无锡市2014年高考数学圆锥曲线重点难点大串讲三(学生版) 演示稿

三年高考（2014-2016）数学（理）试题分项版解析第九章 圆锥曲线一、选择题1. 【2016高考新课标1卷】已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是( )（A ）()1,3- （B ）(- （C ）()0,3 （D ）(2. 【2014高考广东卷.理.4】若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的( ) A .离心率相等 B .虚半轴长相等 C .实半轴长相等 D .焦距相等3. 【2016年高考四川理数】设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(p 0)y px => 上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为( )（A ）3 （B ）23（C ）2 （D ）1 4. 【2015高考广东，理7】已知双曲线C ：12222=-b y a x 的离心率54e =，且其右焦点()25,0F ，则双曲线C 的方程为（ ）A ．13422=-y x B. 191622=-y x C. 116922=-y x D. 14322=-y x 5. 【2014山东.理10】 已知0>>b a ，椭圆1C 的方程为12222=+b y a x ，双曲线2C 的方程为22221x y a b -=，1C 与2C 的离心率之积为23，则2C 的渐近线方程为（ ） A.02=±y x B.02=±y x C.02=±y x D.02=±y x6. 【2016高考新课标2理数】已知12,F F 是双曲线2222:1x y E a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，211sin 3MF F ∠=,则E 的离心率为（ ）（A （B ）32（C （D ）27. 【2014新课标，理10】设F 为抛物线C:23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则 △OAB 的面积为（ ）A.B.C. 6332D. 948. 【2016高考浙江理数】已知椭圆C 1：22x m +y 2=1(m >1)与双曲线C 2：22x n–y 2=1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则（ ）A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<19. 【2016高考新课标1卷】以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点,交C 的准线于D 、E 两点.已知|AB |=DE|=则C 的焦点到准线的距离为 (A)2 (B)4 (C)6 (D)810. 【2015高考新课标2，理11】已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（ ）A B ．2 C D 11. 【2016高考新课标3理数】已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，,A B分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于 点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ） （A ）13（B ）12（C ）23（D ）3412. 【2015高考四川，理5】过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则AB =（ ）(A)3(B) (C)6 （D ）13. 【2014四川，理10】已知F 是抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．8D 14. 【2015高考四川，理10】设直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，与圆()()22250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（ ） （A ）()13， （B ）()14， （C ）()23， （D ）()24，15. 【2014课标Ⅰ，理4】已知F 为双曲线C :)0(322>=-m m my x 的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（ ）A. 3B. 3C. m 3D. m 316. 【2016高考天津理数】已知双曲线2224=1x y b-（b >0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形的ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为（ ）（A ）22443=1y x -（B ）22344=1y x -（C ）2224=1x y b -（D ）2224=11x y -17. 