浅谈高中数学解析几何中的对称问题

浅谈解析几何中的对称问题解析几何中的对称问题在现行中学教材中没有按章节进行系统编排，只是分散地穿插在直线、曲线部分的题型之中。

对称问题主要涉及四种类型：点关于点成中心对称；线（直线或曲线）关于点成中心对称；点关于线成轴对称；线（直线或曲线）关于线成轴对称。

无论是解析几何的新授课还是复习课，几乎所有的老师都会对对称问题进行教学或复习，近几年对称问题也是高考的热点之一。

这就要求教师对对称问题进行适当的归纳、总结，使学生对这部分知识有一个较完整、系统的认识，从而解决起对称问题才能得心应手。

本人就此谈一下中学解析几何中常见的对称问题类型及解决方法。

一、中心对称：即关于点的对称问题定义：把一个图形绕某个点旋转180o 后能与另一个图形重合，称这两个图形关于这个点对称。

这个点叫做对称中心。

性质：关于某个点成中心对称的两个图形，对称点的连线都经过对称中心，且被对称中心平分。

1． 点关于点对称例1． 求P （3，2）关于M （2，1）的对称点P ’的坐标。

分析：由中心对称的性质得M 点是PP ’的中点，可求P ’（1，0） 。

小结：P （x 0,y 0）−−−−−−−→−的对称点，（关于点)b a M P ’（2a －x 0,2b －y 0）（依据中点坐标公式）。

特例P （x 0,y 0）−−−−−→−关于坐标原点对称P ’（－x 0, －y 0）。

2． 直线关于点对称例2． 求直线l 1:x ＋y －1=0关于M （3，0）的对称直线l 2的方程。

分析：思路一：在直线l 2上任取一点P （x ，y ），则它关于M 的对称点Q （6－x, －y ），因为Q 点在l 1上，把Q 点坐标代入直线l 1中，便得到l 2的方程：x ＋y －5=0。

思路二：在l 1上取一点P （1，0），求出P 关于M 点的对称点Q 的坐标（5，0）。

再由k l1=k l2，可求出直线l 2的方程x ＋y －5=0。

思路三：由k l1=k l2，可设l 1：Ax ＋By ＋C=0关于点M （x 0,y 0）的对称直线为Ax ＋By ＋C ’=0且2200B A CBy Ax +++=22'00B A C By Ax +++，求出C '及对称直线l 2的方程x ＋y －5=0。

高中数学解析几何部分对称问题的研究高中数学解析几何中对称问题很多，在高考中出现的频率也较高，但现行教材中却讲得很少，令学生不知从何处着手。

所以笔者对此进行了初步研究，并总结成文，以期对学生有所帮助。

解析几何中对称问题研究的原因：一是从图形上看圆锥曲线有很好的对称性；二是从量的方面看，对称意味着两个常用等量关系：对称轴——线段的垂直平分线，隐含着垂直（斜率负倒数、向量内积等于零）、平分（线段中点坐标适合对称轴方程）两个关系；对称中心——线段的中点、中点坐标公式也是两个关系。

解析几何中对称问题研究的分类：一是关于点对称，即中心对称，包括特殊的点（坐标原点）对称；二是关于直线对称，即轴对称，包括特殊轴（如x 轴、y 轴、直线y=±x ）的轴对称。

现分述如下： 1、 关于中心对称1.1、 关于坐标原点中心对称理论推导：如图，点),(000y x P 关于坐标原点O （0，0）的对称点P （y x ,）。

⎪⎩=+020y y ⎩-=0y y 引申：曲线L ：F(x ，y)=0，关于坐标原点的中心对称曲线'L ：F(-x ，-y)=0。

1.1.1、点关于坐标原点中心对称例如，点A （-3，2）关于坐标原点的中心对称点'A （3，-2）。

1.1.2、 线关于坐标原点中心对称例如，直线Ax+By+C=0关于坐标原点的中心对称直线是-Ax-By+C=0，即：Ax+By-C=0。

1.2、 关于任意点中心对称理论推导：如图，点),(y x P P （y x ,）。

M 为线段P 0由中点坐标公式⎪⎩⎪⎨=+=n y y m 2200得：⎩⎨⎧-=-=0022y n y x m x引申：曲线L ：F(x ，y)=0，关于任意点M ),(n m 中心对称的曲线'L ：F(2m-x ，2n-y)=0。

1.2.1、点关于任意点中心对称例1 （1996年上海）已知O （0，0）和A （6，3）两点，若P 在直线OA 上，且21=PA OP ，又知P 是线段OB 的中点，则B 的坐标为 。

