建立概率模型(北师大)

古典概型（二）教学设计姓名：***班级：1402学号：**********一、课题：人教A版必修3高中数学3.2.1古典概型二、课标要求：通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数.三、教材分析：人教版：本节课的内容选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修3（A）版》第三章中的第3.2.1节古典概型，它安排在随机事件的概率之后，几何概型之前．古典概型是一种特殊的数学模型，也是一种最基本的概率模型，它的引入避免了大量的重复试验，而且得到的是概率准确值，同时古典概型也是后面学习其它概率的基础．在概率论中占有相当重要的地位,是学习概率必不可少的内容，同时有利于理解概率的概念，能解释生活中的一些问题，也有利于计算一些事件的概率，起到承前启后的作用，所以在概率论中占有相当重要的地位．本节教材主要是学习古典概型的概率公式，教学中学生已经通过生活中的实例与数学模型理解基本事件的概念和古典概型的两个特征，现在需通过具体的实例来推导古典概型下的概率公式，并通过当堂练习和典型例题加以引申，让学生初步学会把一些实际问题转化为古典概型问题．北师大版：本节只是初步认识古典概型并归纳出概率计算公式，本节课之前并没有给出互斥事件的概率加法公式，而古典概型的概率计算公式是通过实例直接总结的.建立概率模型是在第2节中才抽象出来的，而互斥事件的概率加法公式是在第3节给出的.四、学情分析：认知分析：学生已经了解了概率的意义，掌握了概率的基本性质，知道了互斥事件和对立事件的概率加法公式，初步理解了古典概型，这几者形成了学生思维的“最近发展区”.能力分析：学生已经具备了一定的归纳、猜想能力，但在数学的应用意识与应用能力方面尚需进一步培养.情感分析：多数学生对数学学习有一定的兴趣，能够积极参与研究，但在合作交流意识方面，发展不够均衡，有待加强.五、教学目标：知识与技能：掌握古典概型的概率计算公式，体会化归的重要思想，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及其事件发生的概率，学会运用数形结合、分类讨论的思想解决概率的计算问题.过程与方法：进一步发展类比、归纳、猜想等合情推理能力；通过对各种不同的实际情况的分析、判断、探索，培养应用能力.情感态度与价值观：培养勇于探索，善于发现的创新思想.树立从具体到抽象、从特殊到一般的辩证唯物主义观点，领会理论与实践对立统一的辨证思想.增强数学思维情趣,形成学习数学知识的积极态度.六、教学重难点：教学重点：利用古典概型求解随机事件的概率.突破方法：反复运用概率的加法公式加强理解.教学难点：如何判断一个试验是否为古典概型，分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．突破方法：利用列表和画出树状图的方式解决.七、教学理念：建构主义理论的支架式教学.建构主义的基本观点是个体通过同化与顺应两种形式来达到与周围环境的平衡；个体能用现有的图式去同化新信息时，他处于一种平衡的认知状态；而当现有图式不能同化新信息时，平衡即被破坏，而修改或创造新图式（顺应）的过程就是寻找新平衡的过程。

第六章概率1随机事件的条件概率................................................................................................ - 1 -1.1条件概率的概念............................................................................................. - 1 -1.2乘法公式与事件的独立性............................................................................. - 5 -1.3全概率公式..................................................................................................... - 5 -2离散型随机变量及其分布列.................................................................................... - 9 -2.1随机变量......................................................................................................... - 9 -2.2离散型随机变量的分布列........................................................................... - 12 -3离散型随机变量的均值与方差.............................................................................. - 16 -3.1离散型随机变量的均值............................................................................... - 16 -3.2离散型随机变量的方差............................................................................... - 21 -4二项分布与超几何分布.......................................................................................... - 24 -4.1二项分布....................................................................................................... - 24 -4.2超几何分布................................................................................................... - 27 -5正态分布 ................................................................................................................. - 30 - 1随机事件的条件概率1.1条件概率的概念1．条件概率(1)条件概率的定义在事件A发生的条件下事件B发生的概率，称为事件A发生条件下事件B发生的条件概率，记作P(B|A)．(2)条件概率公式当P(A)>0时，有P(B|A)＝P(AB) P(A)．1．如何从集合角度看条件概率公式？[提示]若事件A已发生，则为使事件B也发生，试验结果必须是既在A中又在B中的样本点，即此点必属于AB．由于已知A已经发生，故A成为计算条件概率P(B|A)新的样本空间，因此，有P(B|A)＝P(AB) P(A)．2．条件概率的性质(1)P(B|A)∈[0，1]．