2013年福建省福州市中考数学试题含答案

2013年福建省龙岩市初中毕业、升学考试数学试题(满分：150分，考试时间：120分钟)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求) 1．(2013福建龙岩，1，4分)计算：5＋(－2)＝( )A．3 B．－3 C．7 D．－7【答案】A2．(2013福建龙岩，2，4分)右图是由四个相同的小正方体组合而成的立体图形，它的俯视图是( )A B C D 正面【答案】C3．(2013福建龙岩，3，4分)下列计算正确的是( )A．a＋a＝a2B．a2·a3＝a6C．(－a3)2＝－a6D．a7÷a5＝a2【答案】D4．(2013福建龙岩，4，4分)下列图形，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是( ) A．等边三角形B．平行四边形C．正五边形D．正六边形【答案】D5．(2013福建龙岩，5，4分)在九年级某次体育测试中，某班参加仰卧起坐测试的一组女生(每组8人)成绩如下(单位：次/分)：45、44、45、42、45、46、48、45，这组数据的平均数、众数分别为( ) A．44、45 B．45、45 C．44、46 D．45、46【答案】B6．(2013福建龙岩，6，4分)如图，A、B、P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB＝45°，则弦AB的长为( )2D．4A．2B．2 C．2【答案】C7．(2013福建龙岩，7，4分)若我们把十位上的数字比个位和百位上的数字都大的三位数称为凸数，如：786，465．则由1，2，3这三个数字构成的，数字不重复的三位数是“凸数”的概率是()A ．31B ．21C ．32D ．65【答案】A8．(2013福建龙岩，8，4分)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠ 0)的图象如图所示，则下列选项正确的是( )A ．a > 0B ．c > 0C ．ac > 0D ．bc < 0【答案】C9．(2013福建龙岩，9，4分)如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD 和CEFG 并排放在一起，连结BD 并延长交EG 于点T ，交FG 于点P ，则GT ＝( )A ．2B ．22C ．2D ．1【答案】B10．(2013福建龙岩，10，4分)如图，在平面直角坐标系xoy 中，A(0，2)，B(0，6)，动点C 在y ＝x 上．若以A 、B 、C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C 的个数是()A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B二、填空题(本大题共7小题，每小题3分，共21分)11．(2013福建龙岩，11，3分)分解因式a 2＋2a ＝_____________．【答案】a(a ＋2)12．(2013福建龙岩，12，3分)已知x ＝3是方程x 2－6x ＋k ＝0的一个根，则k ＝______．【答案】913．(2013福建龙岩，13，3分)已知|a －2|＋3b＝0，则a b＝_______．【答案】814．(2013福建龙岩，14，3分)如图，P A 是⊙O 的切线，A 为切点，B 是⊙O 上一点，BC ⊥AP 于点C ，且OB ＝BP ＝6，则BC ＝_________．【答案】315．(2013福建龙岩，15，3分)如图，AB // CD ，BC 与AD 相交于点M ，N 是射线CD 上的一点．若∠B ＝65°，∠MDN ＝135°，则∠AMB ＝________．【答案】70°16．(2013福建龙岩，16，3分)下列说法：①对顶角相等；②打开电视机，“正在播放《新闻联播》”是必然事件；③若某次摸奖活动中奖的概率是51，则摸5次一定会中奖；④想了解端午节期间某市场粽子的质量情况，适合的调查方式是抽样调查；⑤若甲组数据的方差S 2＝0.01，乙组数据的方差S 2＝0.05，则乙组数据比甲组数据更稳定．其中正确的说法是_______________．(写出所有正确说法的序号)【答案】①④17．(2013福建龙岩，17，3分)对于任意非零实数a 、b ，定义运算“”，使下列式子成立：12＝23，21＝23，(－2)5＝1021，5(－2)＝1021，,，则ab ＝_________．【答案】abba22三、解答题(本大题共8小题，共89分) 18．(2013福建龙岩，18，10分)(1)计算：32)1()3(820133；(2)解方程：112124x xx ．【答案】(1)解：原式＝2－1＋(－1) ＋2－3＝2－3；(2)解：方程两边同乘(2x ＋1)，得：4＝x ＋2x ＋1，3＝3x ，x ＝1，检验：把x ＝1代入2x ＋1＝3 ≠ 0，∴原分式方程的解为x ＝1．19．(2013福建龙岩，19，8分)先化简，再求值：321943322xxx x ，其中x ＝2．【答案】解：原式＝3213)32)(32(32xx x x x ＝3x 当x ＝2时，原式＝32．20．(2013福建龙岩，20，10分)如图，四边形ABCD 是平行四边形，E 、F 是对角线AC 上的两点，∠1＝∠2．(1)求证：AE ＝CF ；(2)求证：四边形EBFD 是平行四边形．【答案】(1)证明：(法一)如图①：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD // BC，∠3＝∠4，∵∠1＝∠3＋∠5，∠2＝∠4＋∠6，∠1＝∠2，∴∠5＝∠6，∴△ADE ≌△CBF，∴AE＝CF；(法二)如图②，连接BD交AC于点O，在平行四边形ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，∵∠1＝∠2，∠7＝∠8，∴△BOF≌△DOE，∴OE＝OF，∴OA－OE＝OC－OF，即：AE＝CF．(2)证明：(法一)如图①，∵∠1＝∠2，∴DE // BF，∵△ADE≌△CBF，∴DE＝BF，图②图①∴四边形EBFD是平行四边形．(法二)如图②∵OE＝OF，OB＝OD，∴四边形EBFD是平行四边形．21．(2013福建龙岩，21，10分)某市在2013年义务教育质量监测过程中，为了解学生的家庭教育情况，就八年级学生平时主要和谁在一起生活进行了抽样调查．下面是根据这次调查情况制作的不完整的频数分布表和扇形统计图．