对高中数学中对称问题的剖析摘要：高中数学中，有很多归纳性的问题，它们具有一定的数学规律，又没有以章节的形式来出现，很多辅导材料，甚至是教师都缺乏对这个问题的详细的论述和讲解，其中对称问题在高中数学中出现的频率很大，它的归纳和总结能解决很多相关的数学问题，从而提高解题效率。

中学数学中的对称无非是点对称、线对称或者两者的交叉，而线中又有直线和曲线之分。

本文将针对这些对称进行剖析和例题解答，使对称问题知识系统化。

关键词：点和点；点和线；曲线；直线一、相对静止的点线对称问题1.点点对称问题在数学中，点是一个很广泛的概念，对称是其数学特征之一。

我们知道，在平面直角坐标系中的一个点P关于原点对称的点P'的坐标写法，即将点P的横纵坐标都变为它们的相反数即可。

这种做法在初中的时候很多老师就要求学生记忆过，但是其理论基础是高中学习的中点坐标公式，我们也正是利用中点坐标公式来解决任意两点的对称问题。

如对称点的求法：设函数g（x）上的一点为（m，n），g（m）=n，点（m，n）关于某个点对称，求出对称点的坐标，（x，y）y=f（x），利用g（m）=n进行代换，然后利用关系求出f（x）。

比如这一题（m，n）关于（0，1）的对称点为（-m，2-n），x=-m，m=-x，y=2-n，n=2-y，若2m+1=n，则2（-x）+1=2-y，y=2x+1。

2.点与直线对称问题在点线对称问题中，最典型的是求一点关于一直线的对称点，简易理解为把点直接带入直线的表达式，点x坐标带入，算出对称点y1，点y坐标带入算出对称点。

具体方法方法：（1）原坐标A（x，y）设出新坐标B（x1，y1），意味着两个未知数要找两个方程。

（2）利用垂直建立第一个方程：旧新坐标连线AB与原直线垂直的斜率乘积等于-1 。

（3）利用平分建立第二个方程：AB的中点（利用中点坐标公式0必在已知那条直线上）。

（4）解方程组得出唯一解。

首先算出已知直线的斜率，然后推出与其垂直的直线的斜率，因为点关于此直线对称，那么对称点与已知点的连线必垂直平分已知直线，知道斜率，又有已知点，利用点斜式求出直线方程，连立两直线方程即可求出交点，然后再利用中点式即可求出对称点。

