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层次分析法判断矩阵求权值以及一致性检验程序

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fun cti on [w,CR]=mycom(A,m,RI)

[x,lumda]二eig(A);

r=abs(sum(lumda));

n=fin d(r==max(r));

max_lumda_A=lumda( n,n);

max_x_A=x(:,n);

w=A/sum(A);

CR=(max_lumda_A-m)/(m-1)/RI;

end

本matlab程序用于层次分析法中计算判断矩阵给出的权值已经进行

致性检验。

其中A为判断矩阵，不同的标度和评定 A将不同。

m为A的维数

RI为判断矩阵的平均随机一致性指标：根据 m的不同值不同。

RI值

指标数 1 2 3 4 5 6 7 8 9

RI 0 0 0.58 0.9 1.12 1.24 1.38 1.41 1.46

当CRV0.1时 符合一致性检验，判断矩阵构造合理 下面是层次分析法的简介，以及判断矩阵构造方法。一 •层次分析法的含义

层次分析法（The analytic hierarchy process ）简称 AHP，在 20 世纪

70年代中期由美国运筹学家托马斯 塞蒂（「L.Saaty ）正式提出。它是 一种定性和定量相结合的、系统化、层次化的分析方法。由于它在处理 复杂的决策问题上的实用性和有效性，很快在世界范围得到重视。它的 应用已遍及经济计划和管理、能源政策和分配、行为科学、军事指挥、 运输、农业、教育、人才、医疗和环境等领域。

二•层次分析法的基本思路与人对一个复杂的决策问题的思维、 判断过程

大体上是一样的。

（1）层次分析法的原理

层次分析法是将决策问题按总目标、各层子目标、评价准则直至具体的 备投方案的顺序分解为不同的层次结构， 然后得用求解判断矩阵特征向 量的办法，求得每一层次的各元素对上一层次某元素的优先权重，最后 再加权和的方法递阶归并各备择方案对总目标的最终权重， 此最终权重

最大者即为最优方案。这里所谓 优先权重”是一种相对的量度，它表明 各备择方案在某一特点的评价准则或子目标，标下优越程度的相对量 度，以及各子目标对上一层目标而言重要程度的相对量度。层次分析法 比较适合于具有分层交错评价指标的目标系统， 而且目标值又难于定量

描述的决策问题。其用法是构造判断矩阵，求出其最大特征值。及其所 对应的特征向量 W，归一化后，即为某一层次指标对于上一层次某相关 指标的相对重要性权值。

（2）层次分析法的步骤

a） 建立系统的递阶层次结构；

b） 构造两两比较判断矩阵；（正互反矩阵）c）针对某一个标准，计算各备选元素的权重;

d）计算当前一层元素关于总目标的排序权重 e）进行一致性检验。

小结：层次分析法的思路与步骤如图

三.模糊综合评价法的思路和步骤

系统性强的特点，能较好地解决模糊的、难以量化的问题，适合各种非确 定性问题的解决。

构建评价指标体系

对风险系统进行科学评价，需要首先分析各风险因素的构成和相互 关系，在定性分析的基础上，建立一套科学合理的风险评价指标体系, 即层次结构模型。该模型分为目标层、准则层和指标层三个层次组成。 因为房地产行业的特殊性，开发项目不同，风险不同，而且其开发的不 同阶段也面临不同的风险因素。 本为根据对房地产投资风险因素的构成 分析，我们得出房地产投资风险模糊综合评价法是一种基于模糊数学的综合评标方法。 该综合评价法根

据模糊数学的隶属度理论把定性评价转化为定量评价, 即用模糊数学对

受到多种因素制约的事物或对象做出一个总体的评价 它具有结果清晰 层次分析法的思路与步骤 实际上是一个由多层次、多因素构成的 系统。根据风险识别得出的主风险因素，进一步查找各主风险因素的来 源，从而得出相应的子风险因素，即构成本项目风险评价的指标体系， 指标体系是以房地产投资风险因素为主要依据，建立房地产投资风险层 次模型。构建该指标体系时，不考虑各层次风险的具体划分，以适应不 同情况下房地产投资风险的评价。

