无锡市第一中学2020—2021学年度第一学期期中试卷高一数学

佳木斯一中2021—2022学年度第二学期期中考试高一数学试题（时间：120分钟总分：150分）I 卷（共60分）一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选中，只有一项是符合要求的）1．北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”很受欢迎，现工厂决定从20只“冰墩墩”，15只“雪容融”和10个北京2022年冬奥会会徽中，采用比例分配分层随机抽样的方法，抽取一个容量为n 的样本进行质量检测，若“冰墩墩”抽取了4只，则n 为（）A ．3B ．2C ．5D ．92．如图，在△ABC 中，3AB AD =，CE ED =，设AB a = ，AC b = ，则AE = （）A ．1132a b + B ．1142a b+ C ．1152a b + D ．1162a b + 3．已知向()2,1a = ，()4,3b =- ，若a 与a b l +垂直，则实数λ的值为（）A ．-1B ．0C ．1D ．24．不透明的口袋内装有红色､绿色和蓝色小球各2个，一次任意摸出2个小球，则与事件“2个小球都为红色”互斥而不对立的事件有（）A ．2个小球不全为红色B ．2个小球恰有一个红色C ．2个小球至少有一个红色D ．2个小球不全为绿色5．第四届数字中国建设峰会将于2021年4月25日至26日在福州举办，福州市以此为契机，加快推进“5G +光网”双千兆城市建设.如图，某县区域地面有四个5G 基站A ，B ，C ，D .已知C ，D 两个基站建在江的南岸，距离为；基站A ，B 在江的北岸，测得75ACB ∠=︒，120ACD ∠=︒，30ADC ∠=︒，45ADB ∠=︒，则A ，B 两个基站的距离为（）A ．B ．C ．15kmD ．6．已知复数z 满足|2|1-+=z i ，则||z 的最小值为（）A 1B 1C 1-D 17．四名同学各掷骰子4次，记录每次骰子出现的点数并分别对每位同学掷得的点数进行统计处理，在四名同学以下的统计结果中，可以判断该同学掷出的骰子一定没有出现点数1的是（）A ．平均数为3，众数为4B ．平均数为4，中位数为3C ．中位数为3，方差为2.5D ．平均数为3，方差为2.58．已知△ABC 的外接圆圆心为O ，且AO AB AC +=，AO AC = ，则向量BA在向量BC 上的投影向量为（）A ．14BC B ．12BC C ．14BC - D ．12BC - 二．选择题（共4小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，有多项是符合要求的，全选对得5分，部分选对得2分，有错的得0分）9．新中国成立至今，我国一共进行了7次全国人口普查，历次普查得到的全国人口总数如图1所示，城镇人口比重如图2所示．下列结论正确的有（）A ．与前一次全国人口普查对比，第五次总人数增长量高于第四次总人数增长量B ．对比这7次全国人口普查的结果，我国城镇人口数量逐次递增C ．第三次全国人口普查城镇人口数量低于2亿D ．第六次全国人口普查城镇人口数量超过第二次全国人口普查总人口数10．有一组样本数据12,,,n x x x 的平均数为x ，方差为2s ，则下列说法正确的是（）A ．设a ∈R ，则样本数据1ax ，2ax ，…，n ax 的平均数为axB ．设a ，b ∈R ，则样本数据1ax b +，2ax b +，…，n ax b +的标准差为22a sC ．样本数据21x ，22x ，…，2n x 的平均数为2x D ．22211n i i s x xn ==-∑11．已知复数1i 22z =-（i 为虚数单位），则下列说法正确的是（）A ．31z =B ．2z z =C ．210z z ++=D ．2202110z z z ++++= 12．已知△ABC 三个内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，且π3C ∠=，c =2．则下列结论正确（）A ．△ABCB ．AC AB ⋅的最大值为2C．cos cos b A a B +=D ．cos cos BA的取值范围为)∞∞⎛-⋃+ ⎝⎭Ⅱ卷（共90分）三、填空题（共4道题，每题5分，共20分）13．若随机事件A 、B 互斥，A ，B 发生的概率均不等于0，且()2P A a =-，()45P B a =-，则实数a 的取值范围是______．14．已知向量(2,1),10,a a b a b =⋅=+=b = ________.15．已知某班男女同学人数之比为5：4，该班所有同学进行踢毽子比赛，比赛规则如下：每个同学用脚踢起毽子，在毽子落地前用脚接住并踢起，脚没有接到毽子则比赛结束．现记录了每个同学用脚踢起毽子开始到毽子落地，脚踢到毽子的次数，已知男同学用脚踢到毽子次数的平均数为21，方差为17，女同学用脚踢到毽子次数的平均数为12，方差为17，那么全班同学用脚踢到毽子次数的平均数为______，方差为______.16．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 23cos 10B B --=．若角B 的角平分线交线段AC 于点D ，且BD =3，AD =3DC ，则AC 长为______.四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知12i +是关于x 的方程20(,)x px q p q R ++=∈的一个根，其中i 为虚数单位．(1)求,p q 的值；(2)记复数i z p q =+，求复数1iz+的模．18．袋中有9个大小相同颜色不全相同的小球，分别为黑球、黄球、绿球，从中任意取一球，得到黑球或黄球的概率是59，得到黄球或绿球的概率是23，试求：(1)从中任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？(2)若从其中的黑球和黄球中有放回的任取两个球，得到的两个球颜色不相同的概率是多少？19．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，sin sin 2B Cb a B +=，3BC =，如图所示，点D 在线段AC 上，满足AB AD =.（1）求A 的值；（2）若2BD CD =，求AB CB ⋅的值.20．某超市有甲、乙两家分店，为调查疫情期间两家分店的销售情况，现随机抽查了上个年度两家店20天的日销售额（单位：万元），分别得到甲、乙两家分店日销售额的频率分布直方图如下：(1)比较甲乙两店日销售额的平均数的大小（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）：(2)若规定分店一年（按360天计算）中日销售额不低于55万的天数不少于120天为运转良好，请结合上图，分析甲店上个年度运转是否良好？(3)如果你是投资决策者，你更愿意在哪家店投资，请你根据所学的统计知识，说明你的理由．（不需要计算，只需要说清楚理由）21．2021年起，部分省实行“3+1+2”高考新模式，为让学生适应新高考赋分模式，某校在一次模拟考试中，使用赋分制对选考化学的学生的化学成绩进行赋分，赋分的方案如下：先按照学生的原始分数从高到低排位，按比例划分A 、B 、C 、D 、E 共五个等级，然后在相应的区间内，利用转换公式进行赋分．等级排名占比与赋分区间如下表：等级A B C D E 等级排名占比15%35%35%13%2%赋分区间[]86,100[]71,85[]56,70[]41,55[]30,40现从全年级选考化学的学生中随机抽取100名学生的原始成绩（未赋分）进行分析，其频率分布表为：分组[)40,50[)50,60[)60,70[)70,80[)80,90[]90,100频率0.100.150.15a0.250.05（1）求表中a 的值；（2）用样本估计总体的方法，估计该校本次化学成绩原始不少于多少分才能达到赋分后的C 等级以上（含C 等级）？（结果保留整数）（3）若采用样本量比例分配的分层随机抽样，从原始成绩在[)40,50与[)50,60内学生中抽取5人，查看他们的答题情况来分析知识点上缺漏，再从中选取2人进行调查分析，求这2人中恰好有1人原始成绩在[)40,50内的概率．22．在①2sin sin 1sin sin B C a C B cb+-=，②cos (2)cos 0a B b c A +-=cos sin 2B C a C +=．