高考中对称问题知识点高考作为中国学生学习的最后一道门槛，备受关注和重视。

其中，数学作为必考科目，占据了高考总分的很大比重。

在数学考试中，对称问题是一个重要的考点，也是学生们容易忽视的一个知识点。

本文将从几个方面详细介绍高考中对称问题的知识点。

首先，我们来了解什么是对称。

对称是指物体或形状与自身的一个旋转和/或翻转操作后保持不变。

在几何学中，常见的对称有平面对称和中心对称两种。

平面对称是指物体关于一个平面对称，即物体的一半与另一半完全一样，如镜子。

而中心对称是指物体关于一个点对称，即物体相对于中心点的两边完全一样，如正方形和圆形。

其次，我们来看一下在高考中，对称问题有哪些具体的应用。

首先，对称问题在排列组合和选择题中经常出现。

比如，当我们排列物体时，经常要考虑到物体在对称位置的相对关系，从而确定不同排列的方法数。

在排列组合的题目中，对称问题往往需要通过计算物体相对于对称轴的位置来确定答案。

其次，对称问题在函数图像的研究中也有重要应用。

通过观察函数的对称性，我们可以更好地了解函数图像的特点和性质。

此外，对称问题还涉及到立体几何的体积和表面积计算中。

在计算几何体的体积和表面积时，对称问题通常被用来简化计算。

接下来，我们来分析高考中对称问题的解题思路。

对称问题的解题思路通常有两个。

第一种是通过观察和推理，找出对称性质从而得出结论。

这种方法常用于选择题和简答题中，要求考生通过观察图形或计算过程，找出对称关系或性质，从而得出正确答案。

第二种方法是通过建立方程或利用几何定理进行计算。

这种方法常用于解答计算题和证明题中，要求考生根据已知条件建立方程，或者利用已知定理和关系进行推导和计算。

最后，我们来看一些高考中常见的对称问题。

首先是平面对称问题。

在平面对称问题中，常见的考点有图形的对称轴和对称中心的确定，以及图形的对称性质的应用。

其次是立体对称问题。

在立体对称问题中，常见的考点有立体的对称轴和对称面的确定，以及立体的对称性质的应用。

解析几何中的对称及其所在平面几何学是一门研究形状、大小、距离等等的学科，在视觉上较为直观。

在几何学中，对称是一个重要的概念，它不仅在解决几何学问题时起着关键作用，而且在各个领域中都有广泛的应用。

在本文中，我们将重点讨论解析几何中的对称及其所在平面。

一. 解析几何中的对称在解析几何中，对称是指一个函数关系，它能够将一点映射到与其关于某个轴对称的位置。

例如，对于点P(x,y)，以x轴为对称轴的对称点为P'(x,-y)。

在这种情况下，将点P转化为它的对称点P'所需的变换是y轴翻转变换。

此外，我们可以定义一个x/y轴的对称关系，类似于上述y轴对称，只不过此时改为以x/y轴为对称轴。

通过这些简单的对称变换，我们可以在解析几何中解决许多问题。

二. 对称性对称性是指一个图形可以保持不变的性质，即它与自己的对称副本在某些方面是相似的。

在解析几何中，对称性的重要性不言而喻。

一个图形的对称性可以使我们更容易地确定它的性质，并以此推导出更多的结论。

在很多情况下，我们可以通过对称性将一个几何问题转化为另一个等效问题。

例如，不规则图形可以通过分解成对称图形的组合来解决。

此外，在进行几何证明时，我们也可以利用一个图形的对称性，将其转化为一个相似的但更便于处理的图形。

三. 所在平面在解析几何中，所在平面指的是一个坐标系，它包含我们所关注的所有点和直线。

所在平面通常会引入一个或多个坐标轴，用于测量方向和距离。

世界上有许多种不同的坐标系，但在解析几何中，我们通常使用笛卡尔坐标系、极坐标系或红外线坐标系。

无论使用哪种坐标系，我们都可以进行几何变换，如平移、旋转和缩放，以及对称变换等。

这些变换将会改变图形在坐标系中的位置，并可能会影响其形状和大小。

四. 解析几何中的应用在解析几何中，对称性和所在平面是非常有用的工具，它们可以帮助我们解决许多几何问题。

例如，我们可以通过对称性来求解几何图形的面积、周长等等。

我们还可以使用对称性和所在平面来帮助理解三角函数、向量和矩阵等数学概念。

对称性在高中数学中的应用举例对称性在高中数学中有着广泛的应用，它不仅是数学中的一个重要概念，还在日常生活和实际问题中有着丰富的应用。

本文将通过举例的方式来说明对称性在高中数学中的应用。

1. 几何中的对称性应用在几何中，对称性是一个基本的概念，它在图形的性质和计算中发挥着重要作用。

我们来看看在几何中对称性是如何应用的。

在平面几何中，对称轴是一个重要的概念。

对称轴是指如果一个图形绕着这条轴旋转180度后，和原来的图形完全重合。

对称轴不仅在几何图形的判断中有着重要作用，还在实际问题中应用广泛。

比如我们常常在建筑设计和制作面向对称的装饰品时，就能利用到对称轴的概念，使得建筑或装饰品更加美观。

对称性还能帮助我们判断图形的性质。

在研究图形的性质时，我们常常要判断图形是否存在对称轴，以及图形的对称性质。

通过对称性的判断，可以简化问题的分析和计算，使得几何问题更加清晰和直观。

2. 代数中的对称性应用在高中代数学中，对称性也有着广泛的应用。

代数中的对称性可以帮助我们简化计算和解决问题，提高解题的效率和准确性。

接下来，我们来看看代数中对称性是如何应用的。

对称性在代数中有着多种应用，其中一个典型例子是多项式的因式分解。

