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信号检测与估计理论 第三章 统计检测理论

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第三章信号检测与估计理论3

第三章信号检测与估计理论3

为得到使平均代价C最小的最佳判决域，令
M 1
Ii x P H j cij cjj p x | H j 0 ，i 0,1, , M 1 3.6.5 j0 ji
则判决规则应选择使Ii最小的假设为判决成立的假设
因为，对所有的i和j，有P(H j) 0;cij-cjj 0; P(x|H j) 0所以3.6.5式所示的Ii (x)满足:
Ii x 0
于是应当满足Ii x＝MinI0 x, I1 x..., IM 1 x
的x划归R i 域，判决假设Hi 成立，即当满足
Ii x I j x ，j 0,1, , M 1, j i
时，判决假设Hi成立。这意味着判决假设Hi成立的判决域 是通过求解M-1个不等式组成的联立不等式获得的。
根据信号统计特性的差异，作出合理地判决；
判决结果为 Hi | H j （i , j 0,1,,M 1），判决概率为 P Hi | H j（i , j 0,1,,M 1）；
最佳判决的实质是满足某种指标要求的判决域最佳划
分，数学上表示为最佳判决式。
最佳判决的性能分析，关键是要求出检验统计量 l x
p l | H j


N
2
2 n
1
2

exp

N
l sj
2
2 n
2
，j 0,1,2,3
于是各判决概率为
P Hi | H j Li p l | H j dl
其中，Li 是各假设成立的判决域。最小平均错误概率为

N

k 1
xk s j
2
2 n

第三章信号检测与估计理论4

第三章信号检测与估计理论4
37
2. 情况（1）等协方差矩阵的情况 若假设H0和H1下，观测信号的均值矢量不等，
协方差矩阵相等
μ x 0 μ x 1 C x 0 C x 1 1
38
将3.9.11和3.9.12式代入3.9.10得检验统计量l(x)的 左边为
39
令 μT x1μT x0 μT x
则由判决通式（3.9.10）得最佳判决式
则由似然比检验，经化简得一般高斯二元确知信号统计检 测的最佳判决通式为
35
lx 1 2 x μ x 0T C x 0 1x μ x 0 1 2 x μ x 1T C x 1 1x μ x 1
H1
H0
ln

1 2
ln
C x1
1 2 ln C x0
μT xCx1xH H 10ln12 μT x1Cx1μx1 μT x0Cx1μx0
简记为
l

x

H

1

H0
分析：检验统计量lxμT xC x 1x是由高斯随机矢量 x经
xN x2
cxN xN
其中 c x j x k E x j x jx k x k c x k x j
33
3.9.2 一般高斯二元确知信号的统计检测
设 xx 1,x 2, ,x N T是N维高斯随机矢量，
xk0 Exk|H0
c x jx k E x j|H 0 x j0 x k |H 0 x k 0 c x k x j34
结论：对于给定的错误判决概率约束条件，这种 序列检测方式所需的平均观测次数E(N|H1)和E(N|H0) 是最少的。
22
例3.8.1 在二元数字通信系统中,两个假设下的输出

第三章 信号检测与估计

第三章 信号检测与估计
第三章 信号的统计检测理论
1
3.3 Bayes Criterion(贝叶斯准则)
基本要求： ① 充分理解平均代价(Average Risk)的概念 ② 贝叶斯准则的判决表达式 ③ 判决性能分析
贝叶斯准则的基本原理：在划分观察空间时，使平均风险最小.
2
1 平均代价的概念和贝叶斯准则
通信系统中，二元信号的平均解调错误概率：
PH1 c01 c11 px H1 0 PH0 c10 c00 px H0 0
因此，平均代价C的大小与判决区域R0有关。
把使被积函数取负值的观察值x值划分给R0区域，而把其余的观察值x值划分给R1，
即可保证平均代价最小。
12
1 平均代价的概念和贝叶斯准则
合并
C P H 0 c10 c00 p x H 0 dx c10 p x H 0 dx

P H1 c11 c01 p x H1 dx c11 p x H1 dx
R0 R0

R0
R0


11
合并
C c10 PH 0 c11 PH1 R PH1 c01 c11 p x H1 PH 0 c10 c00 p x H 0 dx 0
9
1 平均代价的概念和贝叶斯准则
3. 平均代价取到最小值的条件 C PH 0 c00 R px H 0 dx c10 R px H 0 dx 0 1 PH1 c01 R px H1 dx c11 R px H1 dx 0 1
注：一般假设
c10 c00 c01 c11
5
1 平均代价的概念和贝叶斯准则

