《高考调研》衡水重点中学精讲练选修2-2课后巩固1-2-2

课时作业(三)一、选择题1．数列5,9,17,33，x ，…中的x 等于( ) A ．47 B ．65 C ．63 D ．128答案 B2．已知a 1＝3，a 2＝6，且a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 2009为( ) A ．3 B ．－3 C ．6 D ．－6 答案 D3．已知如图，则第n 个图形中小圆圈的个数为( )A ．2nB ．n 2C ．n 2－n ＋1D ．n 2－n答案 C4．(2010·泰安一中期中)已知22－4＋66－4＝2，55－4＋33－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2－2－4＝2.依照以上各式的规律得到( ) A.n n －4＋8－n (8－n )－4＝2 B.n ＋1(n ＋1)－4＋(n ＋1)＋5(n ＋1)－4＝2C.nn －4＋n ＋4(n ＋1)－4＝2 D.n ＋1(n ＋1)－4＝n ＋5(n ＋5)－4＝2 答案 A 二、填空题5．(2010·浙江)在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，那么位于表中的第n 行第n ＋1列的数是________． 答案 n 2＋n解析 第n 行的第一个数是n ，第n 行的数构成以n 为公差的等差数列，则其第n ＋1项为n ＋n ·n ＝n 2＋n .6．观察下图： 1 2 3 4 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 9 10 ……则第________行的各数之和等于20092.解析 规律：第n 行第一个数为n ，且第n 行共有2n －1个连续正整数，故由(2n －1)n ＋(2n －1)(2n －2)2×1＝20092，∴n ＝1005.7．对于正数a1，a2，…，a n，若(a1＋a2)(1a1＋1a2)≥4，(a1＋a2＋a3)(1a1＋1a2＋1a3)≥9，猜想(a1＋a2＋…＋a n)(1a1＋1a2＋…＋1a n)≥________.答案n28．(2009·徐州高二检测)观察下列等式：1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3,1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)，…，由此推测第n个等式为________．(不必化简结果)．答案1－22＋32－42＋…＋(－1)n－1n2＝(－1)n－1(1＋2＋3＋…＋n)9．(2009·鞍山高二检测)单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n幅图的蜂巢总数．则f(4)＝________；f(n)＝________.答案373n2－3n＋110．(2010·福建信息卷)如图，将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签：原点处标0，点(1,0)处标1，点(1，－1)处标2，点(0，－1)处标3，点(－1，－1)处标4，点(－1,0)处标5，点(－1,1)处标6，点(0,1)处标7，依此类推，则标签20092的格点的坐标为________．解析 ∵点(1,0)处标1＝12，点(2,1)处标9＝32点(3,2)处标25＝52，点(4,3)处标49＝72，依此类推得(1005,1004)处标20092.答案 (1005,1004)11．(2010·四川眉山)已知数列{a n }的第1项a 1＝1且a n ＋1＝a n1＋a n(n＝1,2，……)，试归纳出这个数列的通项公式．解析 当n ＝1时，a 1＝1；当n ＝2时，a 2＝11＋1＝12当n ＝3时，a 3＝121＋12＝13； 当n ＝4时，a 4＝131＋13＝14.……猜想：a n ＝1n (n ＝1,2，……)三、解答题12．设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1·a n ＝0，试归纳出这个数列的通项公式．