在代数中，我们经常需要对多项式进行因式分解，以便于进一步的计算和分析。

而对称性在多项式的因式分解中发挥着重要作用。

通过对多项式的对称性质进行分析，我们可以找到多项式的对称因子，从而进行因式分解。

这种方法可以帮助我们简化因式分解的过程，提高求解的效率和准确性。

在代数中，对称性还可以帮助我们简化方程的求解过程。

通过对称性的分析，我们可以将原问题转化为对称的形式，从而简化方程的求解。

这种方法在解决代数方程和不等式问题时有着重要的应用，可以帮助我们更加直观和简便地求解问题。

在统计学中，对称性可以帮助我们分析数据的分布和趋势。

通过对数据的对称性质进行分析，我们可以得到数据的中心位置和分布情况。

这种方法在统计数据分析和趋势预测中有着重要的应用，可以帮助我们更加准确地理解数据的特征和规律。

高中数学专题--- 对称问题基本方法：对称问题是解析几何中的一个重要问题，主要类型有：1. 点关于点成中心对称问题（即线段中点坐标公式的应用问题）设点()000,P x y ，对称中心为(),A a b ，则点()000,P x y 关于(),A a b 的对称点为()002,2P a x b y '--.2. 点关于直线成轴对称问题由轴对称定义可知，对称轴即为两对称点连线的垂直平分线，利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程，就可以求出对称点的坐标，一般情形如下：设点()000,P x y 关于直线y kx b =+的对称点为(),P x y '''，则有0000122y y k x x y y x x k b '-⎧⋅=-⎪'-⎪⎨''++⎪=⋅+⎪⎩，可求得(),P x y '''.特殊情形：①点()000,P x y 关于直线x a =对称的点为()002,P a x y '-；②点()000,P x y 关于直线y b =对称的点为()00,2P x b y '-；③若对称轴的斜率为1±，则可把()000,P x y 直接代入对称轴方程求得对称点P '的坐标.一、典型例题1．已知椭圆C ：2214x y +=，A 为椭圆左顶点，设椭圆C 上不与A 点重合的两点D ，E 关于原点O 对称，直线AD ，AE 分别交y 轴于M ，N 两点．求证：以MN 为直径的圆被x 轴截得的弦长是定值．2．已知椭圆22143x y +=与直线y kx m =+相交于不同的两点,M N ，如果存在过点10,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭的直线l ,使得点M N ,关于l 对称，求实数m 的取值范围.二、课堂练习1．已知椭圆22184x y +=，上顶点为,P O 为坐标原点，设线段PO 的中点为M ，经过M 的直线l 与椭圆交于,A B 两点，()3,0C -，若点A 关于x 轴的对称点在直线BC 上，求直线l 方程.2．已知椭圆22:194x y C +=. 点P 为圆22:13M x y +=上任意一点，O 为坐标原点.设直线l 经过点P 且与椭圆C 相切，l 与圆M 相交于另一点A ，点A 关于原点O 的对称点为B ，证明：直线PB 与椭圆C 相切.三、课后作业1．已知椭圆:Γ221106x y+=.ABC∆的顶点都在椭圆Γ上，其中,A B关于原点对称，试问ABC∆能否为正三角形？并说明理由.2．已知椭圆2212yx+=，记椭圆的右顶点为C，点(),D m n（0n≠）在椭圆上，直线CD交y轴于点M，点E与点D关于y轴对称，直线CE交y轴于点N．问：x轴上是否存在点Q，使得OQM ONQ∠=∠（O为坐标原点）？若存在，求点Q坐标；若不存在，说明理由．3．已知椭圆22413yx+=，右顶点为A，设直线l：1x=-上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于点A），直线BQ与x轴相交于点D. 若APD线AP 的方程.。

解析几何中的对称问题关键词：对称点、对称直线一、中心对称问题 1、点关于点对称 ①点(,)P a b 关于点00(,)M x y 的对称点1P 的坐标是 。

例1、点(3,A 关于点(2,7)M -对称点1A 的坐标是变式 点(13,2)A --关于点(3,5)M 对称点1A 的坐标是②直线0Ax By C ++=关于点00(,)M x y 的对称直线方程是 。

例2、直线:3520l x y -+=关于点(2,7)M -对称的直线方程是变式直线20l y -+=关于点(1,3)M -对称的直线方程是二、轴对称问题1、点关于直线对称 ⑴点(,)P a b 关于直线:0L Ax By C ++=的对称点'P 的坐标是 。

解法（一）：由'PP ⊥L 知，'PP BK A=⇒直线'PP 的方程→()By b x a A -=-由0()Ax By C B y b x a A++=⎧⎪⎨-=-⎪⎩可求得交点坐标，再由中点坐标公式求得对称点'P 的坐标。

解法（二）：设对称点'(,)P x y 由中点坐标公式求得中点坐标为(,)22a x b y ++把中点坐标代入L 中得到022a x b y A B C ++⋅+⋅+=；① 再由'PP B K A =得b y Ba x A -=-②，联立①、②可得到'P 点坐标。

