初一绝对值问题较难问题详解

例谈绝对值问题的求解方法在初中数学竞赛试题中常出现绝对值问题，这是初中生较难把握的一类问题，现介绍若干种常见的解题方法，供参考。

一、定义法----- x —X—1597 = 0例1 若方程^7' 只有负数解，则实数a的取值范围是：。

分析与解因为方程只有负数解，故'-■"!'，原方程可化为：-一+1 x = -199711997 丿+1> 0, ■ a >-1997即-厂说明绝对值的意义有两点。

其一，一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零；其二，在数轴上表示一个点到原点的距离。

利用绝对值的定义常可达到去掉绝对值符号的目的二、利用非负性例2 方程刪+1工7 + 1卜°的图象是((A)三条直线：■「―|■工.-f ；(B) ................................. 两条直线：「:■'(C)一点和一条直线：(0, 0), - 1 1 1(D)两个点：(0, 1), (- 1, 0)=叶闵啊-炖十血啊-问）=（同-01）（1 必 1+亦）=（卜卜怦）（70+处）=0说明 本题根据公式1I = H ，将原式化为含有同 的式子，再根据绝对值的定义求值。

四、分类讨论法分析与解 由已知，根据非负数的性质，得 矽二0.兀一尹+1 =解之得: 故原方程的图象为两个点(0, 1),(- 1 说明 利用非负数的性质，可以将绝对值符 题转化为其它的问题来解决。

0)。

去掉，从而将问 三、公式法例3 已知必V 。

，求邢卜『同+必也卜购分析与解 丫宀涉同牯圈， ...原式*冲|-甘巾|+必(同-同)的值或小” -1例4 实数a满足同+ "°且"-1，那么"1分析与解由1'1_，'可得心且】。

当-1 时，*卜1. ”1*+1| 一口十］一说明有的题目中，含绝对值的代数式不能直接确定其符号, 这就要求分情况对字母涉及的可能取值进行讨论。

难点攻关绝对值的理解(一)一.已知有理数的符号求这个数的绝对值1.化简：(1) -|-a|(a＜0) (2) -|-8| (3) |-(+7)| (4) |-5|二.已知一个数的绝对值求这个数2. 绝对值不大于3的所有整数为_____________;绝对值小于3的所有整数为______。

3. (1)若|a|=2,则a= ;(2) 若|x|=|y|,且x=-3,则y= ;(3) 若|+x|=-(-8),则x= ; (4)若|a|=a,则a的范围是 .三.利用绝对值求字母的取值范围4. 若|m|=x-2,则x的取值范围是( )B.x＞2C.x≥2D.x=3 A.x=25. 若|x|=-x,则x的取值范围是( )A.r＞0B.x=0C.x＜0D.x≤0四.利用绝对值比较大小6.(1)若a＞0,b＜0,且|a|＞|b|,用“＞”把a,-a,b,-b连接起来；(2) a,b在数轴上对应的点的位置如下图所示，则a|= ,|b|= ,|-a|= ,|-b|= .（3）已知a,b在数轴上对应的点如下图所示.则a、b、-a、-b的大小关系为：五.绝对值非负性的运用7.(1)若|x-1|与-5互为相反数，求x的值.(2) 若|x-1|+1y-2|=0,则x+y=______,(3) 已知|x-2|和|y-3|互为相反数，求x+y的值.(4) 若|a|与|6-1|互为相反数，则a=_______,b= .8.若a,b是表示两个不同点A,B的有理数，且|a|=5,|b|=3,它们在数轴的位置如图所示，(1)试确定a,b的值；(2)若用AB表示A,B两点之间的距离，求AB的长；(3)若点C在数轴上，点C到点A的距离AC是点C到点B的距离BC的3倍，则点C表示的数为______.难点攻关绝对值的理解(二)一.绝对值的代数意义1. 若|a|=a,则a一定为( )A.1B.0C.正数D.正数或02. (1) -|-5|= (2) |-5|=(3)若|r|=|-3|,则x= (4)若|-x|=|-8|,则x=3. 若|x|=3,|y|=1,且x＞y,则x= .4. 若|x|=6,|y|=3,且x＞0,y＜0,则x= .二.绝对值的几何意义5. (1)在数轴上与1的距离为3的点表示的数为 .(2) 若|x+3|=4,则x= .(3) 若|x-1|=3,则x= .(4) 在数轴上与-3的距离为4的点表示的数为 .6. (1) 绝对值为5的数是 .(2) 在数轴上到原点距离为4的点表示的数为 .(3) 在数轴上到原点距离为a(a＞0)的点表示的数为 .三.绝对值的非负性7. 下列四个式子中一定是负数的是( )A.-|m|+2B.-|m|-1C.-m-3D.-m8. 已知|x-3|+|y-4|=0,则x+y的值为( )A.1B.-1C.7D.-79. 代数式|x+2|+2的最小值是( )A.0B.4C.2D.-210. 下列说法中，正确的个数是( )①若a=-b,则|a|=|b|; ②若|a|=a,则a＞0;③若|a|=|b|,则a=b; ④若a为有理数，则|a|=|-a|.A.1个B.2个C.3个D.4个11. 下列说法中错误的是( )A.|a|一定是非负数B.|a|一定是负数C.|a|+1的最小值为1D.5-|a+b|最大值为5。

七年级上册数学绝对值难题类型七年级上册数学绝对值难题类型及解析一、绝对值的定义与性质1. 绝对值的定义：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作\vert a\vert。

2. 绝对值的性质：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。

互为相反数的两个数的绝对值相等。

二、绝对值的化简1. 已知字母的取值范围化简绝对值当a \geq 0时，\vert a\vert = a；当a 0时，\verta\vert = a。

例如：已知x 0，化简\vert x 2\vert。

因为x 0，所以x 2 0，则\vert x 2\vert = (x 2) = 2 x。

2. 多重绝对值的化简从内向外依次化简绝对值。

例如：化简\vert\vert 3 x\vert 1\vert，需要先求出\vert 3 x\vert的值，再进一步化简。

三、绝对值方程1. 形如\vert x\vert = a（a > 0）的方程方程的解为x = \pm a。

例如：\vert x\vert = 5，则x = \pm 5。

2. 形如\vert ax + b\vert = c（c > 0）的方程当ax + b \geq 0时，ax + b = c；当ax + b 0时，ax + b = c。

例如：\vert 2x 1\vert = 3，当2x 1 \geq 0，即x\geq \frac{1}{2}时，2x 1 = 3，解得x = 2；当2x 1 0，即x \frac{1}{2}时，2x 1 = 3，解得x = 1。

