分） (2018高二上·汕头期末) 知数列满足，，则的前10项和等于（）A .B .C .D .5. （2分） (2016高二上·晋江期中) 若＜＜0，则下列不等式①a+b＜ab；②|a|＞|b|；③a＜b；④ + ＞2中，正确的不等式有（）A . 0个B . 1个C . 2个D . 3个6. （2分）实数x、y满足若目标函数取得最大值4，则实数a的值为（）A . -2B . 2C . 1D . -17. （2分）设向量的模为，则cos2a=（）A .B .C .D .8. （2分） (2015高二上·蚌埠期末) 若直线l的方向向量为 =（1，1，2），平面α的法向量为 =（﹣3，3，﹣6），则（）A . l∥αB . l⊥αC . l⊂αD . l与α与斜交9. （2分）(2014·大纲卷理) 若向量、满足：| |=1，（ + ）⊥ ，（2 + ）⊥ ，则| |=（）A . 2B . BC . 1D .10. （2分） (2016高二上·辽宁期中) 已知抛物线C：y2=4x上一点A到焦点F的距离与其到对称轴的距离之比为5：4，且|AF|＞2，则A点到原点的距离为（）A . 3B .C . 4D .11. （2分）(2017·陆川模拟) 已知正△ABC的顶点A在平面α上，顶点B，C在平面α的同一侧，D为BC 的中点，若△ABC在平面α上的射影是以A为直角顶点的三角形，则直线AD与平面α所成角的正弦值的范围是（）A .B .C .D .12. （2分） (2017高二上·右玉期末) 椭圆 =1与双曲线 =1有相同的焦点，则实数a的值是（）A .B . 1或﹣2C . 1或D . 1二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分）已知tanα=2，则=________14. （2分）(2017·荆州模拟) “斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现．数列中的一系列数字常被人们称之为神奇数．具体数列为：1，1，2，3，5，8…，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和．已知数列{an}为“斐波那契”数列，Sn为数列{an}的前n项和，则（Ⅰ）S7=________；（Ⅱ）若a2017=m，则S2015=________．（用m表示）15. （1分） (2015高二上·湛江期末) 已知F1、F2分别为双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点P使得 =8a，则双曲线的离心率的取值范围是________．16. （1分） (2018高二上·杭州期中) 异面直线成角，直线，则直线所成角的范围是________三、解答题 (共4题；共25分)17. （5分） (2017高一下·西城期末) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2，．（Ⅰ）如果b=3，求c的值；（Ⅱ）如果，求sinB的值．18. （10分） (2017高二下·河南期中) 已知正项数列{an}的前n项和为Sn ，若{an}和都是等差数列，且公差相等．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn= ，cn=bn•bn+1 ，求数列{cn}的前n项和Tn ．19. （5分）如图，四边形ABCD与A′ABB′都是边长为a的正方形，点E是A′A的中点，AA′⊥平面ABCD（1）求证：A′C∥平面BDE；（2）求证：平面A′AC⊥平面BDE．20. （5分） (2018高二上·吉林期中) 已知椭圆，过点，的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）斜率大于零的直线过与椭圆交于E ， F两点，若，求直线EF的方程．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共5分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共4题；共25分)答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：。

