绝对值

绝对值复习1、什么叫绝对值？在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值．例如+5的绝对值等于5，记作|+5|=5；-3的绝对值等于3，记作|-3|=3．2、绝对值的特点有哪些？（1）一个正数的绝对值是它本身；例如，|4|＝4，|＋7.1| ＝ 7.1 （2）一个负数的绝对值是它的相反数；例如，|－2|＝2，|－5.2|＝5.2 （3）0的绝对值是0．容易看出，两个互为相反数的数的绝对值相等．如|-5|=|+5|=5．若用a 表示一个数，当a 是正数时可以表示成a ＞0，当a 是负数时可以表示成a ＜0，这样，上面的绝对值的特点可用用符号语言可表示为：(1) 如果a ＞0，那么|a|＝a ； (2) 如果a ＜0，那么|a|＝－a ； (3) 如果a ＝0，那么|a|＝0。

3、绝对值在本节课中的应用——比较两个负数的大小由于绝对值是表示数的点到原点的距离，则离原点越远的点表示的数的绝对值越大．负数的绝对值越大，表示这个数的点就越靠左边，因此，两个负数比较，绝对值大的反而小．一、含有一个绝对值符号的化简题1. 已知未知数的取值或取值范围进行化简。

例1． 当x >2时化简||23x x -+（根据绝对值的意义直接化简） 解：原式=-+=-2333x x x 。

拓展： 设 化简 的结果是（ ）。

（A ）（B ）（C ）（D ）思路分析 由 可知可化去第一层绝对值符号，第二次绝对值符号待合并整理后再用同样方法化去．解∴ 应选（B ）．归纳点评 只要知道绝对值将合内的代数式是正是负或是零，就能根据绝对值意义顺利去掉绝对值符号，这是解答这类问题的常规思路．2. 没有告诉未知数的取值或取值范围进行化简。

例2. 化简||x x -+52（必须进行讨论）我们把使绝对值符号内的代数式为0的未知数的值叫做界值，显然绝对值符号内代数式是x -5，使x -=50的未知数的值是5，所以我们把5叫做此题的界值，确定了界值后，我们就把它分成三种情况进行讨论。

（1）当x >5时，则x ->50是一个正数，则它的绝对值应是它本身，所以原式=-+=-x x x 5235。

（2）当x =5时，则x -=50，而0的绝对值为0，所以原式=+=022x x 或||x x -+=+=5202510×。

（3）当x <5时，则x -<50，是一个负数，而负数的绝对值应是它的相反数，所以原式=--+=-++=+()x x x x x 52525。

拓展： 化简||2612x y x y +-+- 此题虽含有一个绝对值符号，但绝对值符号内出现了两个未知数，在这种情况下，我们把含有两个未知数的式子看作一个整体，即把2x ＋y 看作一个整体未知数，找出界值，使260x y +-=的整体未知数的值是26x y +=，我们把6叫做此题的界值，这样又可分三种情况进行讨论。

（1）当26x y +>时， （2）当26x y +=时 （3）当26x y +<时||2612x y x y +-+- ||2612x y x y +-+- ||2612x y x y +-+-练习：1．已知a 、b 、c 、d 满足 且 ，那么2．若，则有（ ）。

（A ） （B ）（C ）（D ）二、数形结合绝对值化简题例3 实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则代数式的值等于（ ）．（A ）（B ）（C ）（D ）思路分析 由数轴上容易看出 ，这就为去掉绝对值符号扫清了障碍． 解 原式∴ 应选（C ）．归纳点评 这类题型是把已知条件标在数轴上，借助数轴提供的信息让人去观察，一定弄清： 1．零点的左边都是负数，右边都是正数． 2．右边点表示的数总大于左边点表示的数．3．离原点远的点的绝对值较大，牢记这几个要点就能从容自如地解决问题了．6223216221)62(+--=-++--=-+-+-=y x y x y x y x y x 6252162-=-+-+=x y x y x yx yx -=-+=2121练习： 3．有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则式子化简结果为（ ）．（A ）（B ）（C ）（D ）4. 有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图，试化简：||||||23a b b c c a -+---。

5．有理数a 、b 在数轴上的对应点如图，那么下列四个式子 中负数的个数是（ ）．（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3三、含有两个绝对值符号的化简题1. 已知未知数的取值或取值范围，进行化简也应根据绝对值的意义直接化简。