思路分析 数列的通项公式表示的是数列{a n }的第n 项a n 与序号n 之间的对应关系．为此，我们先根据已知的递推公式，算出数列的前n 项．解析 当n ＝1时，a 1＝1，当n ＝1时，有2a 22－1＋a 2＝0，解得a 2＝12>0， 当n ＝2时，有3a 23－2·(12)2＋12a 3＝0，即6a 23＋a 3－1＝0.∵a 3>0，解得a 3＝13.于是猜想数列的通项公式为a n ＝1n.13．根据下列条件，写出数列中的前4项，并归纳猜想它的通项公式．(1)a 1＝a ，a n ＋1＝12－a n；(2)对一切的n ∈N *，a n >0，且2S n ＝a n ＋1.分析 写出a 1，a 2，a 3，a 4，观察所得数与项数n 之间的规律． 解析 (1)由已知有a 1＝a ，a 2＝12－a 1＝12－a ，a 3＝12－a 2＝2－a 3－2a ，a 4＝12－a 3＝3－2a 4－3a.猜测出a n ＝(n －1)－(n －2)an －(n －1)a .(n ≥2)(2)∵2S n ＝a n ＋1，∴2S 1＝a 1＋1，即2a 1＝a 1＋1，∴a 1＝1. 又2S 2＝a 2＋1，∴2a 1＋a 2＝a 2＋1， ∴a 22－2a 2－3＝0.∵对一切的n ∈N *，a n >0，∴a 2＝3.同理可求得a 3＝5，a 4＝7，猜测出a n ＝2n －1.14．已知正项数列{a n }满足S n ＝12(a n ＋1a n)．求出a 1、a 2、a 3并推测a n .思路分析 先由a 1＝S 1，求出a 1，再由当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1得出a n 和a n －1的递推关系，进而求出a 2、a 3，然后由a 1、a 2、a 3归纳出a n 的表达式．解析 由S 1＝12(a 1＋1a 1)，即a 1＝1a 1，又a 1>0，∴a 1＝1.当n ≥2时，由S n ＝12(a n ＋1a n )，S n －1＝12(a n －1＋1a n －1)．相减，得a n ＝12(a n ＋1a n )－12(a n －1＋1a n －1)，整理，得a n －1a n ＝－(a n －1＋1a n －1)．∴a 2－1a 2＝－2，即a 22＋2a 2＋1＝2，∴a 2＝2－1； 同理得a 3－1a 3＝－22，即a 23＋22a 3＋2＝3， ∴a 3＝3－2， 可推测a n ＝n －n －1.。

课时作业(十)一、选择题1．复平面内点A 、B 、C 对应的复数分别为i 、1、4＋2i ，由A →B →C →D 按逆时针顺序作平行四边形ABCD ，则|BD →|等于( )A ．5 B.13 C.15 D.17答案 B解析 如图所示，▱ABCD 四个顶点对应复数分别为z 1＝i ，z 2＝1，z 3＝4＋2i ，则有BD →＝BA →＋BC →，BD →＝(z 1－z 2)＋(z 3－z 2)＝2＋3i ，∴|BD →|＝22＋32＝13.故选B.2．复数z 1、z 2分别对应复平面内的点M 1、M 2，且|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|线段M 1M 2的中点M 对应的复数为4＋3i ，则|z 1|2＋|z 2|2等于( )A ．10B ．25C ．100D ．200答案 C解析 ∵|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，由复数的几何意义可知：△OM 1M 2为直角三角形，OM 1，OM 2为两条直角边．∴|z 1|2＋|z 2|2＝(2|4＋3i |)2＝(2·5)2＝100.故选C.3．设z ∈C ，且|z ＋1|－|z －i |＝0，则|z ＋i |的最小值为( )A ．0B ．1 C.22 D.12答案 C解析 ∵|z ＋1|－|z －i |＝0，由复数的几何意义可知，z 的轨迹是y ＝－x 直线上的点，设z ＝a －ai ，∴z ＋i ＝a ＋(－a ＋1)i ，∴|z ＋i |＝2a 2－2a ＋1＝2(a －12)2＋12，∴|z ＋i |min ＝22.