一笔画游戏第七讲下列图形能一笔画成吗？如果可以，在图形下面的方框里画上√，如果不可以，在图形下面的方框里画上╳．【例题分析】在这些图形中可以一笔画出的是：①、②、④；不可以一笔画出的是：③．一个图形是否能一笔画成跟这些点有什么关系？⑴从一点出发的线的条数是偶数（双数），这点称为偶点（双数点）．⑵从一点出发的线的条数是奇数（单数），这点称为奇点（单数点）．观察此题的每个图：①有2个奇点，能一笔画成；②有0个奇点，能一笔画成；③有4个奇点，不能一笔画成；④有2个奇点，能一笔画成．最后总结出：有0个或2个奇点的连通图能够一笔画成，否则不能一笔画成．下列图形能一笔画成吗？为什么？如果可以，在图形下面的方框里画上√，如果不可以，在图形下面的方框里画上╳．【例题分析】①、②、③可以，④不可以．①有2个奇点，②有0个奇点，③有2个奇点，所以①、②、③可以一笔画．④有4个奇点，所以④不能一笔画．下列图形能一笔画成吗？如果可以，在图形下面的方框里画上√，如果不可以，在图形下面的方框里画上╳．【例题分析】①③⑤可以；②④不可以．①有0个奇点；③有2个奇点；⑤有0个奇点；所以①③⑤可以一笔画．②有4个奇点；④有6个奇点；所以②④不能一笔画．【例题分析】⑴ 图①中有4个点是奇点，所以不能一笔画成，要想使这个图形能一笔画成，可以添加一条线段，使这个图形的奇点变成2个．如下图（答案不唯一）：⑵图②因为有4个点是奇点，所以不能一笔画成，要想使这个图形能一笔画成，可以添加一条线段，使这个图形的奇点变成2个．如下图（答案不唯一）：⑶图③中有4个点是奇点，所以不能一笔画成，要想使这个图形一笔画成，可以添加一条线段，使这个图形的奇点变成2个．如下图：下面的图形都不能一笔画成，请你分别在各图中添上一条线段，使它能一笔画成．【例题分析】上图一共有6个奇点，只添一条线段无法变成2个奇点，至少需要添上2条线段．如下图（答案不唯一）：下面的图形都不能一笔画成，请你在各个图中分别去掉一条线，使它能一笔画成，在去掉的线上打╳．下面的图形不能一笔画成，至少添上几条线段才能使它一笔画成？试着添一添．【例题分析】⑴图①中有4个点是奇点，所以不能一笔画成，要想使这个图形能一笔画成，就要使这个图形的奇点变成2个．如下图（答案不唯一）：⑵图②和图①相似，因为有4个点是奇点，所以不能一笔画成，要想使这个图形能一笔画成，就要使这个图形的奇点变成2个．如下图（答案不唯一）：⑶图③中有4个点是奇点，所以不能一笔画成，要想使这个图形一笔画成，就要使这个图形的奇点变成2个．如下图（答案不唯一）：下面的图形不能一笔画成，请你去掉一条线，使它能一笔画成，在去掉的线上打╳．【例题分析】图中有4个点是奇点，所以不能一笔画成，要想使这个图形能一笔画成，就要使这个图形的奇点变成2个．如下图（答案不唯一）：（ ）→（ ）→（ ）→（ ）→（ ）→（ ）→（ ）→（ ）→（ ）→（ ）→（ ）→（ ）→（ ）→（ ）【例题分析】出入口应设在A 、C 两个奇点处．A →B →C →I →A →H →G →I →E →G →F →E →D →C （路线不唯一）． 本题实际上是这个图以哪两点为起点和终点一笔画出的问题，观察上图可以发现仅有两个奇点： A 点与C 点．因此，出入口应设在A 、C 两个奇点处．下图是一个小区街道的平面图．要不重复地走遍每条街道，出入口应设在哪里？请你再设计一条不重复走遍每条街道的行走路线，用字母和箭头表示出来．下图是乡间的小河，上面建有九座桥，你能从其中一个村子出发一次不重复地走遍所有的桥吗？ (每座桥最多只准走一次，陆地上可以重复地走)【例题分析】可以，丁→丙→丁→甲→丁→乙→丙→乙→甲→乙.