高考数学复习第六章 第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划

4 直线 2x＋y－10＝0 恰过点 A(5,0)，且其斜率 k＝－ 2＜kAB＝－ 3，即直线 2x ＋ y－10＝0 与平面区域仅有一个公共点 A(5,0)．
2x＋y－6≤0， (2)不等式组 x＋ y－3≥0，
y≤ 2
表示的平面区域如图所示 (阴影部分 )，△ABC
的面积即为所求．
求出点 A，B，C 的坐标分别为 (1,2)，(2,2)，(3,0)，则△ABC 的面积为 S＝ 12× (2 － 1)×2＝1.
答案 (1)B (2)B 规律方法 二元一次不等式组所确定的平面区域是不等式组中各个不等式
所表示的半平面区域的公共部分， 画出平面区域的关键是把各个半平面区域确定
准确，其基本方法是 “直线定界、特殊点定域 ”．
【训练 1】 若不等式组
x－ y≥ 0， 2x＋y≤2， y≥ 0， x＋ y≤ a
表示的平面区域是一个三角形，
表示的平面
区域的公共点有 ( )．
A．0 个 C．2 个
B．1 个 D．无数个
(2)(2014 济·南模拟 )不等式组
2x＋y－6≤0， x＋y－3≥0， y≤2
表示的平面区域的面积为
( )． A．4 C．5
B．1 D．无穷大
学生用书 第 98 页
解析 (1)由不等式组画出平面区域如图 (阴影部分 )．
则 a 的取值范围是 ( )． A. 43，＋∞ 4 C. 1， 3
B．(0,1] 4
D．(0,1]∪ 3，＋∞
1．二元一次不等式 (组)表示的平面区域
(1)一般地， 二元一次不等式 Ax＋ By＋C>0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax
＋ By＋C＝0 某一侧的所有点组成的平面区域 (半平面 )不含边界直线．不等式 Ax

(1)z＝yx表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜 率，
因此yx的范围为直线 OB 的斜率到直线 OA 的斜率
(直线 OA 的斜率不存在，即 zmax 不存在)。
x－y＋1＝0，
由y＝2，
得 B(1,2)，
∴kOB＝21＝2，即 zmin＝2， ∴z 的取值范围是[2，＋∞)。
(2)z＝x2＋y2 表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方。 因此 x2＋y2 的值最小为|OA|2(取不到)，最大值为|OB|2。 由xx－＝0y＋，1＝0， 得 A(0,1)， ∴|OA|2＝( 02＋12)2＝1，|OB|2＝( 12＋22)2＝5， ∴z 的取值范围是(1,5]。 【答案】 (1)最大值不存在，最小值 2，取值范围[2，＋∞) (2)最大值 5，最小值无 取值范围(1,5]
【母题变式】 1.若 z＝yx－ －11，求 z 的取值范围。 【解析】 z＝yx－－11可以看作过点 P(1,1)及(x，y)两点的直线的斜率。 ∴z 的取值范围是(－∞，0)。
【答案】 (－∞，0)
• 2．若z＝x2＋y2－2x－2y＋3，求z的最大值、 最小值。 【解析】 z＝x2＋y2－2x－2y＋3
• 2．当不等式中带等号时，边界为实线；不 带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原 点。
【变式训练】
(2016·包头模拟)已知约束条件xx≥＋1y－，4≤0， kx－y≤0，
表示
面积为 1 的直角三角形区域，则实数 k 的值为( )
A．1
B．－1
C．0
D．－2
x≥1， 【解析】 作出不等式组x＋y≤4 对应的平面区域，如图： 要使阴影部分为直角三角形， 当 k＝0 时，此三角形的面积为12×3×3＝92≠1， 所以不成立，所以 k>0，则必有 BC⊥AB， 因为 x＋y－4＝0 的斜率为－1， 所以直线 kx－y＝0 的斜率为 1，即 k＝1。 故选 A。 【答案】 A

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[以题试法 1] 解析：(1)不等式组所表示 的平面区域如图中阴影部分，当 a＝0 时， 只有 4 个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)； 当 a＝－1 时，正好增加(－1，－1)，(0， －1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)5 个整点，故选 C.
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(2)依题意得，OA＋OM ＝(x＋1，y)，|OA＋
OM |＝ x＋12＋y2可视为点(x，y)与点(－1,0)
间的距离，在坐标平面内画出题中的不等式
组表示的平面区域，结合图形可知，在该平面区域内的点中，
由点(－1,0)向直线 x＋y＝2 引垂线的垂足位于该平面区域
内，且与点(－1,0)的距离最小，因此|OA＋OM |的最小值是
x≥0， y≥0， 0.5x＋0.7y≥1.9， x＋0.5y≤2， 目标函数为 z＝3x＋6y，画出不等式组表示的平面区域如图所 示当目标函数经过(1,2)点时目标函数取最小值，最小值为 zmin ＝3×1＋6×2＝15. 答案：15
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高分障障碍要破除 [针对训练 1] 选 D 由题意知，直线 x＋by＋c＝0 经过直线 2x＋y＝7 和直线 x＋y＝4 的交点，经过直线 2x＋y＝1 和直线 x＝1 的交点，即经过点(3,1)和点(1，－1)，所以31＋－bb＋＋cc＝＝00，， 解得 b＝－1，c＝－2.
(2)不等式组所表示的平面区域是如图所示的 △ABC，且 A(－2,2)，B(a，a＋4)，C(a，－ a)，若 a≤0，则有△ABC 的面积 S△ABC≤4， 故 a＞0，BC 的长为 2a＋4，由面积公式可得 △ABC 的面积 S△ABC＝12(a＋2)·(2a＋4)＝9， 解得 a＝1. 答案：(1)C (2)1

第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆1．二元一次不等式(组)表示的平面区域2．线性规划中的有关概念确定二元一次不等式(组)表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法。

(1)直线定界，不等式含等号，直线在区域内，不含等号，直线不在区域内。

(2)特殊点定域，在直线上方(下方)取一点，代入不等式成立，则区域就为上方(下方)，否则就是下方(上方)。

特别地，当C ≠0时，常把原点作为测试点；当C ＝0时，常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点。

微点提醒1．判断二元一次不等式表示的平面区域的常用结论把Ax ＋By ＋C >0或Ax ＋By ＋C <0化为y >kx ＋b 或y <kx ＋b 的形式。

(1)若y >kx ＋b 则区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0上方。

(2)若y <kx ＋b 则区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0下方。

2．线性目标函数都是通过平移直线，在与可行域有公共点的情况下，分析其在y 轴上的截距的取值范围，所以取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上。

3．求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，若b >0，则直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴上截距最小时，z 值最小；若b <0，则相反。

小|题|快|练一 、走进教材1．(必修5P 86练习T 3改编)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6<0，x －y ＋2≥0表示的平面区域是( )【解析】 x －3y ＋6<0表示直线x －3y ＋6＝0左上方部分，x －y ＋2≥0表示直线x －y ＋2＝0及其右下方部分。

故不等式组表示的平面区域为选项C 所示部分。

【答案】 C2．(必修5P 91练习T 1改编)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则目标函数z ＝2x －y 的最大值为( )A ．6B ．5 C.12D ．－3【解析】 作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC 及其内部，其顶点A (－1，－1)，B (2，－1)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12。