这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且______.(1)求角A 的值；(2)若2c =，5b =．AB ，AC 边上的两条中线CM ，BN 相交于点P ，求cos MPN ∠．注：若选择多个条件分别作答，按第一个解答计分1．D 【分析】利用分层抽样中的比例列出方程，求出答案.【详解】420151020n =++，解得：9n =故选：D 2．D 【分析】根据向量的加法法则，即可求解.【详解】解：由题意得：11111112223262AE AD AC AB AC a b =+=⨯+=+，故选：D.3．A 【分析】应用向量线性运算的坐标表示a b l +，再由向量垂直的坐标表示有550λ+=，即可求λ值.【详解】由题设，(24,13)a λb λλ+=+-，a 与ab l + 垂直，则2(24)(13)550λλλ++-=+=，可得1λ=-.故选：A 4．B 【分析】对于A 两个事件是对立的事件，故A 错误；对于B ，两个事件是互斥而不对立的，故B 正确；对于C ，两个事件不是互斥事件，故C 错误；对于D ，两个事件可以同时发生，不互斥，故D 也错误.【详解】一个口袋内装有大小、形状相同的红色、绿色和蓝色小球各2个，一次任意取出2个小球，对于A ，2个小球不全为红球与事件“2个小球都为红色”是对立的事件，故A 错误；对于B ，2个小球恰有1个红球与事件“2个小球都为红色”互斥而不对立的事件，故B 正确；对于C ，2个小球至少有1个红球与事件“2个小球都为红色”能同时发生，不是互斥事件，故C 错误；对于D ，2个小球不全为绿球与事件“2个小球都为红色”是可以同时发生的事件，不是互斥事件，故D 错误．故选：B ．5．D 【分析】ACD 中求出AD ，BCD △中由正弦定理求得BD ，ABD △中，由余弦定理求得AB ．【详解】ACD 中，120ACD ∠=︒，30ADC ∠=︒，则30CAD ∠=︒，AC CD ==2cos3030AD CD =︒=，BCD △中，1207545BCD ∠=︒-︒=︒，180********CBD ∠=︒-︒-︒-︒=︒，由正弦定理sin sin CD BD CBD BCD =∠∠sin 45BD =︒，BD =ABD △中，由余弦定理得22230230cos 45500AB =+-⨯⨯︒=，AB =故选：D ．6．A 【分析】设z a bi =+，由题意求出,a b 的关系式，由圆的性质可求出||z 的最小值.【详解】解：设z a bi =+，则()2211a bi i a b i +-+=-++=，由()()22211x y -++=，表示为以()2,1-为圆心，1为半径的圆，1-，因为z =1，故选:A.【点睛】本题考查了复数模的求解，考查了转化的思想.本题的关键是将模的最值转化为圆上点到原定距离的最值问题.7．B 【分析】依据数字特征的定义，依次对选项验证即可．【详解】对于选项A ，1，3，4，4符合条件，故A 错，对于选项B ，平均数为4,中位数为3,则中间两数的和为6，所以第一个数和最后一个数的和为10，而最大数为6，所以第一个数为4，显然不可能出现1，故B 对；对于选项C ，1，2，4，5,中位数2432+=，平均数为()1124534+++=，方差()()()()2222113234353 2.54⎡⎤-+-+-+-=⎣⎦，为符合条件，故C 错；对于选项D ，1，2，4，5，由C 知，符合条件，故D 错.故选：B 8．B 【分析】由题意作出符合题意的图形，判断出OBAC 为菱形,直接得到向量BA在向量BC 上的投影向量.【详解】如图示：因为△ABC 的外接圆圆心为O ，AO AB AC+=，AO AC = ，所以AO AC CO ==,所以△AOC 为等边三角形，所以OBAC 为菱形，所以OA BC ⊥.所以向量BA 在向量BC 上的投影向量为12BC .故选：B 9．AB【分析】从图1和图2数据出发，计算出相应的量，判断四个选项.【详解】从图1可以看出，第五次总人数增长量为126583-113368=13215（万人），第四次总人数增长量为113368-100818=12550（万人），故A 正确；从图2可以看出这7次全国人口普查的结果，我国城镇人口数量逐次递增，B 正确；从图1和图2可以得到，第三次全国人口普查城镇人口数约为010081820.91200000⨯>（万人），C 错误；从图1和图2可以得到，第六次全国人口普查城镇人口数约为013397249.68694580⨯<（万人），D 错误故选：AB 10．AD 【分析】A 选项，利用平均数计算公式进行元素；B 选项，利用求方差公式求解公差，进而求出标准差；C 选项，举出反例；D 选项，利用求解方差公式推导出答案.【详解】A 选项，由题意得：12n x x x x n +++= ，则12nax ax ax ax n+++= ，A 正确；B 选项，数据1ax b +，2ax b +，…，n ax b +的平均数为ax b +，所以()()()22212n ax b ax b ax b ax b ax b ax b n+--++--+++-- ()()()22221222n a x x x x x x a s n-+-++-== ，则标准差为as ，B 错误；C 选项，可以举出反例，比如1,2,3的平均数为2，而1,4,9的平均数为143，显然样本数据21x ，22x ，…，2n x 的平均数不一定是x ，故C 错误；D 选项，()()22222111111122n n n n i i i i i i i i i x s x x x x x x x x xn n n n =====-=-+=-+∑∑∑∑2222211112n n i i i i x x x x x n n ===-+=-∑，D 正确.故选：AD11．ACD【分析】根据复数的运算法则直接运算即可．【详解】122z =-+，221122z z ⎛⎫=-+=--≠ ⎪ ⎪⎝⎭，故B 错误；3211i 122z z z ⎛⎫⎛⎫=⋅=--= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故A 正确；21111022z z ++=---++=，故C 正确；()6732021322z z z z =⋅=，210z z ++=，()345322110z z z z z z z z ++=++=++=，()220212167410z z z z z +++⋅⋅⋅+=++=，故D 正确．故选：ACD ．12．AB【分析】A 选项，利用余弦定理和基本不等式求解面积的最大值；B 选项，先利用向量的数量积计算公式和余弦定理得2242b a AC AB +-⋅= ，利用正弦定理和三角恒等变换得到22π26b a B ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，结合B 的取值范围求出最大值；C 选项，利用正弦定理进行求解；D 选项，用()cos cos B A C =-+进行变换得到cos 1cos 2B A A =-，结合A 的取值范围得到cos cos B A的取值范围.【详解】由余弦定理得：2241cos 22a b C ab +-==，解得：224a b ab +=+，由基本不等式得：2242a b ab ab +=+≥，当且仅当a b =时，等号成立，所以4ab ≤，故1sin 2ABC S ab C =≤ A 正确；222224cos 22b c a b a AC AB AC AB A bc bc +-+-⋅=⋅=⋅= ，其中由正弦定理得：2πsin sin sin 3a b A B ===所以()22222216162πsin sin sin sin 333b a B A B B ⎡⎤⎛⎫-=-=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦4π1cos 2161cos 2π323226B B B ⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥-⎛⎫⎝⎭⎢⎥-=-- ⎪⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦，因为2π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ7π2,666B ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，故22π26b a B ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭最大值为3，222224cos 22b c a b a AC AB AC AB A bc bc +-+-⋅=⋅=⋅=的最大值为2B正确；)()cos cos sin cos sin cos 2b A a B B A A B A B C +=+=+==，故C错误；π1cos cos cos 1322tan cos cos cos 22A A AB A A A A ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭===-，因为2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以(()tan ,0,A ∞∞∈-⋃+，()11,2,22A ∞∞⎛⎫-∈--⋃-+ ⎪⎝⎭，D 错误.