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数学高考复习点拨：二项分布与超几何分布辨析

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- - . - - 考试资料 二项分布与超几何分布辨析 二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题都可以利用这两个概率模型来解决．在实际应用中，理解并区分两个概率模型是至关重要的．下面举例进行对比辨析． 例 袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．求： （1）有放回抽样时，取到黑球的个数Ｘ的分布列； （2）不放回抽样时，取到黑球的个数Ｙ的分布列． 解：（1）有放回抽样时，取到的黑球数Ｘ可能的取值为０，1，2，3．又由于每次取到

黑球的概率均为，3次取球可以看成3次独立重复试验，则1~35XB，．

03031464(0)55125PXC∴；1213

1448(1)55125PXC



；

21231412(2)55125PXC；3033

141(3)55125PXC



．

因此，X的分布列为

2．不放回抽样时，取到的黑球数Ｙ可能的取值为０，1，2，且有： 03283107(0)15CCPYC；12283107(1)15CCPYC；2128310

1(2)15CCPYC．

因此，Y的分布列为

辨析：通过此例可以看出：有放回抽样时，每次抽取时的总体没有改变，因而每次抽到某物的概率都是相同的，可以看成是独立重复试验，此种抽样是二项分布模型．而不放回抽样时，取出一个则总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不同的，此种抽样为超几何分布模型．因此，二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样． 超几何分布和二项分布都是离散型分布，超几何分布和二项分布的区别：

超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要； 超几何分布是不放回抽取，而二项分布是放回抽取（独立重复） 当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布........

X 0 1 2 3 P 64125 48125 12125 1125

Y 0 1 2 P 715 715 115 - - .

- - 考试资料 二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题都可以利用这两个概率模型来解决。在实际应用中，理解并区分两个概率模型是至关重要的。下面举例进行对比辨析。 1.有放回抽样:每次抽取时的总体没有改变，因而每次抽到某物的概率都是相同的，可以

看成是独立重复试验，此种抽样是二项分布模型。 2.不放回抽样:取出一个则总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不同的，此种抽

样为超几何分布模型。因此，二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样。所以，在解有关二项分布和超几何分布问题时，仔细阅读、辨析题目条件是非常重要的(特别注意：二项分布是在n次独立重复试验的3个条件成立时应用的)。 超几何分布和二项分布的区别：

（1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要； （2）超几何分布是“不放回”抽取，而二项分布是“有放回”抽取（独立重复）。 练习题： 1. 袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球。求： （1）有放回抽样时，取到黑球的个数Ｘ的分布列； （2）不放回抽样时，取到黑球的个数Ｙ的分布列。

2. (2008年四川延考)一条生产线上生产的产品按质量情况分为三类：A类、B类、C类．检验员定时从该生产线上任取2件产品进行一次抽检，若发现其中含有C类产品或2件都是B类产品，就需要调整设备，否则不需要调整．已知该生产线上生产的每件产品为A类品，B类品和C类品的概率分别为0.9,0.05和0.05，且各件产品的质量情况互不影响． (1)求在一次抽检后，设备不需要调整的概率； (2)若检验员一天抽检3次，以ξ表示一天中需要调整设备的次数，求ξ的分布列． - - .

- - 考试资料 3. 今天你低碳了吗？近来，国内网站流行一种名为“碳排放计算器”的软件，人们可以扰

此计算出自己每天的碳排放量。例如：家居用电的碳排放量（千克）=耗电度数×.785，汽车的碳排放量（千克）=油耗公升数×0.785等。某班同学利用寒假在两个小区逐户进行了一次生活习惯进否符合低碳观念的调查。若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”。这二族人数占各自小区总人数的比例P数据如下：

（I）如果甲、乙来自A小区，丙、丁来自B小区，求这4人中恰有2人是低碳族的概率； （II）A小区经过大力宣传，每周非低碳族中有20%的人加入到低碳族的行列。如果2周

后随机地从A小区中任选25个人，记表示25个人中低碳族人数，求.E

4. 在“自选模块”考试中，某试场的每位同学都选了一道数学题，第一小组选《数学史与不等式选讲》的有1人，选《矩阵变换和坐标系与参数方程》的有5人，第二小组选《数学史与不等式选讲》的有2人，选《矩阵变换和坐标系与参数方程》的有4人，现从第一、第二两小组各任选2人分析得分情况. （Ⅰ）求选出的4 人均为选《矩阵变换和坐标系与参数方程》的概率； （Ⅱ）设为选出的4个人中选《数学史与不等式选讲》的人数，求的分布列和数学期望．

A小区 低碳族 非低碳族

B小区 低碳族 非低碳族 比例P - - .

