第五章 时间数列

第五章 时间数列

第一节 时间数列的概念

一．时间序列的构成

同类社会经济现象的统计资料，按时间先后顺序的排列，称为时间数列。

一个时间数列是受到若干个因素影响的，例如农产量，受到天气、病虫害、政策、价格等各种因素的影响，理论上说，是所有这些变量的函数。但这种研究方法，并不是统计的研究方法。统计学中对时间数列的研究，是忽略各个具体的非时间因素对时间数列的影响，而是将各种因素的出现看成在时间轴上必然的现象。因此，统计学中对时间数列的研究，是从时间轴出发的。

在统计中，研究时间数列的方法是将影响时间数列的因素分为下列四类。

1．长期趋势（Secular Trend）

指社会经济现象在较长的一段时间内所表现出来的稳定的趋势性。

例如我国的经济发展，从1949年以来，一直保持了较为稳定的增长的趋势。

2．季节变动（Seasonal Fluctuation）

社会经济现象表现出来的与日历周期同步的周期性。

例如商场中电风扇等具有鲜明季节特征的商品的销售量，就具有受季节变动影响很大的特点。在商场中，冬季的电风扇销售量很小，而夏季则增大。年复一年，这种规律与季节的变化是严格同步的，虽然有的年份早一些，有的年份晚一些。

需要注意的是，虽然与日历同步的周期性称为季节变动，但并不一定是指一年四季的概念。按月、按周、按天的循环变动，也可以称为季节变动。

例如，一个城市一天中的用电量就具有鲜明的季节特征，早晨上班的时候，各单位开始使用机器或者办公设备，城市用电量上升，到下班时，用电量下降。晚上天黑以后，照明用电增加，城市的总用电量达到高峰。当人们逐渐熄灯睡觉后，用电量下降到了最低点。这样周而复始，也可以表现为一种季节变动。

3．循环变动（Cyclical Movement）

循环变动也是一种周期性的变动，不过这种周期无法直接用日历周期来进行解释。一般来说，循环变动的周期往往比一年时间要长，根据周期的不同，一般又分为几级：

（1）短周期：一般在三至五年之内的周期；

（2）中周期：十至二十年的周期；

（3）长周期：二十年以上的周期。

4．不规则变动（Irregular Variations）

由各种无法解释的因素而引起的经济波动，一般不表现出明显的规律性。 不规则变动中，如果存在尚未被发现的系统性因素，就会出现残差异常的情况。

二．时间序列的表现形式

时间序列的一般表现形式如下：

常见的简化模型包括两种：

加法模型：；

在加法模型中，构成时间序列的各个因素均是绝对量的形式，分别作为影响时间序列的一个组成部分，占有一定的比例。

乘法模型：

在乘法模型中，T是绝对量，而S、C和I均是以相对量的形式影响时间序列值，表现为对长期趋势的一个影响比例。从理论上说，这种模型更为合理。

更复杂的时间数列模型涉及到复杂的数列形式，在我们的课程中不予介绍。

第二节 趋势变动的测定

趋势变动的测定目的在于从时间数列中分离出长期趋势值，测定趋势变动的方法包括两大类。

一．修匀方法

修匀方法是指从数列本身出发，通过平均的方法，消除数列的短期波动，使数列表现出稳定的趋势性。

修匀方法包括两类

1．时距扩大法

通过将计量统计指标的时间跨度加大，来获得一个相对平衡的序列，因为在较长的时间内，周期变动的影响和随机扰动，都会得到有效的平衡。

参见“汽车产量移动平均趋势”，以每三年为一个值，可以计算出一个时距。

2．移动平均法

时距扩大法最大的问题在于时间点减少，使序列表现得比较粗糙。移动平均法是将时距扩大法进行了一个平移，从序列顶端向下，选择N个时间点进行一次平均，然后将选择范围向下移动一个时间点，再进行一次平均，依次类推。每次平均的结果，记录在N个时间点的中间位置上。

参见下列“汽车产量移动平均趋势”。

附表：汽车产量移动平均趋势

年份 时间标号 产量 三年移动 五年移动 1981 1 17.56

1982 2 19.63 20.39

1983 3 23.98 25.08 27.31

1984 4 31.64 33.11 31.19

1985 5 43.72 37.45 36.70

1986 6 36.98 42.63 44.80

1987 7 47.18 49.54 50.14

1988 8 64.47 56.67 51.68

1989 9 58.35 58.07 58.56

1990 10 51.40 60.39 70.46

1991 11 71.42 76.50 83.54

1992 12 106.67 102.65 99.21

1993 13 129.85 124.40 117.98

1994 14 136.69 137.27 133.20

1995 15 145.27 143.16 143.52

1996 16 147.52 150.35 150.15

1997 17 158.25 156.26

1998 18 163.00

（1）对于奇数周期的移动平均法，计算出来的平均值直接记录在居中的时间点上；

对于偶数周期的移动平均法，则需要进行两次移动平均，第一次按偶数周期计算，结果分别写在居中的两个时间点中间，第二次再将居中的时间点两侧的两个移动平均结果再进行一次移动平均，计算出最终结果。