对称轴:0L x y C ++=点(,)P a b 关于直线:0L x y C ++=的对称点'P 的坐标是 。

例3、点(2,7)M -关于直线:20L x y +-=点N的坐标是变式 3 点(3,5)P -关于直线:10L x y +-=的对称点'P 的坐标是 。

对称轴:0L x y C -+=点(,)P a b 关于直线:0L x y C -+=的对称点'P 的坐标是 。

例4、点(2,7)M -关于直线:20L x y --=点N的坐标是变式 4 点2(3,)P m-关于直线:30L x y -+=的对称点'P 的坐标是 。

高中几何知识解析解析几何中的对称与反射高中几何知识解析：解析几何中的对称与反射几何学是数学的一个重要分支，研究的是空间中点、线、面等几何实体的性质和相互关系。

在几何学中，对称与反射是两个基本的概念，它们在解析几何中具有重要的作用。

本文将对高中几何知识中的对称与反射进行详细解析。

一、对称对称是指在空间中存在某种变换使得物体的形状、大小、位置等性质与原物体完全重合或相似。

在几何学中，常见的对称有轴对称和中心对称两种。

1. 轴对称轴对称是指物体相对于某条直线对称。

这条直线被称为轴线。

物体的两侧关于轴线是对称的，即对于轴线上的任意点，都有与之关于轴线对称的另一点与之配对。

轴对称常见于我们生活中的很多事物，比如徽章、条形码等。

在几何学中，通过轴对称的性质，可以进行一些有趣的推导和证明。

例如，当一个图形关于某条轴线对称时，它的面积保持不变。

2. 中心对称中心对称是指物体相对于某个点对称。

这个点被称为中心。

物体中心对称的两边关于中心对称点是对称的，即对于中心对称点到物体上的任意点，都有与之关于中心对称的另一点与之配对。

中心对称常见于生物体中，如蝴蝶的翅膀、鱼的鳞片等。

在几何学中，中心对称对于研究图形的特性和变换非常有用。

例如，如果一个图形关于某个点对称，那么它的面积和周长都是不变的。

二、反射反射是指物体在平面镜、凹面镜或凸面镜等反射面上发生的现象。

在反射中，光线从一种介质中射向另一种介质时，根据入射角和反射角之间的关系，可以得出很多有用的结论。

1. 平面镜反射平面镜反射是最简单的一种反射形式。

当光线射向平面镜时，按照入射光线与镜面法线的夹角等于反射光线与镜面法线的夹角的原理，可以推导出光线在平面镜上的反射路径。

针对平面镜反射，我们可以得到以下几个重要结论：- 入射角等于反射角，即入射光线与法线的夹角等于反射光线与法线的夹角。

- 光线的入射、反射和法线共面。

- 光线的入射和反射方向沿同一直线，并且位于反射镜上的相关点关于反射镜的垂直平分线对称。

解析几何中关于对称问题的一点探讨解析几何是一门数学分支学科，它是采用数学方法分析和研究中一些基本问题，而其中最重要的一个问题就是对称。

“对称”是一种形式上存在的均衡性现象，也是一种特殊的逻辑性现象，在多种自然界的现象中都能看到类似的现象，而且它也是解析几何中重要的一个概念。

在解析几何学中，“对称”这一概念可以说是最重要的概念之一，它可以被用来描述一个几何体所具有的某些特质。

关于对称的定义可以有多种，一般来说，它指的是一个几何体中的一些特性，比如说它的面积、边角度、关系等，只要有些特性在指定的空间范围内展示出的一种对称性，就可以说它是一个对称的几何体或图形。

而且，对称也可以指特定空间体系中的一种两元关系，比如在二维空间中，两个相邻的点可以构成一条直线，使得这条直线上任意两个点实际上都是对称的。

在解析几何学中，对称有多种不同的类型。

比如说，水平对称，即X轴对称；垂直对称，即Y轴对称；中心对称，即坐标原点对称；曲线对称，即沿着一条曲线进行对称；旋转对称，即沿着某条轴线旋转对称。

此外，还有轴对称、型对称以及投影对称等等。

在解析几何学中，对称可以被用来描述一个几何体所具有的特质，也可以被用来求解一些问题，比如在解决投影问题中，可以利用投影对称的性质来求解测量问题。

同时，对称也可以被运用来求解满足一定条件下的几何体的体积问题。

例如，如果几何体是一个对称的球体，则可以应用关于对称的概念，从而求出球体的体积；而如果几何体是一个对称的六面体，则可以利用关于六面体的对称特性，来求出它的体积。

在解析几何学中，可以将对称分为几种层次来进行分析，其中最基本的就是“轴对称”，即一个几何体可以被沿着一个轴线或轴向旋转，使其在同一个象限或不同象限以达到一定的对称效果。

而在表面上的对称关系则被称为“型对称”，即一个几何体可以被沿着一个由两个点确定的轴对称地变换，以使其同一部分的形状平行地移动或旋转，而全体的形状不发生变化的状态称为“型对称”状态。

解析几何中的对称问题一、基础知识1、 点关于点的对称点(x,y)关于点(a,b)的对称点的坐标为(2a-x,2b-y)事实上，点关于点的对称的对称中心恰恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题。

2、点关于直线的对称点由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线“，利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点(x 0,y 0)关于直线Ax+By+c=0的对称点(x ’,y’)，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++-=⎪⎭⎫⎝⎛---02210'0'0'0'c y y B x x A B A x x y y 3、曲线关于点（中心），直线（轴）的对称问题的一般思想是用代入转移法。

（1）曲线f(x,y)=0关于点A(a,b)的对称曲线的方程是f(2a-x,2b-y)=0 （2）曲线f(x,y)=0关于直线Ax+By+c=0的对称曲线的求法：设所求曲线上任一点P(x,y)关于直线Ax+By+c=0对称点P 0(x 0,y 0)，在已知曲线f(x,y)=0上，满足f(x 0,y 0)=0，利用方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++-=⎪⎭⎫⎝⎛---02210'0'0'0'c y y B x x A B A x x y y ，解得x 0,y 0，代入f(x 0,y 0)=0，从而得对称曲线方程。