故选：AB【点睛】三角函数相关的取值范围问题，常常利用正弦定理，将边转化为角，结合三角函数性质及三角恒等变换进行求解，或者将角转化为边，利用基本不等式进行求解.13．54,43⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】由互斥事件的性质，列不等式组求a 的范围.【详解】由题意，()()()()01011P A P B P A P B ⎧<<⎪<<⎨⎪+≤⎩，即021*******a a a <-<⎧⎪<-<⎨⎪-≤⎩，解得5443a <≤．故答案为：54,43⎛⎤ ⎥⎝⎦14．5【分析】由a b += 22250a a b b +⋅+= ，结合题意，即可求解.【详解】由题意，向量(),2,110a a b =⋅= ，可得25a = ，又由a b += ，则22222521050a b a a b b b +=+⋅+=+⨯+= ，可得225b = ，所以5b = .故答案为：515．1737【分析】设男女生分别有5,4a a 人，利用平均数的求法求全班的()E X ，再由22()()()E X E X D X -=求出男女生对应2()E X 值，进而求全班的方差.【详解】设男女生分别有5,4a a 人，则全班同学用脚踢到毽子次数的平均数为21512415317549a a a a ⨯+⨯==+，对于男生，5221121175a i i x a =-=∑；对于女生，4221112174a i i y a =-=∑；所以5214585a i i x a ==⨯∑，4211614ai i y a ==⨯∑，而全班同学用脚踢到毽子次数的方差为54222111()17379a a i i i i x y a ==+-=∑∑.故答案为：17，3716．【分析】利用余弦的二倍角公式，得到(2cos 1)(cos 2)0B B +-=，求出23B π=，进而利用正弦定理和余弦定理，列出含有,,a b c 的方程，进而解方程即可求出AC 的长度【详解】有已知得，cos 23cos 10B B --=，化简得22cos 3cos 20B B --=，则(2cos 1)(cos 2)0B B +-=，因为0B π<<，所以cos 2B =（舍去），1cos 2B =-，23B π=，BD Q 为角B 的角平分线，23B ABD CBD π∴∠=∠==，3BD = ，334AD DC b ==，又因为sin sin AD AB ABD BDA =∠∠，且sin sin DC BC CBD CDB=∠∠，得3c a =，又2221cos 22a c b ABC ac+-∠=-=，得2213b a =，则b =，又229116cos 26b a CBD a +-∠==，得223916b a a =+-，代入b =，得23481440a a -+=，化简可得，(12)(312)0a a --=，得12a =或4a =，因为在BCD △中，BDC ∠为钝角，则4b a >，当且仅当4a =时成立，所以，b ==故答案为：17．(1)2,5p q =-=2【分析】（1）由题知()()212i 12i 0p q ++++=，即()()342i 0p q p +-++=，再根据复数相等求解即可；（2）由（1）得25i z =-+，故37i 1i 2z +=+，再求模即可.(1)解：知12i +是关于x 的方程20(,)x px q p q R ++=∈的一个根，所以()()212i 12i 0p q ++++=，即()()342i 0p q p +-++=，所以30420p q p +-=⎧⎨+=⎩，解得2,5p q =-=.所以2,5p q =-=(2)解：由（1）得复数25i z =-+，所以()()()()25i 1i 25i 37i 1i 1i 1i 1i 2z -+--++===+++-所以复数1i z +=18．(1)13，29，49(2)1325【分析】（1）根据互斥事件求概率公式列出方程组，求出黑球、黄球、绿球的概率分别是13，29，49；（2）列举法求解古典概型的概率.(1)从中任取一球，分别记得到黑球、黄球、绿球为事件A ，B ，C ，由于A ，B ，C 为互斥事件，根据已知，得()()()()()()()()()()59231P A B P A P B P B C P B P C P A B C P A P B P C ⎧+=+=⎪⎪⎪+=+=⎨⎪++=++=⎪⎪⎩，解得1()32(),94()9P A P B P C ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩所以，任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率分别是13，29，49．(2)由（1）知黑球、黄球个数分别为3，2，用1，2，3表示黑球，用a ，b 表示黄球，m 表示第一次取出的球，n 表示第二次取出的球，(,)m n 表示试验的样本点，则样本空间{}{}Ω(,),1,2,3,,m n m n a b =∈，所以()25n Ω=，每个样本点出现的可能性相同，因此这个试验是古典概型，设A =“取出两球颜色相同”{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(,),(,),(,),(,)}A a a a b b a b b =，所以()13n A =，所以()13()()25n A P A n ==Ω19．（1）3π；（2）97.【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合诱导公式和二倍角公式可求得sin 2A ，进而得到A ；（2）在ABC 中利用余弦定理可求得DC ，从而求得cos B ，由平面向量数量积的定义可计算求得结果.【详解】（1）由正弦定理得：sin sin sin sin 2B C B A B +=，B C A π+=- ，sin sin cos 2222B C A A π+⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，又()0,B π∈，sin 0B ∴≠，cossin 2sin cos 222A A A A ∴==，0,22A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，cos 02A ∴≠，1sin 22A ∴=，26A π∴=，解得：3A π=.（2）AB AD = ，3A π=，ABD ∴ 为等边三角形，设DC x =，则2BD AB AD x ===，在ABC 中，由余弦定理得：2222222cos 4969BC AB AC AB AC A x x x =+-⋅=+-=，解得：x =AB ∴==AC 222cos 2AB BC AC B AB BC +-∴=⋅，9cos 37AB CB AB BC B ∴⋅=⋅=⨯ .【点睛】关键点点睛：本题第二问考查平面几何中的平面向量数量积的求解问题，解题关键是能够灵活应用余弦定理求得三角形的边长，进而根据边长求得所求向量夹角的余弦值.20．