频数分布表代码和谁一起生活频数频率A 父母4200 0.7B 爷爷奶奶660 aC 外公外婆600 0.1D 其它B0.09合计6000 1A 父母B 爷爷奶奶C 外公外婆D 其它根据上述信息，回答下列问题：(1)a＝______，b＝______；(2)在扇形统计图中，和外公外婆一起生活的学生所对应扇形圆心角的度数是______；(3)若该市八年级学生共有3万人，估计不与父母一起生活的学生有_________人．【答案】(1) 0.11 ，540 ；(2)36°；(3)9000．22．(2013福建龙岩，22，12分)如图①，在矩形ABCD中，AB＝3＋1，AD＝3．(1)如图②，将矩形纸片向上方翻折，使点D 恰好落在AB 边上的D'处，压平折痕交CD 于点E ，则折痕AE 的长为____________；(2)如图③，再将四边形BCED' 向左翻折，压平后得四边形B'C'ED'，B'C'交AE 于点F ，则四边形B'FED'的面积为____________；(3)如图④，将图②中的△AED'绕点E 顺时针旋转α角，得△A'ED''，使得EA'恰好经过顶点B ，求弧D'D''的长．(结果保留π)【答案】(1)6；(2)213；(3)∵∠C ＝90°，BC ＝3，EC ＝1，∴tan ∠BEC ＝3CEBC ，∴∠BEC ＝60°，由翻折知：∠DEA ＝45°，∴∠AEA ′＝75°＝∠D ′ED ′′，∴'''D D l ＝12353236075．23．(2013福建龙岩，23，12分)某公司欲租赁甲、乙两种设备，用来生产A 产品80件、B 产品100件．已知甲种设备每天租赁费为400元，每天满负荷可生产A 产品12件和B 产品10件；乙种设备每天租赁费为300元，每天满负荷可生产A 产品7件和B 产品10件．(1)若在租赁期间甲、乙两种设备每天均满负荷生产，则需租赁甲、乙两种设备各多少天恰好完成生产任务？(2)若甲种设备最多只能租赁5天，乙种设备最多只能租赁7天，该公司为确保完成生产任务，决定租赁这两种设备合计10天(两种设备的租赁天数均为整数)，问该公司共有哪几种租赁方案可供选择？所需租赁费最少是多少？【答案】解：(1)设需租赁甲、乙两种设备分别为x 、y 天．则依题意得：100101080712yxy x ，解得82yx ，答：需租赁甲种设备2天，乙种设备8天．(2)设租赁甲种设备a 天，乙种设备(10 －a)天，总费用为w 元．依题意得：100)10(101080)10(7127105a aa a aa，∴3≤a ≤5，∵a 为整数，∴a ＝3，4，5．方法一：∴共有三种方案．方案(1)甲3天，乙7天，总费用400×3＋300×7＝3300；方案(2)甲4天，乙6天，总费用400×4＋300×6＝3400；方案(3)甲5天，乙5天，总费用400×5＋300×5＝3500；∵3300 < 3400 < 3500，∴方案(1)最省，最省费用为3300元．方法二：则w ＝400a ＋300(10－a)＝100a ＋3000∵100 > 0，∴w 随a 的增大而增大，∴当a ＝3时，w最小＝3300.答：共有3种租赁方案：①甲3天，乙7天；②甲4天，乙6天；③甲5天，乙5天．最少租赁费用为3300元．方法三：能用穷举法把各种方案枚举出来，并得出三种符合条件的方案，求出最少费用．24．(2013福建龙岩，24，13分)如图，将边长为4的等边三角形AOB 放置于平面直角坐标系xoy 中，F 是AB 边上的动点(不与端点A 、B 重合)，过点F 的反比例函数y ＝xk (k > 0，x > 0)与OA 边交于点E ，过点F 作FC ⊥x 轴于点C ，连结EF 、OF ．(1)若S △OCF ＝3，求反比例函数的解析式；(2)在(1)的条件下，试判断以点E 为圆心，EA 长为半径的圆与y 轴的位置关系，并说明理由；(3)AB 边上是否存在点F ，使得EF ⊥AE ？若存在，请求出BF ∶FA 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)设F(x ，y)，(x > 0，y > 0)，则OC ＝x ，CF ＝y ，∴S △OCF ＝21xy ＝3，∴xy ＝32，∴k ＝32，∴反比例函数解析式为y ＝x32(x > 0)（2）该圆与y 轴相离理由：如图①，过点E 作EH ⊥x 轴，垂足为H ，过点E 作EG ⊥y 轴，垂足为G ．在△AOB 中，OA ＝AB ＝4，∠AOB ＝∠ABO ＝∠A ＝60°．设OH ＝m ，则tan ∠AOB ＝3OHEH ，∴EH ＝m 3，OE ＝2m ，∴E 坐标为(m ，3m)，∵E 在反比例y ＝x32图象上，∴3m ＝m32，∴m 1＝2，m 2＝－2(舍去)．∴OE ＝22，EA ＝4－22，BG ＝2，∵4－22<2，∴EA < EG ，∴以E 为圆心，EA 长为半径的圆与y 轴相离．（3）存在．(如图②)方法一：假设存在点F ，使AE ⊥FE ．过点F 作FC ⊥OB 于点C ，过E 点作EH ⊥OB 于点H ．设BF ＝x ．∵△AOB 是等边三角形，∴AB ＝OA ＝OB ＝4，∠AOB ＝∠ABO ＝∠A ＝60°，∴BC ＝FB ·cos ∠FBC ＝x 21，FC ＝FB ·sin ∠FBC ＝23x ，∴AF ＝4－x ，OC ＝OB －BC ＝4－x 21，∵AE ⊥FE ，∴AE ＝AF ·cos ∠A ＝2－x 21，∴OE ＝OA －AE ＝x 21＋2，∴OH ＝OE ·cos ∠AOB ＝141x，EH ＝OE ·sin ∠AOB ＝343x，∴E(141x，343x )，F(4 －x 21，23x) ∵E 、F 都在双曲线y ＝xk 的图象上，∴(141x )(343x )＝(4 －x 21)·23x ，图①解得x 1＝4，x 2＝54．当BF ＝4时，AF ＝0，AFBF 不存在，舍去，当BF ＝54时，AF ＝516，AF BF ＝41．方法二：假设存在点F ，使AE ⊥FE ．过点E 作EH ⊥OB 于H ．∵△AOB 是等边三角形，设E(m ，3m)，则OE ＝2m ，AE ＝4－2m ．∴AB ＝OA ＝AB ＝4，∠AOB ＝∠ABO ＝∠A ＝60°，∵cos ∠A ＝AF AE ＝21，∴AF ＝2AE ＝8－2m ，FB ＝4m －4．∴FC ＝FB ·sin ∠FBC ＝23m －23，BC ＝FB ·cos ∠FBC ＝2m －2，∴OC ＝6－2m ，∴F(6－2m ，23m －23)，∵E 、F 都在双曲线y ＝x k上，∴m ·3m ＝(6－2m)(23m －23)，化简得：5m 2－16m ＋12＝0，解得m 1＝2，m 2＝56．当m ＝2时，AF ＝8－4m ＝0，BF ＝4，F 与B 重合，不合题意，舍去；当m ＝56时，AF ＝8－4m ＝516，BF ＝4 －516＝54，∴BF ∶FA ＝1∶4．25．(2013福建龙岩，25，14分)如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 交于点O ，且AC ＝80，BD＝60．