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第10讲学习一笔画【专题简析】一笔画，就是从图形某点出发，笔不离开纸，而且每条线段都只画一次不重复。
它是一种有趣的数学游戏。
那么，哪些图形不能一笔画成，哪些图形可以一笔画成呢？一个图形能否一笔画成，关键在于单数点的多少，有2个或0个单数点的图形就能够一笔画成，单数点在一笔画中只能作为起点和终点。
【例题1】一些平面图形是由点和线构成的，这里的“线”可以是线段，也可以是一段曲线，请自己画一些图研究每个点和线的连接情况。
思路导航：请小朋友仔细观察下列各图中的点，他们分别与几条线相连。
①②③④（1）与一条线段相连的点有：（2）与两条线段相连的点有：（3）与三条线段相连的点有：（4）与四条线段相连的点有：归纳：把和一条、三条、五条等单数条线连得点叫做单数点；把和两条、四条、六条、八条等双数条线连的点叫双数点，每个图中的点要么是单数点，要么是双数点。
1.任意找一个平面图形，数一数图中有几个单数点，几个双数点。
2.下面图形中有哪几个单数点？B3.数一数下面图形中有几个双数点，分别是哪些点？B【例题2】下面的图形能不能一笔画成？如果能，应该怎样画？（1） O（2）B D（3）【思路导航】图（1）中A 、B 、C 、D 、O 五个点都是双数点，所以这个图形可以一笔画成。
画时可以从任意一点出发。
图（2）中A 、C 、D 、F 四个点都是双数点，B 和E 两个点是单数点，所以这个图形也可以一笔画成。
画时要从单数点出发，最后回到另一个单数点。
图（3）中A 、D 是双数点，B 、C 、E 和F 四个点是单数点，单数点的个数超过了两个，这个图形不能一笔画成。
1.下面的图形能不能一笔画成，如果能，请说明画法，如果不能，请说明理由（1）（2）2.下列图形能一笔画成吗?为什么？3.观察下列图形，哪个图形可以一笔画成？怎么画？【例题3】下图是某地区所有街道的平面图，甲、乙两人同时分别从A、B出发，以相同的速度走遍所有的街道，最后到达C.那么两人谁先到达？C思路导航：题中要求两人必须走遍所有街道，最后到达C.仔细观察，可以发现图中有两个单数点：A 、C 。
第10講學習一筆劃【專題簡析】一筆劃，就是從圖形某點出發，筆不離開紙，而且每條線段都只畫一次不重複。
它是一種有趣的數學遊戲。
那麼，哪些圖形不能一筆劃成，哪些圖形可以一筆劃成呢？一個圖形能否一筆劃成，關鍵在於單數點的多少，有2個或0個單數點的圖形就能夠一筆劃成，單數點在一筆劃中只能作為起點和終點。
【例題1】一些平面圖形是由點和線構成的，這裏的“線”可以是線段，也可以是一段曲線，請自己畫一些圖研究每個點和線的連接情況。
思路導航：請小朋友仔細觀察下列各圖中的點，他們分別與幾條線相連。
①②③④（1）與一條線段相連的點有：（2）與兩條線段相連的點有：（3）與三條線段相連的點有：（4）與四條線段相連的點有：歸納：把和一條、三條、五條等單數條線連得點叫做單數點；把和兩條、四條、六條、八條等雙數條線連的點叫雙數點，每個圖中的點要麼是單數點，要麼是雙數點。
練習11.任意找一個平面圖形，數一數圖中有幾個單數點，幾個雙數點。
2.下麵圖形中有哪幾個單數點？B3.數一數下麵圖形中有幾個雙數點，分別是哪些點？B【例題2】下麵的圖形能不能一筆劃成？如果能，應該怎樣畫？A C AB C（1）OB DD E FA B CC（3）DE F【思路導航】圖（1）中A、B、C、D、O五個點都是雙數點，所以這個圖形可以一筆劃成。
畫時可以從任意一點出發。
圖（2）中A、C、D、F四個點都是雙數點，B和E 兩個點是單數點，所以這個圖形也可以一筆劃成。
畫時要從單數點出發，最後回到另一個單數點。
圖（3）中A、D是雙數點，B、C、E和F四個點是單數點，單數點的個數超過了兩個，這個圖形不能一筆劃成。