(1)x x >甲乙(2)甲店运转良好(3)我选乙店，理由见解析【详解】（1）解：估计算甲店的日销售额平均数为100.1300.1500.6700.15900.0549x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=甲估计算乙店的日销售额平均数为100.2300.25500.25700.1900.247x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=乙．x x >甲乙．（2）解：日销售额超过55万的天数占比不少于12013603=，甲日销售额不低于55万的概率约为(6055)0.03200.0075200.00250.35-⨯+⨯+⨯=，甲店运转良好．（3）解：答案一：甲店日销售额平均值略高于乙店，由频率分布直方图可知．甲店的销售额方差明显低于乙店，故甲店销售情况比乙店要稳定，所以我选甲店；答案二：虽然甲店日销售额平均值略高于乙店，但乙店日销售额在80万-100万出现的概率比甲店高，故我认为乙店更有潜力，所以我选乙店．21．（1）0.30a =；（2）54分；（3）35．【分析】（1）频率分布表中，频率之和等于1即可求解；（2）先计算等级达到C 级及以上的频率，设原始分数不少于x 分可达到，再列方程即可求解；（3）原始得分在[)40,50和(]50,60内频率分别为0.10和0.15，抽取的5人中，得分在[)40,50内的有2人，得分在[)50,60内的有3人，再由古典概型的概率公式即可求解.【详解】（1）∵0.100.150.150.250.051a +++++=，∴0.30a =．（2）由已知等级达到C 级及以上所占排名等级占比为15%35%35%85%++=设原始分数不少于x 分可达到赋分后的C 级及以上，易知5060x <<所以()()0.0050.0250.0300.01510600.0150.85x +++⨯+-⨯=解得：53.33x ≈所以估计该校本次化学成绩原始分不少于54分才能达到赋分后的C 等级以上（含C 等级）（3）设A =“抽取2人中恰好有1人原始成绩在[)50,60内”由题设可知，原始得分在[)40,50和(]50,60内频率分别为0.10和0.15，则抽取的5人中，得分在[)40,50内的有2人，得分在[)50,60内的有3人．记得分在[)40,50内2位同学为a ，b ，得分在[)50,60的三位同学位B ，C ，D ．则从5人中任取2人，样本空间为()()()()()()()()()(){}=,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a B a C a D b B b C b D B C B D C D Ω，共包含10个样本点()()()()()(){},,,,,,,,,,,M a B a C a D b B b C b D =，共包含6个样本点．所以()63105P M ==，故这2个人中恰好有1人原始成绩在[)40,50内的概率35．22．(1)3A π=(2)1114-【分析】(1)根据正弦定理，边角互化，即可逐一求解.(2)建立适当坐标系，即可求解.(1)（1）选择条件①，由2sin sin 1sin sin B C a C B cb+-=及正弦定理，可得21b c c b cb a +-=，则222b c a bc +-=，由余弦定理，得2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，因为0A π<<，所以3A π=．选择条件②，由cos (2)cos 0a B b c A +-=及正弦定理，可得sin cos (sin 2sin )cos 0A B B C A +-=，即sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A +=．即sin()2sin cos A B C A +=．在ABC ∆中，A B C π++=，所以sin()sin()sin A B C C π+=-=，即sin sin cos C C A =，因为0C π<<，所以sin 0C ≠，所以1cos 2A =．因为0A π<<，所以3A π=．选择条件③，cos sin 2B C a C +=cos sin sin 2B C C A C +=，因为sin 0C ≠sin 2B C A +=．在ABC 中，A B C π++=，可得cossin 22B C A +=，2sin cos 222A A A =．因为0A π<<，所以sin02A ≠，则cos 22A =，故3A π=．(2)以A 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴，过A 点且垂直于AC 的直线为y 轴，建立直角坐标系，则(5,0)C，B，122M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以92CM ⎛=- ⎝⎭，3,2BN ⎛= ⎝ ，所以11cos 14||||CM BN MPN CM BN ⋅==-⋅。

江苏省扬州中学2021－2022学年度第一学期期中试题高二数学 2021.11试卷满分：150分，考试时间：120分钟注意事项：1.作答第Ⅰ卷前，请考生务必将自己的姓名、考试证号等写在答题卡上并贴上条形码．2.将选择题答案填写在答题卡的指定位置上（使用机读卡的用2B 铅笔在机读卡上填涂），非选择题一律在答题卡上作答，在试卷上答题无效．3.考试结束后，请将机读卡和答题卡交监考人员．第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.0()y a a -+=∈R 的倾斜角为（ ） A .30° B .60° C .150° D .120° 【答案】B2.已知方程221104x y t t +=--表示的曲线是椭圆，则t 的取值范围为（ ）A .（4，7）B .（4，10）C .（7，10）D .（4，7）⋃（7，10） 【答案】D3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4610a a +=，则9S =（ ） A .36 B .38 C .45 D .50 【答案】C4.以坐标轴为对称轴，焦点在直线3x －4y －12＝0上的抛物线的标准方程为（ ） A .y 2＝16x 或x 2＝－12y B .y 2＝16x 或x 2＝12y C .y 2＝－16x 或x 2＝12y D .y 2＝－12x 或x 2＝16y 【答案】A5.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见初行行里数，请公仔细算相还．其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起因为脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天到达目的地．”则此人第一天走了（ ）A .192里B .148里C .132里D .124里6.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线与直线l ：x ＋2y ＝2平行，则此双曲线的离心率是（ ）A B .2C .32D 【答案】B7.已知圆C ：x 2＋（y －5）2＝4和两点A （－a ，0）、B （a ，0）（a ＞0），若圆C 上存在点M ，满足MA ⊥MB ，则实数a 的取值范围是（ ）A .（3.5）B .[3，5]C .[3，7]D .[4，7] 【答案】C8.如图，O 是坐标原点，P 是双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>右支上的一点，F 是双曲线E 的右焦点，延长PO 、PF 分别交双曲线E 于Q 、R 两点，已知QF ⊥FR ，且||2||QF FR =，则双曲线E 的离心率为（ ）A B C D 【答案】B【解】如图，有 PFQF '是矩形，设||FR m =，则||2,||22,2,||32PF FQ m PF m a RF m a PR m a '==-=+=-'=， 在Rt F PR '中，222(2)(32)(2)m m a m a +-=+，解得43am =或m ＝0（舍去）， 从而有82,||,Δ33a a PF PF Rt F PF '='=中，22282433a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得2217,9c c e a a ===所以双曲线E 的离心率为3．