信号检测与估计理论(3)第三章 克拉美-罗下限

信号检测与估计理论(3)第三章 克拉美-罗下限

exp ⎧⎨− ⎩
1
2σ 2
N
−1
(
x[
n]
−
s[n;θ
])2
⎫ ⎬
n=0
⎭
3.3 WGN中信号的CRLB
一阶偏导
∑ ∂ ln
p(x;θ ) ∂θ
=
1
σ2
N −1
( x[n] −
n=0
s[n;θ ])
∂s[n;θ ] ∂θ
二阶偏导 数学期望
∑ ∂2
ln p(x;θ ) ∂θ 2
=
1
σ2
N −1 ⎨⎧( x[n] −
ln p (x;θ ∂θ 2
)⎤ ⎥ ⎦
（3-16）
显然，当估计获得CRLB时，其方差就是Fisher 信息的倒数。下界越小，信息越多。Fisher信 息有如下性质：
1、Fisher信息是非负的（根据（3-11）式）。 2、对于独立的观测，Fisher信息满足可加性。
由此，可以得出如下结论：对N个IID观测的 CRLB是单次观测的1/N倍。
3.3 WGN中信号的CRLB
(3-5)
与 p(x[0]; A) 有关，仅是A的函数。上式值越大，估计量的方差 就越小。
3.2 克拉美-罗下界（CRLB）
定理3-1（标量形式的CRLB）假设PDF p(x;θ ) 对
所有可能的 θ 满足“正则”条件
E
⎡ ⎢⎣
∂
ln
p(x;θ ∂θ
)
⎤ ⎥⎦
=
0
那么任何无偏估计 θˆ 的方差一定满足
−
1
2σ 2
N −1
(x[n] −
n=0
A)2
⎤ ⎥
⎦

信号检测与估计第三章

信号检测与估计第三章

+∞
th1
⎛ N1μ − th1 ⎞ = Φ⎜ ⎟ ⎜ N 1σ ⎟ ⎝ ⎠
⎛ N1μ − N1σΦ −1 (1 − α1 ) ⎞ ⎛ N1 μ ⎞ −1 PD1 = Φ ⎜ = Φ⎜ − Φ (1 − α1 ) ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ σ N σ 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
• 若采用符号检测器，其检验统计量为：
0 2,1
ARE
N1 = N2
0 2,1
渐近相对效率定义如下:
N1 ARE2,1 = lim ARE = lim H1 → H 0 H1 → H 0 N 2 N →+∞ N →+∞
N 2 →+∞
1
N 2 →+∞
1
渐近相对效率是检测器在 H1 → H 0 条件下样本数趋于无穷时 的相对效率。它是比较两种检测器性能的一种指标。
⎧ H 0 : f ( xi ) = f ( − xi ) ⎨ ⎩ H1 : f ( Asi + xi ) = f ( Asi − xi )
2）若只知道噪声分布的中位数为零，可表示为： 1 ⎧ H0 : F ( 0) = ⎪ ⎪ 2 ⎨ ⎪ H : F ( As ) = 1 1 i ⎪ ⎩ 2
定义非随机检验函数（连续型）：
( ) ( ) ( )
k >0
• 混合型噪声的概率密度函数为：
⎧ ⎧ x2 ⎫ ε 1− ε ⎪ 2 x f ( x) = exp ⎨ − 2 ⎬ + exp ⎨ − 2πσ 1 2σ 2 ⎩ 2σ 1 ⎭ ⎪ σ2 ⎩ ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭
3.2.1 衡量检测器性能的指标
1. 检测器渐近相对效率 假设二元假设检验问题有两个检测器，若它们具有相同的 虚警概率和检测概率所需的观测样本数分别为 N1 , N 2 ， 则定义第2个检测器对于第1个的相对效率为:

第三章 信号检测与估计(1)

第三章 信号检测与估计(1)