練習21.下麵的圖形能不能一筆劃成，如果能，請說明畫法，如果不能，請說明理由（1）（2）2.下列圖形能一筆劃成嗎?為什麼？3.觀察下列圖形，哪個圖形可以一筆劃成？怎麼畫？【例題3】下圖是某地區所有街道的平面圖，甲、乙兩人同時分別從A、B出發，以相同的速度走遍所有的街道，最後到達C.那麼兩人誰先到達？C B思路導航：題中要求兩人必須走遍所有街道，最後到達C.仔細觀察，可以發現圖中有兩個單數點：A、C。
第五讲一笔画问题一天，小明做完作业正在休息，收音机中播放着轻松、悦耳的音乐•他拿了支笔，信手在纸上写了“中”、“日”、“田”几个字•突然，他脑子里闪出一个念头，这几个字都能一笔写出来吗？他试着写了写，“中” 和“日”可以一笔写成（没有重复的笔划），但写到“田”字，试来试去也没有成功•下面卜1是他写的字样•（见下图）这可真有意思！由此他又联想到一些简单的图形，哪个能一笔画成, 哪个不能一笔画成呢？下面是他试着画的图样•（见下图）经过反复试画，小明得到了初步结论：图中的（1）、（3）、（5）能一笔画成；（2）、（4）、（6）不能一笔画成.真奇怪！小明发现，简单的笔画少的图不一定能一笔画得出来.而复杂的笔画多的图有时反倒能够一笔画出来，这其中隐藏着什么奥秘呢？小明进一步又提出了如下问题：如果说一个图形是否能一笔画出不决定于图的复杂程度，那么这事又决定于什么呢?能不能找到一条判定法则，依据这条法则，对于一个图形，不论复杂与否，也不用试画，就能知道是不是能一笔画成？先从最简单的图形进行考察• 一些平面图形是由点和线构成的•这里所说的“线”，可以是直线段，也可以是一段曲线.而且为了明显起见，图中所有线的端点或是几条线的交点都用较大的黑点“•”表示出来了首先不难发现，每个图中的每一个点都有线与它相连；有的点与一条线相连，有的点与两条线相连，有的点与3条线相连等等•其次从前面的试画过程中已经发现，一个图能否一笔画成不在于图形是否复杂，也就是说不在于这个图包含多少个点和多少条线，而在于点和线的连接情况如何一一一个点在图中究竟和几条线相连•看来，这是需要仔细考察的•第一组（见下图）（1）两个点，一条线•（1）每个点都只与一条线相连•（2）三个点.（2）两个端点都只与一条线相连，中间点与两条线连•第一组的两个图都能一笔画出来.（但注意第（2）个图必须从一个端点画起）第二组（见下图）（1）五个点，五条线•A点与一条线相连，B点与三条线相连，其他的点都各与两条线相连（2）六个点，七条线.（“日”字图）A点与B点各与三条线相连，其他点都各与两条线相连第二组的两个图也都能一笔画出来，如箭头所示那样画是A点（或B点），而终点则定是B点（或A点）.第三组（见下图）（1）四个点，三条线•三个端点各与一条线相连，中间点与三条线相连（2）四个点，六条线.每个点都与三条线相连•（3）五个点，八条线.点0与四条线相连，其他四个顶点各与三条线相连第三组的三个图形都不能一笔画出来.第四组（见下图）.即起点必需AT-*__'~（1）这个图通常叫五角星•五个角的顶点各与两条线相连，其他各点都各与四条线相连•（2）由一个圆及一个内接三角形构成•三个交点，每个点都与四条线相连（这四条线是两条线段和两条弧线）.（3）—个正方形和一个内切圆构成.正方形的四个顶点各与两条线相连，四个交点各与四条线相连.（四条线是两条线段和两条弧线）.第四组的三个图虽然比较复杂，但每一个图都可以一笔画成，而且画的时候从任何一点开始画都可以.第五组（见下图）（1）这是“品”字图形，它由三个正方形构成，它们之间没有线相连.（2）这是古代的钱币图形，它是由一个圆形和中间的正方形方孔组成.圆和正方形之间没有线相连.第五组的两个图形叫不连通图，显然不能一笔把这样的不连通图画出来.C2) ⑶进行总结、归纳，看能否找出可以一笔画成的图形的共同特点，为方便起见，把点分为两种，并分别定名：把和一条、三条、五条等奇数条线相连的点叫做奇点；把和两条、四条、六条等偶数条线相连的点叫偶点，这样图中的要么是奇点，要么是偶占八、、・提出猜想：一个图能不能一笔画成可能与它包含的奇点个数有关，对此列表详查：从此表来看，猜想是对的•下面试提出几点初步结论:①不连通的图形必定不能一笔画；能够一笔画成的图形必定是连通图形•②有0个奇点（即全部是偶点）的连通图能够一笔画成•（画时可以任一点为起点，最后又将回到该点）③只有两个奇点的连通图也能一笔画成（画时必须以一个奇点为起点，而另一个奇点为终点）；④奇点个数超过两个的连通图形不能一笔画成•最后，综合成一条判定法则：有0个或2个奇点的连通图能够一笔画成，否则不能一笔画成能够一笔画成的图形，叫做“一笔画”用这条判定法则看一个图形是不是一笔画时，只要找出这个图形的奇点的个数来就能行了，根本不必用笔试着画来画去•看看下面的图可能会加深你对这条法则的理解能否一笔画咸”團中奇点乍数说明第一组能2两个端点.