四、绝对值不等式1. 形如\vert x\vert a（a > 0）的不等式不等式的解集为a x a。

例如：\vert x\vert 2，则2 x 2。

2. 形如\vert x\vert > a（a > 0）的不等式不等式的解集为x a或x > a。

例如：\vert x\vert > 3，则x 3或x > 3。

七上数学【绝对值压轴题】三种题型汇总，含例题解析，更易读懂！例题1、【归纳】（1）观察下列各式的大小关系：|－2|＋|3|＞|－2＋3||－6|＋|3|＞|－6＋3||－2|＋|－3|＝|－2－3||0|＋|－8|＝|0－8|归纳：|a|＋|b|_____|a＋b|（用“＞”或“＜”或“＝”或“≥”或“≤”填空）【应用】（2）根据上题中得出的结论，若|m|＋|n|＝13，|m＋n|＝1，求m的值．【延伸】（3）a、b、c满足什么条件时，|a|＋|b|＋|c|＞|a＋b＋c|．参考答案：（1）≥（2）由上题结论可知，因为|m|＋|n|＝13，|m＋n|＝1，|m|＋|n|≠|m＋n|，所以m、n异号.当m为正数，n为负数时，m－n＝13，则n＝m－13，|m＋m －13|＝1，m＝7或6当m为负数，n为正数时，－m＋n＝13，则n＝m＋13，|m＋m＋13|＝1，m＝－7或－6综上所述，m为±6或±7（3）分析：若按a、b、c中0的个数进行分类，可以分成四类：第一类：a、b、c三个数都不等于0①1个正数，2个负数，此时|a|＋|b|＋|c|＞|a＋b＋c|②1个负数，2个正数，此时|a|＋|b|＋|c|＞|a＋b＋c|③3个正数，此时|a|＋|b|＋|c|＝|a＋b＋c|，故排除④3个负数，此时|a|＋|b|＋|c|＝|a＋b＋c|，故排除第二类：a、b、c三个数中有1个0 【结论同第（1）问】①1个0，2个正数，此时|a|＋|b|＋|c|＝|a＋b＋c|，故排除②1个0，2个负数，此时|a|＋|b|＋|c|＝|a＋b＋c|，故排除③1个0，1个正数，1个负数，此时|a|＋|b|＋|c|＞|a＋b＋c|第三类：a、b、c三个数中有2个0①2个0，1个正数：此时|a|＋|b|＋|c|＝|a＋b＋c|，故排除②2个0，1个负数：此时|a|＋|b|＋|c|＝|a＋b＋c|，故排除第四类：a、b、c三个数都为0，此时|a|＋|b|＋|c|＝|a＋b＋c|，故排除综上所述：1个负数2个正数、1个正数2个负数、1个0，1个正数和1个负数.例题2、已知:b是最小的正整数,且a、b满足(c-5)^2 +|a+b|=0(1)请求出a、b、c的值;(2)a、b、c所对应的点分别为A、B、C,线段AB的中点为M,线段BC的中点为N,P为动点,其对应的数为x,点P在线段MN上运动(包括端点).①求x的取值范围.②化简式子|x+1|-|x-1|+2|x-4/9|(写出化简过程).详细解析考点：数轴的定义，绝对值的性质分析：本题考查了数轴与绝对值，需掌握绝对值的性质，正确理解AB，BC的变化情况是关键；第（1）题根据b是最小的正整数，即可确定b的值，然后根据非负数的性质，几个非负数的和是0，则每个数是0，即可求得a，b，c 的值；第②题以①为分界点，根据x的范围分0≤x≤4/9、4/9＜x≤1、1＜x≤3确定x+1，x-1，x-4/9的符号，然后根据绝对值的意义即可化简.解答：（1）根据题意得：c-5=0，a+b=0，b=1，∴a=-1，b=1，c=5.（2）①（-1+1）÷2=0，（1+5）÷2=3，∴x的取值范围为：0≤x≤3.②当0≤x≤4/9时，x+1＞0，x-1＜0，x-4/9≤0，∴|x+1|-|x-1|+2|x-4/9|=x+1+(x-1)-2(x-4/9)=x+1+x-1-2x+8/9=8/9；当4/9＜x≤1时，x+1＞0，x-1≤0，x-4/9＞0．∴|x+1|-|x-1|+2|x-4/9|=x+1+(x-1)+2(x-4/9)=x+1+x-1+2x-8/9=4x-8/9；当1＜x≤3时，x+1＞0，x-1＞0，x-4/9＞0．∴|x+1|-|x-1|+2|x-4/9|=x+1-(x-1)+2(x-4/9)=x+1-x+1+2x-8/9=2x-10/9；例题3、数轴上从左到右的三个点A，B，C 所对应数的分别为a，b，c.其中AB=2017，BC=1000，如图所示．（1）若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并计算a＋b＋c 的值．（2）若原点O在A，B两点之间，求 |a|+|b|+ |b-c| 的值．（3）若O是原点，且OB=17，求a+b－c的值．参考答案(1)以B为原点，点A，C对应的数分别－2017，1000，a＋b＋c=－2017＋0＋1000=－1017．(2)当原点O在A，B两点之间时，｜a｜＋｜b｜=2017，｜b－c｜=1000，∴ ｜a｜＋｜b｜+｜b－c｜2017 +1000 = 3017 ．附另解：点 A，B，C 对应的数分别 b－2017，b，b＋1000，∴ |a|+|b|+|b-c|=2017-b+b+1000= 3017 ．(3)若原点O在点B的左边，则点A，B，C 所对应数分别是 a=－2000，b=17， c=1017，则 a＋b－c=－2000＋17－1017=－3000；若原点O在点B的右边，则点A，B，C所对应数分别是a=－2034，b=－17， c=983，则 a＋b－c=－2034＋(－17)－983=－3034绝对值压轴题小结绝对值作为初一数学的重点和难点，解题时一定要注意分类讨论。