故选C.4．两个复数z 1＝a 1＋b 1i 和z 2＝a 2＋b 2i (a 1、a 2、b 1、b 2∈R ，z 1≠0，z 2≠0)对应的向量OZ 1→和OZ 2→在同一直线上的充要条件是( )A.b 1a 1·b 2a 2＝－1 B ．a 1a 2＋b 1b 2＝0 C.a 1a 2＝b 1b 2 D ．a 1b 2＝a 2b 1答案 D解析 ∵OZ 1→＝(a 1，b 1).OZ 2→＝(a 2，b 2)，且OZ 1→与OZ 2→在同一直线上，即a 1b 2＝a 2b 1，故选D.5．已知z ＋5－6i ＝3＋4i ，则复数z 为( ) A ．－4＋20i B ．－2＋10i C ．－8＋20i D ．－2＋20i 答案 B6．设m ∈R ，复数z ＝(2m 2＋3i )＋(m －m 2i )＋(－1＋2mi )，若z 为纯虚数，则m 等于( )A ．－1B ．3 C.12D ．－1或3答案 C7．在复平面内，复数1＋i 与1＋3i 分别对应向量OA →和OB →，其中O 为坐标原点，则|AB →|＝( )A. 2 B ．2 C.10 D ．4答案 B8．设f (z )＝z －2i ，z 1＝3＋4i ，z 2＝－2－i ，则f (z 1－z 2)是( ) A ．1－5i B ．－2＋9i C ．－2－i D ．5＋3i答案 D 二、填空题9．(－2＋3i )＋(2－2i )－[(3－2i )＋(3＋2i )]＝________. 答案 －23＋i解析 复数的加减混合运算法则．原式＝(－2＋2－3－3)＋(3－2＋2－2)i ＝－23＋i .10．设x ，y ∈R ，且满足x (1＋i )＋y (1－2i )＝(－x ＋yi )－(3＋19i )，则x ＋y ＝________.答案 1解析 整理得：(x ＋y )＋(x －2y )i ＝(－x －3)＋(y －19)i .则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝－x －3，x －2y ＝y －19，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝5.∴x ＋y ＝1. 三、解答题11．复平面内有A ，B ，C 三点，点A 对应复数是2＋i ，向量BA →对应复数是1＋2i ，向量BC →对应复数是3－i ，求C 点在复平面内的坐标．解析 AC →＝BC →－BA →，∴AC →对应的向量为：(3－i )－(1＋2i )＝2－3i ， 设C (x ，y )，则(x ＋yi )－(2＋i )＝2－3i ， ∴x ＋yi ＝(2＋i )＋(2－3i )＝4－2i ， 故x ＝4，y ＝－2.所以C 点在复平面内的坐标为(4，－2)．12．在复平面内，复数－3－i 与5＋i 对应的向量分别是OA →与OB →，其中O 是原点，求向量OA →＋OB →，BA →对应的复数及A 、B 两点之间的距离．解析 由题可知：OA →＝(－3，－1)，OB →＝(5,1)， ∴OA →＋OB →＝(－3，－1)＋(5,1)＝(2,0)． ∴OA →＋OB →对应复数为2.BA →＝OA →－OB →＝(－3，－1)－(5,1)＝(－8，－2)． 所以BA →对应复数为－8－2iA 、B 两点间的距离d ＝|(－3－i )－(5＋i )|＝|(－8，－2)|＝217.。

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课时作业（五）
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课时作业(十)一、选择题1．设在区间[a ，b]上函数f(x)的图像是一条连续不断的曲线，且在区间(a ，b)上可导，有以下三个命题：①若f(x)在[a ，b]上有最大值，则这个最大值必是[a ，b]上的极大值； ②若f(x)在[a ，b]上有最小值，则这个最小值必是[a ，b]上的极小值； ③若f(x)在[a ，b]上有最值，则最值必在x ＝a 或x ＝b 处取得． 