是奇点第二姐能2A点* B点是奇点第三组不能斗（1 < 2 ）两图中毎牛点都是奇点'C 3 '图中长方形的四个顶点都是奇点第四组能三亍團中,每一亍圈都不含有奇点，即每一个点都是偶点第五组不能團的各部分之间不连通，当然就不能一笔画成从画图的过程来看：笔总是先从起点出发，然后进入下一个点，再出去，然后再进出另外一些点，一直到最后进入终点不再出来为止•由此可见：①笔经过的中间各点是有进有出的，若经过一次，该点就与两条线相连，若经过两次则就与四条线相连等等，所以中间点必为偶点•②再看起点和终点，可分为两种情况：如果笔无重复地画完整个图形时最后回到起点，终点和起点就重合了，那么这个重合点必成为偶点，这样一来整个图形的所有点必将都是偶点，或者说有0 个奇点；如果笔画完整个图形时最后回不到起点，就是终点和起点不重合，那么起点和终点必定都是奇点，因而该图必有2个奇点，可见有0个或2个奇点的连通图能够一笔画成.。
第五讲一笔画问题一天，小明做完作业正在休息，收音机中播放着轻松、悦耳的音乐.他拿了支笔，信手在纸上写了“中”、“日”、“田”几个字.突然，他脑子里闪出一个念头，这几个字都能一笔写出来吗？他试着写了写，“中”和“日”可以一笔写成（没有重复的笔划），但写到“田”字，试来试去也没有成功.下面是他写的字样.（见下图）这可真有意思！由此他又联想到一些简单的图形，哪个能一笔画成，哪个不能一笔画成呢？下面是他试着画的图样.（见下图）经过反复试画，小明得到了初步结论：图中的（1）、（3）、（5）能一笔画成；（2）、（4）、（6）不能一笔画成.真奇怪！小明发现，简单的笔画少的图不一定能一笔画得出来.而复杂的笔画多的图有时反倒能够一笔画出来，这其中隐藏着什么奥秘呢？小明进一步又提出了如下问题：如果说一个图形是否能一笔画出不决定于图的复杂程度，那么这事又决定于什么呢？能不能找到一条判定法则，依据这条法则，对于一个图形，不论复杂与否，也不用试画，就能知道是不是能一笔画成？先从最简单的图形进行考察.一些平面图形是由点和线构成的.这里所说的“线”，可以是直线段，也可以是一段曲线.而且为了明显起见，图中所有线的端点或是几条线的交点都用较大的黑点“●”表示出来了.首先不难发现，每个图中的每一个点都有线与它相连；有的点与一条线相连，有的点与两条线相连，有的点与3条线相连等等.其次从前面的试画过程中已经发现，一个图能否一笔画成不在于图形是否复杂，也就是说不在于这个图包含多少个点和多少条线，而在于点和线的连接情况如何——一个点在图中究竟和几条线相连.看来，这是需要仔细考察的.第一组（见下图）（1）两个点，一条线.每个点都只与一条线相连.（2）三个点.两个端点都只与一条线相连，中间点与两条线连.第一组的两个图都能一笔画出来.（但注意第（2）个图必须从一个端点画起）第二组（见下图）（1）五个点，五条线.A点与一条线相连，B点与三条线相连，其他的点都各与两条线相连.（2）六个点，七条线.（“日”字图）A点与B点各与三条线相连，其他点都各与两条线相连.第二组的两个图也都能一笔画出来，如箭头所示那样画.即起点必需是A点（或B点），而终点则定是B点（或A点）.第三组（见下图）（1）四个点，三条线.三个端点各与一条线相连，中间点与三条线相连.（2）四个点，六条线.每个点都与三条线相连.（3）五个点，八条线.点O与四条线相连，其他四个顶点各与三条线相连.第三组的三个图形都不能一笔画出来.第四组（见下图）（1）这个图通常叫五角星.