高中数学专题---三点共线问题

一、解法一：延长AM 、AN 分别交1O 于D 、E 两点。

∠BAM=∠CAN∴ BD= C E ∴DE//BCA M N ∴ 相似于AD EA M N ∴ 与AD E 关于点A 位似 ∴A 、1O 、2O 三点共线。

解法二：1BAO ∠=90︒-121AO B ∠=90︒-∠C同理2M AO ∠=90︒-∠ANM ∴2BAO ∠=2M AO ∠+∠BAM=90︒-∠ANM+∠BAM=90︒- (∠ANM -∠CAN)=90︒-∠C ∴1BAO ∠=2BAO ∠∴A 、1O 、2O 三点共线解法三：作AL ⊥BC 与L 点1BAO ∠=∠LAC ，同理2M AO ∠=∠LAN又∠BAM=∠CAN∴2BAO ∠=∠BAM+2M AO ∠=∠CAN+∠LAN=∠LAC=1BAO ∠ ∴A 、1O 、2O 三点共线BCABABA二、（1）解：a A ∈ ,设2k a = ()k N +∈反证之. 若(1)b b +是2a 倍数，则有： 2(1)a b b +.(),11b b += 2a b ∴或21a b + ∴2a b ≤或21a b ≤+ 而21b a <-b ∴和1b +均小于2a ，矛盾！ ∴(1)b b +一定不是2a 倍数. （2）解法一：a A ∈，1a ≠ ，设2l a q = (q 为奇数, 1q > ，l N ∈) 122l a q +∴=. 下证：存在M ,满足1(mod )M q ≡,10(mod 2)l M +≡. 因为(,2)1q =,所以，由欧拉定理得：()2q ϕ1(mod )q ≡，（其中()q ϕ表示不大于q 与q 互素的正整数个数.）取(1)()2l q M ϕ+=， 则()1(2)1(m od )q l M q ϕ+=≡，10(mod 2)l M +≡满足条件.存在s 、t N ∈，使得2M as t =+，且021t a ≤≤-，又1(mod )M q ≡ 0t ∴≠.而2M ，22as t ∴为偶数，1t ≠ 221t a ∴≤≤-.取1b t =- 则21b a <-且b N +∈， 又()21a M b -+⎡⎤⎣⎦ ∴()21a M b --⎡⎤⎣⎦， 又12l M +，1q M -，122l a q +=， 12(1)l b +∴+，q b ，2(1)a b b ∴+. b N +∴∃∈，21b a <-使2(1)a b b +.解法二：a A ∈，1a ≠ ，设2l a q = (q 为奇数,l N ∈，3q ≥).下证明：若(),1x y =，已知1,2,3......x 构成了模x 的完系， 则,2,3......y y y xy 也构成了模x 的完系. 假设1i j x ∃≤≠≤ 使得(mod )iy jy x ≡， 则x i j y - 又(),1x y = x i j ∴-， 而11i j x ≤-≤- 与x i j -矛盾！ ∴,2,3......y y y x y 也构成了模x 的完系. 1,2,3.....q 构成模q 的完系， 111112,22,32......2l l l l q ++++∴⨯⨯⨯⨯也构成模q 的完系.1,i q i N +∴∃≤≤∈使得：()121mod l i q +⋅≡，显然i q ≠，否则()01m od q ≡矛盾！令11121(1)2122122121l l l b i q a a a +++=⋅-≤--=--≤--<-， 且11(1)(21)2l l b b i i +++=⋅-⋅， 则12(1)l b b ++ 又121(m od )l i q +⋅≡.121l q i +∴⋅-， (1)q b b ∴+. 1(2,)1l q += ， 2(1)a b b ∴+. 21,b a b N +∴∃<-∈使2(1)a b b +.解法三：a A ∈，1a ≠ ，设2la q = (q 为奇数,l N ∈，3q ≥).由()12,1l q += 由裴蜀定理知存在s 、t 使得 121l s tq +⋅+=.令(mod )s r q ≡ 其中01r q ≤≤- ，若0r = 则q s 12l q s tq +∴⋅+ ，∴1q 1q ∴=矛盾！ 0r ∴≠ 11r q ∴≤≤-.设s kq r =+，11r q ≤≤-，()111112()222l l l l s t q k q r t q r k t q++++∴=⋅+=++=⋅+⋅+， 1121(2)l l r k t q ++∴⋅-=-⋅+.令112121210l l b r ++=⋅-≥-≥->，则11121(1)2122122121l l l b r q a a a +++=⋅-≤--=--≤--<-，∴上述的b 满足条件. 11111(1)(21)(211)(2)(2)22(2)2l l l l ll b b r r k t q r aqq++++++⋅-⋅-+-⋅+⋅⋅∴==⋅⋅⋅1(2)l r k t +=-⋅+为整数. ∴一定存在21,b a b N +<-∈，满足(1)b b +是2a 的倍数.解法一: 证明：在n P P P ,,,21 中由抽屉原理知， 必存在),1(,,n j i P P j i ≤≠≤使得nP P P j i3600≤∠．