绝对值难点突破1．|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|的值为．2．阅读下列材料并解决有关问题：我们知道，|m|=．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|m+1|+|m﹣2|时，可令m+1=0和m﹣2=0，分别求得m=﹣1，m=2（称﹣1，2分别为|m+1|与|m﹣2|的零点值）．在实数范围内，零点值m=﹣1和m=2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：（1）m＜﹣1；（2）﹣1≤m＜2；（3）m≥2．从而化简代数式|m+1|+|m﹣2|可分以下3种情况：（1）当m＜﹣1时，原式=﹣（m+1）﹣（m﹣2）=﹣2m+1；（2）当﹣1≤m＜2时，原式=m+1﹣（m﹣2）=3；（3）当m≥2时，原式=m+1+m﹣2=2m﹣1．综上讨论，原式=通过以上阅读，请你解决以下问题：（1）分别求出|x﹣5|和|x﹣4|的零点值；（2）化简代数式|x﹣5|+|x﹣4|；（3）求代数式|x﹣5|+|x﹣4|的最小值．第1页（共9页）3．当式子|x+1|+|x﹣3|+|x﹣4|+|x+6|取最小值时，求相应x的取值范围，并求出最小值．4．同学们都知道：|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：（1）数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是，（2）数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为．（3）如果|x﹣2|=5，则x=．（4）同理|x+3|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣3和1所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+3|+|x﹣1|=4，这样的整数是．（5）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由．5．认真阅读下面的材料，完成有关问题．材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如|5﹣3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；|5+3|=|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5、﹣3在数轴上对应的两点之间的距离；|5|=|5﹣0|，所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为|a﹣b|．（1）点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、﹣2、1，那么A到B的距离与A 到C的距离之和可表示为（用含绝对值的式子表示）．（2）利用数轴探究：①找出满足|x﹣3|+|x+1|=6的x的所有值是，②设|x﹣3|+|x+1|=p，当x的值取在不小于﹣1且不大于3的范围时，p的值是不变的，而且是p的最小值，这个最小值是；当x的值取在的范围时，|x|+|x﹣2|取得最小值，这个最小值是．（3）求|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|的最小值为，此时x的值为．（4）求|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|+|x+2|的最小值，求此时x的取值范围．6．如果a、b、c是非零有理数，且a+b+c=0，那么+++的所有可能的值为．7．已知|a|=5，|b|=6，且|a+b|=a+b，求a﹣b的值．8．阅读材料：我们知道，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b（如图所示），A、B两点间的距离表示为AB，则AB=|a﹣b|．所以式子|x﹣2|的几何意义是数轴上表示x的点与表示2的点之间的距离．根据上述材料，解答下列问题：（1）若点A表示﹣2，点B表示1，则AB=；（2）若点A表示﹣2，AC=4，则点C表示的数是；（3）若|x﹣3|=4，求x的值．9．同学们都发现|5﹣（﹣2）|它的意义是：数轴上表示5的点与表示﹣2的点之间的距离，试探索：（1）求|5﹣（﹣2）|=；（2）|5+3|表示的意义是；（3）|x﹣1|=5，则x在数轴上表示的点对应的有理数是．10．已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，且|a|=|c|．（1）比较a，﹣a，b，﹣b，c，﹣c的大小关系．（2）化简|a+b|﹣|a﹣b|+|b+（﹣c）|+|a+c|．参考答案与试题解析1．【分析】根据x的取值范围结合绝对值的意义分情况进行计算．【解答】解：当x≤﹣1时，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|=﹣x﹣1﹣x+2﹣x+3=﹣3x+4；当﹣1＜x≤2时，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|=x+1﹣x+2﹣x+3=﹣x+6；当2＜x≤3时，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|=x+1+x﹣2﹣x+3=x+2；当x＞3时，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|=x+1+x﹣2+x﹣3=3x﹣4．综上所述，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|的值为．故答案为：．2．【分析】（1）令x﹣5=0，x﹣4=0，解得x的值即可；（2）分为x＜4、4≤x＜5、x≥5三种情况化简即可；（3）根据（2）中的化简结果判断即可．【解答】（1）令x﹣5=0，x﹣4=0，解得：x=5和x=4，故|x﹣5|和|x﹣4|的零点值分别为5和4；（2）当x＜4时，原式=5﹣x+4﹣x=9﹣2x；当4≤x＜5时，原式=5﹣x+x﹣4=1；当x≥5时，原式=x﹣5+x﹣4=2x﹣9．综上讨论，原式=．（3）当x＜4时，原式=9﹣2x＞1；当4≤x＜5时，原式=1；当x≥5时，原式=2x﹣9＞1．故代数式的最小值是1．3．【分析】根据线段上的点与线段的端点的距离最小，可得答案．【解答】解：当式子|x+1|+|x﹣3|+|x﹣4|+|x+6|取最小值时，相应x的取值范围是﹣1≤x≤3，最小值是14．4．【分析】（1）根据距离公式即可解答；（2）利用距离公式求解即可；（3）利用绝对值求解即可；（4）利用绝对值及数轴求解即可；（5）根据数轴及绝对值，即可解答．【解答】解：（1）数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是|5﹣（﹣2）|=|5+2|=7，故答案为：7；（2）数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为|x﹣2|，故答案为：|x﹣2|；（3）∵|x﹣2|=5，∴x﹣2=5或x﹣2=﹣5，解得：x=7或x=﹣3，故答案为：7或﹣3；（4）∵|x+3|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣3和1所对应的点的距离之和，|x+3|+|x﹣1|=4，∴这样的整数有﹣3、﹣2、﹣1、0、1，故答案为：﹣3、﹣2、﹣1、0、1；（5）有最小值是3．5．【分析】（1）根据两点间的距离公式，可得答案；（2）根据两点间的距离公式，点在线段上，可得最小值；（3）：|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|=（|x﹣3|+|x+1|）+|x﹣2|，根据问题（2）中的探究②可知，要使|x﹣3|+|x+1|的值最小，x的值只要取﹣1到3之间（包括﹣1、3）的任意一个数，要使|x﹣2|的值最小，x应取2，显然当x=2时能同时满足要求，把x=2代入原式计算即可；（4）根据两点间的距离公式，点在线段上，可得答案．【解答】解：（1）A到B的距离与A到C的距离之和可表示为|x+2|+|x﹣1|；（2）①满足|x﹣3|+|x+1|=6的x的所有值是﹣2、4，②这个最小值是4；当x的值取在不小于0且不大于2的范围时，|x|+|x﹣2|取得最小值，这个最小值是2；（3）由分析可知，当x=2时能同时满足要求，把x=2代入原式=1+0+3=4；（4）|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|+|x+2|=（|x﹣3|+|x+2|）+（|x﹣2|+|x+1|）要使|x﹣3|+|x+2|的值最小，x的值取﹣2到3之间（包括﹣2、3）的任意一个数，要使|x﹣2|+|x+1|的值最小，x取﹣1到2之间（包括﹣1、2）的任意一个数，显然当x取﹣1到2之间（包括﹣1、2）的任意一个数能同时满足要求，不妨取x=0代入原式，得|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|+|x+2|=3+2+1+2=8；方法二：当x取在﹣1到2之间（包括﹣1、2）时，|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|+|x+2|=﹣（x﹣3）﹣（x﹣2）+（x+1）+（x+2）=﹣x+3﹣x+2+x+1+x+2=8．故答案为：|x+2|+|x﹣1|；﹣2，4；4；不小于0且不大于2；2；4，2．6．【分析】根据题意确定出a，b，c中负数的个数，原式利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．【解答】解：∵a、b、c为非零有理数，且a+b+c=0∴a、b、c只能为两正一负或一正两负．①当a、b、c为两正一负时，设a、b为正，c为负，原式=1+1+（﹣1）+（﹣1）=0，②当a、b、c为一正两负时，设a为正，b、c为负原式1+（﹣1）+（﹣1）+1=0，综上，的值为0，故答案为：0．7．【分析】根据绝对值的概念可得a=±5，b=±6，然后分类讨论，就可求出符合条件“|a+b|=a+b”时的a﹣b的值．【解答】解：∵|a|=5，|b|=6，∴a=±5，b=±6．①当a=5，b=6时，a+b=11，满足|a+b|=a+b，此时a﹣b=5﹣6=﹣1；②当a=5，b=﹣6时，a+b=﹣1，不满足|a+b|=a+b，故舍去；③当a=﹣5，b=6时，a+b=1，满足|a+b|=a+b，此时a﹣b=﹣5﹣6=﹣11；④当a=﹣5，b=﹣6时，a+b=﹣11，不满足|a+b|=a+b，故舍去．综上所述：a﹣b的值为﹣1或﹣11．8．【分析】（1）根据题中的方法确定出AB的长即可；（2）根据A表示的数字，以及AC的长，确定出C表示的数即可；（3）原式利用绝对值的代数意义化简即可求出x的值．【解答】解：（1）根据题意得：AB=|﹣2﹣1|=3；（2）根据题意得：|x﹣（﹣2）|=4，即|x+2|=4，可得x+2=4或x+2=﹣4，解得：x=2或﹣6；（3）∵|x﹣3|=4，∴x﹣3=4或x﹣3=﹣4，解得：x=7或﹣1．故答案为：（1）3；（2）2或﹣69．【分析】（1）根据5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离为7得到答案；（2）把|5+3|变形为|5﹣（﹣3）|，而|5﹣（﹣3）|表示5与﹣3之差的绝对值；（3）根据绝对值的性质可求x在数轴上表示的点对应的有理数．【解答】解：（1）|5﹣（﹣2）|=|7|=7．（2）|5+3|表示的意义是点5与﹣3的点之间的距离．（3）|x﹣1|=5，x﹣1=﹣5，x﹣1=5，解得x=﹣4或x=6．则x在数轴上表示的点对应的有理数是﹣4或x=6．故答案为：7；点5与﹣3的点之间的距离；﹣4或6．10．【分析】根据互为相反数的两数的几何意义：在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点的距离相等．在数轴上找出﹣a，﹣b，﹣c的对应点，依据a，b，c，﹣a，﹣b，﹣c在数轴上的位置比较大小．在此基础上化简给出的式子．【解答】解：（1）解法一：根据表示互为相反数的两个点在数轴上的关系，分别找出﹣a，﹣b，﹣c对应的点如图所示，由图上的位置关系可知﹣b＞a=﹣c＞﹣a=c＞b．解法二：由图知，a＞0，b＜0，c＜0且|a|=|c|=|b|，∴﹣b＞a=﹣c＞﹣a=c＞b．（2）∵a＞0，b＜0，c＜0，且|a|=|c|＜|b|，∴a+b＜0，a﹣b＞0，b﹣c＜0，a+c=0，∴|a+b|﹣|a﹣b|+|b+（﹣c）|+|a+c|=﹣（a+b）﹣（a﹣b）﹣（b﹣c）+0=﹣a﹣b﹣a+b﹣b+c=﹣2a﹣b+c．。