- - 考试资料 5.甲、乙两人参加2010年广州亚运会青年志愿者的选拔．打算采用现场答题的方式来进行，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才能入选． (1)求甲答对试题数ξ的概率分布； (2)求甲、乙两人至少有一人入选的概率． - - .

- - 考试资料 - - .

- - 考试资料 正态分布和线性回归 高考要求 1.了解正态分布的意义及主要性质2.了解线性回归的方法和简单应用 知识点归纳 1．正态分布密度函数： ，（σ＞0，-∞＜x＜∞） 其中π是圆周率；e是自然对数的底；x是随机变量的取值；μ为正态分布的均值；σ是正态分布的标准差.正态分布一般记为

2．正态分布）是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布 例1、下面给出三个正态总体的函数表示式，请找出其均值μ和标准差σ． （1），（-∞＜x＜+∞ （2），（-∞＜x＜+∞ 解： (1)0,1 (2)1,2 3．正态曲线的性质：正态分布由参数μ、σ唯一确定，如果随机变量～N(μ，σ2)，根据定义有：μ=E，σ=D。 正态曲线具有以下性质： （1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交。 （2）曲线关于直线x =μ对称。 （3）曲线在x =μ时位于最高点。 （4）当x μ时，曲线下降。并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近。 （5）当μ一定时，曲线的形状由σ确定。σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中。 五条性质中前三条较易掌握，后两条较难理解，因此应运用数形结合的原则，采用对比教学

4．标准正态曲线:当μ=0、σ=l时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是，（-∞＜x＜+∞） 其相应的曲线称为标准正态曲线 标准正态总体N（0，1）在正态总体的研究中占有重要的地位任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题 5.标准正态总体的概率问题: - - . - - 考试资料 对于标准正态总体N（0，1），是总体取值小于的概率， 即 ， 其中，图中阴影部分的面积表示为概率只要有标准正态分布表即可查表解决.从图中不难发现:当时，；而当时，Φ（0）=0.5 例2 设，且总体密度曲线的函数表达式为： ，x∈R。 （1）求μ，σ； （2）求的值。

分析：根据表示正态曲线函数的结构特征，对照已知函数求出μ和σ。利用一般正态总体与标准正态总体N（0，1）概率间的关系，将一般正态总体划归为标准正态总体来解决。 解：（1）由于， 根据一般正态分布的函数表达形式，可知μ=1，，故X～N（1，2）。 （2）

。 点评：在解决数学问题的过程中，将未知的，不熟悉的问题转化为已知的、熟悉的、

已解决了的问题，是我们常用的手段与思考问题的出发点。通过本例我们还可以看出一般正态分布与标准正态分布间的内在关联。 9．相关关系:当自变量一定时，因变量的取值带有一定的随机性的两个变量之间的关系称为相关关系 相关关系与函数关系的异同点如下： 相同点：均是指两个变量的关系 不同点：函数关系是一种确定的关系；而相关关系是一种非确定关系；函数关系是自变量与因变量之间的关系，这种关系是两个非随机变量的关系；而相关关系是非随机变量与随机变量的关系． 10．回归分析一元线性回归分析： 对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫做回归分析通俗地讲，回归分析是寻找相关关系中非确定性关系的某种确定性 对于线性回归分析，我们要注意以下几个方面： （1）回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法。两个变量具有相关关系是回归分析的前提。 （2）散点图是定义在具有相关系的两个变量基础上的，对于性质不明确的两组数据，可先作散点图，在图上看它们有无关系，关系的密切程度，然后再进行相关回归分析。 （3）求回归直线方程，首先应注意到，只有在散点图大至呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则，求出的回归直线方程毫无意义。 11．散点图：表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图.散点图形象地反映了各对数据的密切程度粗略地看，散点分布具有一定的规律