四•确定各评价指标的权重

①建立权重判断矩阵

在构建层次结构模型之后，可聘请专家利用问卷法、专家调查法等方法， 从最上面的准则层开始向下，逐步确定各层因素相对于上一层各因素的 重要性权数。层次分析法在确定各层不同因素相对于上一层各因素的重 要性时，利用两个因素之间两两比较的方法，即 1-9标度法。若针对上

一层AK而言，本层次有关元素 B1,B2 ,…,Bn之间的相对重要性为： Bi与Bj的相对重要性为Bij, Bij,通常为1-9标度，此时Bij,取1,2 ,。。。, 9及其倒数，1-9标度的含义为：

表5-17 标度含义

定义（Bij ） 标度

Bi因素比Bj因素一样重要 1

Bi因素比Bj因素稍微重要 3

Bi因素比Bj因素明显重要 5

Bi因素比Bj因素重要得多 7

Bi因素比Bj因素极端重要 9

Bi因素比Bj因素重要性在两个判 断尺度中间 2,4,6,8

判断矩阵的形式表示见表5-18

表5-18 判断矩阵

②计算权重根据判断矩阵，先计算出判断矩阵的特征向量 W,然后经过

归一化处理，使其满足

DW=1,即可求出Bi对于Ak的相对重要程度，即权重。

A计算判断矩阵B每一行数值的乘积Mi,并计算其n次方根：

(5-8)

B、计算的权数

—更&

(5-9)

③判断矩阵的一致性检验

在评价过程中，评价者是不可能对所有因素的数值进行精确判断的，根 据会存在误差，这就会导致判断矩阵的特征值会产生偏差。在构造判断 矩阵时，并不要求判断具有完全一致性，但是要求判断具有大体的一致 性却是必须的，否则将无法进行分析。因此，在求出最大特征根入 max

后，还要进行一致性检验。

A、 计算一致性指标CI

Cl=( Tmax-n)/(n-1) (4-11) Ak B1 B2 Bj Bj

B1

B2

Bn B11

B21

Bn1 B12

B22

Bn2 B1j

B2j B1m

B1m

Bnj Bnm

C、计算判断矩阵的最大特征根

乙nWt It1j9k

(5-10) 当Amax稍大于n,其余特征根均接近于零，此判断矩阵才具有满意的一 致性，此事应用特征根方法所得的权重向量 W才能符合实际。在一般

情况下，判断矩阵阶数n越大，其CI值就越大。为了度量不同阶判断 矩阵的一致性，弓I入了判断矩阵的平均随机一致性指标 RI值。对于1-9 阶矩阵,RI值见表5-19所示。

表5-19 RI值

指标

数 1 2 3 4 5 6 7 8 9

RI 0 0 0.58 0.9 1.12 1.24 1.38 1.41 1.46

B、 计算随机一致性比例CR

CR=CI/RI (5-12)

若计算随机一致性比例 CRT0.1，即认为判断矩阵具有满意的一致性， 否则就需要重新调整判断矩阵直至满足一致性。

C计算权重，层次排序

各级指标对上一级指标的权重计算出来以后，即可从最上一级开始，自 上而下求出各级指标关于评价目标的综合权重。

系统权重向量计算公式为：

U=W*V (5-13)

其中，W是根据指标层C的风险因素相对准则层B的风险因素的特征 向量集，V是准则层B的风险因素相对评判目标 A的系统风险的特征向 量，U是指标层C的风险因素相对于评判目标 A的系统特征向量，此 公式表示某一级指标的综合权重是该指标的权重和上一级指标的组合 权重的乘积值。要计算某一级的综合权重，必须先知道上一级的综合权 重，因而综合权重总是由最高级开始，一次往下推算的。

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层次分析法

层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称AHP）是将与决策总是有关的元素分解成⽬标、准则、⽅案等层次，在此基

础之上进⾏定性和定量分析的决策⽅法。该⽅法是美国运筹学家匹茨堡⼤学教授萨蒂于20世纪70年代初，在为美国国防部研

究"根据各个⼯业部门对国家福利的贡献⼤⼩⽽进⾏电⼒分配"课题时，应⽤⽹络系统理论和多⽬标综合评价⽅法，提出的⼀种

层次权重决策分析⽅法。

层次分析法的特点是在对复杂的决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进⾏深⼊分析的基础上，利⽤较少的定量信息使决