由余弦定理得：220002020cos 2d P P P P P P P P P P P P P j i j i j i j i ≥=∠⋅⋅-+．.360cos2cos 2002020********nP P P P P P P P P P P P P P P P P P P dj i i j j i i j j i⋅⋅-+≤∠⋅⋅-+≤∴不妨设i j P P P P 00>，设()2000200360cos2i i j j j P P nP P P P P P P P f +⋅⋅-=，对称轴j i i i P P P P nP P nP P 0000360cos2360cos2<<=--=，有nP P P P nP P P P P P P P i i j i i j360cos22360cos 22020002020->⋅⋅-+，令i j P P P P 00=，⎪⎪⎭⎫⎝⎛->⇔>-∴n dP P dnP P P P i i i360cos 12360cos2222022020，下证：()19132200+>⇔+>n dP P n d P P i i ，只需证：()()().12912cos2cos 11292cos 121919360cos 1222+->⇔->+⇔⎪⎭⎫ ⎝⎛->+⇔+>⎪⎪⎭⎫⎝⎛-n nn n n n n dn dπππ当6≥n 时，32ππ≤n ，由x cos 在⎢⎣⎡⎥⎦⎤2,0π上为上凸函数，3cos 122323cos112x x nn n ππππ∴≥-+∴≥-⋅+=-+∴只需证：()()21293129113≥⇔+<⇔+->+-n n nn n，由6≥n 得，结论成立．∴当6n ≥时,可以找到0i P P >还剩下(1)n -条线段：010201010,......,......,i l n P P P P P P P P P P -+ , 再进行以上操作,直到剩下6条线段126000,,.......b b b P P P P P P ，任意两点间距离d ≥1266000b b b P P P P P P d⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥>⋅⋅⋅⋅,∴12601020000n b b b P P P P P P P P P P P P ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅>⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅2(1)!n >⋅⋅⋅⋅⋅+成立!当6n <时,有d << (6n <)01020)(1)!3nnn dP P P P P P d ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥>≥成立. 综上: 01020()3n n d P P P P P P ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅>解法二:（1）首先证明：194310sin >.343)(x x x f -=考虑 ，2123)(x x f -='∴ ，令0)(='x f ，21±=x 则.)(x f ∴在⎢⎣⎡-21，⎥⎦⎤21上单调递增. 而19194973)1943(419433)1943(23⨯⨯=⨯-⨯=f ，2130sin 10sin 410sin 3)10(sin 3==-=f .1943， 10sin ∈⎢⎣⎡-21，⎥⎦⎤21 且21191949732<⨯⨯(等价于)438976431649<， 194310sin >∴.（2）下证明：当18≥n 时，∃1i n ≤≤，使得03i P P >.假设对∀ )(1+∈≤≤N i n i ，03i P P ≤，以0P 为圆心，dn 31+为半径画Γ ，则所有(1)i P i n ≤≤都在圆Γ的内部或边界上，以i P 为圆心，2d为半径画i Γ )0(n i ≤≤，则对∀ n j i ≤≠≤0，i j ΓΓ 与至多有一个公共点 ()i j P P d ≥因为.又i P 在Γ 的内部或边界，则当i P 在Γ 边界上时，i ΓΓ 与的公共面积最大. 设i P 在Γ 边界上，i ΓΓ 与交于A B ，两点，则001cos sin 10cos 803380i i dP A P P A P ∠=≤=<=∴∠>∴118ii i Γ≤≤ΓΓ （），与的公共面积至少为πππ94228022dd=⨯⨯考虑181≤≤i 时，i ΓΓ 与的公共面积为πn d92，0=i 时，0ΓΓ 与的公共面积为2423d dd ⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭因为． ∴所有的i i n Γ≤≤Γ （1）与公共面积和为： ππ22223149d n dn d S ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+>+= ，矛盾！[i Γ与j Γ()180≤<≤j i 至多有一个公共点，有限个公共点的面积可视为0.]∴综上存在 n i ≤≤1使03i P P d>．（3）下利用归纳法证明原命题 当17,3,2,1 =n 时239(1)!nnn =≥≥=+，∴此时()!1302010+⎪⎭⎫ ⎝⎛=≥⋅n d dp p p p p p nnn ．当18≥n 时，假设对1-n 成立，考虑对()18≥n n ， 由（2）知存在n i ≤≤1，使得03i P P >，不妨设n i =．设d '为0P P P １ｎ-1，，中最小的距离，则d d ≥'． 由归纳假设()01001010n n n P P P P P P P P P P -=()!1331!31+⎪⎭⎫ ⎝⎛≥+⎪⎭⎫ ⎝⎛≥-n d d n n d nn ，命题对n 成立．综上对+∈∀N n ，有0103nn d P P P P ⎛⎫> ⎪⎝⎭四、证法一 证明：（1）令2k n = (2)k ≥, 则1111......23nSn=++++111111111()......(......)23421222k k k--=++++++++++1111111()......(......)244222kkk>++++++++12k =+∴对0x ∀>，均存在n N +∈使n S x >，即n 趋于无穷大时，n S 趋于无穷大． （2）01a b ≤<≤ ，∴存在正整数N ，使得：11N N b a≤<+-，即111b a N N<-≤+．