其中正确的命题共有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个答案 A解析 由于函数的最值可能在区间[a ，b]的端点处取得，也可能在区间(a ，b)内取得，而当最值在区间端点处取得时，其最值必不是极值，因此命题①②③都不正确． 2．函数f(x)＝x(1－x 2)在[0，1]上的最大值为( ) A.239B.229C.329D.38 答案 A解析 f′(x)＝1－3x 2，令f′(x)＝0，得x ＝±33.∵f(0)＝0，f(1)＝0，f(33)＝239，f(－33)＝－239，∴f(x)max ＝239. 3．函数y ＝lnxx 的最大值为( )A ．e －1 B ．e C ．e2 D.103答案 A解析 y′＝1x·x －lnx x 2＝1－lnx x 2(x>0)，令y′＝0，得x ＝e.∴当0<x ≤e 时，y ′≥0，y ＝lnxx为增函数；当x>e 时，y ′<0，y ＝lnxx 为减函数．∴y ＝lnx x 在(0，＋∞)上的最大值为y max ＝lne e ＝1e. 4．函数f(x)＝x ＋2cosx 在区间[－π2，0]上的最小值是( )A ．－π2B ．2 C.π6＋ 3 D.π3＋1 答案 A解析 f′(x)＝1－2sinx ，∵x ∈[－π2，0]，∴sinx ∈[－1，0]，∴－2sinx ∈[0，2]．∴f ′(x)＝1－2sinx>0在[－π2，0]上恒成立，∴f(x)在[－π2，0]上单调递增．∴f(x)min ＝f(－π2)＝－π2＋2cos(－π2)＝－π2.5．若函数y ＝x 3＋32x 2＋m 在[－2，1]上的最大值为92，则m 等于( )A ．0B ．1C ．2 D.52 答案 C解析 y ′＝3x 2＋3x ＝3x(x ＋1)，令y′＝0，得x ＝0或x ＝－1. 因为f(0)＝m ，f(－1)＝m ＋12，又f(1)＝m ＋52，f(－2)＝m －2，所以f(1)＝m ＋52最大，所以m ＋52＝92，所以m ＝2.故选C.6．已知函数f(x)，g(x)均为[a ，b]上的可导函数，在[a ，b]上连续且f′(x)<g′(x)，则f(x)－g(x)的最大值为( ) A ．f(a)－g(a) B ．f(b)－g(b) C ．f(a)－g(b) D ．f(b)－g(a) 答案 A解析 令h(x)＝f(x)－g(x)，x ∈[a ，b]，则h′(x)＝f′(x)－g′(x)<0. ∴h(x)是[a ，b]上的减函数．∴h(x)max ＝[f(x)－g(x)]max ＝f(a)－g(a)．故选A. 二、填空题7．若f(x)＝2x 3－6x 2＋m 在[－2，2]上有最大值3，则f(x)在[－2，2]上的最小值为________． 答案 －37解析 f′(x)＝6x 2－12x ，令f′(x)＝0，得x 1＝0，x 2＝2. ∵f(－2)＝m －40，f(0)＝m ，f(2)＝m －8，∴m 为最大值． 又最大值为3，∴m ＝3，∴最小值为f(－2)＝－37.8．函数f(x)＝e x (x 2－4x ＋3)在[0，1]上的最小值是________． 答案 0解析 f′(x)＝e x (x 2－4x ＋3)＋e x (2x －4)＝e x (x 2－2x －1)＝e x [(x －1)2－2]， 当x ∈[0，1]时f′(x)<0，f(x)在[0，1]上是减函数，f(x)min ＝f(1)＝0.9．函数f(x)＝x 2＋2ax ＋1在[0，1]上的最小值为f(1)，则a 的取值范围为________． 答案 (－∞，－1]解析 f′(x)＝2x ＋2a ，f(x)在[0，1]上的最小值为f(1)，说明f(x)在[0，1]上单调递减，∴x ∈[0，1]时f′(x)≤0恒成立，a ≤－x ，∴a ≤－1. 10．若不等式x 4－4x 3>2－a 对任意实数x 都成立，则a 的取值范围是________． 答案 (29，＋∞) 三、解答题11．已知函数f(x)＝12x 2＋lnx.(1)求函数f(x)在区间[1，e]上的最大、最小值；(2)求证：在区间(1，＋∞)上，函数f(x)的图像在函数g(x)＝23x 3图像的下方．解析 (1)由已知f′(x)＝x ＋1x ，当x ∈[1，e]时，f ′(x)＞0，所以函数f(x)在区间[1，e]上单调递增．