绝对值难点突破1．|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|的值为．2．阅读下列材料并解决有关问题：我们知道，|m|=．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|m+1|+|m﹣2|时，可令m+1=0和m﹣2=0，分别求得m=﹣1，m=2（称﹣1，2分别为|m+1|与|m﹣2|的零点值）．在实数范围内，零点值m=﹣1和m=2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：（1）m＜﹣1；（2）﹣1≤m＜2；（3）m≥2．从而化简代数式|m+1|+|m﹣2|可分以下3种情况：（1）当m＜﹣1时，原式=﹣（m+1）﹣（m﹣2）=﹣2m+1；（2）当﹣1≤m＜2时，原式=m+1﹣（m﹣2）=3；（3）当m≥2时，原式=m+1+m﹣2=2m﹣1．综上讨论，原式=通过以上阅读，请你解决以下问题：（1）分别求出|x﹣5|和|x﹣4|的零点值；（2）化简代数式|x﹣5|+|x﹣4|；（3）求代数式|x﹣5|+|x﹣4|的最小值．3．当式子|x+1|+|x﹣3|+|x﹣4|+|x+6|取最小值时，求相应x的取值范围，并求出最小值．4．同学们都知道：|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：（1）数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是，（2）数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为．（3）如果|x﹣2|=5，则x=．（4）同理|x+3|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣3和1所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+3|+|x﹣1|=4，这样的整数是．（5）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由．5．认真阅读下面的材料，完成有关问题．材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如|5﹣3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；|5+3|=|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5、﹣3在数轴上对应的两点之间的距离；|5|=|5﹣0|，所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B 之间的距离可表示为|a﹣b|．（1）点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、﹣2、1，那么A到B的距离与A 到C的距离之和可表示为（用含绝对值的式子表示）．（2）利用数轴探究：①找出满足|x﹣3|+|x+1|=6的x的所有值是，②设|x﹣3|+|x+1|=p，当x的值取在不小于﹣1且不大于3的范围时，p的值是不变的，而且是p的最小值，这个最小值是；当x的值取在的范围时，|x|+|x﹣2|取得最小值，这个最小值是．（3）求|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|的最小值为，此时x的值为．（4）求|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|+|x+2|的最小值，求此时x的取值范围．6．如果a、b、c是非零有理数，且a+b+c=0，那么+++的所有可能的值为．7．已知|a|=5，|b|=6，且|a+b|=a+b，求a﹣b的值．8．阅读材料：我们知道，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b（如图所示），A、B两点间的距离表示为AB，则AB=|a﹣b|．所以式子|x﹣2|的几何意义是数轴上表示x的点与表示2的点之间的距离．根据上述材料，解答下列问题：（1）若点A表示﹣2，点B表示1，则AB=；（2）若点A表示﹣2，AC=4，则点C表示的数是；（3）若|x﹣3|=4，求x的值．9．同学们都发现|5﹣（﹣2）|它的意义是：数轴上表示5的点与表示﹣2的点之间的距离，试探索：（1）求|5﹣（﹣2）|=；（2）|5+3|表示的意义是；（3）|x﹣1|=5，则x在数轴上表示的点对应的有理数是．10．已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，且|a|=|c|．（1）比较a，﹣a，b，﹣b，c，﹣c的大小关系．（2）化简|a+b|﹣|a﹣b|+|b+（﹣c）|+|a+c|．参考答案与试题解析1．【分析】根据x的取值范围结合绝对值的意义分情况进行计算．【解答】解：当x≤﹣1时，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|=﹣x﹣1﹣x+2﹣x+3=﹣3x+4；当﹣1＜x≤2时，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|=x+1﹣x+2﹣x+3=﹣x+6；当2＜x≤3时，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|=x+1+x﹣2﹣x+3=x+2；当x＞3时，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|=x+1+x﹣2+x﹣3=3x﹣4．综上所述，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|的值为．故答案为：．2．【分析】（1）令x﹣5=0，x﹣4=0，解得x的值即可；（2）分为x＜4、4≤x＜5、x≥5三种情况化简即可；（3）根据（2）中的化简结果判断即可．【解答】（1）令x﹣5=0，x﹣4=0，解得：x=5和x=4，故|x﹣5|和|x﹣4|的零点值分别为5和4；（2）当x＜4时，原式=5﹣x+4﹣x=9﹣2x；当4≤x＜5时，原式=5﹣x+x﹣4=1；当x≥5时，原式=x﹣5+x﹣4=2x﹣9．综上讨论，原式=．（3）当x＜4时，原式=9﹣2x＞1；当4≤x＜5时，原式=1；当x≥5时，原式=2x﹣9＞1．故代数式的最小值是1．3．【分析】根据线段上的点与线段的端点的距离最小，可得答案．【解答】解：当式子|x+1|+|x﹣3|+|x﹣4|+|x+6|取最小值时，相应x的取值范围是﹣1≤x≤3，最小值是14．4．【分析】（1）根据距离公式即可解答；（2）利用距离公式求解即可；（3）利用绝对值求解即可；（4）利用绝对值及数轴求解即可；（5）根据数轴及绝对值，即可解答．【解答】解：（1）数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是|5﹣（﹣2）|=|5+2|=7，故答案为：7；（2）数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为|x﹣2|，故答案为：|x﹣2|；（3）∵|x﹣2|=5，∴x﹣2=5或x﹣2=﹣5，解得：x=7或x=﹣3，故答案为：7或﹣3；（4）∵|x+3|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣3和1所对应的点的距离之和，|x+3|+|x﹣1|=4，∴这样的整数有﹣3、﹣2、﹣1、0、1，故答案为：﹣3、﹣2、﹣1、0、1；（5）有最小值是3．5．【分析】（1）根据两点间的距离公式，可得答案；（2）根据两点间的距离公式，点在线段上，可得最小值；（3）：|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|=（|x﹣3|+|x+1|）+|x﹣2|，根据问题（2）中的探究②可知，要使|x﹣3|+|x+1|的值最小，x的值只要取﹣1到3之间（包括﹣1、3）的任意一个数，要使|x﹣2|的值最小，x应取2，显然当x=2时能同时满足要求，把x=2代入原式计算即可；（4）根据两点间的距离公式，点在线段上，可得答案．【解答】解：（1）A到B的距离与A到C的距离之和可表示为|x+2|+|x﹣1|；（2）①满足|x﹣3|+|x+1|=6的x的所有值是﹣2、4，②这个最小值是4；当x的值取在不小于0且不大于2的范围时，|x|+|x﹣2|取得最小值，这个最小值是2；（3）由分析可知，当x=2时能同时满足要求，把x=2代入原式=1+0+3=4；（4）|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|+|x+2|=（|x﹣3|+|x+2|）+（|x﹣2|+|x+1|）要使|x﹣3|+|x+2|的值最小，x的值取﹣2到3之间（包括﹣2、3）的任意一个数，要使|x﹣2|+|x+1|的值最小，x取﹣1到2之间（包括﹣1、2）的任意一个数，显然当x取﹣1到2之间（包括﹣1、2）的任意一个数能同时满足要求，不妨取x=0代入原式，得|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|+|x+2|=3+2+1+2=8；方法二：当x取在﹣1到2之间（包括﹣1、2）时，|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|+|x+2|=﹣（x﹣3）﹣（x﹣2）+（x+1）+（x+2）=﹣x+3﹣x+2+x+1+x+2=8．故答案为：|x+2|+|x﹣1|；﹣2，4；4；不小于0且不大于2；2；4，2．6．【分析】根据题意确定出a，b，c中负数的个数，原式利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．【解答】解：∵a、b、c为非零有理数，且a+b+c=0∴a、b、c只能为两正一负或一正两负．①当a、b、c为两正一负时，设a、b为正，c为负，原式=1+1+（﹣1）+（﹣1）=0，②当a、b、c为一正两负时，设a为正，b、c为负原式1+（﹣1）+（﹣1）+1=0，综上，的值为0，故答案为：0．7．【分析】根据绝对值的概念可得a=±5，b=±6，然后分类讨论，就可求出符合条件“|a+b|=a+b”时的a﹣b的值．【解答】解：∵|a|=5，|b|=6，∴a=±5，b=±6．①当a=5，b=6时，a+b=11，满足|a+b|=a+b，此时a﹣b=5﹣6=﹣1；②当a=5，b=﹣6时，a+b=﹣1，不满足|a+b|=a+b，故舍去；③当a=﹣5，b=6时，a+b=1，满足|a+b|=a+b，此时a﹣b=﹣5﹣6=﹣11；④当a=﹣5，b=﹣6时，a+b=﹣11，不满足|a+b|=a+b，故舍去．综上所述：a﹣b的值为﹣1或﹣11．8．【分析】（1）根据题中的方法确定出AB的长即可；（2）根据A表示的数字，以及AC的长，确定出C表示的数即可；（3）原式利用绝对值的代数意义化简即可求出x的值．【解答】解：（1）根据题意得：AB=|﹣2﹣1|=3；（2）根据题意得：|x﹣（﹣2）|=4，即|x+2|=4，可得x+2=4或x+2=﹣4，解得：x=2或﹣6；（3）∵|x﹣3|=4，∴x﹣3=4或x﹣3=﹣4，解得：x=7或﹣1．故答案为：（1）3；（2）2或﹣69．【分析】（1）根据5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离为7得到答案；（2）把|5+3|变形为|5﹣（﹣3）|，而|5﹣（﹣3）|表示5与﹣3之差的绝对值；（3）根据绝对值的性质可求x在数轴上表示的点对应的有理数．【解答】解：（1）|5﹣（﹣2）|=|7|=7．（2）|5+3|表示的意义是点5与﹣3的点之间的距离．（3）|x﹣1|=5，x﹣1=﹣5，x﹣1=5，解得x=﹣4或x=6．则x在数轴上表示的点对应的有理数是﹣4或x=6．故答案为：7；点5与﹣3的点之间的距离；﹣4或6．10．【分析】根据互为相反数的两数的几何意义：在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点的距离相等．在数轴上找出﹣a，﹣b，﹣c的对应点，依据a，b，c，﹣a，﹣b，﹣c在数轴上的位置比较大小．在此基础上化简给出的式子．【解答】解：（1）解法一：根据表示互为相反数的两个点在数轴上的关系，分别找出﹣a，﹣b，﹣c对应的点如图所示，由图上的位置关系可知﹣b＞a=﹣c＞﹣a=c＞b．解法二：由图知，a＞0，b＜0，c＜0且|a|=|c|=|b|，∴﹣b＞a=﹣c＞﹣a=c＞b．（2）∵a＞0，b＜0，c＜0，且|a|=|c|＜|b|，∴a+b＜0，a﹣b＞0，b﹣c＜0，a+c=0，∴|a+b|﹣|a﹣b|+|b+（﹣c）|+|a+c|=﹣（a+b）﹣（a﹣b）﹣（b﹣c）+0=﹣a﹣b﹣a+b﹣b+c=﹣2a﹣b+c．。

