四年级奥数：一笔画问题

思维拓展
一笔画问题
• 大数学家欧拉根据著名的“七桥问题”开创了数学新分 支----------图论。也就是“一笔画”
七桥问题的分析
• 1、观察上图的七桥图片以及其简化图 • 2、简化图上各线段之间有A、B、C、D四个交点 • 3、一笔画问题就是研究这些交点的
一笔画的问题的第一步
————
通过观察，我们发现 1、A点有三根线相交 2、B点有五根线相交 3、C点有三根线相交 4、D点有三根线相交
有奇数根线相交的点称为奇点 有偶数根线相交的点称为偶点
奇点和偶点的概念是重点，后面要用

一笔画的问题的第二步
————
1、回到一笔画问题的起源，一笔画问题实际上就是一个人在走路 2、一个点就是一个地方，一条线就是一条路 3、走路不是随便走，有限制条件：不能重复走同一条路，而且每条路都要走过 4、分析具体的一个地方，要么只有来路；要么只有去路；要么又有来路、又有去路。 5、走路有一个特点：有起点，有中间点，有终点。 6、起点的特点：去，一条线。 7、终点的特点：来，一条线。 8、中间点的特点：来，一条线。去，另一条线。
一笔画的问题的第三步
————
1、奇点要么是起点，要么是终点 2、偶点可以是起点，可以是终点，也可以是中间点
来线和去线是一组，一组是两根线，必然是偶数
3、如果一个图上没有奇点，都是偶点，那每个点都可以来去n次，没有问题
4、如果一个图上只有一个奇点，那么作为起点，就没有终点
5、如果一个图上有两个奇点，那么一个作为起点，一个作为终点，没有问题 6、如果一个图上有三个以上的奇点，那么一个作为起点，一个作为终点，其他奇点 就必然有缺失来路或者去路
一笔画的问题的第四步
————
1、0个或者两个奇点时，图形是可以一笔画画出来的。 0个奇点时，也就是全是偶点，可以从任意点出发，然后在出发点结束 两个奇点时，从一个奇点出发，另一个奇点结束

一笔画【知识要点】1概念：一笔画是指笔不离开纸，而且每条线都只画一次不准重复而画成的图形。

2•分类：图中的点可分两大类：（1）双数点：从这点出发的线的数目是双数的，叫双数点。

（2）单数点：从这点出发的线的数目是单数的，叫单数点。

3•规律：一个图形能否一笔画成，关键在于图中单数点的多少。

（1凡是图形中没有单数点的一定可以一笔画成。

（2）凡是图形中只有两个单数点，一定可以一笔画成，画时必须从一个单数点为起点，最后以另一单数点为终点。

（3 ）凡是图形中单数点的个数多于两个时，此图肯定是不能一笔画成。

【题目】1 判断下面图形中哪些点是单数点哪些点是双数点。

甲田木全4下面图形能不能一笔画成？这什么?F 列图形中各有几个单数点？能一笔画成吗?判断下面图形能不能一笔画成？如果能，应该怎样画?6 将下图加上最少的线改成一笔画的图形。

7.将下图去掉最少的线改成一笔画图形。

8•下图中的线段代表小路，请小朋友想一想，能够不重复地爬遍小路的甲蚂蚁还是乙蚂蚁? 该怎么爬?9.为迎接2008年奥运会在北京召开，你能一笔画出奥运会的五环图案吗?F 图是一个公园的平面图，应怎样走才能使游客走通每条路而不重复，设计一条最佳路线。

方?10. 、A如图是一个大型花池中小路的平面图，你能否不重复地一次走完所有的小路？进出口应设在什么地 DG11 一个公园的平面图如下， 请你设计好入口、出口，并给出一条浏览路线， 要求走遍每一条路且不重复。

16. 一个邮递员投递信件要走的街道如图，为节约时间，他想自己设计一条线路，可以不重复的走遍每 条街道，你能帮帮他吗？17. 一只蚂蚁要想不重复的爬遍每一条线路，应从哪里出发，到哪里结束?18 .你能用一笔画成 4条线段把下图的9个点都连起来吗?12.如图, 重复。

