高A模拟试题(一,二)

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04-05-2高等数学(A)期末模拟试卷(二)
一、选择题(10×3 = 30分)
1. 设22yzx,则dz-----------------------------------------------------------------------( C )

(A)ydydxxx221 (B)ydydxx22 (C)ydydxx22ln2 (D)dyyydxx22ln2
2. 由向量)1,0,2(a,)0,1,2(b围成的平行四边形面积为-------------------------( C )
(A)23 (B)2 (C)3 (D)4
3. 平面032zyx与空间直线121131zyx的位置关系是-----------( D )
(A)相互垂直 (B)相互平行但直线不在平面上
(C)既不平行也不垂直 (D)直线在平面上

4. 10),(yydxyxfdy的另一种积分次序为----------------------------------------------------( C )

(A)10),(xxdyyxfdx (B)10),(xxdyyxfdx
(C)102),(xxdyyxfdx (D)102),(xxdyyxfdx
5. 空间曲线322ztytx在相应于1t时切线的一个方向向量为---------------------------( B )
(A))0,1,1( (B))0,1,1( (C))3,1,1( (D))3,2,2(
6. 若为椭球面0,0,0,14222zyxzyx的内侧,D为在xoy面的投影区
域,则曲面积分dxdyzf)(可化为如下的二重积分---------------------------------------( B )
(A)Ddxdyyxf)12(22 (B)Ddxdyyxf)12(22
(C)Ddxdyyxf)12(22 (D)Ddxdyyxf)12(22
7. 设是由曲面22yxz及平面2z所围成的区域,则dvzyxf),,(可化为三次积
分--------------------------------------------------------------------------------------------------------( B )
(A)20202),sin,cos(rdzzrrfrdrd (B)202022),sin,cos(rdzzrrfrdrd

(C)202022),sin,cos(rdzzrrfrdrd (D)20202),sin,cos(rdzzrrfrdrd
8. 微分方程xxeyyy244的一个特解可设为-------------------------------------( C )
(A)xebax2)( (B)xebaxx2)( (C)xebaxx22)( (D)xex23
9. yxey的通解为------------------------------------------------------------------------------( B )
(A)Ceeyx (B)Ceeyx (C)Ceeyx (D)Ceeyx
10. 设)(xf是以2为周期的周期函数,其在],(上的解析式为




xxxxxf0,2
0,

)(
,则)(xf的傅里叶级数在x处收敛于-----------------( D )

(A) (B)1 (C)2 (D)22
二、计算题(4×7 = 28分)
1. 设yxzarctan,求.2yxz

解:2221)(11yxyyyxzx

222
222
)()(yxyxzyyxzx


2. 函数32),,(222zyxzyxf在点)27,1,1(处沿下列哪个方向的方向导数最大?
并求最大值。
解:,2xfxzfyfzy4,2

则 )72,2,2()27,1,1(gradf
6)27,1,1(][max)27,1,1(grad
l

f

3. 求解微分方程.2xyyx
解: 令)(xpy, 则py
故原方程可化为
xpxpxppx

1
2

解之得 12131Cxxp
12131CxxydxCxxy)131(1
2

21
3
ln91CxCx

4. 求132138)1(nnnnxn的收敛半径。
解:
3
1321)1(3211838)1(3)1(8)1(limxxnxnnnnnnnn






183x
时,原级数绝对收敛.

即原级数收敛半径为.21

三、(9分)证明曲线积分),()0,0()cos()sin(dyyxedxxeyy在整个xoy面内与路径无
关,并计算积分值。
解: yxeQxePyycos,sin

xQyP

故原积分与路径无关.
原式=dyyedxxeQdyPdxy000),()0,0()cos()sin(

0sin00
cosyexy

四、(8分)用高斯公式计算dxdyxzdzdxyzdydzyx)3()2()(222,其中为
由1432zyx与三个坐标面所围成的四面体表面外侧。
解: 2223,2,xzRyzQyxP
原式=dxdydzzRyQxPRdxdyQdzdxPdydz)(

dxdydz)321(
84326122dv

五、(8分)将函数)(21)(xxeexf展开为x的幂级数,并求级数1)!12(1nn的和。
解:)(21)(xxeexf00!)(!21nnnnnxnx

012)!12(nnnx=x

112)!12(n
n

n
x

故1)!12(1nn1)1(f1)(211ee
六、(8分)求0,9),(22yyxyxD上的连续函数),(yxf使

Ddyxfyxyxyxf.),(2),(

2223

解:DDDDDdxdydyxfdxdyyxdxdyyxdxdyyxf]),([2),(2223
dxdyyxfdxdyddDD),(2
030
2



Ddxdyyxf),(99



919),(
Ddxdyyxf

则 9118),(2223yxyxyxf

七、(9分)求内接于椭球面1222222czbyax的长方体(各表面平行于坐标面)的最大体
积,此处.0,0,0cba
解: 设长方体的某一顶点为(zyx,,),不妨设.0,,zyx
则 xyzV8
令),,(zyxFxyz8)1(222222czbyax

令1028028028222222222czbyaxczxyFbyxzFaxyzFzyx
解之得:33czbyax 故当33czbyax时,abcV398max