12. 回归直线 设所求的直线方程为，其中a、b是待定系数． ， , 相应的直线叫做回归直线，对两个变量所进行的上述统计分析叫做回归分析 13.相关系数：相关系数是因果统计学家皮尔逊提出的，对于变量y与x的一组观测值，把 = 叫做变量y与x之间的样本相关系数，简称相关系数，用它来衡量两个变量之间的线性相关程度. 14.相关系数的性质：≤1，且越接近1，相关程度越大；且越接近0，相关程度越小.一般

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二项分布与超几何分布的区别

二项分布与超几何分布的区别


（1）从中每次取出1个球然后放回，连续抽取三次，求取到红球 次数X的分布列和数学期望。 3k k k 解：由已知X~B(3,0.4)， PX k C3 0.4 1 0.4 , (k 0,1,2,3)
X 所以，X的分布列为: p
0
1
2
3
27 54 36 8 E X 3 0.4 1.2 125 125 125 125
k n－ k P(X＝k)＝Ck p (1 － p ) ，k＝0,1,2，…，n. n
则称随机变量 X 服从参数为 n、p 的二项分布，记 作 X～B(n，p)，并称 p 为成功概率．
2．超几何分布
一般地，在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其 中恰有 X 件次品，则事件{X＝k}发生的概率为
E X 3 0.6 1.8
0
1
2
3
8 36 54 27 125 125 125 125
变式：（3）把（2）改为：若随机在样本不赞成高考改革的家长中 抽取3个，记这3个家长中是城镇户口的人数为Y，试求Y的分布列 及数学期望E(Y). k 3 k C15 C10 解：由已知Y服从超几何分布， PY k , (k 0,1,2,3) 3 C25 所以，Y的分布列为: Y
2018届南宁市摸底考试18题
摸底考试18题第（1）问
（2）用样本的频率估计概率，若随机在全省不赞成高考改革的家 长中抽取3个，记这3个家长中是城镇户口的人数为X，试求X的分 布列及数学期望E(X). 用样本的频率估计概率应怎样理解？ 概率定义：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事 件A发生的频率稳定在某个常数上，把这个常数记作P（A），称为 事件A的概率。 在样本中，不赞成高考改革的家长中是城镇户口的频率为0.6，因 此，估计全省从不赞成高考改革的家长中随机抽取1个，他是城镇 户口的概率为0.6，抽取3个，即进行3次独立重复试验，所以， X~(n,p)
超几何分布和二项分布的联系和区别

超几何分布和二项分布的联系和区别

超几何分布和二项分布的联系和区别开滦一中 张智民在最近的几次考试中,总有半数的的学生搞不清二项分布和超几何分布,二者到底该如何区分呢?什么时候利用二项分布的公式解决这道概率问题?什么时候用超几何分布的公式去解决呢?好多学生查阅各种资料甚至于上网寻找答案,其实这个问题的回答就出现在教材上,人教版新课标选修2-3从两个方面给出了很好的解释.诚可谓:众里寻他千百度,蓦然回首,那人却在灯火阑珊处! 一、两者的定义是不同的教材中的定义: (一)超几何分布的定义在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则P(X=k)=nNk-n M -N k M C C C ,Λ，2,1,0k =, m,其中m=min{M,n},且n ≤N,M ≤N,n,M,N ∈N,称随机变量X 服从超几何分布(二)独立重复试验和二项分布的定义1）独立重复试验：在相同条件下重复做的n 次试验,且各次试验试验的结果相互独立,称为n 次独立重复试验,其中A(i=1,2,…,n)是第ⅰ次试验结果,则P(A1A2A3…An)=P(A 1)P(A2)P(A3)…P(An) 2)二项分布在n 次独立重复试验中,用X 表示事件A 发生的次数,设每次试验中事件A 发生的概率为P,则P(X=k)=k n k p p --)1(C k n(k=0,1,2,…,n),此时称随机变量X 服从二项分布,记作X~B(n,p),并称P 为成功概率。

1.本质区别(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题,二项分布描述的是放回抽样问题;(2)超几何分布中的概率计算实质上是古典概型问题;二项分布中的概率计算实质上是相互独立事件的概率问题2.计算公式超几何分布:在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则P(X=k)=n Nk-n M -N k M C C C ,Λ，2,1,0k =, m,二项分布:在n 次独立重复试验中,用X 表示事件A 发生的次数,设每次试验中事件A 发生的概率为P,则P(X=k)=kn k p p --)1(C k n(k=0,1,2,…,n), 温馨提示:当题目中出现“用样本数据估计XXX 的总体数据”时,均为二项分布问题。