【2015高考新课标1，理5】已知M （00,x y ）是双曲线C ：2212x y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF •<，则0y 的取值范围是( )（A ）（ （B ）（（C ）（3-，3） （D ）（3-，3） 18. 【2014课标Ⅰ，理10】已知抛物线C ：x y 82=的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 得一个焦点，若4=，则=QF （ ） A.27 B. 3 C. 25D. 2 19. 【2015高考浙江，理5】如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比是（ ）A. 11BF AF --B. 2211BF AF --C. 11BF AF ++D. 2211BF AF ++ 20. 【2014高考重庆理第8题】设21F F ，分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得,49||||,3||||2121ab PF PF b PF PF =⋅=+则该双曲线的离心率为（ ） A.34 B.35 C.49D.3 21. 【2015高考重庆，理10】设双曲线22221x y a b-=（a >0,b >0）的右焦点为1，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ,C 两点，过B ,C 分别作AC ，AB 的垂线交于点D .若D 到直线BC 的距离小于a ，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是 （ ） A 、(1,0)(0,1)- B 、(,1)(1,)-∞-+∞C 、((0,2)D 、(,(2,)-∞+∞22. 【2015高考安徽，理4】下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是（ ）（A ）2214y x -= （B ）2214x y -= （C ）2214y x -= （D ）2214x y -= 23.【2013年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷5】已知04πθ<<，则双曲线22122:1cos sin x y C θθ-=与222222:1sin sin tan y x C θθθ-=的（ ） A.实轴长相等 B.虚轴长相等 C.焦距相等 D. 离心率相等24. 【2014年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷9】已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π∠=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）25. 【2015高考湖北，理8】将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（ ） A ．对任意的,a b ，12e e >B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e <C ．对任意的,a b ，12e e <D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >26. 【2015高考福建，理3】若双曲线22:1916x y E -= 的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF等于（ ） A ．11 B ．9 C ．5 D ．327. 【2014辽宁理10】已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为（ ） A ．12 B ．23 C ．34 D ．43二、填空题1. 【2014高考北京理第11题】设双曲线C 经过点（2,2），且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为 ；渐近线方程为 .2.【2015高考北京，理10】已知双曲线()22210x y a a-=>0y +=，则a =．3. 【 2014湖南15】如图4，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为(),a b a b <，原点O 为AD 的中点，抛物线)0(22>=p px y 经过F C ,两点，则_____=ab.4. 【2016高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22221()x y a b a b+=＞＞0 的右焦点，直线2by =与椭圆交于,B C 两点，且90BFC ∠=,则该椭圆的离心率是 ▲ .5. 【2016高考天津理数】设抛物线222x pt y pt⎧=⎨=⎩，（t 为参数，p ＞0）的焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B .设C （72p ,0），AF 与BC 相交于点E .若|CF |=2|AF |，且△ACE 的面积为p 的值为_________.6. 【2016高考山东理数】已知双曲线E ：22221x y a b-= （a ＞0，b ＞0），若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |=3|BC |，则E 的离心率是_______.7. 【2015江苏高考，12】在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线122=-y x 右支上的一个动点。

