积分运算与对称性原则
【摘要】本文介绍了积分运算中的一类对称性原则,并将它进行了推广。利用这些原则巧妙地解决了一些问题。
【关键词】重积分;积分区域;被积函数;对称性
Integral operation and symmetric principle
Li Yuewei Liu Ruilou Feng Bingshen
【Abstract】Some symmetric principles about integral operation are introduced and improved in this paper. By using it, some problems are solved easily.
【Key words】Multiple integral; Integral domain; A function to be integrated; Symmetric principle
命题1:设积分区域是x轴上关于点x=0对称的闭区间[-a,a],f(x)在[-a,a]上连续,则当f(-x)=f(x)时, ∫ a -a f(x)dx=2 ∫ a 0 f(x)dx;当f(-x)=-f(x)时, ∫ a -a f(x)dx=0。
命题1′:设积分区域是x轴上关于点x=0对称的闭区间[-a,a],f(x)在[-a,a]上连续,则当f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x)时,可利用下式计算积分,有时较方便:
∫ a -a f(x)dx=12 ∫ a -a [f(x)+f(-x)]dx= ∫ a 0 [f(x)+f( -x)]dx.
证明:令x=-t,则
I= ∫ a -a f(x)dx=- ∫ -a a f(-t)dt= ∫ a -a f(-t)dt 2I= ∫ a -a [f(x)+f(-x)]dx,而f(x)+f(-x)为偶函数,故
∫ a -a f(x)dx=12 ∫ a -a [f(x)+f(-x)]dx= ∫ a 0 [f(x)+f(
目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Keywords (1) 前言 (1) 1.预备知识 (1) 2.二重积分对称性定理在不同条件下的证明及其应用 (2) 2.1 积分区域D关于坐标轴对称 (2) 2.2 积分区域D关于坐标区域内任意直线对称 (5) 2.3 积分区域D关于坐标原点对称 (9) 2.4 积分区域D关于坐标区域内任意一点对称 (11) 2.5 积分区域D同时关于坐标轴和坐标原点对称 (12) 结束语 (12) 参考文献 (13) 二重积分对称性定理的证明及应用
摘 要:本文归纳利用对称性来计算二重积分的方法,给出了二重积分对称性定理的证明并举出了相应例题. 关键词:对称性;积分区城;被积函数 The Application of Symmetry in Double Integral Calculating Abstract :It is introduced in the thesis some ways of how to calculate double integral with the application of symmetry. It is also put forward in it how to simplify the calculating methods with symmetry. Keywords :Symmetry; Integral region; Integrated function 前言 利用对称性计算二重积分,不但可以使计算简化,有时还可以避免错误.在一般情况下,必须是积分区域D 具有对称性,而且被积函数对于区域D 也具有对称性,才能利用对称性来计算.在特殊情况下,虽然积分区域D 没有对称性,或者关于对称区域D 被积函数没有对称性,但经过技巧性的处理,化为能用对称性来简化计算的积分.这些都是很值得我们探讨的问题. 1 预备知识 对于二重积分(,)D f x y dxdy ??的计算,我们总是将其化为二次定积分来完成的,而在 定积分的计算中,若遇到对称区间,则有下面非常简洁的结论: 当()f x 在区间上为连续的奇函数时,()0a a f x dx -=?. 当()f x 在区间上为连续的偶函数时,0 ()2()a a a f x dx f x dx -=??. 这个结论,常可简化计算奇、偶函数在对称于原点的区间上的定积分. 在计算二重积分时,若积分区域具有某种对称性,是否也有相应的结论呢?回答是肯定的.下面,我们将此结论类似地推广到二重积分. 2 二重积分对称性定理在不同条件下的证明及其应用 定理1[]1 若二重积分(,)D f x y dxdy ??满足
第十一章解题方法归纳 一、曲线积分与曲面积分的计算方法 1.曲线积分与曲面积分的计算方法归纳如下: (1) 利用性质计算曲线积分和曲面积分. (2) 直接化为定积分或二重积分计算曲线或曲面积分 (3) 利用积分与路径无关计算对坐标的曲线积分. (4) 利用格林公式计算平面闭曲线上的曲线积分. (5) 利用斯托克斯公式计算空间闭曲线上的曲线积分. (6) 利用高斯公式计算闭曲面上的曲面积分. 2. 在具体计算时,常用到如下一些结论: (1)若积分曲线L 关于y 轴对称,则 1 (,)2(,)L L f x f x y ds f x y ds f x ??=? ??? ?对为奇函数对为偶函数 1 0 (,)2(,)L L P x P x y dx P x y dy P x ??=?????对为奇函数 对为偶函数 1 0 (,)2(,)L L Q x Q x y dy Q x y dy Q x ??=?????对为偶函数 对为奇函数 其中1L 是L 在右半平面部分. 若积分曲线L 关于x 轴对称,则 1 (,)2(,)L L f y f x y ds f x y ds f y ??=? ??? ?对为奇函数对为偶函数 1 0 (,)2(,)L L P y P x y dx P x y dy P y ??=?????对为偶函数 对为奇函数 1 0 (,)2(,)L L Q y Q x y dy Q x y dy Q y ??=?????对为奇函数 对为偶函数 其中1L 是L 在上半平面部分.