二、选择题：本共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.若直线ax ＋y －2＋a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值可能是（ ） A .1 B .－1 C .2 D .－2 【答案】AC10.在公比q 为整数的等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若1418a a +=，2312a a +=，则下列说法正确的是（ ）A .q ＝2B .数列{}2n S +是等比数列C .8510S =D .数列{}lg n a 是公差为2的等差数列 【答案】ABC11.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A 、B 的距离之比为定值(1)λλ≠的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．己知在平面直角坐标系xOy 中，A （－2，0）、B （4，0），点P 满足12PA PB =，点P 所构成的曲线记为曲线C ，则下列结论正确的是（ ） A .曲线C 的方程为（x ＋4）2＋y 2＝16 B .在曲线C 上存在点D ，使得||1AD =C .在曲线C 上存在点M ，使M 在直线x ＋y －2＝0上D .在曲线C 上存在点N ，使得22||||4NO NA += 【答案】AD12.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12F F 、，长轴长为4，点P 在椭圆内部，点Q 在椭圆上，则以下说法正确的是（ ）A.离心率的取值范围为10,2⎛⎫⎪⎝⎭B.当离心率为4时，1QF的最大值为2+C.不存在点Q，使得21QF QF⋅=D.1241QF QF+的最小值为94【答案】BCD【解】由题设，a＝2，则22214x yb+=，又P在椭圆内部，则21112b+<，即224b<<，e⎛∴==⎝⎭，故A错误；当4e=时，有272b=，易得12,22F F⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．∴由124QF QF+=，则12442222QF QF⎛⎫=-≤--=+⎪⎪⎝⎭，故B正确；由222420c b b-=-<，即c＜b，以原点为圆心，c为半径的圆与椭圆无交点，∴椭圆上不存在点Q使得21QF QF⋅=，故C正确；换1法可求1241QF QF+的最小值为94，故D正确．第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.在数列{}n a中，12a==，则数列{}n a的通项公式为．【答案】22na n=14.设直线1:60l x my++=和2:(2)320l m x y m-++=，若12l l∥，则m＝．【答案】－115.过点P（－3，1）作直线m（x－1）＋n（y－1）＝0的垂线，垂足为点M，若定点N（3，4），那么||MN的最小值为．【答案】316.我国南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在“杨辉三角”中，除了1之外的每个数字都等于上一行的左右两个数字之和，且第n行的所有数字之和为12n-．若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，……，则此数列的第12项为 ，前35项和为 ．【答案】15，995四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（10分）已知直线m ：2x －y －3＝0与直线n ：x ＋y －3＝0的交点为P ．（1）若直线l 过点P ，且点A （1，3）、B （3，2）到l 的距离相等，求直线l 的方程； （2）若直线1l 过点P ，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，△ABO 的面积为4，求直线1l 的方程． 【解】（1）由23030x y x y --=⎧⎨+-=⎩得21x y =⎧⎨=⎩即交点P （2，1）．由直线l 过点P ，且点4（1，3）和点B （3，2）到直线l 的距离相等， 可知l //AB 或l 过AB 的中点． 当由l //AB 得321132l AB k k -===--， 所以直线l 的方程为11(2)2y x -=--即240x y +-=． 当直线l 过AB 的中点52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭时，直线l 的方程为x ＝2. 综上：直线l 的方程为x ＋2y －4＝0或x ＝2.（2）由题可知直线1l 的横、纵截距a ，b 都存在，且a ＞0，b ＞0， 则1:1x yl a b+=．又直线1l 过点P （2，1），△ABO 的面积为4， 所以211142a bab ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得42a b =⎧⎨=⎩，故直线1l 的方程为142x y+=，即240x y +-=．18.（12分）已知双曲线C ：22221(0,0)y x a b a b -=>>，抛物线D ：y 2＝2px（P ＞0）的焦点为F ，准线为l ，直线l 交双曲线C 的两条渐近线于M 、N 两点，△MNF 的面积为3．（1）求双曲线C 的渐近线方程； （2）求抛物线D 的方程．【解】（1）由题意，双曲线C ：22221y x a b -=可得3c e a ===，解得13b a =可得3a b =， 所以C 的渐近线方程为3y x =±．（2）由抛物线D ：y 2＝2px ，可得其准线方程为l ：2px =-， 代入渐近线方程得33,,,2222p p p p M N ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以||3MN p =，则1332MFNSp p =⨯⨯=，解得p =所以曲线D 的方程为2y =．19.（12分）在数列{}n a 中，()112,431n n a a a n n *+==-+∈N ．（1）求证：数列{}n a n -是等比数列； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．【解】（1）由已知得()1(1)4n n a n a n +-+=-， 又1110,a -=≠∴数列{}n a n -是公比为4的等比数列，（2）由（1）得()11114,4n n n n a n a a n ---=-⋅∴=+14(1)41(1),14232n n n n n n n S n N +-+-+∴=+=+∈-．20.（12分）已知椭圆C 的标准方程为：22221(0)x y a b a b+=>>，若右焦点为F ，．（1）求椭圆C 的方程；（2）设M 、N 是椭圆C 上不同的两点，直线MN 与曲线x 2＋y 2＝b 2相切，且M 、N 、F 三点共线，求线段||MN 的长． 【解】（1）由题意，椭圆半焦距c =3c e a ==，则a = 2221b a c ∴=-=，∴椭圆方程为2213x y +=；（2）由（1）得，曲线为221(0)x y x +=>当直线MN 的斜率不存在时，直线MN ：x ＝1，不合题意；当直线MN 的斜率存在时，设()()1122,,,M x y N x y 又M ，N ，F 三点共线， 可设直线MN：(y k x =-，即0kx y -=， 由直线MN 与曲线x 2＋y 2＝1（x ＞01=，，解得1k =±，联立22(13y x x y ⎧=±-⎪⎨+=⎪⎩，得2430x -+=，则1212324x x x x +=⋅=，||MN ∴==．21.（12分）椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，以原点O 为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）点P 是圆O ：x 2＋y 2＝r 2（r ＞0）上异于点A （－r ，0）和B （r ，0）的一点，直线AP 与椭圆C 交于点M ，N ，直线BP 与椭圆C 交于点S ，T ．若直线OM ，ON ，OS ，OT 的斜率存在且分别为1234,,,k k k k ，问：是否存在r ，m ，使得()12340k k m k k +++=恒成立？