所以函数f(x)在区间[1，e]上的最小、最大值分别为f(1)、f(e)．因为f(1)＝12，f(e)＝e 22＋1，所以函数f(x)在区间[1，e]上的最大值为e 22＋1，最小值为12.(2)设F(x)＝12x 2＋lnx －23x 3，则F′(x)＝x ＋1x －2x 2＝（1－x ）（1＋x ＋2x 2）x .因为x ＞1，所以F′(x)＜0.所以函数F(x)在区间(1，＋∞)上单调递减，又F(1)＝－16＜0，所以，在区间(1，＋∞)上F(x)＜0，即12x 2＋lnx ＜23x 3.所以函数f(x)的图像在函数g(x)＝23x 3图像的下方．12．已知a 是实数，函数f(x)＝x 2(x －a)．(1)若f′(1)＝3，求a 的值及曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)求f(x)在区间[0，2]上的最大值．解析 (1)f′(x)＝3x 2－2ax ，因为f′(1)＝3－2a ＝3，所以a ＝0. 又当a ＝0时，f(1)＝1，f ′(1)＝3，所以曲线y ＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为3x －y －2＝0. (2)令f′(x)＝0，解得x 1＝0，x 2＝2a3.当2a3≤0，即a ≤0时，f(x)在[0，2]上单调递增，从而f(x)max ＝f(2)＝8－4a. 当2a3≥2，即a ≥3时，f(x)在[0，2]上单调递减，从而f(x)max ＝f(0)＝0. 当0<2a 3<2，即0<a<3时，f(x)在[0，2a 3]上单调递减，在[2a3，2]上单调递增，从而f(x)max ＝⎩⎪⎨⎪⎧8－4a ，0<a ≤2，0，2<a<3.综上所述，f(x)max ＝⎩⎪⎨⎪⎧8－4a ，a ≤2，0，a>2.13．已知函数f(x)＝alnx ＋bx 的图像在点(1，－3)处的切线的方程为y ＝－2x －1. (1)若对任意x ∈[13，＋∞)有f(x)≤m 恒成立，求实数m 的取值范围；(2)若函数y ＝f(x)＋x 2＋2在区间[k ，＋∞)内有零点，求实数k 的最大值． 解析 (1)∵点(1，－3)在函数f(x)图像上，∴－3＝aln1＋b ，∴b ＝－3. ∵f ′(x)＝ax －3，由题意f′(1)＝－2，即a －3＝－2，∴a ＝1.∴f(x)＝lnx －3x.∴f ′(x)＝1x－3.当x ∈[13，＋∞)时，f ′(x)≤0，∴f(x)在[13，＋∞)为减函数．∵f(x)max ＝f(13)＝ln 13－1＝－ln3－1.若任意x ∈[13，＋∞)，使f(x)≤m 恒成立，∴m ≥－ln3－1，即实数m 的取值范围为[－ln3－1，＋∞)． (2)f(x)＝lnx －3x 的定义域为(0，＋∞)， ∴y ＝lnx －3x ＋x 2＋2，x ∈(0，＋∞)． ∴y ′＝1x －3＋2x ＝2x 2－3x ＋1x .令y′＝0，得x ＝1，x ＝12.x (0，12)12 (12，1) 1 (1，＋∞)y′ ＋ 0 － 0 ＋ y增极大减极小增而y|x ＝1＝0，∴x ＝1为y ＝lnx －3x ＋x 2值为1. ►重点班·选做题14．设函数f(x)＝lnx ＋ln(2－x)＋ax(a>0)． (1)当a ＝1时，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在(0，1]上的最大值为12，求a 的值．解析 函数f(x)的定义域为(0，2)，f ′(x)＝1x －12－x＋a.(1)当a ＝1时，f ′(x)＝－x 2＋2x （2－x ），所以f(x)的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，2)．(2)当x ∈(0，1]时，f ′(x)＝2－2x x （2－x ）＋a>0，即f(x)在(0，1]上单调递增，故f(x)在(0，1]上的最大值为f(1)＝a ，因此a ＝12.1．下列说法正确的是( )A ．函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值便是最大值，极小值便是最小值B ．