4、常用的对称关系点(a,b)关于x 轴的对称点(a,-b)，关于y 轴的对称点为(-a,b)，关于原点的对称点(-a,-b)关于直线y=x 的对称点为(b,a)，关于直线y=-x 的对称点(-b,-a)，关于直线y=x+m 的对称点为(b-m,a+m),关于直线y=-x+m 的对称点(m-b,m-a). 二、题型剖析例1．（1）直线032=+-y x 关于定点)2,1(-M 对称的直线方程是（ ）A 。

对高中数学解析几何中对称问题浅析摘要：伴随着人们对教育的越来越重视，教育行业也开始了飞速的发展。

在这种背景影响下，高中数学中的解析几何对称问题逐渐受到了高中数学教师的重视。

众所周知，对称问题是高中数学解析集合中的基础部分。

不管是点对点间的对称还是线对线间的对称，都是高中学生学习数学的重要内容。

本文主要针对目前的高中数学解析几何中的对称问题进行了探究，希望能为高中阶段的数学教育提供帮助。

关键词：高中数学；解析几何；对称问题随着新课改的逐渐实行，我国的教育事业也在持续不断地发展。

数学是一门贯穿于学生整个教育生涯的学科，其重要性不言而喻。

而高中数学无论是从高考占比上还是知识面上都是非常重要的。

高中数学相较于基础数学而言具有了一定的难度。

尤其是高中数学解析几何部分的对称问题，不仅是整个高中数学中的基础部分，也是一大重点内容。

一、解析几何的基本概念几何是高中数学学习过程中非常重要的一部分内容。

几何原本叫欧几里得几何，由著名数学家欧几里得命名，简称为“欧氏几何”。

是整个几何学部分的一个分支学科。

其最早来源于公元前3世纪。

由古希腊数学家欧几里得总结得出。

欧几里得将一些流传于民间的几何知识点进行总结和编撰，同时还做出了一系列的延伸推理，最后写出了文明一时的《几何原本》，后又逐渐形成了欧氏几何[1]。

在整个欧氏几何的体系中，最主要的内容当属平行公理。

但是后期由于一部分不同公理的出现，导致了非欧几何的出现。

如果按照图形的平面与空间来划分，可以称之为“平面几何”和“立体几何”。

而对于解析几何，其核心部分其实是笛卡尔坐标系。

解析几何也主要分为两部分，平面解析几何和立体解析几何。

平面解析几何主要是通过平面直角坐标系来展现的，主要就是通过平面直角坐标系来建立点和实数之间的对应关系，以及曲线和方程之间的对应关系。

通过几何法去解决代数问题，同时也可以应用代数法去解决几何问题。

从17世纪开始，各个先进技术开始了飞速的发展，几何与代数也开始了不断地发展。

四类对称问题及其应用我们所谓的四类对称问题大致上有以下四种：点关于点对称；点关于线对称；线关于点对称；线关于线对称。

一、点关于点的对称如果点P)(00y x ，与P '关于点M （a ，b ）对称，则M 是线段P P '的中点，P)(00y x ，−−−−−−−→−）的对称点，（关于点b a M P '()2200y b x a --，( 依据中点坐标公式)特别的P )(00y x ，−−−−−→−关于坐标原点对称P '(00y x --，) 二、点关于直线对称求一点P0(x0,y0)关于一条直线Ax+By+C=0的对称点P 的坐标的问题。

(1) 直线Ax+By+C=0为特殊直线y=x 、y=-x 、x 轴、y 轴、x=a 、y=b 时,对称点的坐标分别为P1(y0,x0)、P2(-y0,-x0)、P3(x0,-y0)、P4(-x0,y0)、P5(2a-x0,y0)、P6(x0,2b-y0)。

(2) 直线Ax+By+C=0为一般直线时，可设P1的坐标为(x1，y1)，则PP1的中点满足直线方程Ax+By+C=0,并且PP1的斜率与直线Ax+By+C=0的斜率之积为-1,可以得到关于x1、y1的一个二元一次方程组，从而可以解出x1、y1。

(3)公式法. 设P1的坐标为(x1，y1)，由公式⎪⎩⎪⎨⎧+++-=+++-=220001220001)(2)(2B A C By Ax B y y B A C By Ax A x x求出x1、y1的值。