令[]n S A =，由（1）中结论对2()j j N +∀≥∈存在一个最大的下标jm（jm 由j 唯一确定)，满足jm S A j a ≤++，则1jm S A j a +>++, ①又11111N N S S A A j aN +=+<++<+++，1jmN ∴≥+．而111()11jj m m j S S A j a A j a b a m N +=+<+++<+++-++A j b =++ ． ②由①、②得1j m A j a S A j b+++<<++ ，11(,)jj mm S S a b ++⎡⎤∴-∈⎣⎦（对2,j j N +∀≥∈成立）． 又11n n S S +<+ （对n N +∀∈），以及对jm 的定义得： 对kl∀≠，k l m m ≠．∴存在无穷多个n ，使得[]()(,)n n S S a b -∈． 证法二先证{}ln n 在[)0,1上稠密 （n 为正整数）其中{}ln n []ln ln n n =- 引理１：{}ln n 可以无限趋近于0 （正向趋近） 对于0ε∀> 存在t ，使得1t ε<现将[)0,1分成t 份为[)[)[)0,,,2......1,1t t t t - 由于存在m ，使得ln m 为无理数，设为α 考察{}n α-(1,2,3......1)n t =+由抽屉原理知必存在,i j ，使得{}{},i j αα--落入同一区间 不妨设i j <则{}()()0,j i t α--∈或()1,1t - （１）若{}()()1,1(1,1)j i t αε--∈-⊆-{}()()0,j i αε∴-∈得证！（２）{}()()0,j i t α--∈存在q 使得{}{}()1(1)()q j i q j i αα--<<+--考察{}()j i q α--，由{}()1q j i α--<{}()j i q α--{}()q j i α=--若{}()1q j i t α--≤-，则 {}(1)()11q j i t t α+--<-+< 而{}1(1)()q j i α<+-- 矛盾！{}()()1,1(1,1)j i q t αε--∈-⊆-{}()()0,j i q αε∴-∈ 成立引理２：由稠密定义知要证12,n n ∀ 存在无穷多i m 使{}ln i m 在{}1ln n 和{}2ln n 之中即可不妨设{}2ln n {}1ln n >设{}2ln t n ={}1ln n - 01t ∴<< 由引理１知存在{}1ln p 可以无限趋近于０ 从而可以找到{}10ln p t <<{}2ln n ∴{}1ln n >{}1ln p +{}1ln n > 这时{}1ln n {}1ln (0,1)p +∈ {}1ln n ∴{}{}{}11111l n l n l n l n p n p n p +=+= 取111m n p =即可接下来可以找到{}2ln p 使得： {}20l n p<{}1ln p < 同理取212m n p = 重复以上步骤 ∴存在无穷多i m ∴{}ln n 在[)0,1上稠密补充引理：{}ln y n =为单射 （n 为正整数） 反证，若不是则存在1t 、2t （1t 2t ≠） 使得：{}{}12ln ln t t a == 1212,k ak at e t e++∴== 12,k k N +∈1212k k t et -∴=左边为有理数，右边为无理数 矛盾！∴{}ln y n =为单射∴之前i m 取的无穷多个得以保证 设()1111......ln(1)ln(1)23n f n n S n n=++++-+=-+先证：ln(1)x x >+令()ln(1)g x x x =-+ (1)x >-()1x g x x'∴=+()g x ∴在()0,+∞单增，()1,0-单减()0g ∴为极小值()(0)0g x g ∴≥= ln(1)x x ∴>+得证 ① 11ln()n n n +∴> 11ln()1n n n +<+()1111......ln(1)23f n n n ∴=++++-+231ln()ln()......ln()ln(1)012n n n+>+++-+=()1111......ln(1)23f n n n ∴=++++-+2341ln()ln()ln()......ln()ln(1)1231nn n <+++++-+-11ln()1n n+=-<∴1()0f n >>下证：()f n 单增(1)()f n f n +-=1111......ln(2)231n n ++++-++1111......ln(1)23n n ⎡⎤-++++-+⎢⎥⎣⎦12ln()11n n n +=-++11ln(1)11n n =-+++由①11x n =+知成立∴1()0f n >> 且()f n 单增()f n ∴存在极限，设为γ当n A >时，0()f n γε<-< (0)ε> （A 可以很大） l n (1)l (1)nn S n γγε∴++>>++-2n ≥ n S 不再是整数可以找到ε，使[][]ln(1)ln(1)n n γγε∴++=++- {}{}{}l n (1)l (1)n n S n γγε∴++>>++- {}l n (1)n + 在[)0,1稠密 ∴{}l n (1)nγ++在[)0,1稠密 ε 可以无限的接近0{}l n (1)nγε∴++-在[)0,1稠密 {}n S ∴在[)0,1稠密 （两边夹）∴存在无穷多{}n S 使得{}01n a S b <<<<。

(1)A [以向量 a，b 公共的起点为坐标原点，建立如图坐标系， 因为 e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，
所以 2a＝(2,1)，b＝(1,3)， 所以 2a＋b＝(2,1)＋(1,3)＝(3,4)，即 2a＋b 在平面直角坐标系中 的坐标为(3,4)，故选 A.