(2)若空间积分曲线L 关于平面=y x 对称,则 ()()=??L L f x ds f y ds . (3)若积分曲面∑关于xOy 面对称,则 1 0 (,,)2(,,)f z f x y z dS R x y z dS f z ∑ ∑?? =????? ??对为奇函数对为偶函数 1 0 (,,)2(,,)R z R x y z dxdy R x y z dxdy R z ∑∑?? =???????对为偶函数对为奇函数 其中1∑是∑在xOy 面上方部分. 若积分曲面∑关于yOz 面对称,则 1 0 (,,)2(,,)f x f x y z dS R x y z dS f x ∑ ∑?? =????? ??对为奇函数 对为偶函数 1 0 (,,)2(,,)P x P x y z dydz P x y z dydz P x ∑∑?? =???????对为偶函数对为奇函数 其中1∑是∑在yOz 面前方部分. 若积分曲面∑关于zOx 面对称,则 1 0 (,,)2(,,)f y f x y z dS R x y z dS f y ∑ ∑?? =????? ??对为奇函数 对为偶函数 1 0 (,,)2(,,)Q y Q x y z dzdx Q x y z dzdx Q y ∑∑?? =???????对为偶函数对为奇函数 其中1∑是∑在zOx 面右方部分. (4)若曲线弧() :()()αβ=?≤≤?=? x x t L t y y t ,则 [ (,)(),()()β α αβ=?L f x y ds f x t y t 若曲线弧:()()θαθβ=≤≤L r r (极坐标),则 [ (,)()cos ,()sin β αθθθθθ=? ?L f x y ds f r r
关于积分对称性定理 1、 定积分: 设)(x f 在[],a a -上连续,则 ()()()()-0 0,d 2d ,a a a f x x f x x f x x f x x ?? =???? ?为的奇函数,为的偶函数. 2、 二重积分: 若函数),(y x f 在平面闭区域D 上连续,则 (1)如果积分区域D 关于x 轴对称,),(y x f 为y 的奇(或偶)函数,即 ),(),(y x f y x f -=-(或),(),(y x f y x f =-),则二重积分 ()()()()1 0,,,d d 2,d d ,,D D f x y y f x y x y f x y x y f x y y ?? =???????为的奇函数,为的偶函数. 其中:1D 为D 满足0≥y 上半平面区域。 (2) 如果积分区域D 关于y 轴对称,),(y x f 为x 的奇(或偶)函数,即()(),,f x y f x y -=-(或()(),,f x y f x y -=),则二重积分
()()()()2 0,,,d d 2,d d , ,D D f x y x f x y x y f x y x y f x y x ?? =????? ??为的奇函数,为的偶函数. 其中:2D 为D 满足0x ≥的右半平面区域。 (3)如果积分区域D 关于原点对称,),(y x f 为y x ,的奇(或偶)函数,即 ),(),(y x f y x f -=--(或),(),(y x f y x f =--)则二重积分 ()()()()2 0,,,,d d 2,d d ,,,D D f x y x y f x y x y f x y x y f x y x y ?? =???????为的奇函数,为的偶函数. 其中:1D 为D 在0≥y 上半平面的部分区域。 (4)如果积分区域D 关于直线x y =对称,则二重积分 ()()y x x y f y x y x f D D d d ,d d ,????=.(二重积分的轮换对称 性) (5)如果积分区域D 关于直线y x =-对称,则有 1 0,(,)(,)(,)2(,),(,)(,)D D f y x f x y f x y dxdy f x y dxdy f y x f x y --=-?? =?--=??????当时当时 利用上述性质定理化简二重积分计算时,应注意的是(1)(2)(3)中应同时具有积分域D 对称及被积函数()y x f ,具有奇偶性两个特
龙源期刊网 https://www.doczj.com/doc/fe4980804.html, 巧用二重积分的对称性 作者:韩英裴丹妹刘庞凤宝杨竞艳邵诗雅吴婷婷 来源:《中国科教创新导刊》2013年第17期 摘要:利用二重积分被积函数的奇偶性及积分区域的对称性,可以将一些繁琐的二重积分的计算简化. 关键词:二重积分,对称性,奇偶性 中图分类号:O172.2 文献标识码:A 文章编号:1673-9795(2013)06(b)-0000-00 二重积分计算时,根据题目中的条件,充分利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性,往往可以达到事半功倍的效果.本文结合实例探讨二重积分的对称性的条件,结论和技巧. 1 二重积分的对称性基本性质运用 4 结束语 计算二重积分是高等数学教学中的重要内容,利用二重积分积分区域的对称性以及被积函数的奇偶性,往往能减少计算量. 需注意的是,只有具备积分域的对称性与被积函数的奇偶性两个条件才能使用对称性的结论。 参考文献 [1] 吴传生主编.《经济数学——微积分》[M].高等教育出版社.2003.06:346-368 [2] 吴赣昌主编.《微积分(下册)》学习辅导与习题解答[M].中国人民大学出版社 2010.09:54-55 [3]薛春荣,王芳.对称性在定积分及二重积分计算中的应用[J].科学技术与工程,2010.10(1):172-174 [4] 隋梅真.对称区域上二重积分可以简化的条件和方法[J].山东建筑工程学院报,1995.10.(2):76-81 [5]吴赣昌.微积分(下册)学习辅导与习题解答[M].中国人民大学出版社.2010.09:52-62. [6] 陈文灯主编,黄先开.《考研数学复习指南(经济类)》[M].北京理工大学出版社2012.01:265.