(2)如果B与C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．2．P(B|A)与P(B)有何大小关系？[提示]P(B|A)≥P(B)．疑难问题类型1利用定义求条件概率【例1】一个袋中有2个黑球和3个白球，如果不放回地抽取两个球，记事件“第一次抽到黑球”为A；事件“第二次抽到黑球”为B．(1)分别求事件A，B，AB发生的概率；(2)求P(B|A)．[思路点拨]可先求P(A)，P(B)，P(AB)，再用公式P(B|A)＝P(AB)P(A)求概率．[解]由古典概型的概率公式可知(1)P(A)＝25，P(B)＝2×1＋3×25×4＝820＝25，P(AB)＝2×15×4＝110．(2)P(B|A)＝P(AB)P(A)＝11025＝14．用定义法求条件概率P(B|A)的步骤是：(1)分析题意，弄清概率模型；(2)计算P(A)，P(AB)；(3)代入公式求P(B|A)＝P(AB) P(A).类型2利用基本事件个数求条件概率【例2】现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．[思路点拨]第(1)、(2)问属古典概型问题，可利用古典概型的概率计算公式求解；第(3)问为条件概率，可以利用定义P(B|A)＝P(AB)P(A)求解，也可以利用公式P(B|A )＝n(AB)n(A)求解．[解]设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB．(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个的事件数为n(Ω)＝A26＝30，根据分步计数原理n(A)＝A14A15＝20，于是P(A)＝n AnΩ＝2030＝23．(2)因为n(AB)＝A24＝12，于是P(AB)＝n ABnΩ＝1230＝25．(3)法一：由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为P(B|A)＝P(AB)P(A)＝2523＝35．法二：因为n(AB)＝12，n(A)＝20，所以P(B|A)＝n(AB)n(A)＝1220＝35．如果随机试验属于古典概型，可采用缩减基本事件总数的办法来计算，P(B|A)＝n(AB)n(A)，其中n(AB)表示事件包含的基本事件个数，n(A)表示事件A包含的基本事件个数.类型3条件概率的性质及应用[探究问题]1．掷一枚质地均匀的骰子，有多少个基本事件？它们之间有什么关系？随机事件出现“大于4的点”包含哪些基本事件？[提示]掷一枚质地均匀的骰子，可能出现的基本事件有“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”“6点”，共6个，它们彼此互斥．“大于4的点”包含“5点”“6点”两个基本事件．2在“先后抛出两枚质地均匀的骰子”试验中，已知第一枚出现4点，则第二枚出现“大于4”的事件，包含哪些基本事件？[提示]“第一枚4点，第二枚5点”“第一枚4点，第二枚6点”．3．先后抛出两枚质地均匀的骰子，已知第一枚出现4点，如何利用条件概率的性质求第二枚出现“大于4点”的概率？[提示]设第一枚出现4点为事件A，第二枚出现5点为事件B，第二枚出现6点为事件C．则所求事件为B∪C|A．∴P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝16＋16＝13．【例3】有外形相同的球分装三个盒子，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母A，3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中则有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则称试验为成功．求试验成功的概率．[思路点拨]先设出基本事件，求出基本事件的概率，再求试验成功的概率．[解]设A＝{从第一个盒子中取得标有字母A的球}，B＝{从第一个盒子中取得标有字母B的球}，C＝{第二次取出的球是红球}，D＝{第二次取出的球是白球}，则容易求得P(A)＝710，P(B)＝310，P(C|A)＝12，P(D|A)＝12，P(C|B)＝45，P(D|B)＝15．事件“试验成功”表示为CA∪CB，又事件CA与事件CB互斥，故由概率的加法公式，得P(CA∪CB)＝P(CA)＋P(CB)＝P(C|A)·P(A)＋P(C|B)·P(B)＝12×710＋45×310＝0.59．1．应用概率加法公式的前提是事件互斥．2．为了求复杂事件的概率，往往可以先把该事件分解成两个或多个互斥事件的和，求出简单事件概率后，相加即可得到复杂事件的概率．归纳总结1．由条件概率的定义可知，P (B |A )与P (A |B )是不同的．另外，在事件A 发生的前提下，事件B 发生的概率不一定是P (B )，即P (B |A )与P (B )不一定相等．2．在条件概率的定义中，要强调P (A )＞0．当P (A )＝0时，P (B |A )＝0．3．P (B |A )＝P (AB )P (A )可变形为P (AB )＝P (B |A )·P (A )，即只要知道其中的两个值就可以求得第三值．1.2 乘法公式与事件的独立性1.3 全概率公式1．概率的乘法公式当P (A )>0时，P (AB )＝P (B |A )·P (A )．2．相互独立事件的概率(1)一般地，事件A ，B 相互独立⇔P (AB )＝P (A )P (B )．(2)如果事件A 1，A 2，…，A n 相互独立，那么P (A 1A 2…A n )＝P (A 1)P (A 2)…P (A n )．3．相互独立事件的性质若A 与B 是相互独立事件，则A 与B －，B 与A －，A －与B 也相互独立．若A ，B 相互独立，则A 与B 也相互独立，为什么？[提示] ∵A 、B 相互独立，∴P (AB )＝P (A )·P (B )＝P (A )(1－P (B ))＝P (A )－P (A )P (B )，∴P (A )P (B )＝P (A )－P (AB )＝P (A )－P (A )P (B )＝P (A )(1－P (B ))＝P (A )P (B )， ∴A 与B 相互独立．3．全概率公式(1)全概率公式设B 1，B 2，…，B n 为样本空间Ω的一个划分，若P (B i )＞0(i ＝1，2，…，n )，则对任意一个事件A 有P (A )＝∑ni ＝1P (B i )P (A |B i )． *(2)贝叶斯公式设B 1，B 2，…，B n 为样本空间Ω的一个划分，若P (A )＞0，P (B i )＞0(i ＝1，2，…，n )，则P (B i |A )＝P (B i )P (A |B i )∑n j ＝1P (B j )P (A |B j )． 疑难问题类型1 互斥事件与相互独立事件的判断【例1】 判断下列各对事件是互斥事件，还是相互独立事件．(1)运动员甲射击1次，“射中9环”与“射中8环”；(2)甲、乙两运动员各射击1次，“甲射中10环”与“乙射中9环”；(3)甲、乙两运动员各射击1次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”；(4)甲、乙两运动员各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中目标，但乙没有射中目标”．[思路点拨] 利用独立事件、互斥事件的意义判断．