（路线不唯一）首先将实物图转化成点线图，所有的村庄都转化成点，所有的桥都转化成线（如下图），图中有2个奇点，所以可以一笔画，也就存在一条路线，能够不重复地走遍所有的桥．我国著名数学家陈景润所著《数学趣谈》一书中，有这样一道题：在法国的首都巴黎有一条河，河中有两个小岛，那里的人们建了15座桥把两个小岛和河岸连接起来，如下图所示．那么，从任一岸出发，不重复地走遍所有的桥到达另一岸，能做到吗？【例题分析】能．将实物图转化成点线图，如下图，图中有2个奇点，可以一笔画，也就是说可以从任一岸出发，不重复地走遍所有的桥到达另一岸．如图是一个超市的平面图，超市共有A、B、C、D、E、F六个门，简乐想一次走遍所有通道而又不走重复路线，请你帮他设计一种进出方法．【例题分析】把每一条通道看作是边，通道的交点看作是点(每个门处即为一个点)，可得下图，这样问题就转化为能否从某点出发将图一笔画的问题．观察可知，如上右图中只有两个奇点(点C和点D)，根据一笔画原理可得：将点C和点D分别作为起点和终点，可将右图一笔画出．即简乐从C门(或D门)进超市，一次走遍所有通道后从D门(或C门)出超市，其行进路线为：C→D→E→O→C→B→E→F→A→B→O→D（路线不唯一）．下图是某展览厅的平面图，它由五个展室组成，任意两个展室之间都有门相通，整个展览厅还有一个入口和一个出口，问游人能否一次不重复地穿过所有的门，并且从入口进，从出口出？【例题分析】把每个展室看作一个点，整个展厅的外部也看作一个点，两室之间有门相通，可以看作两点之间有线相连．这样，展厅的平面图就转化成图②，一个实际问题也就转化为这个图能否一笔画成的问题了，即能否从A出发，一笔画完此图，最后再回到A．图②中，所有的点都是偶点，因此，一定可以以A作为起点和终点而一笔画完此图．即游人可以从入口进，一次不重复地穿过所有的门，最后从出口出来．下面仅给出一种参观路线：A→E→B→C→E→F→C→D→F→A．。
第10讲学习一笔画【专题简析】一笔画，就是从图形某点出发，笔不离开纸，而且每条线段都只画一次不重复.它是一种有趣的数学游戏.那么，哪些图形不能一笔画成，哪些图形可以一笔画成呢？一个图形能否一笔画成，关键在于单数点的多少，有2个或0个单数点的图形就能够一笔画成，单数点在一笔画中只能作为起点和终点.【例题1】一些平面图形是由点和线构成的，这里的“线”可以是线段，也可以是一段曲线，请自己画一些图研究每个点和线的连接情况.思路导航：请小朋友仔细观察下列各图中的点，他们分别与几条线相连.①②③④（1）与一条线段相连的点有：（2）与两条线段相连的点有：（3）与三条线段相连的点有：（4）与四条线段相连的点有：归纳：把和一条、三条、五条等单数条线连得点叫做单数点；把和两条、四条、六条、八条等双数条线连的点叫双数点，每个图中的点要么是单数点，要么是双数点.练习11.任意找一个平面图形，数一数图中有几个单数点，几个双数点.2.下面图形中有哪几个单数点？B答案：A D3.数一数下面图形中有几个双数点，分别是哪些点？B 答案：A BCDE F【例题2】下面的图形能不能一笔画成？如果能，应该怎样画？AC C（1） O （2）B DF（3）D【思路导航】图（1）中A 、B 、C 、D 、O 五个点都是双数点，所以这个图形可以一笔画成.画时可以从任意一点出发.图（2）中A 、C 、D 、F 四个点都是双数点，B 和E 两个点是单数点，所以这个图形也可以一笔画成.画时要从单数点出发，最后回到另一个单数点.图（3）中A 、D 是双数点，B 、C 、E 和F 四个点是单数点，单数点的个数超过了两个，这个图形不能一笔画成.练习21.下面的图形能不能一笔画成，如果能，请说明画法，如果不能，请说明理由（1）（2）答案：图（1）可以一笔画成，因为单数点有两个图（2）不能一笔画成，因为单数点大于两个2.