策的思维过程数学化，从⽽为多⽬标、多准则或⽆结构特性的复杂决策问题提供简便的决策⽅法。尤其适合于对决策结果难于直接准确计量的场合。

选择。⽐如选择⼀个旅游景点时，你可以从宁波、普陀⼭、浙西⼤峡⾕、雁荡⼭和楠溪江中选择⼀个作为⾃⼰的旅游⽬的地，

在进⾏选择时，你所考虑的因素有旅游的费⽤、旅游的景⾊、景点的居住条件和饮⾷状况以及交通状况等等。这些因素是相互

制约、相互影响的。我们将这样的复杂系统称为⼀个决策系统。这些决策系统中很多因素之间的⽐较往往⽆法⽤定量的⽅式描

述，此时需要将半定性、半定量的问题转化为定量计算问题。层次分析法是解决这类问题的⾏之有效的⽅法。层次分析法将复

杂的决策系统层次化，通过逐层⽐较各种关联因素的重要性来为分析以及最终的决策提供定量的依据。

所谓层次分析法，是指将⼀个复杂的多⽬标决策问题作为⼀个系统，将⽬标分解为多个⽬标或准则，进⽽分解为多指标（或准

则、约束）的若⼲层次，通过定性指标模糊量化⽅法算出层次单排序（权数）和总排序，以作为⽬标（多指标）、多⽅案优化

决策的系统⽅法。

层次分析法是将决策问题按总⽬标、各层⼦⽬标、评价准则直⾄具体的备投⽅案的顺序分解为不同的层次结构，然后得⽤求解

判断矩阵特征向量的办法，求得每⼀层次的各元素对上⼀层次某元素的优先权重，最后再加权和的⽅法递阶归并各备择⽅案对

总⽬标的最终权重，此最终权重最⼤者即为最优⽅案。这⾥所谓“优先权重”是⼀种相对的量度，它表明各备择⽅案在某⼀特点

层次分析法

层次分析法

题目：选择一种评价指标标准化和权重确定的方法，详述其数学意义、方法步骤、特点和适用范围

一 权重确定的方法

层次分析法（AHP法）

评价指标体系中的各个指标对评价目标的影响是不同的。我们一般用权重来表示各个指标的相对重要程度。指标权重一般采用定性定量相结合的方法来确定。

层次分析法是一种多目标多准则的决策方法，是美国运筹学家萨迪教授基于在决策中大量因素无法定量地表达出来而又无法回避决策过程中决策者的选择和判断所起的决定作用，于20世纪70年代初提出的。此法必须将评估目标分解成一个多级指标，对于每一层中各因素的相对重要性给出判断。它的信息主要是基于人们对于每一层次中各因素相对重要性作出判断。这种判断通过引入1～9比率标度进行定量化。该法的优点是综合考虑评价指标体系中各层因素的重要程度而使各指标权重趋于合理；缺点是在构造各层因素的权重判断矩阵时，一般采用分级定量法赋值，容易造成同一系统中一因素是另一因素的5倍、7倍，甚至9倍，从而影响权重的合理性。

层次分析法美国Saaty A L与20世纪70 年代提出的一种系统分析方法。它适用于结构比较复杂，目标较多且不宜量化的决策问题。由于该方法思路简单，用算方便，能够与人们价值判断推理相结合，使其得到迅速广泛的应用。

（一） 、层次分析法的基本原理

把问题层次化，根据问题的性质和需要达到的总目标，将问题分解为不同的组成因素。并按照因素间的相互关联影响以及隶属关系，将因素按不同层次聚集组合。形成一个多层次的分析结构模型。由高层次到低层次分别包括：目标层、准则层、指标层、方案层、措施层等。并最终把系统分析归结为最低成（供决策的方案、措施等），相对于最高层（总目标）的相对重要性权值的确定或相对优劣次序的排列问题。

（二） 、 层次分析法解决问题的基本步骤：

①明确问题，建立目标、备选方案等要素构成的层次分析结构模型

②对隶属同一级的要素，根据评价尺度建立判断矩阵。

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层次分析法

title: 层次分析法

date: 2020-02-25 19:14:41

categories: 数学建模

tags: [MATLAB, 评价模型]

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定义

层次分析法（The Analytic Hierarchy Process即AHP)是由美国运筹学家、 匹兹堡⼤学教授T . L. Saaty于20世纪70年代创⽴的⼀种系统分析与决策的综合 评价⽅法，是在充分