[解] (1)甲射击1次，“射中9环”与“射中8环”两个事件不可能同时发生，二者是互斥事件；(2)甲、乙各射击1次，“甲射中10环”发生与否，对“乙射中9环”的概率没有影响，二者是相互独立事件；(3)甲、乙各射击1次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”不可能同时发生，二者是互斥事件；(4)甲、乙各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中目标，但乙没有射中目标”可能同时发生，二者构不成互斥事件，也不可能是相互独立事件．判断两事件相互独立的方法(1)若P (AB )＝P (A )P (B )，则事件A 和B 相互独立.(2)由事件本身的性质直接判定是否相互影响，从而得出事件是否相互独立.类型2 相互独立事件同时发生的概率【例2】 某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为45，35，25，15，且各轮问题能否正确回答互不影响． (1)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率； (2)求该选手至多进入第三轮考核的概率． [思路点拨] (1)先找出第四轮被淘汰的事件，再看它是独立事件还是互斥事件；(2)至多进入第三轮含有第一轮被淘汰、第二轮被淘汰、第三轮被淘汰三个互斥事件，利用互斥事件、相互独立事件的概率公式求解． [解] (1)记“该选手能正确回答第i 轮的问题”的事件为A i (i ＝1，2，3，4)，则P (A 1)＝45，P (A 2)＝35，P (A 3)＝25，P (A 4)＝15．“该选手进入第四轮才被淘汰”记为B ，P (B )＝P (A 1A 2A 3A 4)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)P (A 4)＝45×35×25×45＝96625．(2)法一：“该选手至多进入第三轮考核”记为C ，P (C )＝P (A 1＋A 1A 2＋A 1A 2A 3)＝P (A 1)＋P (A 1)P (A 2)＋P (A 1)P (A 2)P (A 3) ＝15＋45×25＋45×35×35＝101125．法二：“该选手进入第四轮没有被淘汰”记为D ，则P (D )＝45×35×25×15＝24625．而C 与B ∪D 为对立事件，B 与D 为互斥事件，∴P (C )＝1－P (B ∪D )＝1－P (B )－P (D )＝1－96625－24625＝101125．1．求P (AB )时，要注意事件A ，B 是否相互独立，求P (A ＋B )时，应注意事件A ，B 是否互斥．对于“至多”“至少”型问题的解法有两种思路：①分类讨论；②转化为求对立事件的概率，利用P (A )＝1－P (A )来计算．2．复杂问题可考虑分解为等价的几个事件的概率问题，同时结合对立事件的概率求法进行求解．类型3全概率公式的应用【例3】设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第一二车间生产的成品比例为2∶3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，求该产品合格的该概率．[解]设B＝{从仓库中随机提一台是合格品}，A i＝{提出的一台是第i车间生产的}，i＝1，2，则有B＝A1B∪A2B，由题意则P(A1)＝0.4，P(A2)＝0.6，P(B|A1)＝0.85，P(B|A2)＝0.88，由全概率公式得，P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝0.4×0.85＋0.6×0.88＝0.868．1．全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一复杂事件A的概率求解问题转化为在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题．2．从以上典型例题的分析可以看出，应用全概率公式解决问题时，准确、迅速寻找完备事件组是解决此类问题的关键，其应用的一般方法和步骤归纳如下：(1)认真分析题目中的条件，找出完备事件组A1，A2，…，A n；(2)求出A i发生的条件下B发生的条件概率P(B|A i)，这样就可以直接利用全概率公式解决此类问题了．归纳总结1．两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响；两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生，而相互独立的两个事件可以同时发生．2．如果事件A1，A2，…，A n相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积．3．利用全概率公式可以将复杂事件的概率转化为简单事件的概率的求和问题，寻找完备事件组是求解的关键．2离散型随机变量及其分布列2.1随机变量1．随机变量(1)定义：在随机试验中，确定了一个对应关系，使得样本空间的每一个样本点都用一个确定的数值表示．在这个对应关系下，数值随着试验结果的变化而变化．像这种取值随着试验结果变化而变化的量称为随机变量．(2)表示：随机变量常用字母X，Y，ξ，η等表示．2．离散型随机变量所有取值可以一一列举出来的随机变量，称为离散型随机变量．(1)任何随机试验的结果都可以用数字表示吗？(2)离散型随机变量的取值一定是有限个吗？[提示](1)可以．实际上我们可以建立一个随机试验的所有结果同实数间的对应关系，根据问题的需要选择相应数字．(2)不一定．可以是无限个，如1，2，3，…，n，…．疑难问题类型1随机变量的概念【例1】判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．(1)北京国际机场候机厅中2022年5月1日的旅客数量；(2)2022年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数；(3)2022年6月1日上海到北京的某次动车到北京站的时间；(4)体积为1 000 cm3的球的半径长．[思路点拨]判断所给的量是否随试验结果的变化而变化，发生变化的是随机变量．[解](1)旅客人数可能是0，1，2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．(2)所查酒驾的人数可能是0，1，2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．(3)动车到达的时间可在某一区间内任取一值，是随机的，因此是随机变量．(4)球的体积为1 000 cm3时，球的半径为定值，不是随机变量．1．解答本题主要是运用随机变量的定义，透彻理解定义是解此类题的关键．2．随机变量X满足三个特征：(1)可以用数来表示；(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值；(3)在试验之前不能确定取何值．类型2离散型随机变量的判定【例2】指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．(1)某超市5月份每天的销售额；(2)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ；(3)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0，29]这一范围内变化，该水位监测站所测水位ξ．