第5讲函数图象探究与性质(学生用)

第5讲函数的图象与性质典例剖析题型一根据图象求不等式的解集例1在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数y＝性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．（1）请把下表补充完整，并在图中补全该函数图象；x…﹣5﹣4﹣3﹣2﹣1012345…y＝…﹣﹣﹣﹣303…（2）根据函数图象，判断下列关于该函数性质的说法是否正确，正确的在答题卡上相应的括号内打“√”，错误的在答题卡上相应的括号内打“×”；①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴．②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值．当x＝1时，函数取得最大值3；当x＝﹣1时，函数取得最小值﹣3．③当x＜﹣1或x＞1时，y随x的增大而减小；当﹣1＜x＜1时，y随x的增大而增大．（3）已知函数y＝2x﹣1的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式：＞2x﹣1的解集（保留1位小数，误差不超过0.2）．跟踪训练1．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数y＝﹣的图象并探究该函数的性质．x…﹣4﹣3﹣2﹣101234…y…﹣a﹣2﹣4b﹣4﹣2﹣﹣…（1）列表，写出表中a，b的值：a＝，b＝；描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象．（2）观察函数图象，判断下列关于函数性质的结论是否正确（在答题卡相应位置正确的用“√”作答，错误的用“×”作答）：①函数y＝﹣的图象关于y轴对称；②当x＝0时，函数y＝﹣有最小值，最小值为﹣6；③在自变量的取值范围内函数y的值随自变量x的增大而减小．（3）已知函数y＝﹣x﹣的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式﹣＜﹣x﹣的解集．2．在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式﹣﹣利用函数图象研究其性质一一运用函数解决问题“的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义|a|＝．结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题在函数y＝|kx﹣3|+b中，当x＝2时，y ＝﹣4；当x＝0时，y＝﹣1．（1）求这个函数的表达式；（2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质；（3）已知函y＝x﹣3的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式|kx ﹣3|+b≤x﹣3的解集．题型二 根据图象求方程的近似解例2 有这样一个问题：探究函数y ＝2x +的图象，并利用图象解决问题．小泽根据学习函数的经验，对函数y ＝2x +的图象进行了探究．下面是小泽的探究过程，请补充完整：（1）函数y ＝2x +的自变量x 的取值范围是 ；（2）下表是y 与x 的几组对应值．x … ﹣2﹣ ﹣1 ﹣﹣1 2 …y…﹣﹣﹣13 53m…其中m 的值为 ；（3）如图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各组对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；（4）结合函数图象，解决问题：当2x +＝4时，x 的值约为 ．跟踪训练 1．设函数y ＝k 1x +，且k 1•k 2≠0，自变量x 与函数值y 满足以下表格： （1）根据表格直接写出y 与x 的函数表达式及自变量x 的取值范围； （2）补全上面表格：m ＝ ，n ＝ ；在如图所示的平面直角坐标系中，请根据表格中的数据补全y 关于x 的函数图象； （3）结合函数图象，解决下列问题： ①写出函数y 的一条性质：； ②当函数值y ≥时，x 的取值范围是 ；③当函数值y ＝﹣x 时，结合图象请估算x 的值为 （结果保留一位小数）．2．小明根据学习函数的经验，对函数y ＝+1的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整： （1）函数y ＝+1的自变量x 的取值范围是 ；（2）下表列出了y 与x 的几组对应值，请写出m ，n 的值：m ＝ ，n ＝ ； x … ﹣﹣1 ﹣2 3… y…m﹣1n 2…（3）在如图所示的平面直角坐标系中，描全上表中以各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象．