是一个公园的平面图，请你设计好入口、出口，并给出一种游 B求走遍每一条路且不 B13.如图, 是一个名画展厅的平面图，要使参观者不重复地走遍每一条画廊, 问：出口、入口应设在哪里?14.黑色的鱼与白色的鱼所能游动的河道如下图所示。

• 解答：图（1）中无奇点，能一笔画出，从任意点开始再回到这一点， 仅举一例：A→B→C→N→F→G→H→M→D→N→E→M→H；
• 图（2）有两个奇点，可以从B开始到E结束，也可以从E开始到B结束， 如：B→C→D→E→A→B→E；
• 图（3）不能一笔画出有4个奇点，要想一笔画出至少应该添一笔，可 以连接A、B，如图1，其它的任何两个奇点都可以。共有多少连法呢， 你能列举出来吗？共有6种分别为AB、AC、AD、BC、BD、CD；
重复.从上图中容易看出：能一笔画出的图首先必须是连
通图.但是否所有的连通图都可以一笔画出呢？下面，我
们就来探求解决这个问题的方法。
•
为了叙述的方便，我们把与奇数条边相连的结点叫做
奇点，把与偶数条边相连的点称为偶点.如上图（a）中的
八个结点全是奇点，上图（b）中E、F为奇点，G为偶点。
•
容易知道，上图（b）可以一笔画出，即从奇点E出发，
得出了一个非常重要的结论，你想知道吗？其实
这就是“一笔画”问题，也是一种数学游戏，学
完了下面的内容，也许你就能像欧拉那样解决
“七桥问题”了。
• 欧拉解决这个问题的方法非常巧妙.他认为： 人们关心的只是一次不重复地走遍这七座桥，而 并不关心桥的长短和岛的大小，因此，岛和岸都 可以看作一个点，而桥则可以看成是连接这些点 的一条线.这样，一个实际问题就转化为一个几何 图形能否一笔画出的问题了.
都有一条通路（即可以从其中一点出发，沿着图 的边走到另一点，如A到I的通路为A→H→I或 A→D→I…），这样的图，我们称为连通图；而 下图中（c）的一些结点之间却不存在通路（如M 与N），像这样的图就不是连通图。
•
所谓图的一笔画，指的就是：从图的一点出发，笔不

所谓图的一笔画，指的就是：从图的一点出发，笔不离纸，遍历每条边恰好一次，即每条边都只画一次，不准重复．从图中容易看出：能一笔画出的图首先必须是连通图．但是否所有的连通图都可以一笔画出呢？下面，我们就来探求解决这个问题的方法．什么样的图形能一笔画成呢？这就是一笔画问题，它是一种有名的数学游戏．我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点．相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点． 一笔画问题：(1)能一笔画出的图形必须是连通的图形；(2)凡是只由偶点组成的连通图形．一定可以一笔画出．画时可以由任一偶点作为起点．最后仍回到这点； (3)凡是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出．画时必须以一个奇点作为起点，以另一个奇点为终点； (4)奇点个数超过两个的图形，一定不能一笔画． 多笔画问题：我们把不能一笔画成的图，归纳为多笔画．多笔画图形的笔画数恰等于奇点个数的一半．事实上，对于任意的连通图来说，如果有2n 个奇点(n 为自然数)，那么这个图一定可以用n 笔画成．模块一、判断奇偶点【例 1】 我们把一个图形上与偶数条线相连的点叫做偶点，与奇数条线相连的点叫做奇点．下图中，哪些点是偶点？哪些点是奇点？J O I H G FED CBA【考点】一笔画问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 奇点： D H J O 偶点：A B C E F G I 【答案】奇点： D H J O 偶点：A B C E F G I【例 2】 同学们野营时建了9个营地，连接营地之间的道路如图所示，贝贝要给每个营地插上一面旗帜，要求相邻营地的旗帜色彩不同，则贝贝最少需要 种颜色的旗子，如果贝贝从某营地出发，不走重复路线就 （填“能”或“不能”）完成任务.【考点】一笔画问题 【难度】2星 【题型】填空例题精讲知识点拨4-1-5.奇妙的一笔画【关键词】华杯赛，六年级，初赛，第10题【解析】最少需要3种颜色的旗子。

因为中间的三点连成一个三角形，要使这三点所代表营地两粮相邻，要使相邻营地没有相同颜色的旗子，必须各插一种与其它两点不同颜色的旗子。