若存在，求r ，m 的值；若不存在，请说明理由． 【解】（1）由题意，圆心O （0，0），半径b，b=，即b = 又椭圆的离心率12c e a ==，即a ＝2c ，所以a 2＝4c 2，联立a 2＝b 2＋c 2＝3＋c 2，即可解得a 2＝4，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=；（2）由题意直线AP ，BP 斜率存在且均不为0，d 设直线AP 的方程为()()1122(),,,,y k x r M x y N x y =+，由22()143y k x r x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()()222223484120k x k rx k r +++-=，2221212228412,3434k r k r x x x x k k --∴+==++，① 又()1212121212122OM ONkx x kr x x y y k k k k x x x x +++=+=+=，②将①代入②得，122263kk k k r -+=-，又AP ⊥BP ，以1k-代替k ，以－r 替代r ， 同理可得342263OS OT kk k k k r k+=+=- 假设存在常数r ，m ，使得()12340k k m k k +++=恒成立 即222266033k km k r r k-+=--恒成立， 所以()22233mr k r m +=+对k ≠0恒成立，所以223030r m mr ⎧+=⎨+=⎩，解得1r m ==-，经检验此时判别式△＞0，因此存在常数1r m ==-满足题意．22.（12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率e =M ⎛ ⎝⎭． （1）求椭圆C 的方程；（2）点P （0，1），直线l 交椭圆C 于A 、B 两点（异于P ），直线P A 、PB 的斜率分别为12,k k ，且121k k ⋅=，问：直线l 是否过定点？若是，请求出该定点：若不是，请说明理由．【解】（1）由已知条件可得222221314c a a b c ab ⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=．（2）①当直线l 的斜率存在时，设()()1122:,,,,l y kx m A x y B x y =+，由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得：()()222418410k x kmx m +++-=， 则()2121222418,4141m km x x x x k k -+=-=++， 由121k k ⋅=得()()12121212111,110y y kx m kx m x x x x --⋅=+-⋅+--⋅=()()2212121(1)(1)0k x x k m x x m ∴-+-++-=()()222224181(1)(1)04141m km k k m m k k -⎛⎫∴-⋅+--+-= ⎪++⎝⎭()()()222224118(1)41(1)0m k k m m k m ∴----++-= 2244(1)0m m ∴-++-=1m ∴=（舍）或53m =-∴直线l 过定点50,3⎛⎫- ⎪⎝⎭②当直线l 的斜率不存在时，设22:,(,),(,),14s l x s A s t B s t t =-+=由121k k ⋅=得2222111,1,,04t t s s t s s s s ---⋅=∴+=∴=∴=∴直线l ：x ＝0综上，直线l 过定点50,3⎛⎫- ⎪⎝⎭．。

临泽一中2020-2021学年上学期期中试卷高一数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}10123A =-，，，，，{}02|B x x =<≤，则A B =（ ）A. {}12，B. {}1012-，，，C. {}123，， D. {}10123，，，，- 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合交集定义,即可求解.【详解】集合{}10123A =-，，，，,{}02|B x x =<≤ 由交集运算可得{}{}{}10123012|=2A B x x ⋂=-⋂<≤，，，，， 故选:A【点睛】本题考查了集合交集的简单运算,属于基础题.2.已知集合A ＝{x |y =，x ∈Z }，则集合A 的真子集个数为（）A. 32B. 4C. 5D. 31【答案】D 【解析】 【分析】首先确定集合A 中元素个数，然后根据真子集数量的计算公式：21n -得到结果.【详解】因为(1)(5)0x x --≥且x ∈Z ，所以{1,2,3,4,5}A =，故集合A 的真子集个数为：52131-=.【点睛】集合A 中含有n 个元素：则A 的子集个数为：2n ；A 的真子集个数为：21n -；A的非空真子集个数为：22n -.3.函数()()24xf x ln -=的定义域是（ ）A. ()02x ∈，B. (]02x ∈，C. [)2x ∈+∞， D.()2x ∈+∞，【答案】D 【解析】 【分析】根据对数对定义域的要求,可得关于x 的不等式,解不等式即可. 【详解】函数()()24xf x ln -= 根据对数对定义域要求可知, 240x ->解不等式可得2x >,即()2x ∈+∞，故选:D【点睛】本题考查了对数函数定义域的求法,指数不等式的解法,属于基础题.4.若函数()(0xxf x a a a -=->且1)a ≠在R 上为减函数，则函数log (||1)a y x =-的图象可以是( )A.B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】由函数()f x 为减函数，得01a <<，又由当1x >时，函数log (1)a y x =-，在根据图象的变换和函数的奇偶性，即可得到函数log (||1)a y x =-图象，得到答案.【详解】由题意，函数()(0xxf x a a a -=-> 且1)a ≠在R 上为减函数，可得01a <<， 又由函数log (||1)a y x =-的定义域为1x >或1x <-， 当1x >时，函数log (||1)log (1)a a y x x =-=-， 将函数log ay x =的图象向右平移1个单位，即可得到函数log (1)a y x =-的图象，又因为函数log (||1)a y x =-为偶函数，图象关于y 轴对称， 故选D.【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数函数和对数函数的图象与性质，以及合理利用图象的变换求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5.函数()22–32y log x x =+的递增区间为（ ）A. 32⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，B. 3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C. ()2+∞，D. ()1-∞，【答案】C 【解析】 【分析】先求得对数函数的定义域.由复合函数单调性判断方法,结合二次函数的开口及对称轴,即可判断单调递增区间.【详解】函数()22–32y log x x =+定义域为2–320x x +>,解不等式可得2x >或1x <即定义域为()(),12-∞⋃+∞，由复合函数“同增异减”的原则可知,对数部分2y log x =为单调递增函数 因此若函数()22–32y log x x =+递增 则2–32y x x =+为单调递增二次函数开口向上,对称轴为32x =,所以其单调递增区间为32⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，结合函数定义域可知, 函数()22–32y log x x =+的递增区间为()2+∞，故选:C【点睛】本题考查了复合函数单调性的判断,对数函数定义域的求法,属于基础题. 6.