]
(2)[解] ①作 AM⊥x 轴于点 M(图略)，
3，即
b＝－32，3
2
3.
②由①知B→A＝－A→B＝－b＝32，－3
2
3.
③O→B＝O→A＋A→B＝(2
2，2
2)＋－32，3
2
3
＝2
2－32，2
2＋3
2
3，
所以点 B 的坐标为2
2－32，2
2＋3
2
3.
求向量坐标的三个步骤
[跟进训练] 1．在直角坐标系 xOy 中，向量 a，b，c 的方 向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分别计算 出它们的坐标． [解] 设 a＝(x1，y1)， 则 x1＝2·cos 45°＝ 2，y1＝2·sin 45°＝ 2， ∴a＝( 2， 2)．
[解] (1)2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1) ＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)． (2)a－3b＝(－1,2)－3(2,1)＝(－1,2)－(6,3) ＝(－7，－1)． (3)21a－13b＝12(－1,2)－13(2,1) ＝－12，1－23，13＝－76，23.
向量坐标运算的综合应用 [探究问题] 1．已知点 O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，及O→P＝O→A＋tA→B.当 t 为何值 时，点 P 在 x 轴上？点 P 在 y 轴上？点 P 在第二象限？ [提示] ∵O→P＝O→A＋tA→B＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t,2＋3t)． 若点 P 在 x 轴上，则 2＋3t＝0，

高考数学一轮考点扫描专题35 基本不等式一、【知识精讲】 1.基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号.(3)其中a ＋b2称为正数a ，b a ，b 的几何平均数.2.两个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号.(2)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. 3.利用基本不等式求最值 已知x ≥0，y ≥0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小). (2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 24(简记：和定积最大).[微点提醒]1.b a ＋a b≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号.2.ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22. 3.21a ＋1b≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0).二、【典例精练】考点一 利用基本不等式求最值 角度1 通过配凑法求最值 【例1－1】设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1aa －b 的最小值是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4【答案】D 【解析】 a 2＋1ab ＋1aa －b ＝(a 2－ab )＋1a 2－ab ＋1ab＋ab ≥2a 2－ab ·1a 2－ab＋21ab×ab ＝4，当且仅当a 2－ab ＝1a 2－ab 且1ab＝ab ， 即a ＝2，b ＝22时取等号，故选D. 角度2 通过常数代换法求最值【例1－2】已知x >0，y >0，且x ＋2y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为________． 【答案】3＋2 2【解析】由x >0，y >0，x ＋2y ＝xy ，得2x ＋1y＝1，所以x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y＝3＋2y x ＋xy ≥3＋2 2.当且仅当x ＝2y 时取等号．【解法小结】 在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，主要有两种思路：(1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解.常用的方法有：折项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等.(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值. 考点二 基本不等式在实际问题中的应用【例2】 运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360升，司机的工资是每小时14元.(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值. 【解析】 (1)设所用时间为t ＝130x(h)，y ＝130x ×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360＋14×130x ，x ∈[50，100].所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝130×18x ＋2×130360x ，x ∈[50，100](或y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50，100]).(2)y ＝130×18x ＋2×130360x ≥2610，当且仅当130×18x ＝2×130360x ，即x ＝1810时等号成立.故当x ＝1810千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元. 