三、直线和直线关于点对称求直线A1x+B1y+C1=0关于点P(x0,y0)对称的直线方程。

根据对称性，只需将直线方程A1x+B1y+C1=0中的x 换为2x0-x 、y 换为2y0-y ，即可求出要求直线的方程。

四、直线关于直线对称求一直线A1x+B1y+C1=0关于直线A0x+B0y+C0=0对称的直线方程。

(1) 直线A0x+B0y+C0=0为特殊的直线x 轴、y 轴、y=x 、y=-x 时，直线A1x+B1y+C1=0关于直线A0x+B0y+C0=0对称的直线方程分别为A1x-B1y+C1=0、-A1x+B1y+C1=0、A1y+B1x+C1=0、-A1y-B1x+C1=0。

浅谈高中数学解析几何中的对称问题摘要：新课标改革开展后，我国的教育事业也在不断发展，其中高中数学也乘着改革开放的快车，发展迅猛。

在高中数学中，数学解析几何中的对称问题受到了广泛的关注与讨论。

研究对称问题不仅能增强我们解决问题的能力，同时可以培养发散思维，锻炼空间想象力等，而且还能提高在日常生活当中的审美能力，提高创新意识。

下面我将结合自己的学习理解，对高中数学解析几何中对称问题进行简要分析，希望能在这方面为同学们的学习提供一些帮助。

关键字：高中数学解析几何对称问题高中数学解析几何中的对称问题，是高中数学的一个重要内容，也是平时学习的难点，它的运用非常广泛，不仅体现在数学应用上，有时还会渗透到物理学科的应用方面。

在对称问题中，主要研究的问题有：点关于点对称、点关于直线对称、直线关于点对称、直线关于直线对称、曲线关于点对称、曲线关于直线对称等问题。

不过在对称问题中，最基础的问题为点关于点，点关于直线的对称问题，线（直线、曲线）关于点的对称问题可转化为点关于点对称。

线（直线、曲线）关于直线对称的问题可转化为点关于直线对称。

一、关于点的对称问题点与点之间的对称问题，在初步接触对称问题时，较为常见，也较为简单。

在关于点的对称问题中，也有不同的类型，包括了点与点之间的关系、点与点关于直线对称的关系，线与线关于直线对称的关系，每种不同的关系之间，解题思路既有相同点，也有不同的点，均需要答题者，认真思考，得出答案。

下面我将针对不同的种类进行分析。

（一）点关于定点对称问题这类问题，一般是知道一个点A，知道A点的坐标，给出另外一个中心点Q，告诉Q点的位置坐标，最后让大家求出A点关于Q点对称的点B。

这类题的求解办法较为单一统一。

例如：已知点A(x1,y1)，已知中心点Q(x0,y0)，求出A点关于Q点对称的点B，在坐标中，这三个点的横纵坐标，应该满足怎么样的条件呢？根据条件可知，Q点为A、B点的中点，于是得2x0=x1+x2，2y0=y1+y2，由此可以得到x2，y2的值，得到B点位置坐标。

高中数学几何图形中的对称分析对称是数学图形中的一种重要性质，它在几何、代数、分析等多个领域有着广泛的应用。

在高中数学中，对称也是学生们必须掌握的一个重要知识点。

本文将通过分析高中数学中的一些几何图形，探讨对称的性质和应用。

一、轴对称图形轴对称图形是指沿着一条直线对折，如果左右两边能够完全重合，那么这个图形就是轴对称图形。

常见的轴对称图形有正方形、等腰三角形、圆形等。

轴对称图形的对称轴可以是直线，也可以是曲线。

例如，圆的对称轴就是圆所在的整个平面。

在轴对称图形中，对称轴两侧的图形具有相似的性质。

例如，在等腰三角形中，对称轴两侧的边长相等、角度相等，性质相似。

因此，可以通过分析一个轴对称图形的对称轴，来判断另一个图形的性质。

二、中心对称图形中心对称图形是指将图形绕着某一点旋转180度后，能够与原来的图形重合。

常见的中心对称图形有矩形、菱形、平行四边形等。

中心对称图形的对称中心可以是任意一点，也可以是两条直线。

例如，矩形的对称中心就是对角线的交点，菱形的对称中心是两条对角线的交点。

在中心对称图形中，可以通过分析一个图形的对称中心或对称轴，来判断另一个图形的性质。

例如，矩形具有稳定性、平行四边形具有传递性等性质，这些性质都可以通过中心对称或轴对称的性质来解释。

三、对称在几何中的应用对称在几何中的应用非常广泛，它可以用来解决一些与角度、边长、面积等问题相关的问题。

例如，在求圆的面积时，可以通过轴对称将圆分成两个完全相等的扇形，再乘以π来计算；在求矩形周长时，可以通过中心对称将矩形分成两个完全相等的部分，再乘以两倍的边长来计算周长。

此外，对称还可以用来解决一些与角度问题相关的问题。

例如，在求一个角度的补角或余角时，可以通过轴对称将角度旋转180度来得到补角或余角；在判断两个角是否相等时，可以通过中心对称将两个角分别旋转180度后是否重合来判断；在证明三角形内角和为180度时，可以通过将三角形分成两个完全相等的扇形来证明。

