第十七章展开图
§17-1概述
§17-2平面体表面的展开
§17-3柱面的展开
§17-4锥面的展开
§17-5球面的近似展开
§17-6变形接头的展开§17-1概述
图示是一种除尘设备——冲洗
除尘器。它的外壳是用金属薄板制
成圆台面、圆柱面、弯管和变形接
头后，再用铆接、焊接或咬口连接，
将它们组装起来。在制造时，首先
在金属薄板上，按尺寸绘出各个组
成形体的表面展开图，然后下料加
工。展开时,不考虑板材的厚度。在
建筑工程中，也会遇到立体表面展
开问题。例如在制作某些混凝土构
件模板时，就需要绘出构件表面的
展开图，才能按图下料，拼装成构
件模板。
把围成立体的表面，依次摊平
在一个平面上，称为立体表面的展
开。立体表面展开后所得的平面图
形称为展开图。§17-1概述
把围成立体的表面，依次摊平在一个平面上，称为立体表面的展开。立体表面展开后所得的平面图形称为展开图。§17-2 平面体表面的展开滚翻法棱柱表面的展开棱台表面的展开§17-3 柱面的展开圆柱弯管表面的展开§17-4 锥面的展开§17-4 锥面的展开§17-5 球面的近似展开
球面属于不可展面，只能用近似方法展开。常用方法有柳叶法和球带法两种。
柳叶法§17-5 球面的近似展开
球带法
以水平剖切平面将球面
切割成两个球冠和若干球带，
如图示。然后将球冠近似展
开为一圆，将各球带作为圆
锥台面近似展开。图中绘出
四分之一球面的展开图。§17-6 变形接头的展开
生活中的立体图形 展开与折叠
几何体按柱、锥、球的特征分为：
(2)按围成的面分为：
1．棱柱的表面展开图
棱柱是由两个完全相同的多边形底面和一些长方形侧面围成的．沿棱柱表面不同的棱剪开就可以得到不同的表面展开图．如图是棱柱的一种展开图．
2．圆柱、圆锥的表面展开图
(1)圆柱的表面展开图
沿着圆柱的一条高把圆柱剪开，就得到圆柱的表面展开图．圆柱的表面展开图是两个圆(底面)和一个长方形(侧面)，如图所示．
如果两个底面圆在长方形的同一侧(如图所示)，折叠后上端没有底，下端有两个底，则它不能折叠成圆柱．
(2)圆锥的表面展开图
如图所示，圆锥的表面展开图是一个圆(底面)和一个扇形(侧面)．
3、正方体的展开图
正方体的平面展开图共有11种，可分为四类：
(1)1－4－1型
相对面的确定：①第一行与第三行的正方形是相对面；②中间一行的4个正方形中，相隔一个是相对面． (2)1－3－2型
相对面的确定：①第一行的正方形与第三行的左边第1个正方形是相对面；②中间一行第1个与第3个为相对面；第2个与第三行第2个为相对面．
(3)2－2－2型
相对面的确定：①第一行的第1个与第二行的第2个是相对面；②第二行第1个与第三行的第2个是相对面；③第三行的第1个与第一行的第2个为相对面．
(4)3－3型
2．相对面的确定：①第一行的第1个与第3个为相对面；②第二行的第1个与第3个为相对面；③第一行的第2个与第二行的第2个为相对面． 例1、 如图，请你在横线上写出哪种立体图形的表面能展开成下面的图形．
解析：
答案：三棱柱 六棱柱 长方体 三棱柱
例2、 如图所示图形都是几何体的展开图，你能说出这些几何体的名称吗？
错误！未找到引用源。
分析：主要根据顶点、棱、面的数量及侧面展开图的形状进行判断
解：圆锥、圆柱、五棱柱．
例3、 如图所示，哪些图形经过折叠可以围成一个棱柱？
分析：(1)底面是四边形，侧面有3个，显然与三棱柱、四棱柱的特征不符；(3)的两个底面在侧面同侧，折叠后也不能围成棱柱；(2)(4)折叠后可以围成棱柱．
知识点精析
正方休的侧面展开图（共十一种） 分类记忆：
第一类，中间四连方，
A B
1 0
C D
第四类，两排各三个，只有一种。
E；：
两侧各一个，共六种。
第二类，中间三连方, 两侧各有一、二个，共三种m 3.