【解法小结】 1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数. 2.根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值. 3.在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解. 考点三 基本不等式的综合应用【例3】 (1) (2017·山东高考)若直线x a ＋y b＝1(a >0，b >0)过点(1,2)，则2a ＋b 的最小值为________． (2)(一题多解)(2018·江苏卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为________. 【答案】 (1)8 (2)9【解析】（1） ∵直线x a ＋y b＝1(a >0，b >0)过点(1,2)， ∴1a ＋2b＝1，∴2a ＋b ＝(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝4＋4a b ＋b a≥4＋24a b ·ba＝8，当且仅当b a ＝4ab，即a ＝2，b ＝4时，等号成立． 故2a ＋b 的最小值为8.(2)法一 依题意画出图形，如图所示.易知S △ABD ＋S △BCD ＝S △ABC ，即12c sin 60°＋12a sin 60°＝12ac sin 120°， ∴a ＋c ＝ac ，∴1a ＋1c＝1，∴4a ＋c ＝(4a ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1c＝5＋c a ＋4a c≥9，当且仅当c a ＝4a c ，即a ＝32，c ＝3时取“＝”.法二 以B 为原点，BD 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则D (1，0)，∵AB ＝c ，BC ＝a ， ∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，32c ，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，－32a .∵A ，D ，C 三点共线，∴AD →∥DC →. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1－c 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ＋32c ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－1＝0，∴ac ＝a ＋c ，∴1a ＋1c＝1，∴4a ＋c ＝(4a ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1c ＝5＋c a ＋4a c≥9，当且仅当c a ＝4a c ， 即a ＝32，c ＝3时取“＝”. 【解法小结】 基本不等式的应用非常广泛，它可以和数学的其他知识交汇考查，解决这类问题的策略是： 1.先根据所交汇的知识进行变形，通过换元、配凑、巧换“1”等手段把最值问题转化为用基本不等式求解，这是难点.2.要有利用基本不等式求最值的意识，善于把条件转化为能利用基本不等式的形式.3.检验等号是否成立，完成后续问题. 三、【名校新题】1.(2019·孝感调研)“a >b >0”是“ab <a 2＋b 22”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由a >b >0，可知a 2＋b 2>2ab ，充分性成立，由ab <a 2＋b 22，可知a ≠b ，a ，b ∈R，故必要性不成立.2.(2019·玉溪一中月考)已知f (x )＝x 2－2x ＋1x ，则f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上的最小值为( )A.12 B.43C.－1D.0【答案】D【解析】 f (x )＝x 2－2x ＋1x ＝x ＋1x －2≥2－2＝0，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号.又1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上的最小值为0.3.(2019·济南联考)若a >0，b >0且2a ＋b ＝4，则1ab的最小值为( )A.2B.12C.4D.14【答案B【解析】】因为a >0，b >0，故2a ＋b ≥22ab (当且仅当2a ＝b 时取等号). 又因为2a ＋b ＝4， ∴22ab ≤4⇒0<ab ≤2， ∴1ab ≥12，故1ab 的最小值为12(当且仅当a ＝1，b ＝2时等号成立). 4.(2019·长春质量监测)已知x >0，y >0，且4x ＋y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为( ) A ．8 B ．9 C ．12 D ．16【答案】B【解析】 由4x ＋y ＝xy 得4y ＋1x＝1，则x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4y ＋1x ＝4x y ＋yx ＋1＋4≥24＋5＝9，当且仅当4x y＝yx，即x ＝3，y ＝6时取“＝”，故选B. 5.(2019·江西上饶联考)已知正数a ，b ，c 满足2a －b ＋c ＝0，则ac b2的最大值为( ) A ．8 B ．2 C ．18 D ．16【答案】 C【解析】 因为a ，b ，c 都是正数，且满足2a －b ＋c ＝0，所以b ＝2a ＋c ，所以ac b 2＝ac 2a ＋c2＝ac4a 2＋4ac ＋c2＝14a c ＋ca＋4≤124a c ·c a＋4＝18，当且仅当c ＝2a >0时等号成立．故选C. 6.(2019·太原模拟)若P 为圆x 2＋y 2＝1上的一个动点，且A (－1，0)，B (1，0)，则|PA |＋|PB |的最大值为( ) A.2 B.2 2C.4D.4 2【答案】B【解析】由题意知∠APB ＝90°，∴|PA |2＋|PB |2＝4，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫|PA |＋|PB |22≤|PA |2＋|PB |22＝2(当且仅当|PA |＝|PB |时取等号)， ∴|PA |＋|PB |≤22，∴|PA |＋|PB |的最大值为2 2.7.