设f(x)为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()372xf x x b =-+（b 为常数），则f(-2)=（ ） A. 6 B. -6 C. 4 D. -4【答案】A 【解析】∴f(x)为定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()372xf x x b =-+，∵()0120f b =+=， ∴12b =-． ∴()371xf x x =--，∴()22(2)(3721)6f f -=-=--⨯-=．选A ．7.函数()212()log 295f x x x =+-的单调递增区间为（ ） A. 1(,5),2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭B. (,5)-∞-C. 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D. (0,)+∞【答案】B 【解析】 【分析】先求出()212()log 295f x x x =+-的定义域,再利用同增异减以及二次函数的图像判断单调区间即可.【详解】令22950x x +->,得f(x)的定义域为1(,5),2⎛⎫-∞-⋃+∞⎪⎝⎭,根据复合函数的单调性规律,即求函数2295t x x =+-在1(,5),2⎛⎫-∞-⋃+∞⎪⎝⎭上的减区间,根据二次函数的图象可知(,5)-∞-为函数2295t x x =+-的减区间. 故选B【点睛】本题主要考查对数函数的定义域以及复合函数的单调区间等,属于基础题型. 8.设23342,log 5,log 5a b c -===，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A. a c b <<B. a b c <<C. b c a <<D. c b a <<【答案】A 【解析】 【分析】先根据1来分段，然后根据指数函数性质，比较出,,a b c 的大小关系. 【详解】由于203221-<=，而344log 5log 5log 41>>=，故a c b <<，所以选A.【点睛】本小题主要考查指数函数的单调性，考查对数函数的性质，考查比较大小的方法，属于基础题.9.若0.50.50m n log log >>，则（ ） A. 01m n <<< B. 1m n << C. 1n m << D. 01n m <<<【答案】D 【解析】 【分析】先判断m n 、值是大于1,还是在()0,1之间.再根据换底公式和对数的性质,即可判断m n 、的大小.【详解】因为0.50.50m n log log >> 可得01,01m n <<<<则lg 0,lg 0m n <<,即lg lg 0m n ⋅>且由换底公式将0.50.50m n log log >>化为lg 0.5lg 0.5lg lg m n> 不等式两边时乘以lg lg m n ⋅,可得lg lg 0.5lg lg 0.5n m ⋅>⋅ 因为lg 0.50<,不等式两边同时除以lg 0.5可得lg lg n m < 由对数单调性可得n m <综上可知mn 、的关系为01n m <<< 故选:D【点睛】本题考查了根据对数函数的大小比较参数,对数函数的运算及图像与性质的综合应用,属于中档题.10. 某商品的价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，最后一年的价格与原来的价格比较，变化情况是（ ） A. 不增不减 B. 约增1.4% C. 约减9.2% D. 约减7.8%【答案】D 【解析】试题分析：设商品原始价格为1，则第一年年末的价格是120%，第二年年末的价格为120%×120%=144%，第三年年末的价格为144%×80%=115.2%，第四年年末的价格为115.2%×80%=92.16%，所以商品四年后的价格比原始价格降低了1-92.16%=7.84%．故选D ． 考点：本题主要考查等比数列的概念、函数模型．点评：增长率可用函数y=a （1+p ）x 来表示，其中p 为增长率（或减少率）．11.已知0x 是函数()132xf x log x =-的零点，若100x x <<，则()1f x 的值满足（ ） A. ()10f x > B. ()10<f xC. ()10f x =D. ()10f x >或()10<f x【答案】B 【解析】 【分析】根据零点定义及函数单调性,结合零点存在定理即可判断()1f x 的符号. 【详解】因为0x 是函数()132xf x log x =-的零点 则10320x log x -= 且()132xf x log x =-为()0,∞+上单调递增函数 由零点存在定理可知当100x x <<()10<f x故选:B【点睛】本题考查了函数零点存在性的判定,函数单调性的综合应用,属于基础题.12.规定 2a b a b ⊗=+，a b R +∈、，若14k ⊗=，则函数()f x k x =⊗的值域为（ ）A. [)2+∞，B. [)1+∞， C. 78⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，D. 74⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，【答案】A 【解析】 【分析】根据定义及14k ⊗=,可求得k 的值.进而求得()f x 的解析式,即可求得函数的值域.【详解】因为2a b a b ⊗=+,a b R +∈、则124k k ⊗=+=解方程可得1k = 则由定义可知()2f x k x x =⊗=+21724⎫=+⎪⎭则()()min 02f x f ==所以函数()f x 的值域为[)2+∞，故选:A【点睛】本题考查了函数新定义的应用,函数值域的求法,属于基础题.第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13.集合{x|x 1}用区间表示为 ． 【答案】【解析】试题分析：集合{x|x ＜1}表示小于等于1的实数，用区间表示为考点：集合的表示法14.若指数函数()y f x =的图象过点(2,4)-，则(3)f =__________. 【答案】18【解析】 【分析】设指数函数为(),01xy a a a =>≠且，代入点的坐标求出a 的值，再求(3)f 的值.【详解】设指数函数为xy a =，()01a a >≠且所以2114=,,()()22x a a f x -∴=∴=（）. 所以1(3)8f =. 故答案为18【点睛】本题主要考查指数函数的解析式的求法和指数函数求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.15.已知幂函数()y f x =的图象过点(3，则()3log 9f 的值为________. 【答案】1分析：首先根据函数类型设出函数的解析式，利用函数图像所过的点，代入求得参数的值，从而求得函数解析式，之后再将相关的自变量的值代入求得函数值，利用对数式的意义求得结果.详解：设()f x x α=，其图像过点(，则有3α=，解得12α=， 即()12f x x =，所以()12993f ==，则()33log 9log 31f ==.点睛：该题属于求函数值的问题，在求解的过程中，因为知道函数的类型，所以需要应用待定系数法求函数解析式，将点的坐标代入求得参数，在求出解析式之后，将相应的自变量代入，求得相应的函数值，再从对数的角度确定最后的结果.16.二次函数2y x bx c =++在区间[)2+∞，上是增函数，则实数b 的取值范围用区间表示为____________． 【答案】[)4,-+∞ 【解析】 【分析】根据二次函数的单调区间与对称轴的关系,即可求得实数b 的取值范围. 【详解】因为二次函数2y x bx c =++ 则对称轴为2bx =-二次函数2y x bx c =++在区间[)2+∞，上是增函数 则22b-≤ 解得b 4≥-,即[)4,b ∈-+∞ 故答案为: [)4,-+∞【点睛】本题考查了二次函数对称轴与单调区间的关系,属于基础题.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.已知函数()f x 满足()()22xf x f x =+-，求()f x 的解析式．【答案】()1223x xf x +--=，x ∈R .【解析】 【分析】根据题意，用x -代替x ，得到新的方程，与条件的方程构成方程组，解出()f x . 