五个角的顶点各与两条线相连，其他各点都各与四条线相连.（2）由一个圆及一个内接三角形构成.三个交点，每个点都与四条线相连（这四条线是两条线段和两条弧线）.（3）一个正方形和一个内切圆构成.正方形的四个顶点各与两条线相连，四个交点各与四条线相连.（四条线是两条线段和两条弧线）.第四组的三个图虽然比较复杂，但每一个图都可以一笔画成，而且画的时候从任何一点开始画都可以.第五组（见下图）（1）这是“品”字图形，它由三个正方形构成，它们之间没有线相连.（2）这是古代的钱币图形，它是由一个圆形和中间的正方形方孔组成.圆和正方形之间没有线相连.第五组的两个图形叫不连通图，显然不能一笔把这样的不连通图画出来.进行总结、归纳，看能否找出可以一笔画成的图形的共同特点，为方便起见，把点分为两种，并分别定名：把和一条、三条、五条等奇数条线相连的点叫做奇点；把和两条、四条、六条等偶数条线相连的点叫偶点，这样图中的要么是奇点，要么是偶点.提出猜想：一个图能不能一笔画成可能与它包含的奇点个数有关，对此列表详查：从此表来看，猜想是对的.下面试提出几点初步结论：①不连通的图形必定不能一笔画；能够一笔画成的图形必定是连通图形.②有0个奇点（即全部是偶点）的连通图能够一笔画成.（画时可以任一点为起点，最后又将回到该点）.③只有两个奇点的连通图也能一笔画成（画时必须以一个奇点为起点，而另一个奇点为终点）；④奇点个数超过两个的连通图形不能一笔画成.最后，综合成一条判定法则：有0个或2个奇点的连通图能够一笔画成，否则不能一笔画成.能够一笔画成的图形，叫做“一笔画”.用这条判定法则看一个图形是不是一笔画时，只要找出这个图形的奇点的个数来就能行了，根本不必用笔试着画来画去.看看下面的图可能会加深你对这条法则的理解.从画图的过程来看：笔总是先从起点出发，然后进入下一个点，再出去，然后再进出另外一些点，一直到最后进入终点不再出来为止.由此可见：①笔经过的中间各点是有进有出的，若经过一次，该点就与两条线相连，若经过两次则就与四条线相连等等，所以中间点必为偶点.②再看起点和终点，可分为两种情况：如果笔无重复地画完整个图形时最后回到起点，终点和起点就重合了，那么这个重合点必成为偶点，这样一来整个图形的所有点必将都是偶点，或者说有0个奇点；如果笔画完整个图形时最后回不到起点，就是终点和起点不重合，那么起点和终点必定都是奇点，因而该图必有2个奇点，可见有0个或2个奇点的连通图能够一笔画成.习题五1.下面的各个小图形都是由点和线组成的.请你仔细观察后回答：①与一条线相连的有哪些点？②与二条线相连的有哪些点？③与三条线相连的有哪些点？④与四条线或四条以上的线相连的有哪些点？2.若把与奇数条线相连的点叫做奇点，把与偶数条线相连的点叫偶点，那么请你回答：①有0个奇点（即全部是偶点）的图形有哪些？②有2个奇点的图形有哪些？③有4个或4个以上奇点的图形有哪些？④连通图形有哪些？不连通图形有哪些？3.如果笔在纸上连续不断、又不重复地一笔画成的图形叫一笔画，自己动笔实际画画看，然后回答：①哪些图形能够一笔画成？②哪些图形不能一笔画成？4.把以上各向联系起来看，进行归纳，找出规律然后回答：①如果把各部分连结在一起的图形叫做连通图形，那么能一笔画出的图形必定是连通图形；而不是连通图形必定不能一笔画出.这句话说得对吗？②有0个奇点（即全部是偶点）的连通图形一定可以一笔画出来（画时可以以任一点为起点，最后必能回到该点），这句话对吗？③只有两个奇点的连通图形也能一笔画出来，但要注意画时必须以一个奇点为起点，而以另一个奇点为终点，这句话对吗？④奇点个数超过两个的图形不能一笔画出来.这句话对吗？5.从画图过程的角度，进一步理解所发现的一些规律.习题五解答1.解：见下图①与一条线相连的点有：（在图中画成黑点，下同.）②与两条线相连的点有：③与三条线相连的点有：④与四条及四条以上的线相连的点有：2.解：①有0个奇点（即全部是偶点）的图形是：（1）、（5）、（10）；②有2个奇点的图形是：（2）、（3）、（6）、（7）；③有4个奇点的图形是：（4）、（9）有6个奇点的图形是：（8）.④（1）～（10）是连通图形，（11）不是连通图形.3.解：①一笔画有：（1）、（5）、（10）、（2）、（3）、（6）、（7）.②不能一笔画出的图形是：（4）、（8）、（9）、（11）.4.解：①对；②对；③对；④对.5.解：（略）请看书.。