初一第一章的《绝对值》的几个难题(答案)解：根据题意，我们可以列出方程组：a-b = 2008kc-a = 2008(1-k)其中k为整数。

将XXX代入原方程可得：a-b + c-a = 2化XXX：c-b = 2008k+1或c-b = 2008(1-k)-1因为a、b、c为整数，所以k只能为0或1.当k=0时，c-b=1，a-b=2008，b-c=-2007，所以c-a+a-b+b-c=2.当k=1时，c-b=-1，a-b=-2008，b-c=2007，所以c-a+a-b+b-c=2.因此，c-a+a-b+b-c的值为2.3、解方程：x-2+2x-1=8.答：将x-2和2x-1括起来，得到(x-2)+(2x-1)=8，化简得3x-3=8，解得x=11/3.4、已知：关于x的方程x-ax=1，同时有一个正根和一个负根，求整数a的值。

答：设正根为x1，负根为x2，则有x1-x2=2|a|。

因为x1和x2都是根，所以x1-ax1=1，x2-ax2=1.将两式相减得到x1-x2=a(x1-x2)，因为x1和x2不相等，所以a=1或a=-1.当a=1时，方程化为x-x=1无解；当a=-1时，方程化为x+x=1，解得x=-1/2，符合要求。

因此，a=-1.5、已知：a、b、c是非零有理数，且a+b+c=0，求：abc/(abc)的值。

答：由a+b+c=0可得abc=-(ab+bc+ca)，因此abc/(abc)=-1.6、设abcde是一个五位数，其中a、b、c、d、e是阿拉伯数字，且a<b<c<d，试求y=a-b+b-c+c-d+d-e的最大值。

答：因为a<b<c<d，所以b-a≥1，c-b≥1，d-c≥1，e-d≥1，将y拆开得到y=(b-a)+(c-b)+(d-c)+(e-d)，因此y≥4.当a=1，b=2，c=3，d=4，e=5时，y=4，所以y的最大值为4.7、求关于x的方程x-2-1=a(0<a<1)所有解的和。