研究了⼈类思维过程的基础上提出来的，它较合理地解 决了定性问题定量化的处理过程。

AHP的主要特点是通过建⽴递阶层次结构，把⼈类的判断转化到若⼲因 素两两之间重要度的⽐较上，从⽽把难于量化的定性判断转化为可操作的重 要度的⽐较上⾯。在许多情况

下，决策者可以直接使⽤AHP进⾏决策，极⼤ 地提⾼了决策的有效性、可靠性和可⾏性，但其本质是⼀种思维⽅式，它把 复杂问题分解成多个组成因素，⼜将这些因素按⽀配关系分

别形成递阶层次 结构，通过两两⽐较的⽅法确定决策⽅案相对重要度的总排序。整个过程体 现了⼈类决策思维的基本特征，即分解、判断、综合，克服了其他⽅法回避 决策者主观判

断的缺点。

步骤

第⼀步递阶层次结构

分析系统中各因素之间的关系，建⽴系统的递阶层次结构。

第⼆步构造判断矩阵{1，2，3，...，9}:代表重要程度，逐渐递增

得到⼀个⽅阵，我们记为A，对应的元素为aij.

（1）aij表⽰的意义是，与指标j相⽐，i的重要程度。

（2）当i=j时，两个指标相同，因此同等重要记为1，这就解释了主对⾓线元素为1。

（3）aij>0且满⾜aij∗aji=1（我们称满⾜这⼀条件的矩阵为正互反矩阵）第三步⼀致性检验

判断矩阵各⾏（各列）之间成倍数关系

aij>0且满⾜aij∗aji=1（我们称满⾜这⼀条件的矩阵为正互反矩阵）

在层次分析法中，我们构造的判断矩阵均是正互反矩阵

若正互反矩阵满⾜aij∗ajk=aik，则我们称其为⼀致矩阵注意：在使⽤判断矩阵求权重之前，必须对其进⾏⼀致性检验。

层次分析法的具体实施步骤

层次分析法的具体实施步骤

层次分析法的具体实施步骤

引言

层次分析法（Analytic Hierarchy Process，AHP）是一种用于多因素决策的定量方法。它于1970年由美国运筹学家托马斯·L·赛蒂斯（Thomas L. Saaty）提出，被广泛应用于决策分析、评估以及资源分配等领域。本文将介绍层次分析法的具体实施步骤，以帮助读者快速理解和应用该方法。

步骤一：明确决策目标

在使用层次分析法进行决策之前，首先需要明确决策的目标。这个目标应该是明确的、可操作的，并且对于决策者来说具有一定的重要性。

步骤二：构建层次结构

在明确了决策目标之后，下一步是构建层次结构。层次结构是指将决策问题拆分为一系列层级的因素，以及这些因素之间的关系。通常，层次结构由目标层、准则层和方案层组成。

2.1 目标层

目标层是决策问题的最高层级，代表决策的最终目标。在这一层级上，需要明确决策的总体目标是什么。

2.2 准则层

准则层是决策目标下一级的层次，代表实现目标的准则和要素。在这一层级上，需要列出能够影响决策目标实现的所有准则，并对其进行量化。

2.3 方案层

方案层是决策问题的最底层，代表可选择的决策方案。在这一层级上，需要列出所有可以选择的方案，并且对每个方案进行量化和评估。

步骤三：建立判断矩阵

建立判断矩阵是层次分析法的核心步骤之一。判断矩阵用于评估在不同层级之间的因素之间的相对重要性。通过对判断矩阵的填写和计算，可以确定每个因素相对于其他因素的权重。 3.1 构建准则层判断矩阵

在准则层，需要对每个准则两两进行比较，以确定它们之间的相对重要性。比较可以用数字（1-9）来表示，其中1表示两个因素完全相同的重要性，9表示其中一个因素比另一个因素极其重要。

3.2 构建方案层判断矩阵

在方案层，需要对每个方案两两进行比较，以确定它们之间的相对优劣。同样地，比较可以用数字来表示。

步骤四：计算权重向量

在建立了判断矩阵之后，下一步是计算权重向量。权重向量用于表示每个因素相对于其他因素的重要性，是决策结果的依据。