广东高二高中数学开学考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.圆x2+y2﹣6x+4y+12=0与圆（x﹣7）2+（y﹣1）2=36的位置关系是（）A．外切B．相交C．内切D．外离2.盒中共有形状大小完全相同的5个球，其中有2个红球和3个白球．若从中随机取2个球，则概率为的事件是（）A．都不是红球B．恰有1个红球C．至少有1个红球D．至多有1个红球3.已知函数f（x）的图象是连续不间断的，且有如下的x，f（x）对应值表：A．2个 B．3个 C．至少3个 D．至多2个4.已知k=﹣6，则函数y=cos2x+kcosx+6的最小值是（）A．1B．﹣1C．-11D．135.设α角属于第二象限，且|cos|=﹣cos，则角属于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6.若正棱锥底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是（）A．三棱锥B．四棱锥C．五棱锥D．六棱锥7.某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x﹣y|的值为（）A．1B．2C．3D．48.如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于（）A．B．C．D．9.在△ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，=，则λ=（）A．B．C．﹣D．﹣10.张先生知道清晨从甲地到乙地有好、中、差三个班次的客车．但不知道具体谁先谁后．他打算：第一辆看后一定不坐，若第二辆比第一辆舒服，则乘第二辆；否则坐第三辆．问张先生坐到好车的概率和坐到差车的概率分别是（）A．、B．、C．、D．、11.已知向量=（sinα，cos2α），=（1﹣2sinα，﹣1），α∈（，），若=﹣，的值为（）A．B．C．D．12.曲线x2+y2﹣6x=0（y＞0）与直线y=k（x+2）有公共点,则k的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题1.函数y=3sin（﹣2x）的单调增区间是．2.等边△ABC的边长为1，记=， =，=，则•﹣﹣•等于．3.如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是．4.已知圆C：（x﹣2）2+（y+m﹣4）2=1，当m变化时，圆C上的点与原点的最短距离是．三、解答题≤1}，B={x|x2﹣2x+1﹣k2≥0}．1.已知集合A={x|log2（1）求集合A；（2）若A∩B≠∅，求实数k的取值范围．2.已知向量与互相垂直，其中．（1）求sinθ和cosθ的值；（2）若，求cosφ的值．3.某校高一（2）班共有60名同学参加期末考试，现将其数学学科成绩（均为整数）分成六个分数段[40，50），[50，60），…，[90，100]，画出如如图所示的部分频率分布直方图，请观察图形信息，回答下列问题： （1）求70～80分数段的学生人数；（2）估计这次考试中该学科的优分率（80分及以上为优分）、中位数、平均值；（3）现根据本次考试分数分成下列六段（从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第六组）为提高本班数学整体成绩，决定组与组之间进行帮扶学习．若选出的两组分数之差大于30分（以分数段为依据，不以具体学生分数为依据），则称这两组为“最佳组合”，试求选出的两组为“最佳组合”的概率．4.如图，已知长方形ABCD 中，AB=2，AD=1，M 为DC 的中点．将△ADM 沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM ，E 为BD 的中点．（1）求证：BM ⊥平面ADM ；（2）求直线AE 与平面ADM 所成角的正弦值．5.如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A （0，3），直线l ：y=2x ﹣4．设圆C 的半径为1，圆心在l上．（1）若圆心C 也在直线y=x ﹣1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； （2）若圆C 上存在点M ，使MA=2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．6.已知函数f （x ）=，g （x ）=f （x ）﹣a（1）当a=2时，求函数g （x ）的零点；（2）若函数g （x ）有四个零点，求a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，记g （x ）得四个零点分别为x 1，x 2，x 3，x 4，求x 1+x 2+x 3+x 4的取值范围．