2012-11课堂内外“对称”是解析几何中的常见问题，也是一种重要的思想方法，本文对解析几何中的点的对称、直线的对称问题进行了整理，以供学生参考。

一、关于点的对称1.点关于点的对称问题通常我们是将点关于点的对称问题化为中点问题来解决的。

例如，求点p （x ，y ）关于点M （x 0，y 0）的对称点P ′的坐标。

设P ′（x ′，y ′），由M 为PP ′的中点，得x 0=x+x ′2y 0=y+y ′2⎧⎩⏐⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐⏐∴x ′=2x 0-xy ′=2y 0-y{即所求对称点的坐标P ′（2x 0-x ，2y 0-y ）。

2.曲线关于点的对称问题利用对称定义，结合求轨迹方程的代入法即可解决曲线关于点的对称问题。

例如，求曲线C ：f （x ，y ）=0关于M （x 0，y 0）对称的曲线C ′的方程。

设P （x ,y ）为曲线C 上任意一点，P 点关于点M 的对称点为P ′（x ′，y ′）则有：x ′=2x 0-x y ′=2y 0-y因P ′在曲线C ′上，显然有f （2x 0-x ，2y 0-y ）=0，此即为所求的对称曲线C ′的方程3.圆锥曲线弦的中点问题若M （x 0，y 0）是圆锥曲线C ：f （x ，y ）=0的一条弦AB 的中点，则弦AB 所在的直线方程为：F （x,y ）-f （2x 0-x ，2y 0-y ）=0由M （x 0，y 0）是弦AB 的中点，故可设A （x ,y ），则B （2x 0-x ，2y 0-y ），因A ，B 在圆锥曲线C 上，所以有：F （x ，y ）=0，f （2x 0-x ，2y 0-y ）=0又由2可知，f （x ,y ）=0与f （2x 0-x ，2y 0-y ）=0是关于点M （x 0，y 0）对称的一对曲线，所以点B 又在与曲线C ：f （x ，y ）=0关于点M 对称的曲线C ′：f （2x 0-x ，2y 0-y ）=0上。

同理，点A 也在曲线C ′上，故AB 是曲线C 与曲线C ′的公共弦，所以其所在直线方程为f （x,y ）-f （2x 0-x ，2y 0-y ）=0例1.设抛物线y 2=12x 有一弦AB 被点M （1，2）平分，求这条弦所在的直线方程。

对中学数学教学中几种常见“对称”问题的探讨“对称”问题不仅是高中数学教学的重点和难点，也是历年来高考的热点。

由于“对称”问题的形式较多，知识点较分散，学生对此都感到头疼。

对此，笔者对高中数学教学中常见的几种“对称”问题进行归类总结，找出每种“对称”问题的特点和内在联系，以期使学生能够轻松地解决对称问题。

一、有关点的对称1.点关于点的对称。

点P（x，y）和P′（x′，y′）关于点M（a，b）对称，可把点M看做是线段PP'的中点，利用中点公式，得到它们坐标之间的关系，即a=■，b=■。

2.点关于直线的对称。

点P（x，y）和P′（x′，y′）关于直线l对称，可以利用直l为线段PP′的垂直平分线的特点，即线段PP′的中点在直线l上，其坐标满足直线l所在方程，并且线段PP′与直线l互相垂直。

3.点关特殊点、线对称。

可以省略中间推导过程，按照一定规律直接得到对称点坐标，如点P（x，y）关于x轴的对称点坐标为（x，-y），关于y轴的对称点坐标为（-x，y），关于原点的对称点坐标为（-x，-y），关于直线y=x对称点的坐标为（y，x）；关于直线y=-x对称的坐标为（-y，-x）。

例1.点M（8，9）关于x轴的对称点（8，-9），关于y轴的对称点（-8，9），关于原点的对称点（-8，-9），关于直线y=x的对称点（9，8），关于直线y=-x的对称点（-9，-8）。

例2.若函数y=f（x），在（-∞，+∞）上为奇函数，且当x∈[0，+∞）时有f（x）=x2-4x-3，求x∈（0，+∞]上的最大值。

解：由于奇函数关于原点对称，可直接得到x∈（-∞，0]的关系式。

-f（x）=（-x）2-4（-x）-3即f（x）=-x2-4x+3，当x=-■，即x=-2时，有f（x）max=f（-2）=-（-2）2-4×（-2）+3=7。

二、有关直线的对称1.直线关于点的对称。

直线l∶y=kx+b关于点M（a，b）的对称直线l′∶y=k1x+b1，它们之间具有如下两个特点：（1）l∥l′。