[解](1)某超市5月份每天的销售额可以一一列出，故为离散型随机变量．(2)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量．(3)不是离散型随机变量，水位在(0，29]这一范围内变化，不能按次序一一列举．判断一个随机变量X是否为离散型随机变量的具体方法：(1)明确随机试验的所有可能结果；(2)将随机试验的试验结果数量化；(3)确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，如果能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是.类型3用随机变量表示随机试验的结果【例3】写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值和所表示的随机试验的结果．(1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数；(2)从标有1，2，3，4，5，6的6张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和．[思路点拨]分析题意→写出X可能取的值→分别写出取值所表示的结果[解](1)设所需的取球次数为X，则X＝1，2，3，4，…，10，11，X＝i表示前i－1次取到红球，第i次取到白球，这里i＝1，2， (11)(2)设所取卡片上的数字和为X，则X＝3，4，5， (11)X＝3，表示取出标有1，2的两张卡片；X＝4，表示取出标有1，3的两张卡片；X＝5，表示取出标有2，3或标有1，4的两张卡片；……X＝11，表示取出标有5，6的两张卡片．1．解答此类问题，关键是要弄清题意，第(1)问中，X＝1，2，…，11所表示的结果不需要分别列出来，引入变量i，可写成X＝i．2．在写出随机变量的取值表示的试验结果时，要特别注意随机变量的一个值表示多个试验结果的情况，不能遗漏某些试验结果．归纳总结1．随机变量可将随机试验的结果数量化．2．随机变量与函数的异同点：随机变量函数相同点都是一种映射，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域不同点把试验结果映射为实数，即随机变量的自变量是试验结果把实数映射为实数，即函数的自变量是实数2.2 离散型随机变量的分布列1．离散型随机变量取值能够一一列举出来的随机变量称为离散型随机变量． 2．离散型随机变量X 的分布列(1)定义：若离散型随机变量X 的取值为x 1，x 2，…，x n ，…，随机变量X 取x i 的概率为p i (i ＝1，2，…，n ，…)，记作：P (X ＝x i )＝p i (i ＝1，2，…，n ，…)，①，把①式列成如下表格：如果随机变量X 的分布列为上述表格或①式，我们称随机变量X 服从这一分布列，并记作X ～⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1 x 2 … x n …p 1 p 2 … p n…． (2)性质：在离散型随机变量X 的分布列中， ①p i >0(i ＝1，2，…，n ，…)； ②p 1＋p 2＋…＋p n ＋…＝1． 3．伯努利试验若在某个试验中，每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败”，每次“成功”的概率均为p ，每次“失败”的概率均为1－p ，则称这样的试验为伯努利试验．4．两点分布如果随机变量X 的分布列如表其中0＜p＜1，q＝1－p，那么称离散型随机变量X服从参数为p的两点分布(又称0－1分布或伯努利分布)．两点分布不仅是最简单的，也是最重要的概率分布模型，在实际生活中有着广泛的应用．在离散型随机变量分布列中，所有概率之和为什么为1?[提示]因为离散型随机变量所有取值对应的事件之和是必然事件，所以所有概率之和为1．疑难问题类型1离散型随机变量的分布列【例1】一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3个球，以X表示取出球的最大号码．(1)求X的分布列；(2)求X的取值不小于4的概率．[解](1)随机变量X的可能取值为3，4，5，6，P(X＝3)＝C33C36＝120，P(X＝4)＝C11C23C36＝320，P(X＝5)＝C11C24C36＝310，P(X＝6)＝C11C25C36＝12，所以随机变量X的分布列为X 3456P12032031012(2)X的取值不小于4的概率为P(X≥4)＝P(X＝4)＋P(X＝5)＋P(X＝6)＝320＋310＋12＝1920．求离散型随机变量分布列的一般步骤：(1)确定X的所有可能取值x i(i＝1，2，…)以及每个取值所表示的意义；(2)利用概率的相关知识，求出每个取值相应的概率P(X＝x i)＝p i(i＝1，2，…)；(3)写出分布列；(4)根据分布列的性质对结果进行检验.类型2 离散型随机变量分布列的性质【例2】 设随机变量X 的分布列P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝k 5＝ak (k ＝1，2，3，4，5)．(1)求常数a 的值； (2)求P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ≥35； (3)求P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110<X <710．[思路点拨] (1)先求出X 的分布列，再根据分布列的性质确定a ．(2)、(3)中的概率利用互斥事件的概率公式结合分布列求解即可．[解] 依题意，随机变量X 的分布列为X ＝i 1525354555P (X ＝i )a 2a 3a 4a 5a(1)由a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a ＝1，得a ＝115．(2)法一：P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ≥35＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝35＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝45＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝55＝315＋415＋515＝45．法二：P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ≥35＝1－P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ≤25＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫115＋215＝45．(3)因为110<X <710，所以X ＝15，25，35．