第八讲一笔画前续知识点：二年级第一讲；XX模块第X讲后续知识点：X年级第X讲；XX模块第X讲把里面的人物换成相应红字标明的人物．这里是小区平面图，我从哪个入口进去，才能一次不重复地走遍小区的所有小路，尽快地把口罩送给每个朋友呢？由于空气污染严重，哥哥让我给朋友们去送口罩，以防大家得病。
墨莫墨莫一笔画，是指从连通图的一点出发，笔不离纸，每条线都只画一次，不能重复．一笔画能解决很多实际问题．那么什么样的图形能够一笔画成，什么样的图形不能一笔画成呢？试着画一画下面的图形吧！例题1观察下列图形，能一笔画成的打“√”，不能一笔画成的打“×”．（）（）（）（）（）（）【提示】动手画一画，你知道什么样的图形一定不能一笔画成吗？练习1观察下列图形，能一笔画成的打“√”，不能一笔画成的打“×”．（）（）（）（）（）（）（）（）我们画了这么多图形，不难发现，不连通的图形一定不能一笔画成，能一笔画成的图形必定是连通图．连通图，指的是如果一个图形中的任意两点都是连通的，那么这个图形就是连通图．一个图形可以一笔画成，除了必须是连通图，还有没有其它的规律和特点呢？我们一起找找吧！首先，我们先来认识下面的两个名词：从一点出发的线条数目是奇数，如1、3、5、7、……我们称它为奇点． 从一点出发的线条数目是偶数，如2、4、6、8、……我们称它为偶点．奇点、偶点的个数与一个图形能否一笔画成有什么关系呢？我们来看一看下面的题目吧！【例题2】下面的各个图形都是由点和线组成的．请你仔细观察后回答，各图中的交叉点分别有几个奇点？几个偶点？能否一笔画成？能的在“（ ）”里打“√”，不能的在“（ ）”里打“×”．【提示】从某一点发出奇数条线，这个点是奇点；从某一点发出偶数条线，这个点是偶点．【练习2】下面的各个图形都是由点和线组成的．请你仔细观察后回答，各图中的交叉点分别有几个奇点？几个偶点？能否一笔画成？能的在“（ ）”里打“√”，不能的在“（ ）”里打“×”．（1） （2） （3）（4） 奇点数： （ ） （ ） （ ） （ ） 偶点数： （ ） （ ） （ ） （ ） 能否一笔画成：（ ） （ ） （ ） （ ）奇点数： （ ） （ ） （ ） （ ） 偶点数： （ ） （ ） （ ） （ ）能否一笔画成：（ ） （ ） （ ） （ ）（1） （2）（3） （4）通过对上题的观察，相信大家都发现了规律．有0个奇点的连通图能够一笔画成．画时可以以任一点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图． 有2个奇点的连通图能够一笔画成．画时必须以一个奇点为起点，另一个奇点为终点画完此图． 有2个以上奇点的连通图不能一笔画成．根据以上规律，我们可以通过奇点个数来正确判断哪些图形能一笔画成，哪些图形不能一笔画成．我们就用学到的知识来解决生活中的一笔画问题吧！例题3草地上有许多小路，丁丁和月月分别站在A 、B 两个路口．谁能够一次不重复地走遍所有小路？【提示】谁的出发点是奇点？练习3花园里有许多崎岖的小路，小乖要浇花，它想一次不重复地走完每条小路．该从哪个路口出发呢？AB CDE例题4小河中有4个小岛，小岛之间建有六座桥．淘淘能一次不重复地走遍所有的小桥吗？【提示】先把实际地图画成“点线图”，然后数数奇点的个数吧！练习4蘑菇园的小朋友们要去游乐场玩，他们可以从6个入口进出游乐场．他们从哪个入口出发，才能一次不重复地走遍游乐场内的所有小路？我们已经可以正确判断哪些图形可以一笔画成，哪些不能一笔画成．如果不能一笔画成，可不可以通过增添或删除一些线的方法，让它变成可以一笔画成的图形呢？例题5AB C D EFG下面的“蝴蝶”能一笔画成吗？如果不能，按照如下要求把它改成能一笔画成的图形．（1）在图1中，去掉一条线；（2）在图2中，添加一条线．