(2019·衡水中学质检)正数a ，b 满足1a ＋9b＝1，若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A.[3，＋∞) B.(－∞，3] C.(－∞，6]D.[6，＋∞)【答案】D【解析】 因为a >0，b >0，1a ＋9b＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋9b ＝10＋b a ＋9a b≥16，当且仅当b a ＝9ab，即a ＝4，b ＝12时取等号. 依题意，16≥－x 2＋4x ＋18－m ，即x 2－4x －2≥－m 对任意实数x 恒成立. 又x 2－4x －2＝(x －2)2－6，所以x 2－4x －2的最小值为－6，所以－6≥－m ，即m ≥6.8.(2019·山西模拟)已知不等式(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【答案】 B【解析】 (x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ·x y ＋y x ＋a ≥1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2，当且仅当a ·x y ＝y x，即ax 2＝y 2时“＝”成立．∵(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9，∴(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y 的最小值为(a ＋1)2≥9.∴a ≥4.故选B.9. (2019·厦门模拟)已知f (x )＝32x－(k ＋1)3x＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是( ) A.(－∞，－1)B.(－∞，22－1)C.(－1，22－1)D.(－22－1，22－1)【答案】B【解析】由f (x )>0得32x －(k ＋1)3x ＋2>0，解得k ＋1<3x＋23x .又3x ＋23x ≥22(当且仅当3x＝23x ，即x ＝log 3 2时，等号成立).所以k ＋1<22，即k <22－1.10.(2019·上海模拟)设x ，y 均为正实数，且32＋x ＋32＋y ＝1，则xy 的最小值为( )A ．4B ．4 3C ．9D ．16【答案】 D 【解析】32＋x ＋32＋y＝1可化为xy ＝8＋x ＋y ，∵x ，y 均为正实数，∴xy ＝8＋x ＋y ≥8＋2xy (当且仅当x ＝y 时等号成立)，即xy －2xy －8≥0，解得xy ≥4，即xy ≥16，故xy 的最小值为16.故选D.11.(2019·湖南师大附中模拟)已知△ABC 的面积为1，内切圆半径也为1，若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，则4a ＋b ＋a ＋bc 的最小值为( )A.2B.2＋ 2C.4D.2＋2 2【答案】D【解析】 因为△ABC 的面积为1，内切圆半径也为1， 所以12(a ＋b ＋c )×1＝1，所以a ＋b ＋c ＝2，所以4a ＋b ＋a ＋b c ＝2（a ＋b ＋c ）a ＋b ＋a ＋b c ＝2＋2c a ＋b ＋a ＋b c≥2＋22， 当且仅当a ＋b ＝2c ，即c ＝22－2时，等号成立， 所以4a ＋b ＋a ＋bc的最小值为2＋2 2. 12.(2019·绵阳诊断)若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则y ＝1sin 2θ＋9cos 2θ的取值范围为( ) A ．[6，＋∞) B ．[10，＋∞) C ．[12，＋∞) D ．[16，＋∞)【答案】 D【解析】 ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin 2θ，cos 2θ∈(0,1)，∴y ＝1sin 2θ＋9cos 2θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin 2θ＋9cos 2θ(sin 2θ＋cos 2θ)＝10＋cos 2θsin 2θ＋9sin 2θcos 2θ≥10＋2cos 2θsin 2θ·9sin 2θcos 2θ＝16，当且仅当cos 2θsin 2θ＝9sin 2θcos 2θ，即θ＝π6时等号成立．故选D.13. (2019·合肥调研)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋1，y ≥2x －1，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝abx ＋y (a >0，b >0)的最大值为35，则a ＋b 的最小值为________. 【答案】8【解析】 可行域如图所示，当直线abx ＋y ＝z (a >0，b >0)过点B (2，3)时，z 取最大值2ab ＋3.于是有2ab ＋3＝35，ab ＝16.所以a ＋b ≥2ab ＝8，当且仅当a ＝b ＝4时等号成立， 所以(a ＋b )min ＝8.14. (2019·乐山一中月考)设0<x <32，则函数y ＝4x (3－2x )的最大值为________.【答案】92【解析】 y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋（3－2x ）22＝92， 当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立.∵34∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，∴函数y ＝4x (3－2x )⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ＜32的最大值为92. 15.