方法:
1.相对面：找Z 2.相邻面：一点定三面，位置不能变;
箭头法：沿特征面特定方向画箭头，箭头左右两边相邻面位置不变;
时针法;
例题:
1.
答案:2.
答案:
n
A B C CP
答案：C
培优训练
1-如S所示丿用字母川表示与A相对的面』请在下面的正方体展幵團中填写相应的字母.
1
1 1 1 丨 1
2•如图，耙一T止方形三次肘折后沿崖践剪卜'W得到的阳形ft <
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£如臬有一个iffrf*.它的展丿I调E能是F列四个展H离中的(
(5 A,
B. 4
1 1 G S
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4.想一想：将左边的團形折成一个立方体，右边的0个立方体哪一个是由左边的團形折成的？
4.如S■-个正方体纸盒的展开S,当折成纸盒时，与点1重合的点是
2 4 5 6
12 6.如图所示的立方体〉如果把它展开，可以杀下列團形中的〈 B C
B 11 9 8 7
10 10.
&从下列右边鶴选割形屮找出一个，使其蜉te转后与左閑完—致的是＜
2.小丽制作T-个对图案均相同的止方休札品盒f如下左1曲所示人则这牛止方休礼品盒
的平面展开圈可能经〔
豳稠r帕件 CB)
9下罔右边四个團形中是左边展形罔的立休禺吋是（）
C D
0 0 3 15.如图所示的立方休.将其農开得到的S形是（ )
7
IK 下图是某一立方体的侧面咚开图，则该立方体是〔D
O
2 1 O
12. A B
右®这个几何体的笺开圏形是C )
1 课题 4.3立体图形的展开图
教学目标
[知识目标] 认识立体图形与平面图形的关系，了解多面体是由平面图形组成的，会画出简单几何体的展开图。掌握正方体的十一种展开图。
[能力目标] 培养动手操作能力和空间想象能力，培养合作交流意识。
[情感目标] 通过观察、认识和操作立体图形，体验数学概念的抽象和形成过程；提高几何学习兴趣和良好的学习习惯，感受数学的和谐、对称美的享受，自觉的养成学数学和用数学的习惯。
教学重点与难点
根据立体图形判别展开图和根据展开图判别立体图形既是教学重点，又是教学难点．
教学过程
一、引入新课
小壁虎的难题：如图：一只圆桶的下方有一只壁虎，上方有一只蚊子，壁虎要想尽快吃到蚊子，应该走哪条路径？
把圆柱体展开，就能看出来壁虎走的是直线（路程最短）。
在我们的实际生活中常常需要知道物体的表面展开图，从而来解决问题。为此我们本节课要讨论的是一些简单多面体的表面展开图。
二、教授新课 学生活动、建构数学
让我们来感知一些常见立体图形的表面展开图。
2
[金钥匙]同一个立体图形,按不同的方式展开得到的表面展开图是不一样的。
探究活动：将一个正方体的表面沿某些棱剪开,能展成一个平面图形吗？你能得到哪些平面图形？与同伴进行交流。
正方体的展开 3
第一类，中间四连方，两侧各一个，共六种。
第二类，中间三连方，两侧各有一、二个，共三种。
4 第三类，中间二连方，两侧各有二个，只有一种。
第四类，两排各三个，只有一种。
教学运用
1．下列展开图分别对应哪个实物？
2．下面六个正方形连在一起的图形，经折叠后能围成正方体的图形有哪几个？(动手试试）
3.如图，一只蚂蚁，在正方体箱子的一个顶点A，它发现相距它最远的另一个顶点B处有它感兴趣的食物，这只蚂蚁想尽快得到食物，哪条路径最短？试在图中将路线画出来。
问：这样的路径有几条？
答：如图，6条。
5 回顾反思
1、 学会了简单几何体（如三棱锥，正方体等）的平面展开图，知道按不同的式展开会得到不同的展开图。