（2）移动平均法除了选择时距之外，还可以选择移动平均计算时的权重，以三年移动平均为例，如果在计算移动平均数时，不是采用简单移动平均，而是采用加权移动平均，则方式如下：

其中三个W的选择，决定了移动平均的效果。如果试图更多地保留原序列的面貌，则中间时间点的W应当大一点，两侧小一些；反之，则应当使两侧的权重与中间保持一致。

（3）移动平均法的时距选择是根据研究目的而定的：

如果研究的目的是为了将周期变动的影响去除掉，则移动平均的周期需要与实际经济波动的周期一致；

如果研究目的是为了修匀不规则变动，显示出周期的影响，则移动平均的周期应当大大地小于实际周期，并采用加权移动平均法，一定程度地突出实际数值。

二．拟合方法

拟合方法是从数据的内在规律性出发，利用数学模型来对数列进行拟合处理，寻找最适合数列的数学模型，并以数学模型的规律来推断时间数列的规律。

要寻找时间数列的拟合模型，一般有两种方法

  通过将时间数列在图上表现出来，直观地判断数列的数学规律性。例如，如果数列表现为直线型，则可用一次函数表示；如果数列表现为抛物型，则可以用二次函数表示，等等。

  通过分析经济规律，使用已有的经济模型进行概括。例如逻辑斯蒂曲线，最早被用于研究人口增长规律，近代以来，又被广泛运用于研究成长现象。如果我们所研究的时间数列是具有成长特征的社会经济现象，则可以试着使用逻辑斯蒂曲线进行拟合。

进行数列拟合的方法有许多种，在此介绍两种简单的方法

1．分段平均法

分段平均法是一种进行曲线拟合的简单方法，其做法是将时间数列的各项数值平均分为几部分，分别求各部分的平均数，然后将各个平均数标在图上，由此确定两个点或者三个点，根据这些点确定对应的曲线。

分段平均法一般只限于在线性趋势或者抛物线型趋势的数列中使用，原理上说，只需要两个点即可确定一条直线，三个点可以确定一条抛物线。

参见下列“1978年至1992年针织内衣零售量”。

附表：1978年至1992年针织内衣零售量

年份 年份 零售量（亿件）

1978 1 7.00

1979 2 9.10

1980 3 9.70

1981 4 10.80

1982 5 11.70

1983 6 12.10

1984 7 13.10

1985 8 14.30

1986 9 14.40

1987 10 14.80

1988 11 15.00

1989 12 12.30

1990 13 11.20

1991 14 9.40

1992 15 8.90

由曲线的图形，我们可以看到，1978至1992年针织内衣的零售量表现出抛物线形式，因此可以用二次曲线进行拟合。拟合形式为

将数据等分成三段，每五年为一段，分别计算每一段的X和Y坐标的平均值，获得三个平均值点为：（3，9.66），（8，13.74），（13，11.36），将三个平均值点的坐标代入上式，得下列方程组：

解上述方程组，得

即拟合模型为：

使用最小二乘方法拟合出来的结果为：

我们可以看到，在本题中，使用分段平均法所获得的结果，与使用更为精确的方法获得的结果差异是很小的，说明分段平均法可以作为其他方法的一种替代形式。由于分段平均法的计算过程比较简单，适合于在社会生产实践中，进行精度要求不太高的曲线拟合分析。

2．最小二乘法 针对以下的一种曲线形式

对于已知的一组x和y，欲求一组a和b，使得估计值与观察值y之间的离差最小。

构造总离差函数Q如下

欲求一组a、b，使得Q达到最小值，根据微积分的原理，可以分别就a、b求Q的偏导数，并令偏导数为0，解联立方程得解如下：

对于大多数一元函数，最小二乘法都能够计算出唯一的一组a和b，使Q达到最小。但这并不意味着两个变量x和y之间一定存在线性关系，最小二乘法只提供求a和b的算法，但求出来的系数是否有意义，还需要进行检验。

参考以下的一个案例：

附表：某社会经济现象中x与y的对应关系

X Y

12 9 144 108

14 12 196 168

18 20 324 360

16 16 256 256

20 25 400 500

22 30 484 660

24 36 576 864

10 6 100 60

10 4 100 40

将上述各结果代入前面的求解公式，可得b=2.1408，a=-17.172。

因此，回归结果为

然而，如果我们把x和y的原始含义展示出来（下表），就会发现上述的回归事实上是荒谬的。x和y分别是一些矩形的面积和周长，我们知道矩形的面积与周长之间是不存在相关关系的。我们之所以能够求出一个面积与周长之间的函数关系，仅仅是因为我们对一组数据进行了最小二乘处理。最小二乘法在大多数情况下，都能够获得一个结果，但如果原始的数据之间事实上并不存在相关关系，这样求出来的结果，就仅仅是一个数字游戏，没有任何