(2019·潍坊调研)函数y ＝a1－x(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0上，且m ，n为正数，则1m ＋1n的最小值为________.【答案】4【解析】∵曲线y ＝a 1－x恒过定点A ，x ＝1时，y ＝1，∴A (1，1).将A 点代入直线方程mx ＋ny －1＝0(m >0，n >0)， 可得m ＋n ＝1，∴1m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ·(m ＋n )＝2＋n m ＋mn≥2＋2n m ·mn＝4， 当且仅当n m ＝m n 且m ＋n ＝1(m >0，n >0)，即m ＝n ＝12时，取得等号.16.(2019·河南八校测评)已知等差数列{a n }中，a 3＝7，a 9＝19，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S n ＋10a n ＋1的最小值为________. 【答案】3【解析】∵a 3＝7，a 9＝19， ∴d ＝a 9－a 39－3＝19－76＝2，∴a n ＝a 3＋(n －3)d ＝7＋2(n －3)＝2n ＋1， ∴S n ＝n （3＋2n ＋1）2＝n (n ＋2)，因此S n ＋10a n ＋1＝n （n ＋2）＋102n ＋2＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤（n ＋1）＋9n ＋1≥12×2（n ＋1）·9n ＋1＝3， 当且仅当n ＝2时取等号.故S n ＋10a n ＋1的最小值为3. 17．(2019·孝感模拟)经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y (L)与速度x (km/h)(50≤x ≤120)的关系可近似表示为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧175x 2－130x ＋4 900，x ∈[50，80，12－x60，x ∈[80，120].(1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最少？(2)已知A ，B 两地相距120 km ，假定该型号汽车匀速从A 地驶向B 地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？ 【解析】(1)当x ∈[50,80)时，y ＝175(x 2－130x ＋4 900)＝175[(x －65)2＋675]，所以当x ＝65时，y 取得最小值，最小值为175×675＝9.当x ∈[80,120]时，函数y ＝12－x 60单调递减，故当x ＝120时，y 取得最小值，最小值为12－12060＝10.因为9<10，所以当x ＝65，即该型号汽车的速度为65 km/h 时，可使得每小时耗油量最少． (2)设总耗油量为l L ，由题意可知l ＝y ·120x，①当x ∈[50,80)时，l ＝y ·120x ＝85⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4 900x －130≥85⎝⎛⎭⎪⎫2 x ×4 900x－130＝16，当且仅当x ＝4 900x，即x ＝70时，l 取得最小值，最小值为16；②当x ∈[80,120]时，l ＝y ·120x ＝1 440x－2为减函数，所以当x ＝120时，l 取得最小值，最小值为10.因为10<16，所以当速度为120 km/h 时，总耗油量最少．18. (2019·西安模拟)某商人投资81万元建一间工作室，第一年装修费为1万元，以后每年增加2万元，把工作室出租，每年收入租金30万元．(1)若扣除投资和各种装修费，则从第几年开始获取纯利润？(2)若干年后该商人为了投资其他项目，对该工作室有两种处理方案：①年平均利润最大时，以46万元出售该工作室；②纯利润总和最大时，以10万元出售该工作室．问该商人会选择哪种方案？ 【解析】 (1)设第n 年获取利润为y 万元．n 年付出的装修费构成一个首项为1，公差为2的等差数列，n 年付出的装修费之和为n ×1＋n n －12×2＝n 2，又投资81万元，n 年共收入租金30n 万元， ∴利润y ＝30n －n 2－81(n ∈N *)．令y >0，即30n －n 2－81>0，∴n 2－30n ＋81<0， 解得3<n <27(n ∈N *)，∴从第4年开始获取纯利润． (2)方案①：年平均利润t ＝30n －81＋n2n＝30－81n－n ＝30－⎝ ⎛⎭⎪⎫81n ＋n ≤30－281n ·n ＝12(当且仅当81n＝n ，即 n ＝9时取等号)，∴年平均利润最大时，以46万元出售该工作室共获利润12×9＋46＝154(万元)． 方案②：纯利润总和y ＝30n －n 2－81＝－(n －15)2＋144(n ∈N *)， 当n ＝15时，纯利润总和最大，为144万元，∴纯利润总和最大时，以10万元出售该工作室共获利润144＋10＝154(万元)， 两种方案盈利相同，但方案①时间比较短，所以选择方案①.。

直线与双曲线的地点关系一、选择题( 每题 5 分，共20 分)1．已知双曲线方程为y2x2－4＝1，过P(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则l的条数为()A． 4B． 3C． 2D． 1分析：数形联合知，过点P(1,0)有一条直线l与双曲线相切，有两条直线与渐近线平行，这三条直线与双曲线只有一个公共点．答案：B2．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，假如直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为()A. 2B. 33＋ 15＋ 1C. D.22x2y2分析：设双曲线方程为a2－b2＝1(a，b>0)，不如设一个焦点为F( c, 0)，虚轴端点为B(0， b)，则 k FB b＝－c.b又渐近线的斜率为±a，因此由直线垂直关系得－b b bc· a＝－1(－ a明显不切合) ，即 b2＝ ac，又 c2－ a2＝ b2，故 c2－a2＝ ac，两边同除以 a2，得方程 e2－ e－1＝0，解得＝5＋ 1＝1－ 5或(舍)．