动点M 、N 分别以每秒1个单位的速度从点A 、D 同时出发，分别沿A →O →D 和D →A 运动，图②当点N 到达点A 时，M 、N 同时停止运动．设运动时间为t 秒．(1)求菱形ABCD 的周长；(2)记△DMN 的面积为S ，求S 关于t 的解析式，并求S 的最大值；(3)当t ＝30秒时，在线段OD 的垂直平分线上是否存在点P ，使得∠DPO ＝∠DON ？若存在，这样的点P 有几个？并求出点P 到线段OD 的距离；若不存在，请说明理由．【答案】（1）如图①)在菱形ABCD 中，OA ＝21AC ＝40，OD ＝21BD ＝30，∵AC ⊥BD ，∴AD ＝50403022，∴菱形ABCD 的周长为200．（2）(如图②)过点M 作MP ⊥AD 于点P ．①(如图②甲)①当0 < t ≤40时，∵sin ∠OAD ＝53AD OD AM MP ，∴MP ＝53t ，图①∴S ＝21DN ·MP ＝103t 2．②(如图②乙)当40 < t ≤50时，∴MD ＝80－t ，∵sin ∠ADO ＝AD AO MD MP，∴MP ＝54(70 －t)，∴S ＝21DN ·MP＝52t 2＋28t＝52(t －35)2＋490．∴S ＝5040490)35(5240010322t t tt ，，当0 < t ≤40时，S 随t 的增大而增大，当t ＝40时，最大值为480．当40 < t ≤50时，S 随t 的增大而增大，当t ＝40时，最大值为480．综上所述，S 的最大值为480．(3)存在2个点P ，使得∠DPO ＝∠DON ．方法一：(如图③)过点N 作NF ⊥OD 于点F ，则NF ＝ND ·sin ∠ODA ＝30×5040＝5120＝24，DF ＝ND ·cos ∠ODA ＝30×5030＝590＝18，∴OF ＝12，甲乙图②∴tan ∠NOD ＝21224OF NF ．作∠NOD 的平分线交NF 于点G ，过点G 作GH ⊥ON 于点H ．∴S △ONF ＝21OF ·NF ＝S △OGN ＋S △OFG ＝21OF ·FG +21ON ·GH ＝21(OF ＋ON)·FG ，∴FG ＝5124512122412ON OF NF OF ，∴tan ∠GOF ＝512125124OF GF ，设OD 中垂线与OD 的交点为K ，由对称性可知：∴∠DPK ＝21∠DPO ＝21∠DON ＝∠FOG ，∴tan ∠DPK ＝51215PK PK DK ，∴PK ＝2)15(15，根据菱形的对称性可知，在线段OD 的下方存在与点P 关于OD 成轴对称的点P′，∴存在两个点P 到OD 的距离都是2)15(15．方法二：(如图④) 作ON 的垂直平分线，交EF 于点I ，连接OI ，IN ．过点N 作NG ⊥OD ，NH ⊥EF ，垂足分别为G ，H ．当t ＝30时，DN ＝OD ＝30，易知△DNG ∽△DAO ，图③∴OD DG AO NG DA DN．即：30504030NG DG ，∴NG ＝24，DG ＝18．∵EF 垂直平分CD ，∴OE ＝ED ＝15，EG ＝NH ＝3，设OI ＝R ，EI ＝x ，则在Rt △OEI 中，有R 2＝152＋x 2,,①在Rt △NIH 中，有R 2＝32＋(24 －x)2,,②由①、②可得：2515215R x∴PE ＝PI ＋IE ＝2)15(15．根据对称性可得，在BD 下方还存在一个点P ′也满足条件，∴存在两个点P ，到OD 的距离都是2)15(15．图④＋－×÷＝≤≥＜＞⊥∥∠⊙≌∽∵∴±．。

0
A
E B D F 第 15 题图 A C
1 8
(2) 已知 a ＋2a＝－1，求 2a(a＋1)－(a＋2)(a－2)的值．
D F
2
B 爱心 用心 专心
E 第 17(1)题图
C 2
天一教育
此刻学习我将圆梦
3
17．(每小题 8 分，共 16 分) (1) 如图，在△ABC 中，AB＝AC，点 D、E、F 分别是△ABC 三边的中点． 求证：四边形 ADEF 是菱形．
(2) 一艘轮船在静水中的最大航速为 20 千米/时，它沿江以最大航速顺流航行 100 千米所用时间与以最大 航速逆流航行 60 千米所用时间相等，江水的流速为多少？
18．(10 分)有一个袋中摸球的游戏．设置了甲、乙两种不同的游戏规则： 甲规则：
第一次 红1 红2 黄1 黄2
第二次
红2
黄1
黄2
红1
在乙游戏规则中，从列表看出，所有可能出现的结果共有 16 种，这些结果出现的可能性相同，而颜色 相同的两个小球共有 8 种． 8 1 ∴P(颜色相同) ＝ ＝ ． 16 2 1 1 ∵ ＜ ， 3 2 ∴乙游戏规则摸到颜色相同的小球的可能性更大． 19．(12 分) 1 (1) 2
A
„„„„„8 分 „„„„„9 分
„„„„„10 分
„3 分(2) 标出点 D， „„„8 分
„5 分
连接 CD．
„„„7 分
B D E F C
(3) 解：连接 BD，
∵∠BED＝90°，BE＝DE＝1， ∴∠EBD＝∠EDB＝45°，BD＝ BE ＋DE ＝ 1 ＋1 ＝ 2．
2 2 2 2
„„9 分
Hale Waihona Puke 爱心用心专心

2013年福州市高中毕业班质量检查数学（理科）试卷参考答案及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，共50分．1.A2.C3.C4.A5.D6.B7.A8.C9.D 10.D二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，共20分．11．1 12．3 13．②③④ 14．81 15．122三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．本题考查平面向量的数量积、三角函数的图象与性质、诱导公式、解三角形等基础知识，考查运算求解能力及数形结合思想、化归与转化思想等，满分13分．解：（Ⅰ）依题意得()sin 33f x x x ππ=+………………………………………1分2sin()33x ππ=+ …………………………………………………………………3分所以函数()f x 的值域为[2,2]-．………………………………………………………5分 （Ⅱ）方法一 由（Ⅰ）知，()2sin()33f x x ππ=+(1)2sin 33f ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭(3)2sin 3f π=-=………………………………6分从而 (3),3,3)M N .………………………………………………7分∴2,OM ON ====4,MN ==……………………………………………9分根据余弦定理得222cos 02OM ON MN MON OM ON +-∠===. ∴90MON ∠= ，…………………………………………………………………10分 △MON的面积为11222S OM ON ==⨯⨯=…………13分 方法二 同方法一得：(1(3,M N .