初一数学数轴绝对值动点压轴题（附答案详解）一、解答题（共20小题）1. 如图，数轴的原点为O，点A，B，C是数轴上的三点，点B对应的数为1，AB=6，BC=2，动点P，Q同时从A，C出发，分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动．设运动时间为t秒(t>0)．（1）求点A，C分别对应的数；（2）求点P，Q分别对应的数（用含t的式子表示）．（3）试问当t为何值时，OP=OQ?2. 已知点P，Q是数轴上的两个动点，且P，Q两点的速度比是1:3．（速度单位：单位长度/秒）（1）动点P从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点Q也从原点出发向数轴正方向运动，4秒时，两点相距16个单位长度．求两个动点的速度，并在数轴上标出P，Q两点从原点出发运动4秒时的位置．（2）如果P，Q两点从（1）中4秒时的位置同时向数轴负方向运动，那么再经过几秒，点P，Q到原点的距离相等?3. 阅读下面材料：如图，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，则A，B两点之间的距离可以表示为∣a−b∣．根据阅读材料与你的理解回答下列问题：（1）数轴上表示3与−2的两点之间的距离是．（2）数轴上有理数x与有理数7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为．（3）代数式∣x+8∣可以表示数轴上有理数x与有理数所对应的两点之间的距离；若∣x+8∣=5，则x=．（4）求代数式∣x+1008∣+∣x+504∣+∣x−1007∣的最小值．4. 如图1，在平面直角坐标系中，A(6,a)，B(b,0)且(a−6)2+√b−2=0．（1）求点A，B的坐标；（2）如图1，P点为y轴正半轴上一点，连接BP，若S△PAB=15，请求出P点的坐标；（3）如图2，已知AB=√52，若C点是x轴上一个动点，是否存在点C，使BC=AB，若存在，请直接写出所有符合条件的点C的坐标；若不存在，请说明理由．5. 如图，A，B分别为数轴上的两点，A点对应的数为−5，B点对应的数为55，现有一动点P以6个单位/秒的速度从B点出发，同时另一动点Q恰好以4个单位/秒的速度从A点出发：（1）若P向左运动，同时Q向右运动，在数轴上的C点相遇，求C点对应的数．（2）若P向左运动，同时Q向左运动，在数轴上的D点相遇，求D点对应的数．（3）若P向左运动，同时Q向右运动，当P与Q之间的距离为20个单位长度时，求此时Q点所对应的数．6. 数轴上从左到右有A，B，C三个点，点C对应的数是10，AB=BC=20．（1）点A对应的数是，点B对应的数是；（2）若数轴上有一点D，且BD=4，则点D表示的数是什么?（3）动点P从A出发，以每秒4个单位长度的速度向终点C移动，同时，动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C移动，设移动时间为t秒．当点P和点Q间的距离为8个单位长度时，求t的值．7. 如图，已知点O是原点，点A在数轴上，点A表示的数为−6，点B在原点的右侧，且OB=4OA．3（1）点B对应的数是，在数轴上标出点B．（2）已知点P、点Q是数轴上的两个动点，点P从点A出发，以1个单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点B出发，以3个单位/秒的速度向左运动；①用含t的式子分别表示P，Q两点表示的数：P是；Q是；②若点P和点Q经过t秒后在数轴上的点D处相遇，求出t的值和点D所表示的数；③求经过几秒，点P与点Q分别到原点的距离相等?8. 如图，半径为1个单位的圆片上有一点A与数轴的原点重合，AB是圆片的直径．（1）把圆片沿数轴向左滚动1周，点A到达数轴上点C的位置，点C表示的数是数（填“无理”或“有理”），这个数是；（2）把圆片沿数轴滚动2周，点A到达数轴上点D的位置，点D表示的数是；（3）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：+2，−1，−5，+4，+3，−2．当圆片结束运动时，A点运动的路程共有多少?此时点A所表示的数是多少?9. 结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是；表示−3和2两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于∣m−n∣．如果表示数a 和−1的两点之间的距离是3，那么a=．（2）若数轴上表示数a的点位于−4与2之间，则∣a+4∣+∣a−2∣的值为；（3）利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得∣x+2∣+∣x−5∣=7，这些点表示的数的和是．（4）当a=时，∣a+3∣+∣a−1∣+∣a−4∣的值最小，最小值是．10. 如图，数轴上的点O和A分别表示0和10，点P是线段OA上一动点，沿O→A→O以每秒2个单位的速度往返运动1次，B是线段OA的中点，设点P运动时间为t秒(0≤t≤10)．（1）线段BA的长度为；（2）当t=3时，点P所表示的数是；（3）求动点P所表示的数（用含t的代数式表示）；（4）在运动过程中，当PB=2时，求运动时间t．11. A,B,C为数轴上的三点，动点A,B同时从原点出发，动点A每秒运动x个单位，动点B每秒运动y个单位，且动点A运动到的位置对应的数记为a，动点B运动到的位置对应的数记为b，定点 C 对应的数为8．（1）若2秒后，a,b满足∣a+8∣+(b−2)2=0，则x=，y=，并请在数轴上标出A,B两点的位置．（2）若动点A,B在（1）运动后的位置上保持原来的速度，且同时向正方向运动z秒后使得∣a∣=∣b∣，使得z=．（3）若动点A,B在（1）运动后的位置上都以每秒2个单位向正方向运动继续运动t秒，点A 与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离为AB，且AC+BC=1.5AB，则t=．12. 探索研究：（1）比较下列各式的大小（用“<”或“>”或“=”连接）．①∣+1∣+∣4∣∣+1+4∣；②∣−6∣+∣−3∣∣−6−3∣；③∣10∣+∣−3∣∣10−3∣；④∣8∣+∣−5∣∣8−5∣；⑤∣0∣+∣+2∣∣0+2∣；⑥∣0∣+∣−8∣∣0−8∣．（2）通过以上比较，请你分析、归纳出当a，b为有理数时，∣a∣+∣b∣∣a+b∣（用“<”或“>”或“=”或“≥”或“≤”连接）．（3）根据（2）中得出的结论，当∣x∣+2017=∣x−2017∣时，则x的取值范围是；若x>0，且∣x∣+∣y∣=10，∣x+y∣=2，则y=．13. 阅读下面材料并回答问题．I阅读：数轴上表示−2和−5的两点之间的距离等于(−2)−(−5)=3；数轴上表示1和−3的两点之间的距离等于1−(−3)=4．一般地，数轴上两点之间的距离等于右边点对应的数减去左边点对应的数．II问题：如图，O为数轴原点，A，B，C是数轴上的三点，A，C两点对应的数互为相反数，且A点对应的数为−6，B点对应的数是最大负整数．（1）点B对应的数是，并请在数轴上标出点B位置；PC，求线段AP中点对应的数；（2）已知点P在线段BC上，且PB=25⋅x2−bx+2的值（a，b，c是点（3）若数轴上一动点Q表示的数为x，当QB=2时，求a+c100A，B，C在数轴上对应的数）．14. 如图，已知数轴上点A表示的数为6，点B表示的数为−4，C为线段AB的中点，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（t>0）秒．（1）点C表示的数是；（2）当t=秒时，点P到达点A处；（3）点P表示的数是（用含字母t的代数式表示）；（4）当t=秒时，线段PC的长为2个单位长度；（5）若动点Q同时从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，那么，当t=秒时，PQ的长为1个单位长度．15. 阅读理解．小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题：“当式子∣x+1∣+∣x−2∣取最小值时，相应的x的取值范围是，最小值是”．小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了．”小明说：“利用数轴可以解决这个问题．”他们把数轴分为三段：x<−1，−1≤x≤2和x>2，经研究发现，当−1≤x≤2时，值最小为3．请你根据他们的解题解决下面的问题：（1）当式子∣x−2∣+∣x−4∣+∣x−6∣+∣x−8∣取最小值时，相应的x的取值范围是，最小值是．（2）已知y=∣2x+8∣−4∣x+2∣，求相应的x的取值范围及y的最大值．写出解答过程．16. 阅读思考：小聪在复习过程中，发现可以用“两数的差”来表示“数轴上两点间的距离”，探索过程如下：如图甲所示，三条线段的长度可表示为AB=4−2=2，CB=4−(−2)=6，DC=(−2)−(−4)=2，于是他归纳出这样的结论：当b>a时，AB=b−a（较大数−较小数）．（1）思考：你认为小聪的结论正确吗? ．（2）尝试应用：①如图乙所示，计算：EF=，FA=．②把一条数轴在数m处对折，使表示−14和2014两数的点恰好互相重合，则m=．（3）问题解决：①如图丙所示，点A表示数x，点B表示−2，点C表示数2x+8，且BC=4AB，问：点A和点C分别表示什么数?②在上述①的条件下，在如图丙所示的数轴上是否存在满足条件的点D，使DA+DC=3DB?若存在，请直接写出点D所表示的数；若不存在，请说明理由．17. 如图，数轴上有A、B、C、D四个点，分别对应的数为a、b、c、d，且满足a，b是方程∣x+9∣=1的两解(a<b)，(c−16)2与∣d−20∣互为相反数．（1）求a、b、c、d的值；（2）若A、B两点以每秒6个单位的速度向右匀速运动，同时C、D两点以每秒2个单位的速度向左匀速运动，并设运动时间为t秒，问t为多少时，A、B两点都运动在线段CD上（不与C、D两个端点重合）?（3）在（2）的条件下，A、B、C、D四个点继续运动，当点B运动到点D的右侧时，问是否存在时间t，使B与C的距离是A与D的距离的4倍，若存在，求时间t；若不存在，请说明理由．18. 已知在数轴上有A，B两点，点A表示的数为8，点B在A点的左边，且AB=12．若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动，设运动时间为t秒．（1）写出数轴上点B，P所表示的数（可以用含t的代数式表示）；（2）若点P，Q分别从A，B两点同时出发，问点P运动多少秒与Q相距2个单位长度?（3）若M为AQ的中点，N为BP的中点．当点P在线段AB上运动过程中，探索线段MN与线段PQ的数量关系．19. 在数轴上依次有 A ，B ，C 三点，其中点 A ，C 表示的数分别为 −2，5，且 BC =6AB ．（1）在数轴上表示出 A ，B ，C 三点；（2）若甲、乙、丙三个动点分别从 A ，B ，C 三点同时出发，沿数轴负方向运动，它们的速度分别是 14，12，2（单位长度/秒），当丙追上甲时，甲乙相距多少个单位长度?（3）在数轴上是否存在点 P ，使 P 到 A ，B ，C 的距离和等于 10?若存在求点 P 对应的数；若不存在，请说明理由．20. 已知数轴上三点 M ，O ，N 对应的数分别为 −3，0，1，点 P 为数轴上任意一点，其对应的数为x ．（1）如果点 P 到点 M 、点 N 的距离相等，那么 x 的值是 ． （2）当 x = 时，使点 P 到点 M ，点 N 的距离之和是 5；（3）如果点 P 以每秒钟 3 个单位长度的速度从点 O 向左运动时，点 M 和点 N 分别以每秒钟 1个单位长度和每秒钟 4 个单位长度的速度也向左运动，且三点同时出发，那么 秒钟时点 P 到点 M ，点 N 的距离相等.答案第一部分1. （1）∵点B对应的数为1，AB=6，BC=2，∴点A对应的数是1−6=−5，点C对应的数是1+2=3．