第二章信号检测与估计理论(1)

第四章1主要理论基础：信号的统计检测理论、统计估计理论、最佳滤波器理论。

a信号的统计检测理论：主要研究在受噪声干扰的随机信号中，信号有无或信号属于哪个状态的最佳判决的概念、方法、性能等问题，其数学基础就是统计判决理论，又称假设检验理论。

b信号统计估计理论：是研究在噪声背景中，通过对信号的观测，如何构造待估计参数的最佳估计量问题；c最佳滤波：是为了改善信号质量，研究在噪声干扰中所感兴趣的信号波形的最佳恢复问题，或离散状态下表征信号在各离散时刻状态的最佳动态估计问题。

2信号的序列检测：事先不规定观测次数，而视实际情况，采用边观测边判决的方式，如果观测到第k次还不能做出满意判决，则可以不做判决，而继续进行k+1次观测。

3信号的波形检测：根据性能指标要求，设计与环境相匹配的接收机（检测系统），以便从噪声污染的接收信号中提取有用的信号，或者在噪声干扰背景中区别不同特性、不同参量的信号。

4．（1）贝叶斯准则：就是在各假设H j的先验概率P（H j）已知，各种判决代价因子C ij给定的情况下，使平均代价C最小的准则。

（2）派生贝叶斯准则：对贝叶斯准则，各假设检验的先验概率P（H j）和各种判决的代价因子C ij作某些约束的情况下，得到其派生准则。

a最小错误概率准则：通常有C00 =C11=0，C10=C01=1，即正确判决不付出代价，错误判决的代价相同，平均代价恰好是平均错误概率pe=P(H0)P(H1|H0)+P(H1)P(H0|H1)，使平均错误概率最小的准则。

b最大似然准则：如果各假设的先验概率相等，则似然比检验判决表式p（x/H1）大小于p(x/H0) 因此，称等先验概率下的最小平均错误概率准则为最大似然准则。

C最大后验概率准则：在贝叶斯准则中，当代价因子C10-C00=C01-C11时，判决式可转化为p（H1/x）大小于p（H0/x）不等式左右两边分别是在已经获得观测量x的条件下，假设H1和假设H0为真的概率，称为后验概率。

子空间定义：M为V的子集，如果任意x, y M和标量a, b使得
ax by M
则M为子空间(subspace)
内积定义：内积(inner product)是一个映射V V R(值域)。 x, y V，内积表示为<x, y>。
线性向量空间
内积满足以下特点：
a) x, y y, x b) ax, y a x, y a为任意标量 c) x y, z x, z y, z d ) x, x 0
uiH X
ui
H
n k r1
uk H X
uk
=
u n
H
ir1 i i
u n
k r1 k k
主成分分析(PCA)
n
E
X
Xr
2
i
ir 1
证明： Xn n
k r 1 k k
n
n
=
iui H ukk
iui H ukk
ir 1,ik
内积存在的空间也称为内积空间
线性向量空间
例1:如果V Rn，则 x, y : xT y
n i1
xi
yi
例2 :如果V
L2 0,1，则
x, y
1
: 0 x(t) y(t)dt
x, y x y cos( ), 其中为x与y之间的角度，因此，一般情况下，
对于x, y V，有如下关系式(Cauchy-Schwarz Inequality)
2
2
12 1
2
2
2
k) ' : k1 , ; ' / '
k
k
i 1
ik
i
k
k
k
正交投影

第2章信号检测与估计理论的基础知识2.1引言2.2随机变量、随机矢量及其统计描述2.2.1随机变量的基本概念2.2.2随机变量的概率密度函数20信号检测与估计理论2.2.3随机变量的统计平均量1. 随机变量的均值2. 随机变量的矩随机变量()p x的分布曲线关于它的均值的倾斜程度用倾斜度x t的概率密度函数()(skewness)来表示。