…………………………………………7分则(1(3,OM ON == . ………………………………………………8分13(0OM ON ⋅=⨯= .……………………………………………10分所以90MON ∠=， OM ON ⊥ 即 △MON的面积为11222S OM ON ==⨯⨯=……………13分 方法三 同方法一得：(1(3,M N .…………………………………………7分 直线OM的方程为y =0y -=. …………… …………………8分点N 到直线OM的距离为d ==分又因为2,OM =，………………………………………………………………11分 所以△MON的面积为11222S OM d =⋅=⨯⨯=分 17．本题考查抽样、独立性检验、离散型随机变量的分布列与期望等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等，满分13分．解：（Ⅰ）由甲抽取的样本数据可知，投篮成绩优秀的有7人，投篮成绩不优秀的有5人． X 的所有可能取值为0,1,2．……………………………………………………1分 所以25212C 5(0)C 33P X ===，1175212C C 35(1)C 66P X ===，27212C 217(2)C 6622P X ====．…4分 故X 的分布列为分∴53577()0123366226E X =⨯+⨯+⨯=． ……6分 （Ⅱ…………7分 2K 的观测值212(6411) 5.1827557k ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯>3.841，……………………………9分 所以有95%以上的把握认为投篮成绩与性别有关． ……………………10分 （Ⅲ）甲用的是系统抽样，乙用的是分层抽样． ……………………11分由（Ⅱ）的结论知，投篮成绩与性别有关，并且从样本数据能看出投篮成绩与性别有明显差异，因此采用分层抽样方法比系统抽样方法更优． ……………………13分 18．本小题主要考查直线与直线，直线与平面，平面与平面位置关系等基础知识；考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力．满分13分．（Ⅰ）如图，连接ED ，∵⊥EA 底面ABCD 且EA FD //，∴⊥FD 底面ABCD ,∴AD FD ⊥,∵D CD FD AD DC =⋂⊥，,∴⊥AD 面FDC , ----------------1分∴32221213131=⨯⨯⨯⨯=⋅=∆-FDC FCD E S AD V , --------2分E ABCD V -=13EA ⋅ ABCD S 1822233=⨯⨯⨯= , -------------3分 ∴多面体EABCDF 的体积310=+=--ABCD E FCD E V V V 多面体．--------------5分 （Ⅱ）以点A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，AD 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，如图．由已知可得A (0,0,0),E (0,0,2),B (2,0,0),C (2,2,0),F (0,2,1),所以)1,2,0(,),2,0,2(),222(-=-=-=EF EB ，，EC ------7分设平面ECF 的法向量为),,(z y x =n ，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00EF n n 得：⎩⎨⎧=-=-+,02,0222z y z y x 取y =1,得平面ECF 的一个法向量为(1,1,2)=n ------9分设直线EB 与平面ECF 所成角为θ， 所以sin |cos ,|EB θ= n ||||||EB EB ⋅=⋅ nn ==----11分 （Ⅲ）取线段CD 的中点Q ；连接KQ ，直线KQ 即为所求． ---------------12分图上有正确的作图痕迹………………………………13分19．本题主要考查直线、椭圆等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想和化归与转化思想等，满分13分．解：（Ⅰ）设曲线C 上任意一点P 的坐标为),(y x ． 依题意22ab a x y a x y k k PB PA -=-⋅+=⋅，且a x ±≠，………………３分 整理得12222=+b y a x ．所以，曲线C 的方程为：12222=+by a x ，a x ±≠．………5分 （Ⅱ）由⎪⎩⎪⎨⎧+==+,,12222h kx y b y a x 得0)(2)(22222222=-+++b h a hkx a x k a b ，()422222222222244()0,a h k b a k a h b b a k h ∴∆=-+-<+<即，……7分 由已知条件可知)0,-(khM ，),0(h N ，所以 ab b a k a k b b a k a b k k a b h k h MN 2||2222222222222222222++≥+++=+++>+=， 从而22)(||b a MN +>， 即b a MN +>||． ………………13分20．（本小题满分14分）本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想．满分14分．解：2)2(211)(+-+='x a x x f 22)2)(1()24()24(++-+-+=x x a x a x ． （Ⅰ）当0=a 时，0)0(=f ，切线的斜率1)0(='=f k ，所以切线方程为x y =，即0=-y x ． ……3分（Ⅱ）当0>a 时，因为0>x ，所以只要考查)24()24()(2a x a x x g -+-+=的符号． 由0)24(4)24(2≤---=∆a a ，得20≤<a ，当20≤<a 时，0)(>x g ，从而0)(>'x f ，)(x f 在区间),0(+∞上单调递增； 当2>a 时，由0)(=x g 解得a a a x 222-+-=． ……6分当x 变化时，)(x f '与)(x f 的变化情况如下表：函数)(x f 在区间)22,0(2a a a -+-单调递减，在区间),22(2+∞-+-a a a 上单调递增． ……9分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当2=a 时，)(x f 在区间),0(+∞上单调递增； 所以0)0(22)1ln()(=>+-+=f x x x x f ， 即)1ln(22x x x +<+对任意),0(+∞∈x 成立． ……11分 取kx 1=，n k ,,3,2,1 =， 得121ln(1)12k k k<++，即k k k ln )1ln(122-+<+，n k ,,3,2,1 =．