4 二元信号判决概率
P Hi | H j p x | H j d x ， i, j 0 , 1
Ri
P Hi | H j p x | H jቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ d x ， i, j 0 , 1
Ri
5 M元信号检测模型
信源
概率转移机构
信源的输出称为假设 将信源的输出(假设)以一定的 概率关系映射到整个观察空间中 接收端所有可能观测量的集合 将观察空间进行合理划分,使每个观测量 对应一个假设判断的方法
4. 贝叶斯判决准则
C c10 PH 0 c11 PH1 R PH1 c01 c11 p x H1 PH 0 c10 c00 p x H 0 dx 0
即可保证平均代价最小。
把使被积函数取负值的观察值x值划分给R0区域，而把其余的观察值x值划分给R1，
信号的统计检测理论，研究在噪声干扰中，信号的有无以及信号是属 于哪个状态最佳判决的概念、方法和性能等问题。其基础就是统计判决理 论,信号的统计检测又称假设检验。这在大学数理统计中已经接触过。
3.2 统计检测理论的基本概念
基本要求： 从二元信号的统计检测入手，讲述以下问题： 信号状态假设和接收信号的数学模型; 不同假设下,信号的统计特性及其描述;
PH1 c01 c11 px H1 0 PH0 c10 c00 px H0 0
因此，平均代价C的大小与判决区域R0有关。
把使被积函数取负值的观察值x值划分给R0区域，而把其余的观察值x值划分给R1，
即可保证平均代价最小。
1 平均代价的概念和贝叶斯准则
可看出，检测性能，不仅与两种错误判决概率有关，还与信源发送0和1的 先验概率有关 另外，每做出一种判断，人们要付出的代价也是不同的 如何综合考虑上述各种因素来设计好的检测方法？ 贝叶斯检测，给定各种判决代价因子，且已知各假设的先验概率条件下， 使平均代价最小的检测准则。

信号检测与估计教学资料 第三章 信号检测与估计3new

P(H1) 1P(H0)
N-P准则
(PF(P(H 0|H 1)由)虚警概率决定
3.5 信号统计检测的性能 (Performance of Statistical Detection)
根据 PDPH1H1 PFPH1H0
分析似然比检测的接收机工作特性
PF＝P(H1 | H 0 ) PD＝P(H1 | H1)
利用接收机工作特性，可进行各种判决准则的分析和计算
奈曼皮尔逊准则
由 PF 画一条直线 该直线与给定信噪 比下的PD-PF工作 特性曲线相交, 交点即是在奈曼皮 尔逊准则下的两种 判决概率。
贝叶斯及派生检测准则(1)
贝叶斯检测，给定各种判决代价因子，且已知各假设的先验概率条件下， 使平均代价最小的检测准则。
奈曼皮尔逊准则
按照似然比检测形式构建基本表达式，按照似然比检测形式构建基本表达式，
并在 P MP 1* gP FP 1* g 的约束下计 并在 PH 1H 0plH 0d l的约束下计
算最终判决门限。
c11c000 c10c011
R 1
算最终判决门限。
贝叶斯及派生检测准则(3)
分析某种检测方法的性能时，需根据化简后的最简判决表示式进行。
i 0
j 0 ,j i
i 0j 0 ,j i
3.6 M元信号检测
M 1
M 1
M 1M 1
C c iP iH i 1 P H jH i c iP jH jP H iH j
i 0
j 0 ,j i
i 0j 0 ,j i
M 1
M 1 M 1
M 1 M 1
M1 M1
M1 M1
cjjPHi,Hj
cjjPHj PHi Hj

信号检测与估计--第三章-信号的检测


N(2xjsi si2)
j1
i 1,2,3,
上式最大等效为
N 1jN 1(2 xjsisi2)（ N 2jN 1xjsi)si2,i 1 ,2 ,3最大
计算
（
2 N
N
x j) 1,
j1
i1
（
4 N
N
x j) 4,
j1
i 2
哪个大就判决哪个假设成立
（ 2
N
N
x j) 1,
j1
i 3
除以p(x),得
m
C ijp (xH j)P (H j) m
R i(x)j 1 p (x)
j 1C ijP (H j x) i m 1 ,2 i,n m判 决 H i成 立
即在给定观测数据x的条件下,哪个假设带来的代价 小就判决哪个假设成立
贝叶斯准则的证明
把观测X分成互不重叠的m个子空间
X X 1 X 2 X m X 1 U X 2 U U X m
– C00 = C11=0,C10 = C01=1
• 最大似然准则
p(x p(x
| |
H H
1) 0)
H1
H0
1
– C00 = C11，C10 = C01，且P(H0) = P(H1)
• 最大后验概率准则
– (C10-C00)=( C01-C11)
p(H p(H
1 0
| |
x) x)
H1
H0
1
以取样平均值
sˆ
1 N
N
xj
j 1
作为检验统计量
判决规则为:
0
sˆ
3 2
,判
决
H
成
1