()x t的倾斜度与它的三阶中心距有关，如式（2.2.19）所示。

随机变量()的高峰程度用峰度(kurtosis)来表p x的分布曲线在其均值x t的概率密度函数()x示。

()x t的峰度与它的四阶中心距有关，如式（2.2.20）所示。

信号检测与估计理论213. 随机变量的中值设随机变量()xξ的概率密度函数为()p x，则将()p x一分为二，各占1/2面积的分界点，称为随机变量()νxξ的中值，又称为()xξ的中位数，记为x4. 随机变量的众数设随机变量()xξ的概率密度函数为()p x的峰值对应的x值，称为随机变量p x，则()()xξ的众数，记为vx2.2.4一些常用的随机变量1. 均匀分布随机变量图2.1均匀分布随机变量的PDF曲线2. 高斯分布随机变量μ>）图2.2高斯分布随机变量的PDF曲线（0x20信号检测与估计理论图2.3标准高斯分布随机变量的PDF曲线3. 三角对称分布随机变量图2.4三角对称分布随机变量的PDF曲线图2.5三角对称分布随机变量的PDF曲线（0＜b＜a）信号检测与估计理论21 4. 单边、双边指数分布随机变量图2.6单边指数分布随机变量的PDF曲线（β＞0）图2.7双边指数分布随机变量的PDF曲线（β＞0）5. 瑞利（Rayleigh）分布随机变量20信号检测与估计理论σ=）图2.8瑞利分布随机变量的PDF曲线（216. 广义瑞利分布随机变量（p(u)函数是归一化的广义瑞利分布概率密度函数）信号检测与估计理论21σ=）图2.9广义瑞利分布随机变量的PDF曲线（212.2.5随机矢量及其统计描述1. 随机矢量的概念2. 随机矢量的概率密度函数3. 均值矢量和协方差矩阵4. 统计独立性5. 联合高斯随机矢量20信号检测与估计理论（如果各随机变量互不相关，则2.2.44变为2.2.45，表明各随机变量同时是相互统计独立的，进而如果各随机变量是独立同分布的，则2.2.45变为2.2.46）2.2.6随机变量的函数1. 一维随机变量的情况2. N维随机矢量的情况2.2.7随机变量的特征函数1. 随机变量特征函数的定义信号检测与估计理论21 2. 特征函数的主要性质3. N个相互统计独立高斯随机变量之和的概率密度函数信号检测与估计理论20（2.2.67是假设各高斯随机变量是独立同分布的，各随机变量均值是x u ，方差是2x σ） （2.2.69是各随机变量均值的特征函数，假设各高斯随机变量是独立同分布的，各随机变量均值是x u ，方差是2x σ就得到公式2.2.70）4. 随机变量的特征函数与原点矩之间的关系（2.2.76的来由：若将()x ξ的()x G ω展开成泰勒级数，并利用2.2.75式的关系，则容易得到()x ξ的()x G ω与()m x r 的关系式为2.2.76式）2.2.8随机矢量的联合特征函数121212112212()(,,,)1(,,,)exp()(2)NNx x x N N N N Np x p x x xG j x j x j x dx dx dxωωωωωωπ∞∞∞-∞-∞-∞==---⎰⎰⎰(2.2.79) 121212(,,,)()()()N Nx x x N x x xG G G Gωωωωωω=(2.2.80) 2.3随机过程及其统计描述2.3.1随机过程的概念和定义1. 随机过程的基本概念2. 随机过程的定义2.3.2随机过程的统计描述图2.10连续随机过程x（t，ζ），t∈T，ζ∈Ω的M个样本函数图形2.3.3随机过程的统计平均量1. 随机过程的均值2. 随机过程的均方值3. 随机过程的方差4. 随机过程的自相关函数5. 随机过程的自协方差函数6. 随机过程的互相关函数7. 随机过程的互协方差函数2.3.4随机过程的平稳性（***）1. 随机过程平稳性分类2. 严格平稳与广义平稳随机过程的关系3. 平稳随机过程的统计平均量（方差，自相关，自协方差，2表示均方值)x4. 联合平稳随机过程及其统计特性2.3.5随机过程的遍历性1. 时间平均量2. 各态遍历的随机过程3. 随机过程的平稳性和遍历性的关系如果随机过程()x t为常数，时x t具有均值和自相关函数的遍历性，则其时间平均值()间自相关()()x t x tτ+与时间间隔τ有关，所以遍历过程一定是平稳过程，但并非所有的平稳过程都是遍历的。

H1 （判为 xi ) ≥ th1 , λ H0 （判为 xi ) ≤ th0 , λ th < λ xi ) < th1 , 0 （增加一个样本，重新判决
（2.4.3）
由前面分析可知
th1 =
1− β
α
β th0 = 1−α
（2.4.4）
α 和 β 定义如下
= α = β
∫ ∫
j =1 i
增加一个样本，重新判决
1− β
由前面分析可知
th1 ≈
α
， th0 ≈
β 1−α
。
令
1− β
α
=A
， β
1−α
=B
，得到
∑ x j2 ≥
j =1 i
i
2 log A − 2i log σ 0 / σ 1 判为H1 bA (i ) = −2 −2 σ 0 − σ1 2 log B − 2i log σ 0 / σ 1 判为H 0 bB (i ) = −2 −2 σ 0 − σ1
(θ )
（2.5.3）
2.5.2
线性最小均方误差估计准则（LMMSE）
对参量 θ 的线性最小均方误差估计是最小均方误差估 计的一种特例，它与一般最小均方误差估计的差别在于它 规定了估计量 θˆ 与观测样本 x 之间必须满足线性关系，可 以表示成如下形式
θˆ= g ( x )= a + bT x
（2.5.4）
1 / [(2π ) σ ]exp(−1 / 2σ
i/2 i 1 2 1
（x i ) = λ
2 x ∑ j) j =1 i
i
1 / [(2π )i / 2 σ 0i ]exp(−1 / 2σ 0 2 ∑ x j 2 )