……13分 将上述n 个不等式求和,得到:∑∑==-+<+n k nk k k k 11]ln )1[ln(122，即不等式1ln 1215131+<++++n n 对任意*N ∈n 成立． ……14分21．（1）选修4-2：矩阵与变换本小题主要考查矩阵与变换、矩阵的特征值与特征向量等基础知识，考查运算求解能力．满分7分．解：（Ⅰ）依题意⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2213T ，所以42213det ==T ， 所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-432141211T ． ----------3分 （Ⅱ）由βα=T ，得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==-2165432141211βαT ． ----------7分 （2）选修4-4：坐标系与参数方程本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，满分7分．解：（Ⅰ）由θθρsin 8cos 6+=，得θρθρρsin 8cos 62+=，所以圆C 的直角坐标方程为08622=--+y x y x ，即2225)4()3(=-+-y x ．………………………………………………3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin 54,cos 53y x （θ为参数）. 所以)4sin(257πθ++=+y x ， ………………………5分 因此当ππθk 24+=，Z ∈k 时，y x +取得最大值为257+，且当y x +取得最大值时点P 的直角坐标为)2254,2253(++．……………7分（3）选修4－5：不等式选讲本小题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算求解能力，满分7分． 解：（Ⅰ）依题意，当1=x 时不等式成立，所以3|1|3≤-+m ，解得1=m ， 经检验，1=m 符合题意． ---------------------3分（Ⅱ）由（Ⅰ）知132222=++c b a ．根据柯西不等式， 得6])3()2()[321()32(2222222=++++≤++c b a c b a ，-----------------5分 所以6326≤++≤-c b a ， 当且仅当66===c b a 时，取得最大值6，66-===c b a 时，取得最小值6-， 因此c b a 32++的取值范围是]6,6[-． --------------------7分。

数学试题 第1页（共4页）2013年福建省南平市初中毕业、升学考试数 学 试 题（满分：150分；考试时间：120分钟）★友情提示：① 所有答案都必须填在答题卡相应的位置上，答在本试卷上一律无效；② 可以携带使用科学计算器，并注意运用计算器进行估算和探究； ③ 未注明精确度、保留有效数字等的计算问题不得采取近似计算．★参考公式：抛物线c bx ax y ++=2（a ≠0）的对称轴是，a b x 2-=顶点坐标是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 4422， 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个正确的选项，请在答题卡．．．的相应位置填涂） 1．21-的倒数是A ．－2B ．2C ．21-D ．212．如图是由六个棱长为1的正方体组成的一个几何体，其主．视图的面积．．．．．是 A ．3 B ．4C ．5D ．6 3．下列图形中，不是．．中心对称图形的是 A ．平行四边形 B ．矩形 C ．菱形 D ．等边三角形4．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，DE ∥BC ，∠ADE ＝48°， 则下列结论中不正确．．．的是 A ．∠B ＝48° B ．∠AED ＝66° C ．∠A ＝84° D ．∠B +∠C ＝96° 5．以下事件中，必然．．发生的是A ．打开电视机，正在播放体育节目B ．正五边形的外角和为180°C ．通常情况下，水加热到100℃沸腾D ．掷一次骰子，向上一面是5点 6．如图，在⊙O 中，直径CD ⊥弦AB ，则下列结论中正确．．的是 A ． AD =AB B ．∠BOC =2∠D C ．∠D +∠BOC =90° D ．∠D =∠B（第6题图）ODCBA（第2题图）（第4题图）CE BDA数学试题 第2页（共4页）7A ．32，32B ．32，30C ．30，30D ．30，328．关于x 的一元二次方程02222=++-m x x 的根的情况是 A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．无法确定9．给定一列按规律排列的数： ,174,103,52,21，则这列数的第6个数是A ．376B ．356C ．315D ．39710．如图，Rt △ABC 的顶点B 在反比例函数xy 12= 的图象上，AC 边在x 轴上，已知∠ACB =90°， ∠A =30°，BC =4，则图中阴影部分的面积是 A ．12 B ．34C ．3312-D ．32312-二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．请将答案填入答题卡．．．的相应位置）11．计算：327＝ ．12．甲、乙、丙、丁四位同学在5次数学测验中，他们成绩的平均数相同，方差分别为5.52=甲s ，5.42=乙s ，5.62=丙s ，3.42=丁s ，则成绩最稳定的同学是 ．13．写出一个第二象限内的点的坐标：（ ， ）． 14．分解因式：3632++a a = ． 15．计算：32)(b a ＝ ．16．长度分别为3cm，4cm ，5cm ，9cm 的四条线段，任取其中三条能组成三角形的概率是 ．17．分式方程xx 332=-的解是 ．18．设点P 是△ABC 内任意一点．现给出如下结论：① 过点P 至少存在一条直线将△ABC 分成周长相等的两部分； ② 过点P 至少存在一条直线将△ABC 分成面积相等的两部分； ③ 过点P 至多存在一条直线将△ABC 分成面积相等的两部分；④ △ABC 内存在点Q ，过点Q 有两条直线将其平分成面积相等的四个部分. 