题型一1．若集合{2P x x x =+-的集合是（ ）2．设全集{|1x z ⋃=∈-≤)A =（ ）3．已知全集R =U ，集合4．已知全集U R =，集合A B ⋂等于（ ） 5．已知集合⎩⎨⎧+=92x x M ） 题型二6．若函数()()2log aa f x x ⎧-⎪=⎨⎪⎩( )7．已知(2)()x a x f x a -⎧=⎨⎩0>成立，那么a 的取值范围是（ 题型三定义一种新运算：a ⊗，若函数()()g x f x k =-9．已知函数⎩⎨⎧-=-(2)(x f x f x 根，则实数a题型四 定义在R 上的偶函数)(x f (3)f 的x 取值范围是（ ）题型五设函数f(x)=1201120102012sin ,([,])2011122x x x x ππ+++∈-+的最大值为M ，最小值为N ， 那么=+N M .巩固提高 设全集{}(,),U x y x y R =∈,集合2(,)|12y M x y x +⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭，{}(,)4N x y y x =≠-,那么()()U U C M C N =____________.15．设不等式402x x ->-的解集为集合A ，关于x 的不等式22(23)320x a x a a +-+-+<的解集为集合B .（I ）若B A ⊆，求实数a 的取值范围；（II ）若A ∩B =∅，求实数a 的取值范围.16．设函数()221f x x ax a =+--，[]0,2x ∈，a 为常数（1）求()f x 的最小值()g a 的解析式;（2）在（1）中，是否存在最小的整数m ，使得()0g a m -≤对于任意a R ∈均成立，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.17．已知函数.11log )(2x x x x f +-+-=(1)求函数)(x f 的定义域；(2)求⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛20131)20121()20131(20121f f f f 的值；18．已知函数2()log (0,1)2a x f x a a x-=>≠+. （Ⅰ）当a=3时，求函数()f x 在[1,1]x ∈-上的最大值和最小值； （Ⅱ）求函数()f x 的定义域，并求函数2()()(24)4f x g x ax x a =--++的值域。

2014高考数学文“硬”手笔（真题篇）常考问题：概率与统计（备用）[真题感悟]1．(2013·江苏卷)现有某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，n (m ≤7，n ≤9)可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为________．解析 基本事件总数为N ＝7×9＝63，其中m ，n 都为奇数的事件个数为M ＝4×5＝20，所以所求概率P ＝M N ＝2063. 答案 20632．(2013·江苏卷)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：解析 对于甲，平均成绩为x 甲＝15(87＋91＋90＋89＋93)＝90，所以方差为s 2甲＝15(32＋12＋02＋12＋32)＝4；对于乙，平均成绩为x 乙＝15(89＋90＋91＋88＋92)＝90，所以方差为s 2乙＝15(12＋02＋12＋22＋22)＝2，由于2<4，所以乙的平均成绩为稳定． 答案 23．(2012·江苏卷)某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生．解析 由已知，高二人数占总人数的310，所以抽取人数为310×50＝15. 答案 154．(2012·江苏卷)现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．解析满足条件的数有1，－3，－33，－35，－37，－39；所以p＝610＝35.答案3 5[考题分析]高考对本内容的考查主要有：(1)抽样方法的选择、与样本容量相关的计算，尤其是分层抽样中的相关计算，A级要求．(2)图表中的直方图、茎叶图都可以作为考查点，尤其是直方图更是考查的热点，A级要求．(3)特征数中的方差、标准差计算都是考查的热点，B级要求．(4)随机事件的概率计算，通常以古典概型、几何概型的形式出现，B级要求.。