图1图2【提示】在两个奇点之间去掉或添加线．例题6甲乙两个不同公司的快递员去送货，两人都要以同样的速度走遍所有的街道（阴影部分），甲从A点出发，乙从B点出发，最后都回到C点．如果都选择最短的线路，谁先回到C点？ABC【提示】先把实际道路图画成“点线图”，再判断各个交叉点中有哪些是奇点．课堂内外七桥问题德国有一个城市叫哥尼斯堡．城中有一条小河，河中有两个小岛，还有7座桥把这两个小岛和陆地连接起来，如下图所示．人们经常在这里游玩，他们在游玩的时候提出这样一个问题：能不能一次不重复地走遍所有的小桥呢？作业1. 观察下列图形，能一笔画成的打“√”，不能一笔画成的打“×”．2. 下面每幅图中的交叉点分别有几个奇点？能否一笔画成呢？能的在“（ ）”里打“√”，不能的在“（ ）”里打“×”．（ ） （ ） （ ）（ ） （ ） （ ）小岛 小岛3. 菲菲周末去郊外的公园玩，公园里有许多崎岖的小路．她想不重复地一次走完每条小路，可以从哪个路口出发？4. 小熊、灰鼠、小象和小猪要分别从东、南、西、北四个入口去果园采果子，谁能不重复地一次走遍所有小路？5. 下面的图形能一笔画成吗？如果不能，按照如下要求将其改成能一笔画成的图形．（1）在图1中去掉一条线；（2）在图2中添加一条线．图1图2北CD E F G HBA 奇点数： （ ） （ ） （ ） （ ） 能否一笔画：（ ） （ ） （ ） （ ）（1） （2） （3） （4）第八讲 一笔画1.例题1答案：×，√，√，×，×，√详解：第（1）个图形是非连通图，不能一笔画；其它都是连通图，依次尝试判断即可． 2.例题2答案：如图所示：详解：把交叉点是奇点的圈起来，如图所示：有0个奇点和2个奇点的连通图能够一笔画成；2个奇点以上的连通图不能一笔画成．一个图形能否一笔画成与偶点数无关． 3.例题3 答案：月月详解：图中B 点和E 点是奇点，其它交叉点都是偶点．有2个奇点的图形，一笔画的特征是：从图形的一个奇点出发，回到另一个奇点．只有从奇点的路口出发，才能一次不重复地走遍所有小路．美羊羊站在B 点的路口上，所以能够一次不重复地走遍所有小路． 4.例题4 答案：不能详解：把图中的小岛看成点，把桥看成线，得到“点线图”，如图所示，有4个交叉点，这4个交叉点都是奇点，这个图形不能一笔画成．所以淘淘不能一次不重复地走遍所有的小桥．5.例题5答案：如图所示：（答案不唯一）奇点数： （0） （2） （2） （4） 偶点数： （4） （4） （5） （5） 能否一笔画成： （√） （√） （√） （×）详解：图中有4个奇点，不能一笔画成．去掉或添加一条线使得奇点个数减少，那么就在2个奇点之间去掉或添加线． 6.例题6 答案：甲详解：先把这个送货路线图画成“点线图”，如图所示，A 、C 是奇点．所以，甲从A 点出发回到C 点，可以一次不重复的走遍所有的街道；而乙要走遍所有的街道，其中必有重复．所以甲先回到C 点．7.练习1答案：√，√，√，×，×，√，√简答：第2个图形和第5个图形是非连通图，不能一笔画成；其它是连通图，依次尝试判断即可． 8.练习2答案：如图所示：简答：先把交叉点是奇点的圈起来，一一数出来，再判断能否一笔画成．（1） （2）（3）（4）奇点数： （0） （2） （2） （6） 偶点数： （3） （2） （3） （1） 能否一笔画成： （√） （√） （√） （×）9. 练习3答案：A 点或F 点简答：图中A 点和F 点是奇点，其它交叉点都是偶点．有2个奇点的图形，一笔画的特征是：从图形的一个奇点出发，回到另一个奇点．只有从奇点的路口出发，才能一次不重复地走遍所有小路．所以小乖应该从A 点或F 点出发．10. 练习4答案：C 或D简答：把图中的平面图画成“点线图”，如图所示，C 点和D 点是奇点，所以蘑菇园的小朋友们从C 或D 入口出发，才能一次不重复地走遍游乐场内的所有小路．11. 作业1 答案：×，×，√，×，√，√简答：第1个图形是非连通图，不能一笔画成；其它是连通图，依次尝试判断即可．12. 