其中结论正确的是 .（写出所有正确结论的序号） （第10题图）数学试题 第3页（共4页）三、解答题（本大题共8小题，共86分．请在答题卡．．．的相应位置作答） 19．（1）（7分）计算：()91522--π+⨯-．（2）（7分）化简：2122442--++-a a a ．20．（8分）解不等式组：21．（8分）如图，在□ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，AD上，且BE =FD ，求证：四边形AECF 是平行四边形．22．（10分）初中生在数学运算中使用计算器的现象越来越普遍，某校一兴趣小组随机抽查了本校若干名学生使用计算器的情况．以下是根据抽查结果绘制出的不完整的条形统计图和扇形统计图：请根据上述统计图提供的信息，完成下列问题： （1）这次抽查的样本容量是 ； （2）请补全上述条形统计图和扇形统计图；（3）若从这次接受调查的学生中，随机抽查一名学生恰好是“不常用”计算器的概率是多少？23．（10分）某校为了实施“大课间”活动，计划购买篮球、排球共60个，跳绳120根.已知一个篮球70元，一个排球50元，一根跳绳10元. 设购买篮球x 个，购买篮球、 排球和跳绳的总费用为y 元. （1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）若购买上述体育用品的总费用为4 700元，问篮球、排球各买多少个？① ② ⎪⎩⎪⎨⎧>+<-x x x 321052 EC DFA（第21题图）常用62.5%不常用 %不用%使用计算器情况的统计图使用计算器情况的统计图类别　人数（第22题图）数学试题 第4页（共4页）24．（10分）2013年6月11日，“神舟”十号载人航天飞船发射成功！如图，飞船完成变轨后，就在离地球（⊙O ）表面约350 km 的圆形轨道上运行.当飞船运行到某地（P 点）的正上方（F 点）时，从飞船上能看到地球表面最远的点Q （FQ 是⊙O 的切线）. 已知地球的半径约为6 400 km ．求：（1）∠QFO 的度数；（结果精确到0.01°）（2）地面上P ，Q 两点间的距离（PQ 的长）．（π取3.142，结果保留整数）25．（12分）在矩形ABCD 中，点E 在BC 边上，过E 作EF ⊥AC 于F ，G 为线段AE 的中点，连接BF 、FG 、GB . 设BCAB＝k ．（1）证明：△BGF 是等腰三角形；（2）当k 为何值时，△BGF 是等边三角形？（3）我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．事实上，在一个三角形中，较大的边所对的角也较大；反之也成立．利用上述结论，探究：当△BGF 分别为锐角、直角、钝角三角形时，k 的取值范围.26．（14分）如图，已知点A （0，4），B （2，0）．（1）求直线AB 的函数解析式；（2）已知点M 是线段AB 上一动点（不与点A 、B 重合），以M 为顶点的抛物线()n m x y +-=2与线段OA 交于点C .① 求线段AC 的长；（用含m 的式子表示）② 是否存在某一时刻，使得△ACM 与△AMO 相似？ 若存在，求出此时m 的值.G EA B C D F(（第24题图）（第26题图）数学试题 第5页（共4页）2013年福建省南平市初中毕业、升学考试数学试题参考答案及评分说明说明：（1） 解答右端所注分数，表示考生正确作完该步应得的累计分数，全卷满分150分． （2） 对于解答题，评卷时要坚持每题评阅到底，勿因考生解答中出现错误而中断本题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的考试要求，可酌情给分，但原则上不超过后面应得分数的一半，如果有较严重的错误，就不给分．（3） 如果考生的解法与本参考答案不同，可参照本参考答案的评分标准相应评分． （4） 评分只给整数分．一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．A ； 2．B ； 3．D ； 4．B ； 5．C ； 6．B ； 7．C ； 8．C ； 9．A ； 10．D ．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．3； 12．丁； 13．符合要求即可； 14．()213+a ； 15．36b a ；16．41(或0.25)； 17．9=x ；18．① ② ④．三、解答题（本大题共8小题，共86分）19．（1）解：原式＝3)1π(54--+⨯ ············································································· 4分 ＝31π20--+ ··················································································· 6分 ＝π16+ ······························································································· 7分 （2）解：原式)2)(2(2)2)(2()2(2)2)(2(4-++--+-+-+=a a a a a a a a ···························· 4分)2)(2()2(424-++--+=a a a a ·········································································· 5分)2)(2(2-+-=a a a ··················································································· 6分21+=a ·································································································· 7分 20．