故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110<X <710＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝15＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝25＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝35＝115＋215＋315＝25．1．随机变量的取值不一定是整数，它的取值一般来源于实际问题，并有特定的含义．2．随机变量在某一范围内取值的概率等于在这一范围内取每个值的概率之和．类型3 离散型随机变量分布列的应用【例3】 袋中装有标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X 表示取出的3个小球上的最大数字，求：(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；(2)随机变量X的分布列；(3)计算介于20分到40分之间的概率．[思路点拨](1)利用古典概型公式求解即可；求解(2)的关键在于确定X的所有可能取值及取每个值的概率；(3)由题意知计算介于20分到40分之间的概率等于X＝3与X＝4的概率之和，由(2)易得其概率．[解](1)法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，则P(A)＝C35C12C12C12C310＝23．法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为B，则事件A和事件B是对立事件．因为P(B)＝C15C22C18C310＝13，所以P(A)＝1－P(B)＝1－13＝23．(2)由题意，X所有可能的取值为2，3，4，5．P(X＝2)＝C22C12＋C12C22C310＝130；P(X＝3)＝C24C12＋C14C22C310＝215；P(X＝4)＝C26C12＋C16C22C310＝310；P(X＝5)＝C28C12＋C18C22C310＝815．所以随机变量X的分布列为(3)“C，则P(C)＝P(X＝3或X＝4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝215＋310＝1330．离散型随机变量分布列问题融合了排列、组合，古典概型、互斥事件、对立事件的概率等知识，是较强的综合应用.归纳总结1．离散型随机变量可能取的值为有限个或可列举的无限个，或者说能将它的可能取值按一定次序一一列出．2．求离散型随机变量的分布列时应注意以下几点(1)确定离散型随机变量的分布列的关键是搞清X取每一个值对应的随机事件，进一步利用排列、组合知识求出X取每一个值的概率．(2)在求离散型随机变量X的分布列时，要充分利用分布列的性质，这样可以减少运算量，也可利用分布列的性质验证分布列是否正确．3离散型随机变量的均值与方差3.1离散型随机变量的均值离散型随机变量的均值或数学期望(1)定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列为X x1x2…x i…x nP p1p2…p i…p n则称EX＝x1p1＋x2p2＋…＋x i p i＋…＋x n p n为随机变量X的均值或数学期望(简称期望)．(2)意义：离散型随机变量X的均值或数学期望反映了离散型随机变量X取值的平均水平．(3)性质：如果X为离散型随机变量，则Y＝aX＋b(其中a，b为常数)也是随机变量，且EY＝E(aX＋b)＝aEX＋b．(1)随机变量的均值和样本的平均值是一个常数还是随机变量？(2)随着样本容量的增加，样本的平均值与总体平均值有什么关系？[提示](1)随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取；样本的平均值是一个随机变量，它是随着样本的不同而变化的．(2)随着样本容量的增加，样本的平均值越来越接近于总体平均值．疑难问题类型1求离散型随机变量的均值【例1】袋中有4个黑球、3个白球、2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球记0分，每取到一个白球记1分，每取到一个红球记2分，用ξ表示得分数．(1)求ξ的分布列；(2)求ξ的均值．[思路点拨]首先根据取到的两个球的不同情况，确定ξ的取值为0，1，2，3，4，再分别计算概率，即可得到分布列，然后利用均值的公式求解．[解](1)由题意知ξ的可能取值为0，1，2，3，4，当ξ＝0时，即取到2个黑球，则P(ξ＝0)＝C24C29＝16；当ξ＝1时，即取到1个黑球和1个白球，则P(ξ＝1)＝C14·C13C29＝13；当ξ＝2时，即取到1个红球和1个黑球或者取到2个白球，则P(ξ＝2)＝C23 C29＋C12·C14 C29＝1136；当ξ＝3时，即取到1个红球和1个白球，则P(ξ＝3)＝C13·C12C29＝16；当ξ＝4时，即取到2个红球，则P(ξ＝4)＝C22C29＝136．所以ξ的分布列为ξ01234P 1613113616136(2)均值Eξ＝0×16＋1×13＋2×1136＋3×16＋4×136＝149．求离散型随机变量的均值的步骤(1)确定取值：根据随机变量X 的意义，写出X 可能取得的全部值． (2)求概率：求X 取每个值的概率． (3)写分布列：写出X 的分布列． (4)求均值：由均值的定义求出EX ，其中写出随机变量的分布列是求解此类问题的关键所在．类型2 离散型随机变量均值的性质 【例2】 已知随机变量X 的分布列为：X －2 －1 0 1 2 P141315m120(1)求EX ；(2)若Y ＝2X －3，求EY ．[解] (1)由随机变量分布列的性质，得14＋13＋15＋m ＋120＝1，解得m ＝16， 所以EX ＝(－2)×14＋(－1)×13＋0×15＋1×16＋2×120＝－1730． (2)法一：由公式E (aX ＋b )＝aEX ＋b ，得 EY ＝E (2X －3)＝2EX －3＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1730－3＝－6215．法二：由于Y ＝2X －3，所以Y 的分布列如下：Y －7 －5 －3 －1 1 P14131516120所以EY ＝(－7)×14＋(－5)×13＋(－3)×15＋(－1)×16＋1×120＝－6215．1．本例条件不变，若ξ＝aX ＋3，且Eξ＝－112，求a 的值． [解] Eξ＝E (aX ＋3)＝aE (X )＋3＝－1730a ＋3＝－112，所以a ＝15．2．已知随机变量ξ的分布列为ξ －1 0 1 P1213m若η＝aξ＋3，Eη＝73，则a ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4 B [由分布列的性质得12＋13＋m ＝1，所以m ＝16， 所以Eξ＝－1×12＋0×13＋1×16＝－13， 法一：Eη＝E (aξ＋3)＝aEξ＋3＝－13a ＋3＝73． 所以a ＝2．法二：因为η＝aξ＋3，所以η的分布列如下：η －a ＋3 3 a ＋3 P121316Eη＝(－a ＋3)×12＋3×13＋(a ＋3)×16＝73． 所以a ＝2．]求离散型随机变量均值的解题思路(1)若给出的随机变量Y 与X 的关系为Y ＝aX ＋b ，a ，b 为常数．一般思路是先求出EX ，再利用公式E (aX ＋b )＝aEX ＋b 求EY ．(2)利用X 的分布列得到Y 的分布列，关键由X 的取值计算Y 的取值，对应的概率相等，再由定义法求得EY ．