例4. 当x <-5时，化简||||256x x -+解：原式=--+-()()256x x2. 没有告诉未知数的取值或取值范围进行化简也必须进行讨论 例5． 化简思路分析 本类型的题既没有条件限制，又没有数轴信息，要对各种情况分类讨论，可采用零点分段讨论法，本例的难点在于的正负不能确定，由于x 是不断变化的，所以它们为正、为负、为零都有可能，应当对各种情况—一讨论．解 令 得零点：；令得零点：，把数轴上的数分为三个部分（如图）①当 时,，原式②当 时，，原式 ③当 时，，原式所以58652+-=-+-=x xx归纳点评 虽然 的正负不能确定，但在某个具体的区段内都是确定的，这正是零点分段讨论法的优点，采用此法的一般步骤是：1．求零点：分别令各绝对值符号内的代数式为零，求出零点（不一定是两个）．2．分段：根据第一步求出的零点，将数轴上的点划分为若干个区段，使在各区段内每个绝对值符号内的部分的正负能够确定．3．在各区段内分别考察问题．4．将各区段内的情形综合起来，得到问题的答案．误区点拨 千万不要想当然地把 等都当成正数或无根据地增加一些附加条件，以免得出错误的结果．练习： 6．化简||||x x ++-321解：（1）当x >12时，原式=++-()()x x 321=++-=+x x x 32132（2）当x <-3时，原式=-++--()[()]x x 321=---+=--x x x 32132（3）当-<<312x 时，原式=++--x x 321[()]=+-+=-+x x x 32147．设x 是实数，下列四个结论中正确的是（ ）。

（A ）y 没有最小值（B ）有有限多个x 使y 取到最小值 （C ）只有一个x 使y 取得最小值（D ）有无穷多个x 使y 取得最小值8．化简||||32624m n m n +--++典型例题与练习例1 、已知｜x ｜＝5，求x 的值。

解：因为｜x ｜＝5，所以x ＝5或x ＝－5。

拓展：｜x －3|＝5，求x 的值.解：因为｜x －3|＝5所以x －3＝5或x －3=－5，则x=8或x=－2例2、绝对值小于5的整数有哪些？解：有4+，4-，3+，3-，2+，2-，1+，1-，0。

例3、 比较87-和76-的大小． 分析 比较两个负数的大小，应先比较它们绝对值的大小，再根据“两个负数，绝对值大的反而小”来判断它们的大小．解 564987|87|==-，564876|76|==-，56485649>，所以87-<76-巩固练习:一、选择题1、下列说法中正确的有（ ）①互为相反数的两个数的绝对值相等；②正数和零的绝对值都等于它本身；③只有负数的绝对值是它的相反数；④一个数的绝对值相反数一定是负数。

A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 2、下列判断正确的有（ ）①｜＋2｜＝2 ②｜－2｜＝2 ③－｜－5｜＝5 ④｜a ｜≥0 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 3. 若x x -=，则x 一定是（ ）A. 负数B. 负数或零C. 零D. 正数 4．化简(3－π)－︱π－3︱的结果为( )A ．6B ．－2πC ．2π－6D ．6－2π5. 设x 是有理数，那么下列各式中一定表示正数的是（ ） （A ）2008x （B ）x + 2008 （C ）|2008x| （D ）|x| + 20086.下列说法正确的是（ ）A ， 一个数不是正数就是负数B ，一个数的绝对值一定是正数C ，在有理数中，没有最大的数D ， 不存在相反数等于本身的数7.设a 是最小的自然数，b 是最大的负整数的相反数，c 是绝对值最小的有理数，则a+b+c 的值为（ ） A 1 B 0 C －1 D 2 8.列各式成立的是（ ）A 100-->B 0.30.3+>-C 1255->- D 50-< 9．若a 是有理数，下列式子中一定大于0的是（ ）A 2a B 21a + C 31a + D 1a +10．若有100个有理数相乘的积为0则（ ）A 每个因数都为0B 每个因数都不为0C 至多有一个因数不为0D 至少有一个因数为0 二、填空题：1．2.7+的相反数的绝对值是 。

2．数轴上到原点的距离为7的点所表示的数是 。

3．绝对值等于5的数有 个，它们分别是 ，它们表示的是一对 数.4．绝对值小于4的整数是 ，其中 最小， 是非负数， 的绝对值最小。

5． a – b 的相反数是 ，如果 a ≤b ,那么 | a – b | =6．如果那么,111=--mm , 如果a 是有理数，那么aa = 。

7．若｜x ｜＝9，那么x ＝ ；若3x -=，则x= 8．绝对值不大于9998的所有整数和为 它们的积为三、判断题：1．若 a + b = 0，则 |a|=|b| ( ) 2. 若|a|=|b|，则 a = b ( ) 3. 若|a|=|b|，则a + b = 0 ( ) 4. 若ab ≥0，则a ≥0且b ≥0 ( ) 5. 若ab = 0，则 a=0或 b=0 ( )6. 若a < b < 0，则 a 2 > b 2( ) 7. 若 a < b ，则 |a| < |b| ( )8. 若 a 3 > b 3，则a 2 > b 2( )四、解答题：1．比较下列每对数的大小： （1）－｜－7｜和－（－7）（2）|—4|与—4；（3）|—（—3）|与—|—3|；（4）—98与—972．正式排球比赛对所用排球的质量有严格的规定，下面是6个排球的质量检测结果（用正数记超过规定质量的克数，用负数记不不足规定质量的克数）：－25，＋10，－11，＋30，＋14，－39 请指出哪个排球的质量好一些，并用绝对值的知识进行说明3．求出绝对值大于3小于213的所有正整数的和。

4．已知5-=a ，3-=b ，求b a --的值。

5．已知023=++-b a ，求下列代数式的值。

（1）13-+b a （2）b a a ++226．已知4x =，7y =，0xy <，求2x －y 的值。