信号检测与估计 第三章 信号的检测1

➢ 把元信号与“假设”联系起来，根据观测数据和判决准则 对各假设进行统计检验，判决哪个假设成立。信号检测 就成为假设检验问题
§3.2 二元信号的假设检验和判决准则
➢ 二元信号基本概念 ➢ 贝叶斯准则 ➢ 最小总错误概率准则 ➢ 奈曼---皮尔逊准则 ➢ 极大极小准则
二元假设检验的模型
信源 P(H1)，P(H0)
X1 p(x | H0 )dx
X0 p(x | H1)dx
1
X1
[
p(x
|
H1)
(C10 (C01
C00 )q C11) p
p(x | H0 )]dx
贝叶斯准则
判决规则 ：
H1
l(x)
l0
(C10 (C01
C00 )q C11) p
H0
3.2.3 最小总错误概率准则
所谓最小总错误概率准则，就是已知信号的
（4） H1 为真，判决 H 0 成立；
虚警概率
第三种判决通常称为第一类错误，用雷 达术语来说是虚警错误，即在没有信号 的条件下判决为有信号。其错误概率为
X1 p(x | H0 )dx
漏报概率
第四种判决通常称为第二类错误，用雷 达术语来说是漏报错误。即在有信号的 条件下判决为无信号。其错误概率密度 为：
p[(C11 C00 ) (C01 C11) (C01 C00 ) ]
极大极小准则
由于 R ~ p的关系是一条直线 ，我们用 R( p) 来表示
R( p) C00(1 ) C10
p[(C11 C00 ) (C01 C11) ( p1) (C10 C00 ) ( p1)]
R
R(P) Rmin ( p)
0 P1
P
Rmin ( p) P

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c01 c101
最小平均 错误概率 判决准则
H 1 xH p H0 1 P xH0H H p P 1 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
判决H0假设成立 判决H1假设成立
最小平均错误概率准则
最小平均错误概率判决准则
H 1 d e f p x H PH 1 0 ( x ) PH p 1 xH H 0 0 d e f
化简
ln ln ( x )
H0
H
H1
l( x )
第三章 信号的统计检测理论 复习总结
第三章 信号的统计检测理论
经典的信号统计检测理论
① 统计信号检测理论的基本概念 ② 二元信号检测的最佳检测准则 ③ 信号状态的判决的方法和检测性能的分析 ④ M元信号的最佳检测
⑤ 参量信号的复合假设检验
⑥ 序列检测
贝叶斯准则
贝叶斯准则基本思路: 根据给定的代价计算平均代价 按照平均代价最小划分观察空间,得到判决准则
推导贝叶斯检测准则的最简表示形式 l x
H
0
H1
步骤2：
根据最简表示形式，计算各种假设下，统计量的概率密度函数
pl H1 pl H0
步骤3：
计算判决概率
H P 0H 1
H P 1H 0