类型3 离散型随机变量均值的应用【例3】 一名博彩者，放6个白球和6个红球在一个袋子中，定下规矩：凡是愿意摸彩者，每人交1元作为手续费，然后可以一次从袋中摸出5个球，中彩情况如下表：摸5个球中彩发放奖品有5个白球1顶帽子(价值20元)恰有4个白球1张贺卡(价值2元)恰有3个白球纪念品(价值0.5元)其他同乐一次(无任何奖品)试计算：(1)摸一次能获得20元奖品的概率．(2)按摸10 000次统计，这个人能否赚钱？如果赚钱，则净赚多少钱？[思路点拨]在一次摸球中，博彩者获得的收入是不确定的，故可将其作为一个随机变量，他能否赚钱，就要看该随机变量的均值是否大于0．[解](1)摸一次能获得20元奖品的概率是P＝C56C512＝1132．(2)如果把取到的白球作为随机变量X，则P(X＝5)＝C56C512＝1132，P(X＝4)＝C46C16C512＝15132，P(X＝3)＝C36C26C512＝50132，P(X＝2)＋P(X＝1)＋P(X＝0)＝66132，所以博彩者的收入这一随机变量Y(可以为负数)的分布列为：Y －19－10.51P1132151325013266132所以收入的随机变量Y的均值为EY＝(－19)×1132＋(－1)×15132＋0.5×50132＋1×66132≈0.431 8．故这个人可以赚钱，且摸10 000次净收入的均值为4 318元．(1)实际问题中的均值问题,均值在实际中有着广泛的应用，如在体育比赛的安排和成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益等，都可以通过随机变量的均值来进行估计.(2)概率模型的解答步骤①审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些；②确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值；③对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论.归纳总结1．本节课的重点是离散型随机变量的均值的求法，难点是均值的实际应用． 2．要掌握离散型随机变量均值的几个常用结论 (1)E (C )＝C (C 为常数)； (2)E (aX 1＋bX 2)＝aEX 1＋bEX 2；(3)如果X 1，X 2相互独立，则E (X 1·X 2)＝EX 1·EX 2．3.2 离散型随机变量的方差1．方差及标准差的定义 设离散型随机变量X 的分布列为X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n(1)方差DX ＝∑n i ＝1(x i －EX )2p i ．(2)标准差σX ＝DX ． 2．方差的性质 D (aX ＋b )＝a 2DX ．(1)随机变量的方差和样本的方差是一个常数还是随机变量？ (2)随着样本容量的增加，样本的方差与总体方差有什么关系？[提示] (1)随机变量的方差是一个常数，它不依赖于样本的抽取；样本的方差是一个随机变量，它是随着样本的不同而变化的．(2)随着样本容量的增加，样本的方差越来越接近于总体方差．疑难问题类型1 求离散型随机变量的方差【例1】 袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1，2，3，4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．求ξ的分布列、均值和方差．[解] 由题意得，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4， P (ξ＝0)＝1020＝12，P (ξ＝1)＝120， P (ξ＝2)＝220＝110，P (ξ＝3)＝320， P (ξ＝4)＝420＝15． 故ξ的分布列为ξ 0 1 2 3 4 P1212011032015所以Eξ＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝1.5，Dξ＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75．求离散型随机变量的方差的步骤(1)明确随机变量的取值，以及取每个值的试验结果． (2)求出随机变量取各个值的概率． (3)列出分布列．(4)利用公式EX ＝∑ni ＝1x i p i 求出随机变量的期望EX ．(5)代入公式DX ＝∑ni ＝1(x i －EX )2p i ，求出方差DX ．类型2 方差的性质【例2】 已知随机变量X 的分布列为X1234P 0.2 0.2 a 0.2 0.1求EX ，DX ，D (－2X [解] ∵0.2＋0.2＋a ＋0.2＋0.1＝1，∴a ＝0.3． ∴EX ＝0×0.2＋1×0.2＋2×0.3＋3×0.2＋4×0.1＝1.8．。

必修1第一章集合§1 集合的含义与表示§2 集合的基本关系§3 集合的基本运算交集与并集全集与补集第二章函数§1 生活中的变量关系§2 对函数的进一步认识函数概念函数的表示法映射§3 函数的单调性§4 二次函数性质的再研究二次函数的图像二次函数的性质§5 简单的幂函数课题学习个人所得税的计算第三章指数函数和对数函数§1 正整数指数函数§2 指数扩充及其运算性质指数概念的扩充指数运算的性质§3指数函数指数函数的概念指数函数和的图像和性质指数函数的图像和性质§4 对数对数及其运算换底公式§5 对数函数对数函数的概念y=log2x的图像和性质对数函数的图像和性质§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较第四章函数应用§1 函数与方程利用函数性质判定方程解的存在利用二分法求方程的近似解§2 实际问题的函数建模实际问题的函数刻画用函数模型解决实际问题函数建模案例必修2第一章立体几何初步§1 简单几何体简单旋转体简单多面体§2 直观图§3 三视图简单组合体的三视图由三视图还原成实物图§4 空间图形的基本关系与公理空间图形基本关系的认识空间图形的公理§5 平行关系平型关系的判定平行关系的性质§6 垂直关系垂直关系的判定垂直关系的性质§7 简单几何体的面积和体积简单几何体的侧面积棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积课题学习正方体截面的形状第二章解析几何初步§1 直线与直线的方程直线的倾斜角和斜率直线的方程两条直线的位置关系两条直线的交点平面直角坐标系中的距离公式§2 圆与圆的方程圆的标准方程圆的一般方程直线与圆、圆与圆的位置关系§3 空间直角坐标系空间直角坐标系的建立空间直角坐标系中点的坐标空间两点间的距离公式必修3第一章统计§1 从普查到抽样§2 抽样方法简单随机抽样分层抽样与系统抽样§3 统计图表§4 数据的数字特征平均数、中位数、众数、极差、方差标准差§5 用样本估计总体估计总体的分布估计总体的数字特征§6 统计活动：结婚年龄的变化§7 相关性§8 最小二乘估计第二章算法初步§1 算法的基本思想算法案例分析排序问题与算法的多样性§2 算法框图的基本结构及设计顺序结构与选择结构变量与赋值循环结构§3 几种基本语句条件语句循环语句第三章概率§1 随机事件的概率频率与概率生活中的概率§2 古典概型古典概型的特征和概率计算公式建立概率模型互斥事件§3 模拟方法—概率的应用必修4第一章三角函数§1 周期现象§2 角的概念的推广§3 