1．已知点,，，直线将分割为面积相等的两部分，则的取值范围是( )A．（0，） B． C． D．【答案】B【解析】试题分析：由题意可得，三角形ABC的面积为 S= AB•OC=4，由于直线y=ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（−，0），由题意知−≤0可得点M在射线OA上．设直线和BC的交点为 N，则由，可得点N的坐标为，若点M和点A重合，则点N为线段BC的中点，则−=-2，且=1，解得，，若点M在点O和点A之间，则点N在点B和点C之间，由题意可得三角形NMB的面积等于2，即•MB• =2，即，解得，故b＜1，若点M在点A的左侧，则−＜-2，b>2a，设直线y=ax+b和AC的交点为P，则由求得点P的坐标为，此时，，此时，点C （0，2）到直线y=ax+b的距离等于，由题意可得，三角形CPN的面积等于2，即，化简可得，由于此时 0＜a＜1，∴，两边开方可得，则，综合以上可得b的取值范围是，答案选B。

考点：直线方程，三角形面积，不等式的性质2．已知直线在轴和轴上的截距相等，则a的值是( )A．1 B．－1 C．－2或－1 D．－2或1【答案】D【解析】试题分析：当截距都为0时，即；当截距都不为0即时，直线方程可变形为：，由已知有得，所以答案选D．考点：直线的方程5．已知点M（2，－3），N（－3，－2），直线与线段ＭＮ相交，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】试题分析：∵直线ax+y-a+1与线段MN相交，∴M，N在ax+y-a+1=0的两侧，或在ax+y-a+1=0上∵M（2，-3），N（-3，-2），∴（2a+3-a+1）（-3a+2-a+1）≤0∴（a+4）（-4a+3）≤0∴（a+4）（4a-3）0．考点：直线与线段的位置关系6．点是双曲线与圆的一个交点，且，其中，分别为双曲线的左右焦点，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A.【解析】试题分析：由题意可知，圆，画出如下示意图，从而可知，又∵，∴，，∴..考点：双曲线的性质.7．已知圆,圆,分别是圆上的动点,为轴上的动点,则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】试题分析：由已知可知，，对于x轴的任一点P，当点M、N分别为与的交点时|PM|+|PN|取得最小值，所以问题可转化为求的最小值可看作x轴上一点到两定点距离之和的最小值减去4，由平面几何的知识易知当P、、关于x轴对称的点三点共线时x轴上一点到两定点距离之和取得最小值为，所以，答案选A．考点：转化与化归的思想以及距离的最值问题8．已知直线ax＋by＋1＝0(a、b>0)过圆x2＋y2＋8x＋2y＋1＝0的圆心，则的最小值为（）A．8 B．12 C．16 D．20【答案】C【解析】试题分析：由x2＋y2＋8x＋2y＋1＝0得圆心（-4，-1），代入ax＋by＋1＝0得4a+b=1,选C.考点：圆的方程和均值不等式9．曲线有两个交点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：曲线是以C（0, 1）为圆心，半径为1的圆的上半部.其图像一半在第一象限，另一半在第二象限.又直线l：y=k（x-2）+4为过A（2, 4）的直线，设该直线从x = 2的位置开始绕点A顺时针旋转，开始只有一个交点，直到过点B（-2, 1），此时开始有两个不同的交点，直到与半圆相切，如图所示：过点B时，斜率k =，相切时，C与直线y=k（x-2）+4，即kx -y + 4 -2k = 0的距离d为半圆的半径1. 所以d = ，平方解得k =，所以得的取值范围是，故选D.考点：圆与直线的交点.10．如果实数满足等式，那么的最大值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：设，则y=kx表示经过原点的直线，k为直线的斜率．所以求的最大值就等价于求同时经过原点和圆上的点的直线中斜率的最大值．从图中可知，斜率取最大值时对应的直线斜率为正且与圆相切，此时的斜率就是其倾斜角∠EOC的正切值．易得|OC|＝2，|CE|＝r＝，可由勾股定理求得|OE|=1，于是可得到k＝tan∠EOC＝，即为的最大值．考点：直线与圆的位置关系，数形结合．11．已知圆与直线及都相切，圆心在直线上，则圆的方程为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：由圆的几何性质得直线与的距离为圆的直径又圆心在直线上，所以设圆心因为圆与直线及都相切，所以，解得故圆的方程为故选考点：圆的标准方程.12．过点的直线与圆交于两点，当最小时，直线的方程为 .【答案】.【解析】试题分析：显然，如图，，∴，∴，当且仅当时，等号成立，故的方程为.考点：直线与圆相交.13．已知点P在直线上，若在圆：上存在两点A，B，使，则点P的横坐标的取值范围是．【答案】【解析】试题分析：过点作圆的两条切线，当两切线垂直即两切线的斜率的两点是极限位置，过点作切线，设斜率为，切线方程为代入圆的方程得整理得由于直线与圆相切，因此即化简得，，解得，因此点横坐标．考点：直线与圆的综合应用．14．设分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使且，则椭圆的离心率为．【答案】【解析】试题分析：根据椭圆的定义,，，，,勾股定理得，化简得，即，所以离心率．考点：①椭圆的定义和性质；②勾股定理．15．