P H H lH dl 0 1 1 p
P H lH dl 1H 0 0 p
H
0
1
最小平均错误概率准则
最小平均错误概率判决准则
H 1 d e f p x H PH 1 0 ( x ) PH p 1 xH H 0 0 d e f
若
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的统计检测。
若H0是简单的，H1是复杂的 参量的最大似然估计，IN CHAPTER 5。
参量信号的统计检测
贝叶斯方法
1. 随机参量的概率密度函数
已知的情况
采用统计平均的方法去掉随机信号参量的随机性。
若H0是简单的，H1是复杂的
参量信号的统计检测
贝叶斯方法
2. 随机参量猜测先验概率密度函数的情况 ➢利用先验知识，猜测合理的概率密度函数。 ➢使用无信息的先验概率密度函数，例如某个范围的平均分配。
i, j 0,1,...,M 1
贝叶斯准则(Bayes criterion)
平均代价的概念和贝叶斯准则
判决概率 P(Hi | H j )
先验概率
P(H j )
平均代价C
判决的代价因子
cij
贝叶斯准则：
假设先验概率 P(H j ) 已知，各种判决代价因子 cij
给定的情况下，平均代价 C 最小的准则
派生贝叶斯准则
极小化极大准则
例题 3.4.2
派生贝叶斯准则
奈曼-皮尔逊准则（N-P准则）
1.概念
在约束条件: 错误判决概率 P(H1 | H0 )
正确判断概率
P(H1 | H1)
最大的准则
或者在约束条件下， P(H0 | H1) 最小的准则。
派生贝叶斯准则
奈曼-皮尔逊准则（N-P准则）
i, j 0,1
False Alarm & Missing Alarm
统计检测理论的基本概念
统计检测的结果和判决概率
1. 二元信号的情况——例3.2.1 x0 P(H0 | H0 )
x0 P(H1 | H1)
统计检测理论的基本概念
统计检测的结果和判决概率
2. M元信号的情况
P(H i | H j ) Ri p(x | H j )dx
派生贝叶斯准则
最大后验概率准则
c10 c00 c01 c11
派生贝叶斯准则
最大后验概率准则
c10 c00 c01 c11
派生贝叶斯准则
极小化极大准则
先验概率未知，使极大可能代价极小化
由于先验概率未知，在无法选择最优解的情况下，设计算法， 选择不是“最坏”的结果！
若 c10 c00 c01 c11 ，极小化极大准则与等先验概率结果相同。
1. 信源 2. 概率转移机构 3. 观测空间R 4. 判决规则
二元信号检测的判决域
统计检测理论的基本概念
2. M(M>2)元信号检测的模型
M元信号检测的判决域
统计检测理论的基本概念
统计检测的结果和判决概率
1. 二元信号的情况
√
×
×
√
P(H i | H j ) Ri p(x | H j )dx
3. 未知参量的奈曼——皮尔逊准则信号检测
在一定虚警水平约束下，检测概率是参量的函数，若对任意 ，
检测概率都是最大的，称为一致最大势检验。
4. M元参量信号的统计检测
参量信号的统计检测
图3.17 m为正值时的判决域
图3.18 m为负值时的判决域
图3.19 双边检验的判决域
信号的序列检测
信号序列检测的基本概念信号源自测与估计理论第三章 信号的统计检测理论
引言
研究内容：
受噪声干扰的随机信号中
信号有/无 信号属于哪个状态
最佳判决的概念、方法和性能
理论基础：
统计检测理论基本概念 二元信号检测准则 判决方法 检测性能分析 M元信号的最佳检测 参量信号的复合假设检验 序列检测
统计检测理论的基本概念
M元信号检测的贝叶斯准则
M元信号的统计检测
M元信号检测的贝叶斯准则
M元信号的统计检测
M元信号检测的贝叶斯准则
M元信号的统计检测
M元信号检测的最小平均错误概率准则
M元信号的统计检测
M元信号检测的最小平均错误概率准则
图3.16 四元信号检测的判决域
参量信号的统计检测
参量信号统计检测的基本概念
若观测到k次还不能作出满意的判决， 则先不作判决，继续进行第k+1次判决。 在给定的检测性能指标要求下， 平均检测时间最短。
2.解的存在性说明
派生贝叶斯准则
奈曼-皮尔逊准则（N-P准则）
3.判决表达式
派生贝叶斯准则
奈曼-皮尔逊准则（N-P准则）
4.求解步骤
派生贝叶斯准则
奈曼-皮尔逊准则（N-P准则）
例题 3.4.3
信号统计检测的性能
检测性能
信号统计检测的性能
例3.3.1中
信号统计检测的性能
例3.3.1中
贝叶斯准则
平均代价C表达式
贝叶斯准则
平均代价C表达式
贝叶斯准则
判决表达式
检验统计量
检验统计量与先验 概率、代价因子无关
对数似然比检验
检验统计量
门限值 检测门限
贝叶斯准则
判决表达式
二元信号检测原理框图
贝叶斯准则
检测性能分析
性能指标——平均代价C
先验概率 P(H j )
计算判决概率 P(Hi | H j ) 求平均代价C
统计检测理论的基本模型
1. 二元信号检测的模型
例如，雷达系统中，对特定区域进行观测并判断该区域是否存在目标， 信源——目标源 H0——没有目标； H1——有目标； 参考“隐身战机.doc”
统计检测理论的基本概念
例3.2.1
统计检测理论的基本概念
例3.2.1
统计检测理论的基本概念
例3.2.1
信号统计检测的性能
例3.3.1中
接收机工作特性
信号统计检测的性能
例3.3.1中
检测概率与信噪比的关系
信号统计检测的性能
例3.3.1中
信号统计检测的性能
例3.3.1中
信号统计检测的性能
例3.3.1中
接收机工作特性在不同准则下的解
M元信号的统计检测
M元信号检测的贝叶斯准则
M元信号的统计检测
代价因子 cij
例题3.3.2
贝叶斯准则
例题3.3.1
派生贝叶斯准则
最小平均错误概率准则 (minimum mean probability of error criterion)
c00 c11 0 c10 c01 1
派生贝叶斯准则
最小平均错误概率准则
等先验概率下，最小平均错误概率准则最大似然准则 (3.4.11) Maximum likelihood criterion 例题 3.4.1
概率密度函数可能含有未知参量——统计学中的复合假设检验 主要的两种方法： （1）用最大似然估计未知参量——广义似然比检验 （2）指定先验概率密度或其他先验知识——贝叶斯方法
参量信号的统计检测
广义似然比检验
（1）求取使似然函数
达到最大的 ，作为该参量的
估计量，记为 。
（2）用估计量 代替似然函数中的未知参量，问题转化为确知信号