弧度制§4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式任意角的正弦函数、余弦函数的定义单位圆与周期性单位圆与诱导公式§5 正弦函数的性质与图像从单位圆看正弦函数的性质正弦函数的图像正弦函数的性质§6 余弦函数的性质与图像正弦函数的图像正弦函数的性质§7 正切函数正切函数的定义正切函数的图像与性质正切函数的诱导公式§8 函数y=Asin 的图像§9 三角函数的简单应用第二章平面向量§1 从位移、速度、力到向量位移、速度、和力向量的概念§2 从位移的合成到向量的加法向量的加法向量的减法§3 从速度的倍数到数乘向量数乘向量平面向量基本定理§4 平面向量的坐标平面向量的坐标表示平面向量线性运算的坐标表示向量平行的坐标表示§5 从力做的功到向量的数量积§6 平面向量数量积的坐标表示§7 向量应用举例点到直线的距离公式向量的应用举例第三章三角恒等变形§1 同角三角函数的基本关系§2 两角和与差的三角函数两角差的余弦函数两角和与差的正弦、余弦函数两角和与差的正切函数§3 二倍角的三角函数必修5第一章数列§1 数列数列的概念数列的函数特征§2 等差数列等差数列等差数列的前n项和§3 等比数列等比数列等比数列的前n项和§4 数列在日常经济生活中的应用第二章解三角形§1 正弦定理与余弦定理正弦定理余弦定理§2 三角形中的几何计算§3 解三角形的实际应用举例第三章不等式§1 不等关系不等关系比较大小§2 一元二次不等式一元二次不等式的解法一元二次不等式的应用§3 基本不等式基本不等式基本不等式与最大（小）值§4 简单线性规划二元一次不等式（组）与平面区域简单线性规划简单线性规划的应用选修1-1第一章常用逻辑用语§1 命题§2 充分条件与必要条件充分条件必要条件充要条件§3 全称量词与存在量词全称量词与全称命题存在量词与特称命题全称命题与特称命题的否定§4 逻辑联结词“且”或“非” 逻辑联结词“且” 逻辑联结词“或” 逻辑联结词“非”第二章圆锥曲线与方程§1 椭圆椭圆及其标准方程椭圆的简单性质§2 抛物线抛物线及其标准方程抛物线的简单性质§3 双曲线双曲线及其标准方程双曲线的简单性质第三章变化率与导数§1 变化的快慢与变化率§2 导数的概念及其几何意义导数的概念导数的几何意义§3 计算导数§4 导数的四则运算法则导数的加法与减法法则导数的乘法与除法法则第四章导数应用§1 函数的单调性与极值导数与函数的单调性函数的极值§2 导数在实际问题中的应用实际问题中的导数的意义最大值、最小值问题选修1-2第一章统计案例§1 回归分析回归分析相关系数可线性化的回归分析§2 独立性检验条件概率与独立事件独立性检验独立性检验的基本思想独立性检验的应用第二章框图§1 流程图§2 结构图第三章推理与证明§1 归纳与类比归纳推理类比推理§2 数学证明§3 综合法与分析法综合法分析法§4 反证法第四章数系的扩充与复数的引入§1 数系的扩充与复数的引入数的概念的扩展复数的有关概念§2 复数的四则运算复数的加法与减法复数的乘法与除法选修2-1第一章常用逻辑用语§1 命题§2 充分条件与必要条件充分条件必要条件充要条件§3 全称量词与存在量词全称量词与全称命题存在量词与特称命题全称命题与特称命题的否定§4 逻辑联结词“且”“或”“非” 逻辑联结词“且” 逻辑联结词“或” 逻辑联结词“非”第二章空间向量与立体几何§1 从平面向量到空间向量§2 空间向量的运算§3 向量的坐标表示和空间向量基本定理空间向量的标准正交分解与坐标表示空间向量基本定理空间向量运算的坐标表示§4 用向量讨论垂直与平行§5 夹角的计算直线间的夹角平面间的夹角直线与平面的夹角§6 距离的计算第三章圆锥曲线与方程§1 椭圆椭圆及其标准方程椭圆的简单性质§2 抛物线抛物线及其标准方程抛物线的简单性质§3 双曲线双曲线及其标准方程双曲线的简单性质§4 曲线与方程曲线与方程圆锥曲线的共同性质直线与圆锥曲线的交点选修2-2第一章推理与证明§1 归纳与类比归纳推理类比推理§2综合法与分析法综合法分析法§3 反证法§4 数学归纳法第二章变化率与导数§1 变化的快慢与变化率§2 导数的概念及其几何意义导数的概念导数的几何意义§3 计算导数§4 导数的四则运算法则导数的加法与减法法则导数的乘法与除法法则§5 简单复合函数的求导法则第三章导数应用§1 函数的单调性与极值导数与函数的单调性函数的极值§2 导数在实际问题中的应用实际问题中的导数的意义最大值、最小值问题第四章定积分§1 定积分的概念定积分的背景—面积和路程问题定积分§2 微积分基本定理§3 定积分的简单应用平面图形的面积简单几何体的体积第五章数系的扩充与复数的引入§1 数系的扩充与复数的引入数的概念的扩展复数的有关概念§2 复数的四则运算复数的加法与减法复数的乘法与除法选修2-3第一章计数原理§1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理分类加法计数原理分步乘法计数原理§2 排列§3 组合§4 简单计数问题§5 二项式定理二项式定理二项式系数的性质第二章概率§1 离散型随机变量及其分布列§2 超几何分布§3 条件概率与独立事件§4 二项分布§5 离散型随机变量的均值与方差§6 正态分布连续型随机变量正态分布第三章统计案例§1 回归分析回归分析相关系数可线性化的回归分析§2 独立性检验独立性检验独立性检验的基本思想独立性检验的应用选修3-1数学史选讲第一章数学发展概述§1 从数学的起源、早期发展到初等数学形成§2 从变量数学到现代数学第二章数与符号§1 数的表示与十进制§2 数的扩充§3 数学符号第三章几何学发展史§1 从经验几何到演绎几何§2 投影画与射影几何§3 解析几何第四章数学史上的丰碑——微积分§1 积分思想的渊源§2 圆周率§3 微积分第五章无限§1 初识无限§2 实数集的基数第六章明题赏析§1 费马大定理§2 哥尼斯堡七桥问题§3 高次方程§4 中国剩余定理§5 哥德巴赫猜想选修3-3 球面上的几何2007年5月第2版2009年5月第5次印刷第一章球面的基本性质§1 直线、平面与球面的位置关系§2 球面直线与球面距离第二章球面上的三角形§1 球面三角形球面上两直线的交角球面上的对称性球面三角形球面三角形的基本性质球面极三角形§2 球面三角形的全等§3 球面三角形的边角关系平面三角形的余弦定理和正弦定理球面三角形边的余弦定理球面三角形角的余弦定理和正弦定理§4 球面三角形的面积球面二角形球面三角形的面积第三章欧拉公式与非欧几何§1 球面上的欧拉公式球面三角部分球面上的欧拉公式球面上欧拉公式证明§2 简单多面体的欧拉公式凸多面体和简单多面体简单多面体的欧拉公式的证明§3 欧氏几何与球面几何的比较欧氏几何与球面几何的区别与联系另一种非欧几何选修4-1几何证明选讲2008年5月第3版2009年5月第3次印刷第一章直线、多边形、圆§1 全等与相似图形变化的不变形平移、旋转、反射相似与位似平行线分线段成比例定理直角三角形的射影定理§2 圆与直线圆周角定理圆的切线的判定和性质弦切角定理切割线定理相交弦定理§3 圆与四边形圆内接四边形托勒密定理第二章圆锥曲线§1 截面欣赏§2 直线与球、平面与球的位置关系直线与球的位置关系平面与球的关系§3 柱面与平面的截面柱面、旋转面垂直截面一般截面§4 平面截圆锥面圆锥面垂直截面一般截面§5 圆锥曲线的几何性质选修4-22008年6月第3版2009年5月第3次印刷第一章平面向量与二阶方阵§1 平面向量及向量的运算§2 向量的坐标表示及直线的向量方程§3 二阶方阵与平面向量的乘法第二章几何变换与矩阵§1 几种特殊的矩阵变换§2 