e2e2答案：Dx2y23．已知双曲线a2－b2＝ 1( a>0，b>0) 的右焦点为F，若过点 F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是()A． (1,2]B． (1,2)C． [2 ，＋∞ )D． (2 ，＋∞)分析：依据双曲线的性质，过右焦点 F 且倾斜角为60°的直线与双曲线只有一个交点，说明其渐近线的斜率的绝对值大于或等于tan 60 °＝b3，则c2－ a2e2e23，即≥2＝－ 1≥ 3，故有≥4，≥2.a a e应选 C.答案：C224． 是双曲线 x －y＝1 的右支上一点，、 分别是圆 ( x ＋5) 2＋y 2＝4 和( x －5) 2＋y 2＝ 1上的点，则| |P9 16 M NPM－| PN | 的最大值为 ()A ． 6B ． 7C ． 8D ． 9分析： 设双曲线的两个焦点分别是 F 1( － 5,0) 与 F 2(5,0) ，则这两点正好是两圆的圆心， 当且仅当点 P与 M 、 F 三点共线以及 P 与 N 、 F 三点共线时所求的值最大，此时 | PM |－ | PN |＝(| PF | ＋2) － (| PF | －1)＝61 2 1 2＋ 3＝ 9.答案： D二、填空题 ( 每题5 分，共 10 分)x 2 y 22225．过双曲线 C ： a 2－b 2＝ 1( a >0， b >0) 的一个焦点作圆 x ＋ y ＝ a 的两条切线，切点分别为A ，B ，若∠＝120°( 是坐标原点 ) ，则双曲线 C 的离心率为 ________．AOBO分析： ∵∠ AOB ＝120° ? ∠ AOF ＝60° ? ∠ AFO ＝30° ? c ＝ 2a ，∴ e ＝c＝ 2.a答案：2x 2 y 26．已知双曲线 12－ 4 ＝ 1 的右焦点为 F ，若过点 F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是 ________．分析：由题意知 (4,0) ，双曲线的两条渐近线方程为y＝±3 ，F3x33当过 F 点的直线与渐近线平行时， 知足与右支只有一个交点，画出图形， 经过图形可知， － 3 ≤ k ≤ 3 .答案：3 3－3，3三、解答题 ( 每题 10 分，共 20 分 )7．已知双曲线22A 、B 两点，试问 A 、3x － y ＝ 3，直线 l 过右焦点 F ，且倾斜角为 45°，与双曲线交于2B 两点能否位于双曲线的同一支上？并求弦 AB 的长．分析： ∵ a ＝1， ＝ 3， ＝ 2，b c又直线 l 过点 F 2(2,0) ，且斜率 k ＝tan 45 °＝ 1，∴ l 的方程为 y ＝ x － 2，由 y ＝ x － 2消去 y 并整理得 2x 2＋ 4x － 7＝ 0，3x 2 －y 2＝ 3设 A ( x 1，y 1) ， B ( x 2，y 2) ，7∵ x 1· x 2＝－ 2<0，∴ A 、B 两点分别位于双曲线的左、右两支上．7 ∵ x 1＋ x 2＝－ 2， x 1· x 2 ＝－ ，2∴ | AB | ＝ 1＋12| x 1－ x 2| ＝ 2·x 1＋ x 22－ 4x 1x 227＝ 2·－－4× －2 ＝6.22y8．已知双曲线 x －3 ＝ 1 上存在对于直线 l ： y ＝ kx ＋4 的对称点，务实数 k 的取值范围．分析： ①当 k ＝ 0 时，明显不建立．②当k ≠0时，在双曲线上随意取两点， ，设 的中点 的坐标为 ( 0， 0) ，由 l ⊥ ，A B AB M M x y AB1可设直线 AB 的方程为 y ＝－ k x ＋ b ，将其代入 3x 2－ y 2＝ 3 中，得 (3 k 2－1) x 2＋ 2kbx － ( b 2＋ 3) k 2＝0.明显 3k 2－1≠0，即 k 2b 2＋ 3k 2－ 1>0. ①由根与系数的关系得AB 的中点 M 的坐标为－ kb x ＝32－1，②ky 0＝3k 2b.③3k 2－ 1由于 M 均分 AB ，因此 M ( x 0， y 0) 在直线 l 上，3k 2b－ k 2b进而有 3k 2－ 1＝ 3k 2－1＋ 4，即 k 2b ＝3k 2－ 1，④将④代入①得2 2＋ 2 >0，∴ >0 或b <－1，k b k bb3 2－ 1 3 2－1即k 2>0 或k <－ 1，31∴ | k |> 3 或 | k |< 2，且 k ≠0，33 1 1∴ k > 3 或 k <－ 3 或－ 2<k <2，且 k尖子生题库☆☆☆9． (10 分 ) 设圆 C 与两圆 ( x ＋ 5) 2＋ y 2＝ 4， ( x － 5) 2＋y 2＝ 4 中的一个内切，另一个外切．(1) 求圆 C 的圆心轨迹 L 的方程；(2) 已知点 M 3 5 45，(5，0) ，且 P 为 L 上动点，求 ||| －||| 的最大值及此时点P 的坐标．5，MPFP5 分析：(1) 设圆 C 的圆心坐标为 ( x ， y ) ，半径为 r .圆 ( x ＋22＝ 41，半径为 2，5) ＋ y 的圆心为 F (－ 5，0)圆 ( x － 5) 2＋ y 2＝ 4 的圆心为 F ( 5， 0) ，半径为 2.| CF 1| ＝ r ＋ 2， | CF 1| ＝ r － 2， 由题意得| CF | ＝ r － 2或| CF | ＝r ＋ 2，∴ || CF 1| － | CF || ＝4.15>4，∵|FF |＝2∴圆 C 的圆心轨迹是以 1， F ( 5， 0) 为焦点的双曲线，其方程为 x 22＝1.F (－ 5，0) 4 － y (2) 由图知， || MP |－ | FP || ≤|MF |，∴当 M ， P ， F 三点共线，且点 P 在 MF 延伸线上时， | MP | － | FP | 获得最大值 |MF |，且 |MF |＝355－ 5 2＋ 455－0 2＝2.直线 MF 的方程为 y ＝－ 2x ＋ 2 5，与双曲线方程联立得y ＝－ 2x ＋ 2 5，22整理得 15x －32 5x ＋ 84＝ 0.x－ y 2＝1，41456 5解得 x ＝ 15( 舍去 ) ， x ＝5.12此时 y＝－ 255.∴当|| |－||| 获得最大值 2 时，点P 的坐标为65 2 5 .MP FP 5，－5。