（2）∵动点P，Q分别同时从A，C出发，分别以每秒2个单位长度和1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，∴点P对应的数是−5+2t，点Q对应的数是3+t．（3）①当点P与点Q在原点两侧时，若OP=OQ，则5−2t=3+t，解得：t=23；②当点P与点Q在原点同侧时，若OP=OQ，则−5+2t=3+t，解得：t=8；当t为23或8时，OP=OQ．2. （1）设P的速度为x单位长度/秒，Q的速度为3x单位长度/秒．依题意，得4(x+3x)=16，∴x=1．∴P的速度为1单位长度/秒，Q的速度为3单位长度/秒．4秒时，P的位置在−4，Q的位置在12．（2）设再经过y秒时，点P，Q到原点的距离相等，①当点P，Q位于原点两侧时，12−3y=4+y，解得，y=2．②当点P，Q位于原点同侧时，3y−12=4+y，解得，y=8．所以再经过2秒或8秒时点P，Q到原点的距离相等．3. （1）5【解析】∣3−(−2)∣=5．（2）∣x−7∣（3）−8；−3或−13（4）如图，∣x+1008∣+∣x+504∣+∣x−1007∣的最小值即∣1007−(−1008)∣=2015．4. （1）∵(a−6)2+√b−2=0，又∵(a−6)2≥0，√b−2≥0，∴a=6，b=2，∴A(6,6)，B(2,0)．（2）设P(0,m)(m>0)，∵S△PAB=S△POA+S△ABO−S△POB，∴15=12×m×6+12×2×6−12×2×m，9)．∴P(0,92（3）C(2+2√13,0)或(2−2√13,0)．【解析】∵AB=√52=2√13，B(2,0)，∴BC=AB=2√13，∴C(2+2√13,0)或(2−2√13,0)．5. （1）设相遇时间为x秒，4x+6x=55−(−5)，解得：x=6，因此C点对应的数为−5+4×6=19．（2）设追及时间为y秒，6y−4y=55−(−5)，解得：y=30，点D对应的数为−5−4×30=−125．（3）①相遇前PQ=20时，设相遇时间为a秒，4a+6a=55−(−5)−20，解得：a=4，因此Q点对应的数为−5+4×4=11，②相遇后PQ=20时，设相遇时间为b秒，4b+6b=55−(−5)+20，解得：b=8，因此C点对应的数为−5+4×8=27，故Q点对应的数为11或27．6. （1）−30；−10【解析】∵AB=BC=20，点C对应的数是10，点A在点B左侧，点B在点C左侧，∴点B对应的数为10−20=−10，点A对应的数为−10−20=−30．（2）由于点B对应的数为−10，BD=4，∴点D表示的数为−14或−6．（3）当运动时间为t秒时，点P对应的数是4t−30，点Q对应的数是t−10，依题意，得：∣t−10−(4t−30)∣=8，∴20−3t=8或3t−20=8，解得：t=4或t=28．3．∴t的值为4或2837. （1）8数轴表示如图所示：【解析】∵点A表示的数为−6，∴OA=6，OA，∵OB=43∵点B在原点的右侧，∴点B对应的数是8．（2）①−6+t；8−3t②∵点P和点Q经过t秒后在数轴上的点D处相遇，∴−6+t=8−3t，∴t=7，2=−2.5．∴点D所表示的数=−6+72③∵P是−6+t；Q是8−3t，∴OP=∣−6+t∣，OQ=∣8−3t∣，∵点P与点Q分别到原点的距离相等，∴∣−6+t∣=∣8−3t∣，∴−6+t=8−3t或−6+t=3t−8，或t=1，∴t=72秒或1秒，点P与点Q分别到原点的距离相等．∴经过72【解析】①∵P的路程为t，Q的路程为3t，∴P是−6+t；Q是8−3t．8. （1）无理；−2π【解析】把圆片沿数轴向左滚动1周，点A到达数轴上点C的位置，点C表示的数是无理数，这个数是−2π．（2）±4π【解析】把圆片沿数轴滚动2周，点A到达数轴上点D的位置，点D表示的数是±4π．（3）2+1+5+4+3+2=17，故A点运动的路程共有34π，+2−1−5+4+3−2=1，故此时点A所表示的数是2π．9. （1）3；5；−4或2【解析】∣1−4∣=3，∣−3−2∣=5，∣a−(−1)∣=3，所以，a+1=3或a+1=−3，解得a=−4或a=2．（2）6【解析】因为表示数a的点位于−4与2之间，所以a+4>0，a−2<0，所以∣a+4∣+∣a−2∣=(a+4)+[−(a−2)]=a+4−a+2=6．（3）12【解析】使得∣x+2∣+∣x−5∣=7的整数点有−2，−1，0，1，2，3，4，5，−2−1+0+1+2+ 3+4+5=12．故这些点表示的数的和是12．（4）1；7【解析】a=1有最小值，最小值=∣1+3∣+∣1−1∣+∣1−4∣=4+0+3=7．10. （1）5【解析】∵B是线段OA的中点，∴BA=12OA=5．（2）6【解析】当t=3时，点P所表示的数是2×3=6．（3）当0≤t≤5时，动点P所表示的数是2t；当5≤t≤10时，动点P所表示的数是20−2t．（4）①当0≤t≤5时，动点P所表示的数是2t，∵PB=2，∴∣2t−5∣=2，∴2t−5=2或2t−5=−2，解得t=3.5或t=1.5；②当5≤t≤10时，动点P所表示的数是20−2t，∵PB=2，∴∣20−2t−5∣=2，∴20−2t−5=2或20−2t−5=−2，解得t=6.5或t=8.5．综上所述，所求t的值为1.5或3.5或6.5或8.5．11. （1）4；1（2）103或56（3）2.75或9.2512. （1）=；=；>；>；=；=（2）≥（3）x≤0；−6或−413. （1）−1点B位置如图：【解析】点B对应的数是−1．（2）设点P对应的数为p，∵点P在线段BC上，∴PB=p−(−1)=p+1，PC=6−p，∵PB=25PC，∴p+1=25(6−p)，∴p=1．设AP中点对应的数为t，则t−(−6)=1−t，∴t=−2.5，∴AP中点对应的数为−2.5．（3）由题意：a+c=0，b=−1，当点Q在点B左侧时，−1−x=2，x=−3，∴a+c100−x2−bx+2=0=0−(−1)×(−3)+2=−1，当点Q在点B左侧时，x−(−1)=2，x=1，∴a+c100−x2−bx+2=0−(−1)×1+2=3．14. （1）1【解析】(6−4)÷2 =2÷2= 1.故点C表示的数是1．（2）5【解析】[6−(−4)]÷2 =10÷2=5(秒).答：当t=5秒时，点P到达点A处．（3）2t−4【解析】点P表示的数是2t−4．（4）1.5秒或3.5【解析】P在点C左边，[1−2−(−4)]÷2=3÷2= 1.5(秒).P在点C右边，[1+2−(−4)]÷2=7÷2= 3.5(秒).答：当t=1.5秒或3.5秒时，线段PC的长为2个单位长度．（5）3秒或113【解析】点P，Q相遇前，依题意有(2+1)t=6−(−4)−1，解得t=3；点P，Q相遇后，依题意有(2+1)t=6−(−4)+1，解得t=113．答：当t=3秒或113秒时，PQ的长为1个单位长度．15. （1）4≤x≤6；8．（2）当x≥−2时，y=∣2x+8∣−4∣x+2∣=−2x，当−4≤x≤−2时，y=∣2x+8∣−4∣x+2∣=6x+16，当x≤−4时，y=∣2x+8∣−4∣x+2∣=2x，所以x=−2时，y有最大值y=4．16. （1）正确【解析】∵当b>a时，b−a的值为线段AB的实际长度．（2）2；3；1000（3）①∵BC=2x+8−(−2)=2x+10，AB=−2−x，又∵BC=4AB，∴2x+10=4(−2−x)，解得x=−3，∴点A表示数−3，点C表示数2．②存在．设点D所表示的数为y，则（a）当y<−3时，DA=−3−y，DC=2−y，DB=−2−y，若DA+DC=3DB，则−3−y+2−y=3(−2−y)，解得y=−5，满足条件；（b）当−3≤y<−2时，DA=y−(−3)=y+3，DC=2−y，DB=−2−y，若DA+DC=3DB，则y+3+2−y=3(−2−y)，解得y=−113<−3，不符合题意；（c）当−2≤y<2时，DA=y−(−3)=y+3，DC=2−y，DB=y−(−2)=y+2，若DA+DC=3DB，则y+3+2−y=3(y+2)，解得y=−13，满足条件；（d）当y≥2时，DA=y−(−3)=y+3，DC=y−2，DB=y−(−2)=y+2，若DA+DC=3DB，则y+3+y−2=3(y+2)，解得y=−5，不符合题意．综上可知，存在点D表示的数为−5或−13时满足条件．17. （1）∵a，b是方程∣x+9∣=1的两根(a<b)，∴a=−10，b=−8 .∵(c−16)2与∣d−20∣互为相反数，(c−16)2≥0，∣d−20∣≥0，∴c−16=0，d−20=0．∴c=16，d=20 .（2）可知：AC=26，BD=28，AB=2，CD=4．∵A、B两点以每秒6个单位的速度向右匀速运动，C、D两点以每秒2个单位的速度向左匀速运动，∴点A、C相遇时间t=26÷(6+2)=134，点B、D的相遇时间t=28÷(6+2)=72.∵点A、C相遇之后到B、D相遇之前，A、B两点都运动在线段CD上，∴当134<t<72时，A、B两点都运动在线段CD上．（3） 存在时间，使得 BC =4AD ．理由：（1） 当 t =72 时，点 B 与点 D 相遇，此时 AD =AB =2，BC =CD =4； 当 A 、 D 相遇时 t =30÷8=154； 当 72<t <154 时，点 A 在线段 CD 上，此时 BC =4+8(t −72)=8t −24，AD =2−8(t −72)=30−8t . 若 BC =4AD ，则 8t −24=4(30−8t )，解得 t =3.6；（2） 当 t =154 时，点 A 与点 D 相遇，此时 BC =CD +AB =6，AD =0； 当 t >154 时，点 A 在 CD 的延长线上，此时 BC =8t −24，AD =8t −30 .若 BC =4AD ，则 8t −24=4(8t −30)，解得 t =4．综上所述，t =3.6 或 t =4 时，BC =4AD ．18. （1） ∵ 点 A 表示的数为 8，B 在 A 点左边，AB =12，∴ 点 B 表示的数是 8−12=−4．∵ 动点 P 从点 A 出发，以每秒 3 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为 t （t >0）秒， ∴ 点 P 表示的数是 8−3t ．（2） 设点 P 运动 x 秒时，与 Q 相距 2 个单位长度．则 AP =3x ，BQ =2x ．∵AP +BQ =AB −2，∴3x +2x =10．解得：x =2．∵AP +BQ =AB +2，∴3x +2x =14．解得：x =145．∴ 点 P 运动 2 秒或 145 秒时与点 Q 相距 2 个单位长度．（3） 如图：当 P 在 Q 的左侧时，MN =MQ +NP −PQ =12AP +12BP −PQ =12(AP +BP )−PQ =12AB −PQ =6−PQ ． 即 MN +PQ =6．如图当 P 在 Q 的右侧时，MN =MQ +NP −PQ =12AP +12BP −PQ =12(AP +BP )−PQ =12AB −PQ =6−PQ ． 综上，MN +PQ =6．19. （1）（2） 7÷(2−14)=4（秒），4×(12−14)−1=0．答：丙追上甲时，甲乙相距 0 个单位长度．（3） 设 P 点表示的数为 x ，由题意可得 ∣x +2∣+∣x +1∣+∣x −5∣=10．当 x <−2 时，−x −2−x −1−x +5=10．解得 x =−83． 当 −2<x <−1 时，x +2−x −1−x +5=10．解得 x =−4，不属于上述范围（舍）．当 −1<x <5 时，x +2+x +1−x +5=10．解得 x =2．当 x >5 时，x +2+x +1+x −5=10．解得 x =4，不属于上述范围（舍）．结合数轴，解得 x =−83，2，∴P 点表示的数为 −83 或 2．20. （1） −1（2） −3.5 或 1.5（3） 43 或 2 【解析】提示：①当点 M 和点 N 在点 P 同侧时，因为 PM =PN ，所以点 M 和点 N 重合． ②当点 M 和点 N 在点 P 两侧时，有两种情况．情况 1：如果点 M 在点 N 左侧；情况 2：如果点 M 在点 N 右侧．。