作业2答案：如图所示：简答：先把交叉点是奇点的圈起来，一一数出来，再判断能否一笔画成．13. 作业3答案：A 或B简答：观察图形可知，图中只有A 和B 两个奇点，其余的都是偶点．走时必须从一个奇点出发到另一个奇点结束，也就是从A 出发，从B 离开，或者从B 出发，从A 离开．14. 作业4答案：灰鼠和小熊简答：先根据果园的平面图画出点线图，如下图所示．观察下图中共有9个交叉点，其中7个点是偶点，只有两奇点数： （2） （4） （0） （4） 能否一笔画： （√） （×） （√） （×）（1） （2） （3） （4）E个点（北、西）是奇点，所以只有在北门和西门的小动物可以不重复地一次走遍所有的小路．15.作业5答案：不能简答：在任意两个奇点之间添一条线或去一条线，如下图所示，都可以改成能一笔画成的图形（答案不唯一）．小猪（东）小象（南）。
别有几个？师：你们知道什么叫做一笔画图形吗？生：可以一笔就画成的！师：说的还不是很完全,还有谁来补充一下？生：……师：刚刚我们画的图形有没有重复的线？生：没有！师：我说你们刚刚画的图形都是一笔画图形,你们能说说它们除了一笔画成的特点,还有没有其他的特点？生：有！它们的线都是没有重复的！师：非常棒！这就是一笔画图形中隐含的特点,我们能够一笔画成,而且每条线上都只画一次不重复的图形叫做一笔画图形。
仔细观察这些图形,试一试,有哪些图形一眼就可以看出来是不可以一笔画成的？生：第2个和第4个图形师：为什么呢？生：这两个图形当中的一些图形没有连在一起,所以不能一笔画成。
师：也就是说,这两个图形不是连通的,就是不能一笔画成的？生：是的！师：非常好！不连通的图形是不可能一笔画成的,那这里面哪些图形是可以一笔画成的呢？生：除了这两个,其余的都可以一笔画成！师：看样子你们都试过了,是可以一笔画成的。
第二个问题又来了,让我们数一数单数点和双数点的个数,你们知道什么是单数点,什么是双数点吗？生：［学生猜测,给出一些答案,大意差不多就可以给出肯定］师：双数点就是从一点出发的线的条数是双数,这点称为双数点。
那么单数点呢？生：从一点出发的线的条数是单数,这点称为单数点。
师：没错,我们一起数一数,这些图中的单数点和双数点分别有多少个呢？生：［开始数双数点与单数点的个数,教师巡视］师：同学们对双数点和单数点的理解的还不错,只是数数的时候一定不要粗心哦！你们数的个数都是一样的吗？生：是的！师：问题咱们已经解决了,再想想,它这里问能否一笔画,后面又接着问双数点和单数点的个数,这两者之间会不会有什么关系呢？板书：单数点：2个 0个 2个 2个双数点：2个 6个 5个 2个能否一笔画成：能不能能不能能能练习1［6分］试着用一笔画的方式画出3个图形,数一数它们分别有几个双数点,几个单数点？分析：注意一笔画的图形一定是连通的,可以是直线的也可以是曲线的。
第五讲一笔画问题
一天，小明做完作业正在休息，收音机中播放着轻松、悦耳的音乐.他拿了支笔，信手在纸上写了“中”、“日”、“田”几个字.突然，他脑子里闪出一个念头，这几个字都能一笔写出来吗？他试着写了写，“中”和“日”可以一笔写成（没有重复的笔划），但写到“田”字，试来试去也没有成功.下面是他写的字样.（见下图）
这可真有意思！由此他又联想到一些简单的图形，哪个能一笔画成，哪个不能一笔画成呢？下面是他试着画的图样.（见下图）
经过反复试画，小明得到了初步结论：图中的（1）、（3）、（5）能一笔画成；（2）、（4）、（6）不能一笔画成.真奇怪！小明发现，简单的笔画少的图不一定能一笔画得出来.而复杂的笔画多的图有时反倒能够一笔画出来，这其中隐藏着什么奥秘呢？小明进一步又提出了如下问题：
如果说一个图形是否能一笔画出不决定于图的复杂程度，那么这事又决定于什么呢？
能不能找到一条判定法则，依据这条法则，对于一个图形，不论复杂与否，也不用试画，就能知道是不是能一笔画成？
先从最简单的图形进行考察.一些平面图形是由点和线构成的.这里所说的“线”，可以是直线段，也可以是一段曲线.而且为了明显起见，图中所有线的端点或是几条线的交点都用较大的黑点“●”表示出来了.