【详解】由()()22xf x f x =+-，①用x -代替上式的x得()()22xf x f x --=+，②2⨯-①②，得()1322x xf x +-=-.即()1223x xf x +--=.故()f x 的解析式是()1223x xf x +--=，x ∈R .【点睛】本题考查利用构造方程组法求函数解析式，属于简单题.18.计算：（1）40.75031()2)e 81-+⨯；（2）432lg2lg3log 27log 21lg6lg83++⨯+． 【答案】（1）25（2）52【解析】 【分析】（1）根据分数指数幂与根式的转化,化简即可得解. （2）由对数的运算及换底公式,化简即可得解.【详解】（1）0.75403181e -⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭34344231|2|213⎛⎫⨯- ⎪⨯⎝⎭⎛⎫=+--⨯ ⎪⎝⎭3212213-⎛⎫=+-⨯ ⎪⎝⎭ 2724=+-25=．（2）432lg 2lg3log 27log 21lg 6lg83++⨯+ lg12lg 27lg 2lg12lg 4lg 3=+⨯ 3lg 3lg 212lg 2lg 3=+⨯ =312+=52【点睛】本题考查了分数指数幂与根式的转化,对数的运算及换底公式的应用,属于基础题. 19.己知函数2()21()f x ax x a R =++∈有唯一零点． (1)求a 的值；(2)当x [2,2]∈--时，求函数()f x 的值域． 【答案】（1）1a =；（2）[0,9] 【解析】 【分析】（1）分类0a =时为一次函数，只有一个零点，0a ≠时，为二次函数，0∆=； （2）按（1）的结果分类求值域.【详解】(1)当0a =时:()21f x x =+， 符合题意:当0a ≠时:010a a ≠⎧⇒=⎨∆=⎩； (2)当0a =时:()21f x x =+单调递增， 值域为[3,5]-; 当1a =时:2()(1)f x x =+, 值域为[0,9].【点睛】本题考查函数零点个数问题，解题关键是对最高次项系数按是否为0分类讨论. 20.已知函数()xf x a =(0a >，且)1a ≠的图象经过点()24，． （1）求a 的值；（2）若2131x x a a +-<，求x 的取值范围． 【答案】（1）2a =（2）()2,+∞ 【解析】 【分析】（1）根据指数函数过的点,代入即可求得a 的值.（2）代入a 的值,结合指数函数的单调性,解不等式即可得x 的取值范围. 【详解】（1）∵()x f x a=(0a >，且)1a ≠的图象经过点()24， ∴24a =,由0a >，且1a ≠ 可得2a =（2）由（1）得2a = 若2131x x a a +-<,代入2a = 可得213122x x +-<由指数函数的单调性可知满足2131x x +<- 解得2x >,即()2,x ∈+∞【点睛】本题考查了指数函数解析式的求法,根据指数函数的单调性解不等式,属于基础题. 21.“绿水青山就是金山银山”，为了保护环境，减少空气污染，某空气净化器制造厂，决定投入生产某种惠民型的空气净化器．根据以往的生产销售经验得到年生产销售的统计规律如下：①年固定生产成本为2万元；②每生产该型号空气净化器1百台，成本增加1万元；③年生产x 百台的销售收入()20.540.5,047.5,4x x x R x x ⎧-+-≤≤=⎨>⎩（万元）．假定生产的该型号空气净化器都能卖出（利润＝销售收入﹣生产成本）． （1）为使该产品的生产不亏本，年产量x 应控制在什么范围内？ （2）该产品生产多少台时，可使年利润最大？【答案】（1）100台到550台之间；（2）年产300台时，可使利润最大【分析】（1）由题意，成本函数为()2C x x =+，从而年利润函数为()()()L x R x C x =-，要使不亏本，利用分段函数和二次函数的性质，即可求解．（2）利用分段函数，求得每支上的最大值，即可得到函数的最大值，得到答案． 【详解】（1）由题意得，成本函数为()2C x x =+，从而年利润函数为()20.5+3 2.5,04()() 5.5,4x x x L x R x C x x x ⎧--≤≤=-=⎨->⎩．要使不亏本，只要L （x ）≥0，①当0≤x ≤4时，由L （x ）≥0得﹣0.5x 2+3x ﹣2.5≥0, 解得1≤x ≤4， ②当x ＞4时，由L （x ）≥0得5.5﹣x ≥0, 解得4＜x ≤5.5 综上1≤x ≤5.5答：若要该厂不亏本，产量x 应控制在100台到550台之间 （2）当0≤x ≤4时，L （x ）= -0.5(x ﹣3)2+2， 故当x =3时，L （x ）max =2（万元）， 当x ＞4时，L （x ）＜1.5＜2． 综上，当年产300台时，可使利润最大【点睛】本题考查了函数的实际应用问题，对于函数的应用问题：（1）函数模型的关键是找到一个影响求解目标函数的变量，以这个变量为自变量表达其他需要的量，综合各种条件建立数学模型；（2）在实际问题的函数模型中要特别注意函数的定义域，它是实际问题决定的，不是由建立的函数解析式决定的．（3）利用数学方法得出函数模型的数学结果，再将得到的数学结果转译到实际问题中作出答案． 22.已知函数()221x f x a =-+为奇函数． （1）求a 的值；（2）探究()f x 的单调性，并证明你的结论； （3）求满足()()2221f axf xx <-+的x 的范围．【答案】（1）1a =；（2）()f x 在R 上递增，证明见解析；（3）12x <. 【解析】（1）根据函数()f x 是R 上的奇函数，利用()00f =列方程，解方程求得a 的值. （2）判断()f x 是R 上的增函数，并利用单调性的定义进行证明； （3）根据函数()f x 在R 上递增，求解出不等式()()2221f axf xx <-+中x 的范围.【详解】（1）由于()f x 是定义在R 上的奇函数，故()020021f a =-=+，解得1a =，所以()2121xf x =-+. （2）()f x 是R 上的增函数，证明如下：任取12x x <，()()12f x f x -()()()12122222121x x x x -=++，由于12x x <，所以12220x x -<，()()1221210xx++>，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以()f x 在R 上为增函数.（3）由于()f x 在R 上为增函数，所以由()()2221f xf xx <-+得2221x x x <-+，即210x -+>，解得12x <. 【点睛】本小题主要考查已知函数的奇偶性求函数的解析式，考查利用单调性的定义证明函数的单调性，考查利用函数的单调性解不等式，考查运算求解能力，属于中档题.。

故选：A.
6．C
【分析】连接 EF，FG，EG，根据异面直线所成角的意义，在 EFG 中分情况计算作答.
【详解】连接 EF，FG，EG，如图，
依题意， EF / / AC, FG / /BD ，且 EF 1 AC 1, FG 1 BD 1，
2
2
因 AC 与 BD 所成的角为 60°，则 EFG 60 或 EFG 120 ，
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幕式的时长（单位： min ）情况，样本数据按照40,50 ，50, 60 ，…，90,100 进行
分组，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求 a 的值并估计该校学生观看开幕式时长的平均数（每组数据以该组区间的中点值为
代表）和中位数；
(2)已知样本中有
2 3
的男生观看开幕式时长小于
球的表面积公式可求得结果.
【详解】 AB AC 3 ， BAC 120 ，ABC 30 ，
3 2r （ r 是 ABC 的外接圆半径），解得： r 3 ； sin 30
2
R2
3 2
R
r2 3 R2 3 ，解得： R2 12 ， 4
球 O 的表面积 S 4 R2 48 .
安徽省六安第一中学 2021-2022 学年高一下学期期中 数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知i 是关于 x 的方程 ax2 bx 2 0a,b R 的一个根，则 a b （ ）
A．0
则这 20 位市民幸福感指数的方差为（ ）
A．1.75
B．1.85
C．1.95
D．2.05