（本小题文科14分，理科12分）已知方程的曲线是圆C（1）求的取值范围;（2）当时,求圆C截直线所得弦长;（3）若圆C与直线相交于两点,且以为直径的圆过坐标原点O,求的值.【答案】（1）或；（2）；（3）【解析】试题分析：直线与圆的位置关系；一元二次方程的根的分布与系数的关系；点到直线的距离公式；二元二次方程表示圆的条件．试题解析：（1）>0（2）设圆心到直线的距离为圆C截直线所得弦长为（3）以为直径的圆过坐标原点O, 即设则由整理得经检验,此时考点：直线与圆的位置关系；一元二次方程的根的分布与系数的关系；点到直线的距离公式；二元二次方程表示圆的条件．16．（本题满分15分）已知椭圆：（）和圆：，分别是椭圆的左、右两焦点，过且倾斜角为（）的动直线交椭圆于两点，交圆于两点（如图所示，点在轴上方）.当时，弦的长为.（1）求圆与椭圆的方程；（2）若成等差数列，求直线的方程.【答案】（1）椭圆的方程为：，：；（2）直线的方程为：.【解析】试题分析：（1）求圆与椭圆的方程，其实只要求的值，而本身满足，只要再建立一个关于的等式即可求出的值，这可从直线被圆截得的弦长为考虑，运用垂径定理建立关于等式；（2）求直线的方程，因为直线已经经过，只要再求一点或斜率，即可得到方程，因为成等差数列，结合椭圆的定义，可求得的长，从而可求得的坐标，最终可求得直线的方程.试题解析：（1）取的中点，连，由，，知，，，即，从而，椭圆的方程为：，：.（2）设，，又的长成等差数列，，设，由解得，，：.考点：直线与圆、直线与椭圆.17．（本小题满分16分）已知椭圆的两个焦点分别为，A为上端点，P为椭圆上任一点（与左、右顶点不重合）.（1）若，求椭圆的离心率；（2）若且，求椭圆方程；（3）若存在一点P使为钝角，求椭圆离心率的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】试题分析：（1）由AF1⊥AF2，根据对称性，△F1AF2为等腰直角三角形，即AO=OF2，从而得到b=c，结合a2=b2+c2，可求椭圆的离心率；（2）由点的坐标求得的坐标，代入求得c的值，再由P（-4，3）在椭圆上联立方程组求得a2，b2的值，则椭圆方程可求；（3）由∠F1PF2为钝角，得到有解，转化为c2＞x02+y02有解，求出x02+y02的最小值后求得椭圆离心率的取值范围．试题解析：（1）如图，若，据对称性，为等腰直角三角形，即，即，故 5分（2）设，则有，知又解得即椭圆方程为 10分（3）设，则，即，易见. 若当为钝角，当且仅当有解，即有解，即.又，即.故即即即又即 16分考点：直线与圆锥曲线的关系，平面向量数量积在解题中的应用与数学转化思想方法18．（本题满分13分）设椭圆：的离心率，右焦点到直线的距离，为坐标原点（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆交于两点，以为直径的圆过原点，求到直线的距离【答案】（1），（2）【解析】试题分析：：（1）求椭圆的方程，用待定系数法求出的值；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式：计算一元二次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论.试题解析：（1），右焦点到直线的距离，则，且，所以，所以椭圆的的方程是：（2）设直线：，那么：，则，又因为直线与椭圆交于两点，以为直径的圆过原点，，，化简得，即所以到直线的距离为.考点：（1）求椭圆的标准方程;（2）直线与椭圆相交的综合问题.19．(本小题14分)如图在四棱锥中，底面是矩形，平面，，点是中点，点是边上的任意一点.（1）当点为边的中点时，判断与平面的位置关系，并加以证明；（2）证明：无论点在边的何处，都有；（3）求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）.【解析】试题分析：（1）利用三角形的中位线及线面平行的判定定理解决；（2）通过证明AF⊥平面PCD 即可解决；（3）利用换底法求即可．试题解析：（1）分别是、的中点是的中位线 EF||PC又平面BDE, 平面BDE ||平面（2）底面，平面ABCD又平面又平面PAD又，点是中点，又平面又平面(3) 作FG||PA交AD于G，则FG平面ABCD，且∴三棱锥B-AFE的体积为.考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面垂直的性质．20．(本小题满分14分)）如图，在三棱柱中，⊥底面，且△为正三角形，，为的中点．(1)求证:直线∥平面；(2)求证:平面⊥平面；(3)求三棱锥的体积．【答案】（1）证明：见解析；（2）证明：见解析；（3）．【解析】试题分析：（1）证明思路：连接B1C交BC1于点O，连接OD，则点O为B1C的中点．知为中位线，得到．（2）证明思路：由底面，得到，又底面正三角形，D是AC的中点，可得；（3）由（2）知中，计算得== ，又是底面上的高，计算得到.试题解析：（1）证明：连接B1C交BC1于点O，连接OD，则点O为B1C的中点．1分∵D为AC中点，得为中位线，∴．2分∴直线平面4分（2）证明：∵底面，∴5分∵底面正三角形，D是AC的中点∴6分∵，∴BD⊥平面ACC1A17分, 8分（3）由（2）知中，∴== 10分又是底面上的高11分∴=•13分考点：1.垂直关系；2.平行关系；3.几何体的体积，“等体积法”.。