首先不难发现，每个图中的每一个点都有线与它相连；有的点与一条线相连，有的点与两条线相连，有的点与3条线相连等等.
其次从前面的试画过程中已经发现，一个图能否一笔画成不在于图形是否复杂，也就是说不在于这个图包含多少个点和多少条线，而在于点和线的连接情况如何——一个点在图中究竟和几条线相连.看来，这是需要仔细考察的.第一组（见下图）
（1）两个点，一条线.
每个点都只与一条线相连.
（2）三个点.
两个端点都只与一条线相连，中间点与两条线连.
第一组的两个图都能一笔画出来.
（但注意第（2）个图必须从一个端点画起）第二组（见下图）
（1）五个点，五条线.
A点与一条线相连，B点与三条线相连，其他的点都各与两条线相连.
（2）六个点，七条线.（“日”字图）
A点与B点各与三条线相连，其他点都各与两条线相连.
第二组的两个图也都能一笔画出来，如箭头所示那样画.即起点必需是A点（或B点），而终点则定是B点（或A点）.
第三组（见下图）
（1）四个点，三条线.
三个端点各与一条线相连，中间点与三条线相连.
（2）四个点，六条线.
每个点都与三条线相连.
（3）五个点，八条线.
点O与四条线相连，其他四个顶点各与三条线相连.
第三组的三个图形都不能一笔画出来.
第四组（见下图）
（1）这个图通常叫五角星.
五个角的顶点各与两条线相连，其他各点都各与四条线相连.
（2）由一个圆及一个内接三角形构成.
三个交点，每个点都与四条线相连（这四条线是两条线段和两条弧线）.
（3）一个正方形和一个内切圆构成.
正方形的四个顶点各与两条线相连，四个交点各与四条线相连.
（四条线是两条线段和两条弧线）.
第四组的三个图虽然比较复杂，但每一个图都可以一笔画成，而且画的时候从任何一点开始画都可以.第五组（见下图）
（1）这是“品”字图形，它由三个正方形构成，它们之间没有线相连.
（2）这是古代的钱币图形，它是由一个圆形和中间的正方形方孔组成.圆和正方形之间没有线相连.
第五组的两个图形叫不连通图，显然不能一笔把这样的不连通图画出来.
进行总结、归纳，看能否找出可以一笔画成的图形的共同特点，为方便起见，把点分为两种，并分别定名：
把和一条、三条、五条等奇数条线相连的点叫做奇点；把和两条、四条、六条等偶数条线相连的点叫偶点，这样图中的要么是奇点，要么是偶点.
提出猜想：一个图能不能一笔画成可能与它包含的奇点个数有关，对此列表详查：
从此表来看，猜想是对的.下面试提出几点初步结论：
①不连通的图形必定不能一笔画；能够一笔画成的图形必定是连通图形.
②有0个奇点（即全部是偶点）的连通图能够一笔画成.（画时可以任一点为起点，最后又将回到该点）.
③只有两个奇点的连通图也能一笔画成（画时必须以一个奇点为起点，而另一个奇点为终点）；
④奇点个数超过两个的连通图形不能一笔画成.最后，综合成一条判定法则：
有0个或2个奇点的连通图能够一笔画成，否则不能一笔画成.
能够一笔画成的图形，叫做“一笔画”.
用这条判定法则看一个图形是不是一笔画时，只要找出这个图形的奇点的个数来就能行了，根本不必用笔试着画来画去.
看看下面的图可能会加深你对这条法则的理解.
从画图的过程来看：笔总是先从起点出发，然后进入下一个点，再出去，然后再进出另外一些点，一直到最后进入终点不再出来为止.由此可见：
①笔经过的中间各点是有进有出的，若经过一次，该点就与两条线相连，若经过两次则就与四条线相连等等，所以中间点必为偶点.
②再看起点和终点，可分为两种情况：如果笔无重复地画完整个图形时最后回到起点，终点和起点就重合了，那么这个重合点必成为偶点，这
样一来整个图形的所有点必将都是偶点，或者说有0个奇点；如果笔画完整个图形时最后回不到起点，就是终点和起点不重合，那么起点和终点必定都是奇点，因而该图必有2个奇点，可见有0个或2个奇点的连通图能够一笔画成.。