广东高二高中数学开学考试答案及解析一、选择题1.圆x 2+y 2﹣6x+4y+12=0与圆（x ﹣7）2+（y ﹣1）2=36的位置关系是（ ）A．外切B．相交C．内切D．外离【答案】C【解析】此题主要考查圆与圆的位置关系，首先计算出两圆的圆心距为5等于两半径之差5，所以两圆内切，故选C【考点】圆与圆的位置关系2.盒中共有形状大小完全相同的5个球，其中有2个红球和3个白球．若从中随机取2个球，则概率为的事件是（）A．都不是红球B．恰有1个红球C．至少有1个红球D．至多有1个红球【答案】B【解析】由题意可得，从中随机取2个球，基本事件总数n=10,分别求出都不是红球的概率，恰好有1个红球的概率，至少有1个红球的概率，至多有1个红球的概率，由此能求出概率为的事件是恰有1个红球故选B【考点】古典概型及其概率计算3.已知函数f（x）的图象是连续不间断的，且有如下的x，f（x）对应值表：x123456A．2个 B．3个 C．至少3个 D．至多2个【答案】C【解析】由表格可得，，同理可得，，又因为只是连续函数并非单调函数，所以在定义域至少有3个零点，故选C【考点】函数与方程，零点问题；4.已知k=﹣6，则函数y=cos2x+kcosx+6的最小值是（）A．1B．﹣1C．-11D．13【答案】A【解析】由题意得，将k=-6代入函数中，则y=cos2x-6cosx+6，利用二倍角公式对函数进行化简得,t=x,t,，故选A【考点】二倍角公式化简及换元法，二次函数求最值；5.设α角属于第二象限，且|cos|=﹣cos，则角属于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】由题意得，是第二象限的角，可知在第一象限或者第三象限，再由|cos|=﹣cos，知cos<0,故在第三象限，故选C【考点】角所在象限的判断6.若正棱锥底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是（）A．三棱锥B．四棱锥C．五棱锥D．六棱锥【答案】D【解析】若正六棱锥底面边长与侧棱长相等，正六棱锥侧面构成正三角形，侧面的六个顶角都为60度，六个顶角之和为360度，这是不可能的，故不能是六棱锥，选D【考点】棱锥的结构特征7.某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x﹣y|的值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】由题意可知这组数据的平均数为10，方差为2可得到关于x,y的一个方程组，解这个方程组需要用一些技巧，因此最好不要直接求出x,y，用换元法来解出结果，选D【考点】统计学中的数字特征运算；平均数和方差的运算公式的应用；8.如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意可知，把三个向量看作是基向量，由图形根据向量的线性运算，将用这三个基向量表示出来即可得出答案，选B【考点】向量的加减混合运算及其意义；9.在△ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，=，则λ=（）A．B．C．﹣D．﹣【答案】A【解析】可作出图形，由条件=2及向量加法和减法的几何意义，以及向量的数乘运算便可以得到，这样根据平面向量基本定理即可得到λ的值，选A【考点】向量的三角形法则和向量共线定理；10.张先生知道清晨从甲地到乙地有好、中、差三个班次的客车．但不知道具体谁先谁后．他打算：第一辆看后一定不坐，若第二辆比第一辆舒服，则乘第二辆；否则坐第三辆．问张先生坐到好车的概率和坐到差车的概率分别是（）A．、B．、C．、D．、【答案】C【解析】由题意得，张先生乘车可分为6种情况，差，中，好他没乘上好车；差，中，好他乘上好车；中，差，好他乘上好车；中，好，差他乘上好车；好，差，中他没乘上好车；好，中，差他没乘上好车；代入古典概型公式计算，即可得到答案，选C【考点】古典概型求等可能事件的概率；11.已知向量=（sinα，cos2α），=（1﹣2sinα，﹣1），α∈（，），若=﹣，的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意得，通过=﹣得到关于的三角函数方程，求出，然后结合α∈（，）求出，利用两角差的正切公式求解即可得到答案，选C【考点】1.数量积的坐标运算；2.二倍角公式的运用；3三角函数的基本关系式12.