矩阵变换的性质第三章变换的合成与矩阵乘法§1变换的合成与矩阵乘法§2 矩阵乘法的性质第四章逆变换与逆矩阵§1 逆变换与逆矩阵§2 初等变换与逆矩阵§3 二阶行列式与逆矩阵§4 可逆矩阵与线性方程组第五章矩阵的特征值与特征向量§1 矩阵变换的特征值与特征向量§2 特征向量在生态模型中的简单应用选修4-4坐标系与参数方程2007年5月第2版2009年5月第5次印刷第一章坐标系§1 平面直角坐标系平面直角坐标系与曲线方程平面直角坐标轴中的伸缩变换§2 极坐标系极坐标系的概念点的极坐标与直角坐标的互化直线与圆的极坐标方程曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化圆锥曲线统一的极坐标方程§3 柱坐标系和球坐标系第二章参数方程§1 参数方程的概念§2 直线和圆锥曲线的参数方程直线的参数方程圆的参数方程椭圆的参数方程双曲线的参数方程§3 参数方程化成普通方程§4 平摆线和渐开线平摆线渐开线选修4-5【不等式选讲】2007年5月第2版2009年5月第5次印刷第一章不等关系与基本不等式§1 不等式的性质§2 含有绝对值的等式§3 平均值不等式§4 不等式的证明§5 不等式的应用第二章几个重要的不等式§1 柯西不等式§2 排序不等式§3 数学归纳法与贝努利等式。

学科探究性学习论文“摸到红球的概率”一节是义务教育课程标准实验教科书《数学》九年级上册第六章。

新的实验教材无论从形式上还是从内容上都有了较大的改变，具有很强的趣味性和现实性，而且在教材的设计上注重由学生自己观察、操作、想象、总结来体现数学的概念和意义。

第六章介绍的是简单的概率知识，概率是研究随机现象统计规律的一门数学分科，主要研究的是“随机现象”，也就是“不确定事件”。

在从15、16世纪意大利数学家讨论过的“两人赌博提前结束，如何分配赌金的问题”，到现在购买彩票中奖的可能性有多大的问题，都是概率研究的对象，具有很强的现实意义。

“摸到红球的概率”是本章的第3节，在本节课之前，学生已经学习了“确定事件”和“不确定事件”，并且知道了“不确定事件”发生的可能性有大有小，而概率表示的正是“不确定事件”发生的大小。

本节课从摸球实验入手，由学生自己动手操作，进一步体会不确定事件发生的可能性的大小，了解计算一类事件发生可能性的计算方法，进一步体会概率的意义。

并且能够根据简单的概率公式进行基本的计算，在此基础上按要求设计简单的游戏。

针对以上内容，采用引导发现与归纳推理的教学方法，通过精心设计的实验和游戏由学生自己总结得出本节课的主要内容，自然的接受这一部分知识。

同时培养学生的动手操作能力，逻辑思维能力和分析总结能力，使学生充分体会数学实验在研究问题，探索规律中的作用。

教学目标依据课程标准教学大纲和上述分析，并结合我校九年级学生已有的知识和能力，确定的三维目标是：1．知识与能力目标（1）通过摸球游戏，了解并掌握计算一类事件（古典概型）发生可能性的方法，体会概率的意义；（2）能设计符合要求的简单概率模型，体会概率是描述不确定现象的数学模型，进一步发展随机观念；（3）能联系生活实际，应用概率知识解决问题，体会数学与现实生活的紧密联系，发展“用数学”的意识和能力．2．过程与方法目标通过实验、思考、讨论、交流、“有奖竞答”、“走进生活”等一系列教学活动，让学生积累丰富的数学活动经验，增强合作意识，培养交流能力.3．情感与态度目标（1）在各种有趣的数学活动中，让学生体验到学习的乐趣，从而提高对数学的学习兴趣；（2）通过“走进生活”这一教学环节，渗透德育教育.内容体系：概率是根据新课标增添的教学内容，它与现实生活联系非常密切. 本章的内容是九年级上册《频率与概率》一章的螺旋上升和发展，也是今后进一步学习概率统计的必备知识. 本课通过对摸到红球的概率进行展开讨论，让学生初步学会定量刻画一类事件（简单古典概型）的方法，对简单事件发生的可能性大小从以前的感性认识上升到现在的定量分析.（二）学情分析在本章的学习中，学生已接触了必然事件、不可能事件和不确定事件，初步体会了不确定事件的特点及事件发生可能性的意义，知道事件发生的可能性有大有小. 在本章前一节的学习中，学生通过对大量掷硬币实验数据的统计分析，得到掷硬币实验中正面或反面朝上的1，了解了事件发生的等可能性及游戏规则的公平可能性相同，都是2性.九年级学生的思维正处于由具体形象思维向抽象思维转变的阶段. 他们对具体现象比较感兴趣，对抽象概念的理解及运用（如本课概率的计算方法的理解）有一定的困难. 但该年龄段学生爱问好动，求知欲强，想象力丰富，他们对实验、活动、游戏等形式多样的教学方式很感兴趣，参与非常主动，希望在课堂上得到充分的展示和表现.我们首先进行下面一组摸球实验：实验1：教师准备一个只有一面透明的空盒子（学生用不透明塑料袋代替），将两个完全一样的红球放入盒子中，从盒子中任意摸出一球.实验结果：师生都摸出了一个红球.教师提问：“从盒中任意摸出一球是红球”是什么事件？它发生的可能性是多少？实验2：向只剩下一个红球的盒子里放入1个白球（除颜色外与红球完全相同），并将其摇匀，然后从盒子中任意摸出一球.实验结果：全班大致有一半的同学摸出了红球，其余的同学摸出了白球.教师提问：“从盒中任意摸出一球是红球”是什么事件？“从盒中任意摸出一球是白球”是什么事件？二者发生的可能性相等吗？可能性是多少？该实验与我们以前的哪个游戏相仿呢？实验3：把刚才摸出的球放回盒中，再向盒中放入2个红球，这时盒中有3个红球，1个白球. 然后从盒中任意摸出一球.（摸球之前先让学生猜一猜会摸到哪种颜色的球.）实验结果：大多数同学摸出了红球，其余的同学摸出了白球.教师提问：上述实验中，“从盒中任意摸出一球是红球”与“从盒中任意摸出一球是白球”的可能性相等吗？如果不相等，哪件事发生的可能性大呢？这个可能性究竟是多少呢？能用一个准确的数值来表示吗？从实验引入，既有利于培养学生的动手实践能力，又有利于调动学生学习的积极性和参与热情.通过环环相扣的3个实验，在教师的提问引导下，学生在复习旧知的同时，很自然地带着问题进入新知的探究.为进一步引导学生，教师再提出如下问题：在实验3中，（1）如果将每个球都编上号码，分别记为1号球（红）、2号球 （红）、3号球（红）、4号球（白），那么摸到每个球的可能性一样吗？（2）任意摸出一球，可能出现的结果有几种？哪几种？（3）“摸到红球”可能出现的结果有几种？哪几种？（4）你认为“摸到红球”的可能性是多少呢？你是怎样得出的？与同伴进行交流.（这里是对概率意义理解的难点，教师可引导学生回顾上节课中，我们通过大量实验，借助频率折线统计图得出抛硬币实验中的规律——正面（或反面）朝上的可能性是两种等可能性中的一种，发生的可能性是21.有了这一基础，再引导学生通过理解这里的“21”中“1”、“2”的含义，进而对实验3的情形进行思考、讨论、交流，就容易理解了.）在学生独立思考的基础上，通过讨论交流得到：43==的结果数摸出一球所有可能出现果数摸出红球可能出现的结摸到红球的可能性 教师再进一步指出，人们通常用n m n m A A P ==所有可能出现的结果数可能出现的结果数事件）（（其中m 、n 为整数，0≤m ≤n ）来表示事件A 发生的可能性，也称为事件A 发生的概率（probability ）.如，实验3中43=（摸到红球）P ．你能表示实验3中“摸到白球” 的概率吗？接下来引导学生归纳：①1=（必然事件）P ； ②0=（不可能事件）P ； ③10<<（不确定事件）P ． 在前期知识积累的基础上，通过教师层层设问引导，学生自主探究和讨论交流得出简单古典概型的概率计算方法。