解：由①得 52<x ···································································································· 2分数学试题 第6页（共4页）25<x ··································································································· 3分 由②得 132－－>x x ·························································································· 4分131－>x ·························································································· 5分 3－>x ····························································································· 6分∴不等式组的解集为 253<<-x ····································································· 8分21．证法一：在□ABCD 中，AD =BC 且AD ∥BC ······································ 3分 ∵BE =FD ，∴AF =CE ··································· 6分 ∴四边形AECF 是平行四边形 ···················· 8分证法二：在□ABCD 中，AB =CD 且∠B =∠D ··························································· 3分 又∵BE =FD ，∴△ABE ≌△CDF ················································································ 4分 ∴AE =CF ····················································································································· 5分 又∵在□ABCD 中，AD =BC ，BE=FD ，∴AF =EC ···················································· 7分 ∴四边形AECF 是平行四边形 ··················································································· 8分 证法三：在□ABCD 中，AB =CD 且∠B =∠D ··························································· 3分 又∵BE =FD ，∴△ABE ≌△CDF ················································································ 4分 ∴∠AEB =∠CFD ········································································································ 5分 又∵在□ABCD 中，AF ∥EC ，∴∠CFD =∠BCF ∴∠AEB =∠BCF ······················· 6分 ∴ AE ∥FC ·················································································································· 7分 ∴四边形AECF 是平行四边形 ··················································································· 8分 证法四：在□ABCD 中，AB =CD 且∠B =∠D ··························································· 3分 又∵BE =FD ，∴△ABE ≌△CDF ············································································ 4分 ∴∠AEB =∠CFD ，∠BAE =∠FCD又∵∠AEB+∠AEC =180°，∠CFD+∠CF A =180°，∴∠AEC =∠CF A ······················· 6分 ∵在□ABCD 中，∠BAD =∠BCD ，∴∠EAF =∠ECF ················································ 7分 ∴四边形AECF 是平行四边形 ···················································································· 8分 22．解：（1）160················································································································ 2分 BECDFA（第21题图）数学试题 第7页（共4页）（2）（补全统计图每空2分，共6分） ····································································· 8分（3）4116040= 答：从这次接受调查的学生中，随机抽查一名学生恰好是“不常用”的概率是41 ·························································································································· 10分23．解：（1）依题意，得12010)60(5070⨯+-+=x x y ···················································· 3分420020+=x ·········································································· 5分 （2）当 y =4700时，4200204700+=x ····································································· 7分 解得 x ＝25 ······································································································· 9分∴排球购买 60－25＝35（个）答：篮球购买25个、排球购买35个. ···························································· 10分（第22题图）使用计算器情况的统计图使用计算器情况的统计图不用12.5%不常用　25　%常用62.5%数学试题 第8页（共4页）24．