超几何分布与二项分布的区别联系

超几何分布与二项分布的区别联系

情时每台报警器报警的概率均为 0.9 。求险情发生时下列事
件的概率： ⑴3 台都没有报警； (2)恰好有一台报警； (3)恰好有两台报警；
分析： 1.一个警报器对另一个警报器有干扰吗？
2.每一个警报器报警的概率一样吗？
3.属于几次独立重复实验？
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1.一个警报器对另一个警报器有干扰吗？ 2.每一个警报器报警的概率一样吗？ 3.属于几次独立重复实验？
(2)如以该次检查的结果作为该批次每件产品大肠菌群超标的概率，如 从该批次产品中任取2件，设随机变量η为大肠菌群超标的产品数量，求P(η ＝1)的值及随机变量η的数学期望．
规律总结：当提问中涉及'‘用样本数据来估计总体数
据”字样或有此意思表示的时候，就是二项分布，否则就不是。
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跟踪训练 1
1.（广东高考 17） 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情 况，随机抽取该流水线上的 40 件产品作为样本称出它们的重量（单 位：克），重量的分组区间为（490,495]，（495,500]，……，（510,515]， 由此得到样本的频率分布直方图，如图 4 所示。 （1）根据频率分布直方图，求重量超过 505 克的产品数量。 （2）在上述抽取的 40 件产品中任取 2 件，设 Y 为重量超过 505 克 的产品数量， 求 Y 的分布列。 （3）从流水线上任取 5 件产品， 求恰有 2 件产品合格的重量超过 505 克的概率。
(1).C30 0.90 (0.1)3 0.001 (2).C31(0.9)1(0.1)2 0.027 (3).C32 (0.9)2 (0.1)1 0.243
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探究一 某地工商局从某肉制品公司的一批数量较大的火腿肠产品中
抽取10件产品，检验发现其中有3件产品的大肠菌群超标． (1)如果在上述抽取的10件产品中任取2件，设随机变量ξ为
关于二项分布与超几何分布问题区别举例

关于二项分布与超几何分布问题区别举例

关于“二项分布”与“超几何分布”问题举例概率问题是历年高考必考内容，也是高考试题研究的热点话题；因此，对于这部分内容，我们在备考复习中也投入了大量的精力，作了充分的准备；然而，在平时的练习和模考中，经常会发现学生的错误频频，准确地讲：对“二项分布”和“超几何分布”的概念模糊，判断不准，互相误用，导致错误；为此，本文对“二项分布”和“超几何分布”的概念和应用作出具体的剖析. 一．基本概念 1.超几何分布一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件⎨X=k ⎬发生的概率为：P(X=k)= nNkn MN k M C C C --⋅,k= 0,1,2,3,⋯⋯,m ；其中，m = min ⎨M,n ⎬,且n ≤ N , M ≤ N . n,M,N ∈ N *为超几何分布；如果一个变量X 的分布列为超几何分布列，则称随几变量X 服从超几何分布.其中，EX= n ⋅ M N2.二项分布在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X,在每次试验中，事件A 发生的概率为P ,那么在n 次独立重复试中，事件A 恰好发生k 次的概率为： P(X=k)= C n k p k (1-p)n-k (k=0,1,2,3,⋯,n),此时称随机变量X 服从二项分布. 记作：X ~ B(n,p),EX= np3.“二项分布”与“超几何分布”的联系与区别 (1)“二项分布”所满足的条件每次试验中，事件发生的概率是相同的；是一种放回抽样. 各次试验中的事件是相互独立的；●每次试验只有两种结果，事件要么发生，要么不发生；❍随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数.(2)“超几何分布”的本质：在每次试验中某一事件发生的概率不相同，是不放回抽样，“当样本容量很大时，超几何分布近似于二项分布;(3)“二项分布”和“超几何分布”是两种不同的分布，但其期望是相等的.几何分布”和“二项分布”的这种“巧合”，使得“超几何分布”期望的计算大简化.共同点：每次试验只有两种可能的结果：成功或失败。