七年级绝对值压轴题一、绝对值压轴题。

1. 已知| a - 2|+| b + 3| = 0，求a + b的值。

- 解析：因为绝对值一定是非负的，要使两个非负的数相加等于0，则每一项都必须为0。

- 即| a - 2|=0，解得a = 2；| b+3| = 0，解得b=-3。

- 所以a + b=2+( - 3)=-1。

2. 若| x|=3，| y| = 5，且x>y，求x + y的值。

- 解析：- 因为| x| = 3，所以x=±3；因为| y|=5，所以y = ±5。

- 又因为x>y，当x = 3时，y=-5，此时x + y=3+( - 5)=-2；当x=-3时，y=-5，此时x + y=-3+( - 5)=-8。

3. 化简| x - 1|-| x - 3|，（x<1）- 解析：- 当x<1时，x - 1<0，x - 3<0。

- 则| x - 1|=1 - x，| x - 3|=3 - x。

- 所以| x - 1|-| x - 3|=(1 - x)-(3 - x)=1 - x - 3+x=-2。

4. 已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值是2，求(| a +b|)/(2m^2+1)+4m - 3cd的值。

- 解析：- 因为a，b互为相反数，所以a + b = 0；因为c，d互为倒数，所以cd = 1；因为m的绝对值是2，所以m=±2。

- 当m = 2时，(| a + b|)/(2m^2+1)+4m-3cd=(0)/(2×2^2 + 1)+4×2-3×1=0 + 8 -3=5；- 当m=-2时，(| a + b|)/(2m^2+1)+4m - 3cd=(0)/(2×(-2)^2+1)+4×(-2)-3×1=0-8 - 3=-11。

5. 若| a|=5，| b| = 3，且| a - b|=b - a，求a + b的值。

初中数学人教版七年级上学期第一章有理数绝对值重难点突破一、解答题1.(8分)（2020七上·硚口期中）已知是有理数.（1）当时，先判断的正、负符号，再求的值；（2）当时，直接写出的值.2.(8分)（2021七上·相城月考）已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：|2a|﹣|a＋c|﹣|1﹣b|＋|﹣a﹣b|3.(10分)（2021七上·苏州月考）如图所示，有理数a，b，c在数轴上的对应点分别是A、B、C，原点为点O.①化简：|a﹣c|+2|c﹣b|﹣|b﹣a|.②若B为线段AC的中点，OA＝6，OA＝4OB，求c的值.4.(12分)（2020七上·金华期中）数轴是一个非常重要的数学工具，实数和数轴上的点能建立一一对应的关系，它建立了数与形的联系，是初中“数形结合”的基础。

我们知道一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，如：，：表示数的点到原点的距离。

同样的，：表示数的点到表示数3的点的距离。

请结合数轴解决下列问题：①当时，表示什么意思？________；②若，则________；③若，则的值是________；④求使的值最小的所有符合条件的整数.二、综合题5.(10分)（2021七上·薛城期中）数轴上两点之间的距离等于这两个点所对应的数的差的绝对值，例如：点A、B在数轴上对应的数分别是a、b，则点A、B两点间的距离表示为．利用上述结论，回答以下问题（1）若点A在数轴上表示－3，点B在数轴上表示1，那么AB=；（2）若数轴上两点C、D表示的数为x、－1①C、D两点之间的距离可用含x的式子表示为；②若该两点之间的距离是3，那么x值为；（3）若数轴上表示a的点位于－5和2之间，化简．6.(11分)（2021七上·建昌期中）“数形结合”是重要的数学思想．如：表示与差的绝对值，实际上也可以理解为与在数轴上所对应的两个点之间的距离．进一步地，数轴上两个点A，B所对应的数分别用，表示，那么A，B两点之间的距离表示为．利用此结论，回答以下问题：（1）数轴上表示和两点之间的距离是．（2）可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．（3）若，则．（4）若表示一个有理数，的最小值为．（5）直接写出所有符合条件的整数x，使得，的值为7.(10分)（2021七上·温岭期中）点A、B在数轴上分别表示数a，b，A、B两点之间的距离表示为|AB|．数轴上A、B两点之间的距离|AB|=|a-b|回答下列问题：（1）数轴上表示－1和－4的两点之间的距离是；（2）数轴上表示x和－1的两点A之和B之间的距离是，如果|AB|＝2，那么x的值是；（3）若x表示一个有理数，且﹣1＜x＜3，则|x﹣3|+|x+1|=；（4）若x表示一个有理数，且|x﹣1|+|x+2|＞3，则有理数x的取值范围是.8.(15分)（2020七上·武汉期中）（问题背景）在数轴上，点表示数在原点的左边，点表示的数在原点的右边，如图1，所示，则有：①；②线段的长度等于.（问题解决）点、点、点在数轴上的位置如图2所示，三点对应的数分别为，、.①线段的长度为▲；②若点为线段的中点，则点表示的数是▲；③化简：.（关联运用）①已知：点、点、点、点在数轴上的位置如图3所示，点对应的数为，点对应的数为，若定长线段沿数轴正方向以每秒个单位长度匀速运动，经过原点需要1秒，完全经过线段需要2秒，求的值；②已知，当式子取最小值时，相应的的取值范围是▲，式子的最小值是▲.（用含、的式子表示）9.(16分)（2020七上·孝南期中）已知是最小的正整数，且，满足，请回答：（1）请直接写出，，的值：=，=，=；（2）在（1）的条件下，若点为一动点，其对应的数为，点在0到1之间运动，即时，化简：；（3）在（1）（2）的条件下，，，分别对应的点、、开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为.请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值.答案解析部分一、解答题1.【答案】（1）解：，；（2）解：当同正时，；当两正一负时，；当一正两负时，；当同负时，；综上：或±1.【考点】绝对值及有理数的绝对值，代数式求值【解析】【分析】（1）利用有理数的乘法法则可知a，b同号，再利用有理数的加法法则，结合已知可得到a，b同为负数，然后化简绝对值，可求出结果。