闭区间上的连续函数一定有最值，也一定有极值C ．若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之，若有极值，则一定有最值D ．若函数在给定区间上有最值，则有且仅有一个最大值，一个最小值，但若有极值，则可能有多个极值 答案 D2．已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 的导数为f′(x)，f ′(0)>0，对于任意实数x ，都有f(x)≥0，则f （1）f′（0）的值域为( )A ．[3，＋∞)B ．(－∞，3]C ．[2，＋∞)D ．(－∞，2]答案 C解析 f′(x)＝2ax ＋b.由题意知f′(0)＝b>0， b 2－4ac ≤0，且a>0，∴f （1）f′（0）＝a ＋b ＋c b ＝1＋a ＋cb .∵b 2≤4ac ，∴b ≤2ac ，∴1＋a ＋c b ≥1＋a ＋c2ac≥1＋1＝2(当且仅当a ＝c 时取“＝”)．故选C.3．函数y ＝x 4－4x ＋3在区间[－2，3]上的最小值为( ) A ．72 B ．36 C ．12 D ．0答案 D解析 y′＝4x 3－4，令y′＝0，得4x 3－4＝0，x ＝1，当x<1时，y ′<0；当x>1时，y ′>0，所以y 极小值＝y |x ＝1＝0，而端点的函数值y |x ＝－2＝27，y |x ＝3＝72，得y min ＝0.4．函数y ＝f(x)在[a ，b]上( ) A ．极大值一定比极小值大 B ．极大值一定是最大值 C ．最大值一定是极大值 D ．最大值一定大于极小值答案 D5．函数y ＝f(x)在区间[a ，b]上的最大值是M ，最小值是m ，若M ＝m ，则f′(x)( ) A ．等于0 B ．大于0 C ．小于0 D ．以上都有可能 答案 A解析 由题意，知在区间[a ，b]上，有m ≤f(x)≤M ，当M ＝m 时，令M ＝m ＝C ，则必有f(x)＝C ，∴f ′(x)＝C′＝0.故选A.6．已知函数f(x)＝1＋lnx x ，若函数在区间(a ，a ＋12)(其中a>0)上存在最大值，则实数a 的取值范围是________． 答案 12<a<1解析 因为f(x)＝1＋lnx x ，x>0，所以f′(x)＝－lnxx 2.当0<x<1时，f ′(x)>0；当x>1时，f ′(x)<0.所以f(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减， 所以函数f(x)在x ＝1处取得极大值．因为函数f(x)在区间(a ，a ＋12)(其中a>0)上存在最大值，所以⎩⎪⎨⎪⎧a<1a ＋12>1，解得12<a<1.7．函数f(x)＝x 3－3x 2－9x ＋k 在区间[－4，4]上的最大值为10，则其最小值为________． 答案 －718．已知函数f(x)＝a （x 2－x －1）e x )(x ∈R )，a 为正数．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若对∀x 1，x 2∈[0，4]均有|f(x 1)－f(x 2)|<1成立，求实数a 的取值范围． 解析 (1)令f′(x)＝a （3x －x 2）e x ＝ax （3－x ）e x ＝0，得x ＝0或x ＝3.∵a>0，e x >0，∴当x ∈(－∞，0)时f′(x)<0，当x ∈(0，3)时f′(x)>0. 当x ∈(3，＋∞)时f′(x)<0.故f(x)的单调减区间为(－∞，0)和(3，＋∞)，增区间为(0，3)．(2)在x ∈[0，4]时由(1)知在x ∈[0，3]时单调递增，x ∈[3，4]时单调递减， ∴f(3)为f(x)在[0，4]上的最大值．而f(0)＝－a ，f(4)＝11ae 4，则f(0)<f(4)，故在[0，4]上f(x)的最小值为f(0)，若要对∀x 1，x 2∈[0，4]有|f(x 1)－f(x 2)|<1，只需|f(x)max －f(x)min |<1，即f(3)－f(0)<1. ∴5a e 3＋a<1⇒a<e 35＋e 3， 又a>0，∴a 的取值范围为(0，e 35＋e 3)．。