第二类曲面积分的计算方法 赵海林 张纬纬 摘要 利用定义法,参数法,单一坐标平面投影法,分项投影法,高斯公式,Stokes 公式,积 分区间对称性,向量计算形式以及利用两类曲面积分之间的联系等方法进行求解. 关键词 第二类曲面积分 定义法 参数法 投影法 高斯公式 Stokes 公式 向量计算形 式 1 引言 曲面积分是多元函数积分学的重要组成部分,在曲面积分的计算中,综合运用着一元积分与重积分计算思路、方法与技巧,在第二型曲面积分的学习过程中,必须在理解概念和性质的同时,掌握求第二型曲面积分的方法和技巧.由于第二型曲面积分的概念抽象费解,计算方法灵活多变,而且涉及的数学知识面广,掌握起来有一定的难度,而且是数学分析学习中的难点,许多学生在求解这一类题型时感到相当困难,因此本文给出了第二型曲面积分计算的几种方法,并举例说明了这几种方法的应用,力图使学生能计算第二型曲面积分,并能进一步了解第一型曲面积分与第二型曲面积分,曲面积分、曲线积分与重积分之间的密切联系,让各种计算方法更加直观的呈现在读者面前,体现了第二型曲面积分计算方法的应用. 2 预备知识 2.1第二型曲面积分的概念 2.1.1 流量问题(物理背景) 设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为1)的速度为 (,,)(,,)(,,)(,,)v x y z P x y z i Q x y z j R x y z k =++ , ∑是一光滑的有向曲面,求单位时间内从曲面∑一侧流向另一侧的流量Φ. 若∑为平面上面积为S 的区域,而流速v 是常向量,∑指定侧的单位法向量 cos cos cos n i j k αβ=++ 则 cos .S v S v n θΦ==?? 若∑为曲面,流速v 不是常向量,则用下面的方法计算流量Φ. (1) 分割 将∑任意分成小块(1,2i i S i n S ?=?…,),同时代表其面积.
题目:关于曲面积分对称性的研究专业:数学与应用数学 系班:数学与信息科学系 毕业年份: 姓名: 学号: 指导教师: 职称:
关 摘 要:在直角坐标系中定义了曲面关于坐标平面的概念,研究了在积分曲面是对称的情况下,曲面积分的若干性质。利用这些性质,可以简化曲面积分的计算,给出相应的计算公式,并利用对称性计算曲面积分,这种积分方法使曲面积分更为简捷。 关键词:曲面积分;对称性;奇函数;偶函数 1 预备知识 大学课本上,我们学习了第一型曲面积分和第二型曲面积分,并且学习了他们的一些性质,但是这些性质在一些问题中应用麻烦, 比如一些关于曲面积分计算的问题,我们常会因符号处理不当而导致的积分错误。在这里,我们研究了曲面积分的另外一些性质及定理,为我们在以后的计算提供了方便 以下所讨论的各种情况均假设被积函数在积分区域上连续,积分曲面是分片光滑的 ] 2[。 定义]5[1:设函数),,(),,(z y x f z y x f -=,则称),,(z y x f 关于x 为偶函数;若定义),,(),,(z y x f z y x f --=,则称),,(z y x f 关于x 为奇函数;类似可以定义函数),,(z y x f 关于z y ,变量的奇函数,偶函数。 定义]7[2:设空间曲面11:(,)z z x y ∑=与22:(,)z z x y ∑=,若1∑与2∑在xoy 面具有相同的投影区域D ,且D y x ∈?),(有),(),(21y x z y x z -=,1∑与2∑异侧,则称曲面1∑与2∑关于xoy 面对称。类似可以定义曲面1∑与2∑关于yoz 面对称;曲面1∑与2∑关于zox 面对称。 命题]6][4[1: 若曲面1∑与2∑关于xoy 面对称,则: 1 2 (,,)(,,)f x y z ds f x y z ds ∑∑=-???? (1) 1 2 (,,)(,,)f x y z dxdy f x y z dxdy ∑∑=--???? (2)