（4）结合函数的图象，解决问题： ①写出该函数的一条性质：； ②当函数值+1＞时，x 的取值范围是： ； ③方程+1＝x 的解为： ．x …… ﹣4﹣3﹣2﹣1 ﹣ 1 23 4 …… y……﹣3 ﹣2 ﹣1 01﹣11mn……题型三根据图象探究方程解的个数例3 某班“数学兴趣小组”对函数y＝x2﹣2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：﹣2﹣10123…x…﹣3﹣y…3m﹣10﹣103…其中，m＝．（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．（3）观察函数图象，写出两条函数的性质．（4）进一步探究函数图象发现：①函数图象与x轴有个交点，所以对应的方程x2﹣2|x|＝0有个实数根；②方程x2﹣2|x|＝2有个实数根；③关于x的方程x2﹣2|x|＝a有4个实数根时，a的取值范围是．跟踪训练1．根据学习函数的经验，探究函数y＝x2+ax﹣4|x+b|+4（b＜0）的图象和性质：（1）下表给出了部分x，y的取值；x﹣3﹣2﹣1012345y30﹣1030﹣103由上表可知，a＝，b＝；（2）用你喜欢的方式在坐标系中画出函数y＝x2+ax﹣4|x+b|+4的图象；（3）结合你所画的函数图象，写出该函数的一条性质；（4）若方程x2+ax﹣4|x+b|+4＝x+m至少有3个不同的实数解，请直接写出m的取值范围．2．某课外学习小组根据学习函数的经验，对函数y＝x3﹣3x的图象与性质进行了探究．请补充完整以下探索过程：（1）列表：x…﹣2﹣1012…y…﹣2m20n2…请直接写出m，n的值；（2）根据上表中的数据，在平面直角坐标系内补全该函数的图象；（3）若函数y＝x3﹣3x的图象上有三个点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），且x1＜﹣2＜x2＜2＜x3，则y1，y2，y3之间的大小关系为（用“＜”连接）；（4）若方程x3﹣3x＝k有三个不同的实数根，根据函数图象，直接写出k的取值范围．过关精练1．函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，下面我们就一类特殊的函数展开探索．画函数y＝﹣2|x|的图象，经历分析解析式、列表、描点、连线过程得到函数图象如图所示；经历同样的过程画函数y＝﹣2|x|+2和y＝﹣2|x+2|的图象如图所示．x…﹣3﹣2﹣10123…y…﹣6﹣4﹣20﹣2﹣4﹣6…（1）观察发现：三个函数的图象都是由两条射线组成的轴对称图形；三个函数解析式中绝对值前面的系数相同，则图象的开口方向和形状完全相同，只有最高点和对称轴发生了变化．写出点A，B的坐标和函数y＝﹣2|x+2|的对称轴．（2）探索思考：平移函数y＝﹣2|x|的图象可以得到函数y＝﹣2|x|+2和y＝﹣2|x+2|的图象，分别写出平移的方向和距离．（3）拓展应用：在所给的平面直角坐标系内画出函数y＝﹣2|x﹣3|+1的图象．若点（x1，y1）和（x2，y2）在该函数图象上，且x2＞x1＞3，比较y1，y2的大小．2．小明根据学习函数的经验，对函数y ＝+1的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整： （1）函数y ＝+1的自变量x 的取值范围是 ；（2）如表列出了y 与x 的几组对应值，请写出m ，n 的值：m ＝ ，n ＝ ；x … ﹣﹣1 ﹣2 3…y…m﹣1n 2…（3）在如图所示的平面直角坐标系中，描全上表中以各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象．（4）结合函数的图象，解决问题： ①写出该函数的一条性质：． ②当函数值+1＞时，x 的取值范围是： ．3．根据学习函数的经验“先确定自变量取值范围﹣后观察图象归纳性质”，对函数y ＝图象与性质进行了探究：（1）写出自变量x 的取值范围是 ； （2）若下表是y 与x 的几组对应值（如下图所示），并在平面直角坐标系中，描出了表格对应值为坐标的点．x … ﹣2﹣1﹣0 1 2 34 …y…242m…①表中m 的值为 ； ②根据描出的点，画出函数y ＝的大致图象；（3）根据函数图象， ①请写出函数y ＝的两条性质；②若此函数的图象与直线y ＝a 的交点有2个，请写出a 的取值范围．4．