解：（1）∵FQ 是⊙O 的切线，∴△FQO 是直角三角形在Rt △FQO 中，∵OQ ＝6 400，FO=FP+OP =350+6 400=6 750 ············ 2分 ≈==∠75064006sin FO OQ QFO 0.9481 ································ 4分 ∴∠QFO ≈71.46°答：∠QFO 约71.46° ················································ 5分 （2）∵∠QFO =71.46°，∴∠FOQ =18.54° ························································· 7分 ∴PQ 的长=1806400π54.18⨯⨯ ······························ ····· 9分0712≈答：地面上P ，Q 两点间的距离约为2 071 km ········ 10分 25．（1）证明：∵EF ⊥AC 于点F ，∴∠AFE =90°又∵在Rt △AEF 中，G 为斜边AE 的中点， ∴AE GF 21=··································································· 2分 在Rt △ABE 中，同理可得AE BG 21= ··························· 3分 ∴GF =GB则△BGF 为等腰三角形 ·················································· 4分 （2）解：当△BGF 为等边三角形时，∠BGF =60°∵GF =GB =AG ，∴∠BGE =2∠BAE ，∠FGE =2∠CAE∴∠BGF =2∠BAC ∴∠BAC =30° ······································································· 6分 ∴∠ACB =60° ∴3tan =∠=ACB BCAB∴当k=3时，△BGF 为等边三角形 ········································································ 8分 （3）解：由（1）得△BGF 为等腰三角形，由（2）得∠BGF =2∠BAC∴当△BGF 为锐角三角形时，∠BGF<90°，∴∠BAC <45° 此时AB >BC ，k =BCAB>1 ····························································································· 9分 （第24题图）(GEA BC DF（第25题图）数学试题 第9页（共4页）当△BGF 为直角三角形时，∠BGF=90°，∴∠BAC =45° 此时AB =BC ，k =BCAB=1 ··························································································· 10分 当△BGF 为钝角三角形时，∠BGF>90°，∴∠BAC >45° 此时AB<BC ，k =BCAB<1 ··························································································· 11分 ∴0<k<1 ····················································································································· 12分 26．解：（1）设直线AB 的函数解析式为：y=kx+b∵点A 坐标为（0，4），点B 坐标为（2，0） ∴⎩⎨⎧=+=04b 2k b ··················································· 2分解得：⎩⎨⎧=-=42b k即直线AB 的函数解析式为 y=－2x+4 ········ 4分 （2）① 依题意得抛物线顶点M （m , n ）∵在点M 在线段AB 上，∴n =－2m+4 ·········· 5分当x ＝0时，代入()n m x y +-=2得n m y +=2 ··························································· 6分 ∴422+-=m m y 即C 点坐标为（0, 422+-m m ） ·········································· 7分 ∴AC ＝OA －OC ＝4－（422+-m m ）＝m m 22+- ················································ 8分 ② 答：存在················································································································· 9分 作MD ⊥y 轴于点D ，则D 点坐标为（0，42+-m ）∴AD ＝OA －OD ＝4－(42+-m )＝2m ···································································· 10分 ∵M 不与点A 、B 重合，∴0＜m ＜2又∵MD ＝m ，∴m MD AD AM 522=+= ·························································· 11分 (另解：在Rt △AOB 中，根据勾股定理得5241622=+=+=OB OA AB 又∵DM ∥OB ，∴ABAMAO AD =，∴m m AO AD AB AM 54252=⨯=⋅= ··········11分) ∵在△ACM 与△AMO 中，∠CAM ＝∠MAO ，∠MCA ＞∠AOM ··························· 12分（第26题图）。