下列图形能一笔画成吗?为什么？答：图（1）可以一笔画成，因为单数点个数为零图（2）不可以画成，因为单数点只有一个图（3）不可以画成，单数点个数大于两个3.观察下列图形，哪个图形可以一笔画成？怎么画？图（1）单数点个数为0，可以一笔画出图（2）单数点个数为4个，不可以一笔画出图（3）单数点2个，可以画出【例题3】下图是某地区所有街道的平面图，甲、乙两人同时分别从A、B出发，以相同的速度走遍所有的街道，最后到达C.那么两人谁先到达？AC思路导航：题中要求两人必须走遍所有街道，最后到达C.仔细观察，可以发现图中有两个单数点：A 、C.这就是说：甲可以从A 点出发，不重复地走遍所有街道，最后到达C.而B 点是双数点，从B 点出发的乙则不行.因此，甲所走的路程正好等于所有街道的总和，而乙所走的路程一定比这个总和多，所以甲最先到达C.解：甲最先到达C.练习31.下图是某新村小区主干道平面图.甲、乙两人同时分别从A 、B 出发，以相同的速度走遍所有的主干道，最后到达C.问谁能最先到达C?答：A 先到达，因为A 是单数点，可以不重复走遍所有街道.2. 甲、乙两辆车同时以相同的速度分别从A 、B 出发，哪辆车能最先行驶完所有的路程？B答：A 先到达，因为A 是单数点.3.一只蚂蚁分别从A 点和B 点出发，爬遍所有的小路.如果每次爬行的速度相同，那么从哪一点出发所用的时间少？答：从A 点出发用时最少【例题4】下图（图1）能否一笔画成，若不能，你能用什么方法把它改成能够一笔画成的图形？（1）（2）思路导航：此图共有9个点，其中5个点是双数点，4个点是单数点，由于超过两个单数点，因此不能一笔画成.要想改为一笔画成，关键在于减少单数点数目（把单数点的个数减少到0或2），所以只要在任意两个单数点间连上线，就可以一笔画，有时也可以将多余的两个单数点间的连线去掉，改成一笔画. 解：图（1）有4个单数点，不能一笔画成.要改成一笔画成，如图（2）练习41.将下图改成一笔画.1. 2.3.在一个小区中有一些路，每个圆柱表示邮筒（如下图），邮递员叔叔每次送信时，总是没法走过每一条路而又不重复，你知道为什么吗？如果请你给小区加一条路来解决这个问题，你准备把这条路加在哪儿？请你动手画一画.【例题5】邮递员叔叔要给一个居民小区送信（如图），怎么走才能少走重复路，使每天走的路尽可能短？A G HD B思路导航：图中一共有九个点，其中单数点有2个（点D 和点F ），因此能一次不重复走过所有的路，但必须从这两个单数点中的一个出发，再回到另一个单数点.解：邮递员叔叔只能从点D （或点F ）出发，走过所有的路后，再回到点F(或点D) .练习51.下图是以个小区的中心花园的平面图，你能一次不重复地走完所有的路吗？入口和出口应该设在哪儿呢？答：可以从任一点出发.2.园林工人在花园里浇花，怎样才能不重复地走遍每条小路？答：从A点出发，终止于B点.或从B点出发，终止于A点.3. 下图是“儿童乐园”平面图，出、入口应分别设在哪里才能不重复地走遍每条路？可以怎么走？D CAB答案：从A点出发，终止于C点或从C点出发，终止于A点【拓展提高】1、下面的图形能不能一笔画成？为什么？如果能，应该怎样画？答：从A点出发，终止于B点；或从B点出发，终止于A点2、给下面的图形添一条线，使它能够一笔画成.3、小明和玲玲玩“过木桥”的游戏（如下图），他们谁能不走重复的路？小明玲玲答：小明，因为他处于奇数点4、在王大爷家的花园中有一些路（如下图），王大爷每次给花浇水时，总是没法走过每一条路而又不重复，你知道为什么吗？如果请你给花园加一条路来解决这个问题，你准备把这条路加在哪儿？请你动手画一画.。