曲线x2+y2﹣6x=0（y＞0）与直线y=k（x+2）有公共点,则k的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意得，曲线x2+y2﹣6x=0（y＞0）是圆心为（3，0），半径为3的半圆，它与直线y=k（x+2）有公共点成立的条件就是圆心（3，0）到直线y=k（x+2）的距离，且，即可得到答案，选C【考点】1.直线与圆的位置关系的应用；2.点到直线的距离公式的灵活运用；二、填空题1.函数y=3sin（﹣2x）的单调增区间是．【答案】[kπ+，kπ+]（k∈Z）【解析】:由y=3sin（﹣2x）=-3sin（2x-），要求y=3sin（﹣2x）就是求y=3sin（﹣2x）的递增区间就是求y=-3sin（2x-）的递减区间，由正弦函数的单调减区间可得到答案【考点】正弦函数的单调区间2.等边△ABC的边长为1，记=， =，=，则•﹣﹣•等于．【答案】【解析】:由题意可得，，故•﹣﹣•=【考点】平面向量数量积的运算3.如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是．【答案】9【解析】:由题意可得，a是在不断变大的，b是在不断变小，当程序运行两次时，a=9,b=5，a>b,跳出程序，输出a="9;"【考点】算法的流程图的计算4.已知圆C：（x﹣2）2+（y+m﹣4）2=1，当m变化时，圆C上的点与原点的最短距离是．【答案】1【解析】:由题意可得，圆C圆心为（2，4-m），半径为1的圆，圆C上的点与原点的最短距离是圆心与原点连线的距离减去半径1，即d=求最小值，当m=4时，d最小，【考点】圆外一点到圆上一点距离最短问题；三、解答题1.已知集合A={x|log2≤1}，B={x|x2﹣2x+1﹣k2≥0}．（1）求集合A；（2）若A∩B≠∅，求实数k的取值范围．【答案】（1） A={x|x＜﹣4或x≥2};（2）﹣1≤k≤1【解析】（1）利用集合A中，log2≤1=log22再利用对数函数的单调性得到0＜≤2，解此不等式组可求解；（2）由题意得，A∩B≠∅得到x2﹣2x+1﹣k2≥0在x∈（﹣∞，﹣4）∪[2，+∞）上有解,参变分离可求出实数k的取值范围；试题解析：（1）由A中不等式变形得：log2≤1=log22，即0＜≤2，解得： x＞﹣1或x＜﹣4且x≤﹣1或x≥2，∴不等式的解集为x＜﹣4或x≥2，则A={x|x＜﹣4或x≥2}；（2）依题意A∩B≠∅，得到x2﹣2x+1﹣k2≥0在x∈（﹣∞，﹣4）∪[2，+∞）上有解，∴k2≤x2﹣2x+1在x∈（﹣∞，﹣4）∪[2，+∞）上有解，∴k2≤1，解得：﹣1≤k≤1．【考点】1.对数函数的定义域；2.一元二次不等式的求解；3.集合间的交并运算2.已知向量与互相垂直，其中．（1）求sinθ和cosθ的值；（2）若，求cosφ的值．【答案】（1）;（2）【解析】（1）由与互相垂直得到，即可得出sinθ=2cosθ，代入sin2θ+cos2θ=1综合考虑可求出sinθ和cosθ的值；（2）由题意得，通过（1）（2）中已知条件可求出cos（θ﹣φ）的值，进而对cosφ=cos[θ﹣（θ﹣φ）]=cosθcos（θ﹣φ）+sinθsin（θ﹣φ）变形可求解；试题解析：（1）∵与互相垂直，则，即sinθ=2cosθ，代入sin2θ+cos2θ=1得，又，∴（2）∵0＜φ＜，，∴﹣＜θ﹣φ＜，则cos（θ﹣φ）==，∴cosφ=cos[θ﹣（θ﹣φ）]=cosθcos（θ﹣φ）+sinθsin（θ﹣φ）=【考点】1.向量的数量积的运算；2.三角函数的基本关系式的运用；3.某校高一（2）班共有60名同学参加期末考试，现将其数学学科成绩（均为整数）分成六个分数段[40，50），[50，60），…，[90，100]，画出如如图所示的部分频率分布直方图，请观察图形信息，回答下列问题：（1）求70～80分数段的学生人数；（2）估计这次考试中该学科的优分率（80分及以上为优分）、中位数、平均值；（3）现根据本次考试分数分成下列六段（从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第六组）为提高本班数学整体成绩，决定组与组之间进行帮扶学习．若选出的两组分数之差大于30分（以分数段为依据，不以具体学生分数为依据），则称这两组为“最佳组合”，试求选出的两组为“最佳组合”的概率．【答案】（1）18（人）；（2）优分率为30%，中位数为75分，平均值为71分；（3）【解析】（1）通过频率分布直方图，可算出70～80分数段的频率，乘以60即可算出来；（2）根据可求得成绩在80分及以上的学生人数，以此人数处以总数即为所求优分率，中位数是平分频率分布直方图面积数，平均数为各组中点数乘以这组的频率之各；（3）将这6组两两一组的所有组合一一列举，再将两组分数之差大于30分的所有组合一一列举，根据古典概型公式可求得所求概率。