已知函数y ＝x 3﹣2x ，如表是函数的几组对应值： x …﹣4﹣3.5﹣3 ﹣2 ﹣1 01233.54 … y… ﹣2.67 ﹣0.15 1.52.67 1.830 ﹣1.83 ﹣2.67 ﹣1.5 0.152.67…请你根据学习函数的经验，利用表格所反映出的y 与x 之间的变化规律，对该函数的图象与性质进行探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整． （1）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，描出了上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象（2）根据函数图象，按要求填空：①在y 轴左侧该函数图象有最 点，其坐标为 ．②当﹣2≤x ≤2时，该函数y 随x 的增大而 ． ③当方程x 3﹣2x ﹣a ＝0只有一个解时，则a的取值范围为 、 ．5．若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数y ＝的图象与性质．列表：x … ﹣3 ﹣﹣2 ﹣﹣1 ﹣0 1 2 3 …y…12112… 描点：在平面直角坐标系中，以自变量x 的取值为横坐标，以相应的函数值y 为纵坐标，描出相应的点，如图所示．（1）如图，在平面直角坐标系中，观察描出的这些点的分布，作出函数图象； （2）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题： ①点A （﹣5，y 1），B （﹣，y 2），C （x 1，），D （x 2，6）在函数图象上，则y 1 y 2，x 1 x 2；（填“＞”，“＝”或“＜”）②当函数值y ＝2时，求自变量x 的值；③在直线x ＝﹣1的右侧的函数图象上有两个不同的点P （x 3，y 3），Q （x 4，y 4），且y 3＝y 4，求x 3+x 4的值；④若直线y ＝a 与函数图象有三个不同的交点，求a 的取值范围．6．有这样一个问题：探究函数y ＝的图象与性质．小彤根据学习函数的经验，对函数y ＝的图象与性质进行了探究．下面是小彤探究的过程，请补充完整： （1）函数y ＝的自变量x 的取值范围是 ；（2）下表是y 与x 的几组对应值： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 4 5 6 7 8 …y…m﹣132…则m 的值为 ； （3）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出了图象的一部分，请根据剩余的点补全此函数的图象；（4）观察图象，写出该函数的一条质： ； （5）若函数y ＝的图象上有三个点A（x 1，y 1）、B （x 2，y 2）、C （x 3，y 3），且x 1＜3＜x 2＜x 3，则y 1、y 2、y 3之间的大小关系为 ．7．某班“数学兴趣小组”对函数的函数图象与性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． （1）函数的自变量x 的取值范围是；下表是y 与x 的几组对应值．x … ﹣3﹣2﹣10 2 34 5…y…﹣ ﹣ ﹣﹣1﹣﹣3m…则表格中的m ＝ ；（2）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表格中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；（3）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（2，3），结合函数图象，写出一条该函数的其它性质；（4）该函数的图象关于点（ ， ）成中心对称，若直线y ＝m 与该函数的图象无交点，请求出m 的取值范围．8．有这样一个问题：探究函数y＝﹣x的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数y＝﹣x的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整，并解决相关问题：（1）函数y＝﹣x的自变量x 的取值范围是；（2）下表是y与x的几组对应值．x…﹣4﹣3﹣2﹣﹣1﹣1234…y…﹣﹣m…则m的值为．（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；（4）进一步探究发现，该函数图象在第二象限内的最低点的坐标是（﹣2，），结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）：．（5）根据函数图象，判断方程﹣x＝2的根的个数为个．9．某班数学兴趣小组根据学习函数的经验，通过列表、描点、连线的方法对函数y＝的图象与性质进行了研究，研究过程如下，请补充完整．（1）y与x的几组对应值如下表：x…﹣3﹣2﹣1123…y…66m…函数y＝的自变量x的取值范围是，m的值为；（2）在给出的平面直角坐标系中，描出以上表中各组对应值为坐标的点，画出函数y＝的大致图象，并写出该函数的两条性质；（3）在同一坐标系中画出函数y1＝x的图象，并根据图象直接写出当y＞y1时，自变量x的取值范围．。